Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
§ 1. Модулярные преобразования. Функция Дедекинда 171
Теор е ма 1. Для любой точки s сусловиемIm s>0 существует
1
модулярное преобразование M такое, что |Re (Ms)|
, |Ms| 1.
2
Доказательство. Пусть G — множество всевозможных компози-
k
ций преобразований S и T
сцелымk. Заметим, что число пар целых
чисел (c, d) таких, что |cs + d| 1, конечно. Геометрически оно представляет собой число узлов решетки с базисом (s, 1), лежащих в единичном круге. Если наложить на эти пары дополнительное условие
существования модулярного преобразования из G с соответствующи-
ми коэффициентами, то множество таких пар также будет конечным
и притом непустым, так как G содержит тождественное преобразование. Кроме того, cs + d не может обращаться в нуль. Следовательно,
мы можем выбрать в множестве G такое модулярное преобразование
,что|cs + d| будет наименьшим, а
M
Im (M
s)=
Im s
|cs + d|
,
2
соответственно, наибольшей.
s)|
1
.Отме-
2
kM
.Дей-
Далее, выберем такое целое число k,что|Re (T
k
тим, что преобразование T
не меняет мнимую часть и не выводит из
kM
G. В качестве искомого преобразования M можно взять T
1
ствительно, условие |Re (Ms)|
Im (SMs)=
выполнено, а если |Ms| < 1,то
2
Im (Ms)
|Ms|
> Im (Ms).
2
Так как преобразование S не выводит из G, это приводит нас к противоречию с тем, что Im (M
s) максимальна, и завершает доказатель-
ство.
Замечание. Проведенные рассуждения показывают, что в качестве
преобразования M можно взять некоторую композицию преобразований S
k
с целым k.
и T
Теор е ма 2. Любое модулярное преобразование можно предста-
k
вить композицией преобразований S и T
сцелымk.
Доказательство. Пусть M — произвольное модулярное преобра-
зование. Выберем и зафиксируем произвольную точку s
|Re s
1
| <
, |s0| > 1. Согласно теореме 1 и замечанию к ней найдется
0
2
такую, что
0
172 Глава 4. Круговой метод
такое модулярное преобразование M
k
образований S и T
|Re s|
1
, |s| 1.
2
сцелымk, которое переводит точку Ms0в область
Предположим вначале, что Im (M
, являющееся композицией пре-
Ms0) Im s0. В этом случае из
формулы, описывающей изменение мнимой части под действием модулярного преобразования, следует, что |cs
фициенты преобразования M
M. В силу выбора точки s0такое нера-
венство выполнено лишь при c =0, откуда получаем, что M
для некоторого целого b. Далее, поскольку |Re s0| <
но |Re (M
Ms0)|
1
, имеем b =0и, следовательно, MM = I. Таким
2
образом, преобразование M является обратным для M
ражается композицией преобразований S и T
Пусть теперь Im (M
Ms0) < Im s0. Пользуясь явным выражением
+ d| 1,гдеc, d —коэф-
0
M = T
и одновремен-
, то есть вы-
k
сцелымk.
1
2
для коэффициентов обратного преобразования, найдем
Im s
Im (M
=
0
|c(MMs0) − a|
Ms0)
,
2
b
где a, c — коэффициенты преобразования M
получаем, что |c(M
M
Ms0лежит в области |Re s|
Ms0) − a| < 1, при этом, как мы помним, точка
1
, |s| 1. Таким образом, приведен-
2
M. Отсюда немедленно
ное неравенство выполняется только при c =0, более того, a также
должно быть нулем, а такая ситуация для коэффициентов модулярного преобразования невозможна.
Функция Дедекинда определяется в полуплоскости Ims>0 равен-
ством
η(s)=e
πis
12
∞
n=1
1 − e
2πins
.
Поскольку соответствующий ряд логарифмов сходится равномерно в
полуплоскости Im s ε, функция Дедекинда аналитична и не имеет
нулей в полуплоскости Im s>0. Из определения функции Дедекинда
следует также, что для любого целого k имеет место равенство
s)=e
πik
12
η(s).
