Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
§ 4. Нелинейные аддитивные задачи. Суммы пяти квадратов 211
где
причем σ
(N)=
σ
k
(N) > 1 при N ≡ k(mod 2),иσk(N)=0в противном случае.
k
p|N
1+
(−1)
(p − 1)
k
k−1
pN
1 −
(−1)
(p − 1)
k
,
k
3. Пусть k, l и m — фиксированные натуральные числа с условием
(k, l, m)=1. Доказать для числа решений J
+ mp3= N асимптотическую формулу
+ lp
2
2
N
2klm ln3N
cq(k)cq(l)cq(m)cq(N)
ϕ3(q)
где
J
k,l,m
(N)=σ
(N)=
σ
k,l,m
k,l,m
(N)
∞
q=1
(N) уравнения kp1+
k,l,m
+ O
2
N
ln4N
,
,
причем при (N,k, l)=(N, l, m)=(N,k, m)=1и N ≡ k + l + m(mod 2)
имеем σ
При выделении особого интеграла рассмотреть
(N) > 1, в противном же случае σ
k,l,m
(N)=0. Указание.
k,l,m
1
-окрестности серий
qτ
рациональных дробей со знаменателями k, l и m и дополнение к ним,
учитывая при этом, что единственной общей всем трем упомянутым
1
1
,
сериям точкой отрезка [−
] является нуль.
2
2
Если k, l и m имеют нетривиальный общий делитель, то в случае
(k, l, m) | N , сокращая на (k, l, m), сводим задачу к предыдущей, а в
случае (k, l, m) N, очевидно, J
(N) равно нулю.
k,l,m
4. Доказать, что почти все четные числа представимы разностью
двух простых чисел. Более точно, если E
(x) — количество четных
1
чисел, не превосходящих x и непредставимых разностью двух простых
чисел, то для любого фиксированного положительного D имеет место
оценка
E
(x)
1
x
lnDx
.
§ 4. Нелинейные аддитивные задачи.
Суммы пяти квадратов
В 1770 году Лагранж доказал, что любое натуральное число пред-
ставимо суммой не более четырех квадратов натуральных чисел или,
212 Глава 4. Круговой метод
что то же самое, суммой четырех квадратов целых чисел. Спустя почти семьдесят лет Якоби с помощью созданной им теории эллиптических функций показал, что
d|N
4d
d,
r(N )=8
где r(N ) обозначает количество представлений натурального N суммой четырех квадратов целых чисел. С другой стороны, в этой задаче кажется естественным применить круговой метод. Однако, будучи применен в традиционном виде, круговой метод не позволяет
найти асимптотическую формулу для r(N ). Причина здесь снова заключается в том, что интеграл по малым дугам не удается оценить с
достаточной степенью точности.
Указанная трудность была преодолена Клоостерманом в 1926 году. Усовершенствование, введенное им в круговой метод, состоит в
том, что отрезок интегрирования вначале разбивается на смыкающиеся друг с другом окрестности несократимых дробей с малыми знаменателями, и только после этого выделяются центральные части этих
окрестностей в качестве больших дуг и периферические их части в качестве малых дуг. Таким образом, промежутки, составляющие малые
дуги, отвечают каждый своим вполне определенным значениям параметров h и q. Суммирование соответствующих этим промежуткам
интегралов по всем значениям h приводит к специальным тригоно-
метрическим суммам, называемым суммами Клоостермана, нетривиальная оценка которых и позволяет получить более точную оценку
интеграла по малым дугам. Но даже прибегая к столь изощренной
технике, все же не удается показать, что r(N ) > 0 для всех достаточ-
но больших значений N . Это неудивительно, поскольку из формулы
n
Якоби следует, что r(2
)=24, то есть существуют сколь угодно боль-
шие значения N, для которых величина r(N) ограничена, в то время
c
как интеграл по малым дугам не удается оценить точнее чем O(N
).
Однако, уже в задаче о количестве представлений натурального
числа суммой пяти квадратов применение кругового метода в традиционном виде оказывается достаточным.
2
2
Теорема 10. Для числа решений J(N ) уравнения n
2
+ n
2
+ n
= N в натуральных числах справедлива асимптотическая
4
5
1
+ n
2
+ n
2
+
3
§ 4. Нелинейные аддитивные задачи. Суммы пяти квадратов 213
формула
где
а
J(N )=σ(N )
∞
σ(N )=
q=1
1
5
q
S(h, q)=
2
N
π
24
q
h=1
(h,q)=1
3
2
+ O(N
S5(h, q)e
q
2πi
e
x=1
hx
−2πi
2
q
5
4
ln2N),
hN
q
1,
обозначает сумму Гаусса.
√
Доказательство. Выберем параметры Q =
NL−1и τ =√NL,
обозначая для краткости ln N через L. Как известно, искомое число
решений J(N ) можно представить в виде интеграла
1
1+
J(N )=
1
τ
τ
S5(α)e
−2πiαN
dα,
где введено обозначение
S(α)=
n√N
2πiαn
e
2
.
Разбиение отрезка интегрирования на большие и малые дуги проводится в точности так же, как в доказательстве теоремы 8.
Для интеграла по малым дугам имеет место неравенство
E
2
S5(α)e
−2πiαN
Поскольку для любого α из множества E
dα
max
α∈E
1
1+
|S(α)|
2
, как мы уже видели при до-
2
1
τ
τ
|S(α)|4dα.
казательстве теоремы 8, существует рациональное приближение, знаменатель которого удовлетворяет неравенствам Q<q τ , применение результата задачи 2,а) к §3 главы 2 приводит нас к оценке
"
max
α∈E
|S(α)|
2
NL
Q
+
√
τL N
1
4
L.
214 Глава 4. Круговой метод
Интеграл от четвертой степени модуля суммы S(α) равен числу реше-
2
2
2
ний уравнения n
√
N. Перенесем n
+ n
= n
1
2
2
в левую часть уравнения, а n
3
2
+ n
в натуральных ni, не превосходящих
3
4
2
— в правую, и раз-
2
ложим получившиеся разности квадратов на линейные множители.
Можно считать, что n
1>n3
и, следовательно, n4>n2, поскольку ука-
занное уравнение имеет не более N решений, отвечающих значениям
равным n3, а все прочие решения распределяются, соответственно
n
1
знаку n
значая через u
u
2
выражаются через u
1+
1
τ
− n3, по двум равномощным классам. Таким образом, обо-
1
и v1сумму и, соответственно, разность n1и n3, а через
1
и v2— сумму и разность n4и n2, и учитывая, что niоднозначно
и vi, получим
i
1
τ
|S(α)|4dα N +2
u1v1=u2v
ui,vi2√N
1=N +2
2
d2√Nwi2√N/d
(w
1,w2
)=1
ui2√N
u
1w1=u2w2
1.
Мы сгруппировали слагаемые с одинаковым значением d — наибольшего общего делителя v
и v2. Поскольку из уравнения u1w1= u2w
1
при взаимно простых w1и w2вытекает, что u1= tw2и u2= tw1с
одним и тем же t, находим
√
1
1+
τ
|S(α)|4dα N +2
1
τ
d2√Nwi2√N/d
min
2
√
N
w
1
N
2
,
NL.
w
2
Собирая вместе полученные оценки, имеем
1
q
J(N )=
qQ
h=1
(h,q)=1
qτ
−
h
5
+ ze
S
1
qτ
q
−2πi
(
h
q
+z)N
dz + O(N
5
4
L2),
2
ибо составляющие множество E
интервалы не пересекаются. Почти
1
такой же результат можно получить и проще, оставляя под интегралом квадрат модуля суммы S(α) вместо четвертой степени. Однако
мы выбрали другой путь, так как полученная при этом оценка сред-
4
него значения |S(α)|
представляет значительный самостоятельный
интерес.
Для того, чтобы найти асимптотическую формулу для S(α) на
больших дугах, воспользуемся приемом, аналогичным примененному
при решении задачи 5 к §1 главы 2. Именно, сгруппировав слагаемые
§ 4. Нелинейные аддитивные задачи. Суммы пяти квадратов 215
по арифметическим прогрессиям с разностью q, введем в полученную
сумму разрывный множитель в виде полной линейной тригонометрической суммы, после чего поменяем порядок суммирования. Итак,
пользуясь результатом задачи 1 к §1 главы 2, получим
h
+ z=
S
q
q
m=1
q
1
=
q
m=1
h
2πi
q
e
h
2πi
m
q
e
=
2
m
n≡m(mod q)
2
n√N
1
q
q
−
<b
2
n√N
e
q
2
2πizn
q
m=1
2πizn
e
2
−
e
2πi
q
2
2
=
q
<b
2
hm2+bm
q
2πi
e
b
(m−n)
q
n√N
=
2πi(zn2−
e
bn
)
q
.
Предположим, что z отлично от нуля. В этом случае, используя лемму ван дер Корпута (см. следствие теоремы 4 главы 2), мы можем
заменить сумму по n соответствующим интегралом с точностью до
O(1). Учитывая пределы изменения z и выбор параметра τ, имеем
1
b
q
2
+2|z|
√
N
2
1
+
qL
,
2
|f
(x)| =
2zx −
так что при достаточно большом N условия леммы ван дер Корпута
выполнены. Пользуясь результатом задачи 4 к §1 главы 2 и выделяя
затем слагаемое с нулевым b, находим
√
0
N
e
2πi(zx2−
bx
)
q
dx + O(
√
q)=
S
h
+ z=
q
=
1
q
q
−
<b
2
S(h, q)
q
q
q
m=1
2
√
N
0
e
2πizx
e
2πi
hm2+bm
2
q
dx + O(L√q),
ибо при ненулевом b интегрирование по частям приводит нас к оценке
√
0
N
e
2πi(zx2−
bx
q
)
dx =
√
N
1
2πi
de
0
q
|b|−2q|z|√N
2πi(zx2−
2zx −
|b|−2L
bx
)
q
b
q
q
.
−1
216 Глава 4. Круговой метод
Здесь мы пользовались монотонностью функции 2zx − b/q и применявшимся выше неравенством для z. Заметим, что полученная формула для суммы S(h/q + z) справедлива и при z =0. В этом случае
следует, минуя применение леммы ван дер Корпута, воспользоваться
оценками задач 3 и 4 к §1 главы 2, выделив предварительно слагаемоеснулевымb. Теперь преобразуем интеграл в правой части нашей
формулы снова в сумму. Пользуясь упрощенным вариантом формулы суммирования Эйлера (см. теорему 8 главы 1), а также учитывая
оценку функции (x) и пределы изменения z, получим
nN
2πizn
e
√
n
N
2πizy
e
=
1
2
=
√
y
N
e
0
dy + O1+
2πizy
dy + O(1) = 2
√
y
где мы сделали замену переменной y = x
N
1
2
2
. Собирая вместе получен-
|z| + y
√
√
0
−1
dy=
y
N
2πizx
e
2
dx + O(1),
ные соотношения, имеем
h
+ z=
S
q
при (h, q)=1и |z| (qτ)
S(h, q)
−1
.
2q
nN
2πizn
e
√
n
+ O(L
√
q)
Совершая преобразование Абеля и пользуясь результатом задачи
1
1
,
3 к §1 главы 2, при |z|, принадлежащем отрезку [
2πizn
nN
e
√
n
1
|z|√N
С другой стороны, при |z| 1/N воспользуемся тривиальной оценкой
рассматриваемой суммы величиной
N
+
min(u, |z|−1)
1
2
3
2
u
√
N. Таким образом, используя
], находим
N
2
du |z|
1
−
2
.
для S(h, q) оценку задачи 4 к §1 главы 2, имеем
h
5
+ z=
S
q
S
5
(h, q)
32q
5
nN
2πizn
e
√
5
+
n
+ O(Lq
3
−
2
min(N2, |z|−2)+L5q
5
2
),
§ 4. Нелинейные аддитивные задачи. Суммы пяти квадратов 217
откуда, интегрируя по соответствующему интервалу больших дуг, получим
1
qτ
−
qτ
h
5
+ ze
S
1
q
5
S
(h, q)
=
32q
5
−2πi
−2πi
e
(
h
+z)N
q
hN
q
−
dz =
1
qτ
1
qτ
nN
2πizn
e
√
n
+ O(NLq
5
−2πizN
e
−
dz +
3
2
+ L5q
3
2
τ−1).
При интегрировании остаточного члена мы учли, что qτ не превосходит N в силу выбора параметров Q и τ . Пользуясь полученной выше
оценкой подынтегральной функции, распространим интеграл в пра-
1
+z)N
,
2
1
2
dz =
]. Имеем
5
(h, q)
S
q
+ O(NLq
hN
−2πi
q
e
5
3
−
2
+ L5q
κ(N )+
3
2
τ−1+ τ
3
2
q−1),
вой части на весь отрезок [−
1
qτ
−
qτ
h
5
+ ze
S
1
q
−2πi
h
(
q
где
κ(N )=
32
1
2
1
1
−
2
nN
2πizn
e
√
5
−2πizN
e
n
dz
обозначает особый интеграл. Суммируя по всем составляющим множество E
промежуткам и снова пользуясь выбором параметров Q и
1
τ, для искомого числа решений получим
1
5
q
q
h=1
(h,q)=1
S5(h, q) e
−2πi
hN
q
+ O(N
5
4
L2).
J(N )=κ(N )
qQ
Вычислим особый интеграл. Меняя порядок суммирования и интегрирования и пользуясь соотношением ортогональности, при k 2
найдем
2πizn
e
√
k
−2πizN
e
n
dz =
n1+...+nk=N
√
n1...n
1
.
k
j
(N)=
k
1
2
1
−
2
nN
218 Глава 4. Круговой метод
Величину j
(N) и так далее, а j5(N) с точностью до множителя
j
2
(N) мы вычислим непосредственно, j3(N) выразим через
2
1
и есть κ(N ).
32
Имеем
j
(N)=
2
nN−1
при этом для вычисления интеграла можно применить подстановку
x = N sin
2
t. Мы пользовались тем, что стоящая под знаком суммы
1
n(N − n)
=
=
√
1
N
= π + O
N
0
dx
x(N − x)
+ O
1
√
,
N
функция имеет два участка монотонности, а сумма значений монотонной функции по целым точкам отрезка [n
] с точностью до
1,n2
наибольшего слагаемого приближается интегралом от этой функции
по указанному отрезку. Записывая суммирование по одной из переменных в выражении для j
j2(N − n)
j
(N)=
3
nN−2
√
n
(N) как внешнее, получим
3
1
nN
√
n
+ O(j
(N)) = 2π√N + O(1).
2
= π
Действуя аналогично и производя вдобавок замену переменной суммирования n = N − m, находим
j
(N)=
4
nN−3
j3(N − n)
√
n
=2π
nN−1
=2πNj
N − n
+ O(
n(N − n)
(N) − j4(N)+O(√N),
2
√
N)=
откуда сразу следует, что j
j4(N − n)
j
(N)=
5
nN−4
√
= π
(N)=π2N + O(√N). Наконец,
4
=
n
N − n
2
nN
√
n
+ O(j
(N)) =
4
3
4
2
2
π
N
3
+ O(N ).
Теперь мы можем, пользуясь результатом задачи 4 к §1 главы 2, распространить суммирование по q в формуле для J(N ) до бесконечности. В силу выбора параметра Q имеем
3
2
J(N )=σ(N )κ(N )+O(N
3
1
2
+ N
5
4
L2)=σ(N )
−
2
Q
2
N
π
+ O(N
24
5
4
L2),
§ 4. Нелинейные аддитивные задачи. Суммы пяти квадратов 219
где
σ(N )=
∞
q=1
1
5
q
q
h=1
(h,q)=1
S5(h, q) e
−2πi
hN
q
обозначает особый ряд, причем величина σ(N ) ограничена сверху аб-
солютной постоянной, что немедленно следует из оценки для S(h, q).
Заметим, что сумма по h вещественна, так как комплексное сопряжение отвечает замене h на −h, которое тоже пробегает все вычеты по
модулю q, взаимно простые с ним.
Осталось показать, что значение σ(N) отделено от нуля. Если q
и q2взаимно просты, то
2
q
n2=1
2πi
e
2
2πi
e
S(h
+ h2q1,q1q2)=
1q2
=
n1=1
q
1
e
так как выражение n
q
q
1
n1=1
n2=1
2πi
1q2
h
q
2
1
(n1q2)
1
+ n2q1пробегает все вычеты по модулю q1q2.
Здесь мы пользовались также тем, что n
модулю q
,аn2q1— все вычеты по модулю q2. Опираясь на только
1
h
q
h
1
2
+
(n
1q2+n2q1
q
1
2
h
q
2
2
(n2q1)
2
пробегает все вычеты по
1q2
2
)
= S(h1,q1)S(h2,q2),
=
что доказанное свойство сумм Гаусса и фактически повторяя рассуждения, обосновывающие мультипликативность суммы Рамануджана
(см. доказательство теоремы 8), убеждаемся в том, что общий член
особого ряда есть мультипликативная функция q. Таким образом, со-
гласно теореме 4 главы 1 имеем
σ(N )=
p
1+
∞
n=1
p
1
5n
n
p
h=1
(h,p)=1
S5(h, pn) e
−2πi
hN
p
n
,
1
откуда, пользуясь задачей 4 к §1 главы 2, найдем
1
3
2
p
.
− 1
σ(N )
p
1 −
∞
n=1
1
3n
2
p
=
1 −
p
При оценке сомножителя, отвечающего p =2, необходимо учесть, что
n−1
сумма по h содержит 2
слагаемых, и что S(h, 2) обращается в нуль.
220 Глава 4. Круговой метод
Произведение в правой части является сходящимся, причем ни один
из его сомножителей не равен нулю. Таким образом, σ(N ) ограничено
снизу положительным числом, что и требовалось.
Задачи к §4
Особые ряды следующих задач записываются с помощью симво-
N
ла Лежандра (
), равного числу решений сравнения x2≡ N (mod p),
p
уменьшенному на единицу, то есть равного 1, 0 и −1, если указанное
сравнение имеет два, одно и ни одного решения, соответственно.
1. Доказать, что число решений J (N ) уравнения p
+ p2+ n2= N
1
выражается асимптотической формулой
где
J(N )=σ(N )
σ(N )=
p>2
2N
3ln2N
1+
3
2
+ O
N
(p − 1)
p
2
ln
N
5
2
1.
3
2
,
N
Указание. При вычислении особого ряда записать сумму Гаусса в явном виде, затем сделать сумму по h внутренней и воспользоваться
результатом задачи 1 к §1 главы 2.
2. Доказать, что число решений J(N ) уравнения p
+ p2+ p
1
2
3
= N
выражается асимптотической формулой
где
J(N )=σ(N )
σ(N )=2
p|N
+ O
pN
p>2
3
2
4N
3ln3N
1 −
1
(p − 1)
2
N
ln
1+
3
2
7
2
N
p
(p − 1)
,
N
+1
p
,
3
причем σ(N) > 1 при нечетном N ,иσ(N )=0 при четном N . Указа-
ние. Пользоваться результатом задачи 3 к §1 главы 3. При анализе
особого ряда понадобится справедливая при (h, q)=1оценка
q
x=1
(x,q)=1
2
hx
2πi
q
e
√qτ(q),
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]