η(T
k
Следующая теорема описывает поведение функции Дедекинда при
действии на ее аргумент модулярного преобразования S.
§ 1. Модулярные преобразования. Функция Дедекинда 173
Теор е ма 3. ВполуплоскостиIm s>0 справедливо равенство
√
−is η(s).
Выражение
η(Ss)=
√
−is обозначает ту ветвь этой двузначной функции,
которая положительна при чисто мнимом s, лежащем в рассматрива-
емой полуплоскости.
Доказательство. Согласно принципу аналитического продолже-
ния для доказательства теоремы достаточно доказать соотношение
i
√
η
y
=
yη(iy),
например, при 1 y 2. Воспользовавшись определением функции
Дедекинда и взяв логарифм обеих частей, перепишем последнее равенство в следующем виде
∞
π
+
−
12y
ln1 − e
n=1
2πn
−
ln y
y
−
=
2
πy
12
+
∞
n=1
ln1 − e
−2πny
.
Далее, разлагая логарифм в ряд Тейлора, находим
∞
2πnm
−
y
e
m
ln y
=
−
2
πy
12
∞
∞
m=1
−2πnmy
e
m
.
−
n=1
∞
π
−
−
12y
n=1
m=1
Поскольку члены повторных рядов положительны, порядок суммирования может быть обращен. Тем не менее, мы обоснуем возможность
перемены порядка суммирования непосредственно. При положительном x имеем
∞
n=1
∞
m=1
−nmx
e
m
= lim
=
N→∞
∞
m=1
n=1
∞
n=1
N
∞
m=1
−nmx
e
m
−nmx
e
m
− lim
N→∞
= lim
N→∞
∞
m=1
m=1
n>N
∞
N
n=1
−nmx
e
m
−nmx
e
m
,
=
но последний предел равен нулю, поскольку
∞
m=1
n>N
−nmx
e
m
∞
=
m=1
−Nmx
e
m(emx− 1)
e
−Nx
∞
m(emx− 1)
m=1
1
.
174 Глава 4. Круговой метод
Итак, меняя порядок суммирования, получаем, что для доказательства теоремы достаточно при 1 y 2 показать, что
∞
π
−
−
12y
m=1
me
2πm
y
1
− 1
ln y
−
=
2
πy
12
∞
−
m=1
me
1
2πmy
− 1
.
Последнее равенство можно обосновать с помощью теории вычетов. Пусть N — достаточно большое натуральное число, а Γ(N ) —
прямоугольный контур, состоящий из отрезков, последовательно соединяющих точки (N +
1
(N +
)(y − i). Рассмотрим интеграл
2
I(N)=
1
)(y + i), (N +
2
ctg πis
Γ(N)
1
)(−y + i), (N +
2
ctg
8s
πs
1
)(−y −i) и
2
ds.
y
Легко видеть, что подынтегральная функция имеет полюса первого
порядка в точках ±my и ±im с натуральным m, а также полюс тре-
тьего порядка в нуле. Интеграл I(N ), как известно, с точностью до
множителя 2πi равен сумме вычетов подынтегральной функции во
всех ее особых точках, лежащих внутри контура Γ(N ). Вычисляя вычеты, мы видим, что в противоположных точках они совпадают друг
с другом, откуда находим
I(N)=
N
m=1
1
2m
+
me
1
2πmy
−
N
m=1
− 1
−
1
2m
+
me
2πm
y
1
− 1
πy
+
12
π
−
.
12y
Для вычисления вычета подынтегральной функции в нуле мы пользовались тем, что первые два члена разложения Лорана функции ctgs
1
внулесуть
s
−
. Раскрывая скобки и устремляя N к бесконечности,
s
3
имеем
lim
N→∞
I(N)=
∞
m=1
me
1
2πmy
− 1
∞
−
m=1
me
2πm
y
1
πy
+
− 1
12
π
−
.
12y
Теперь вычислим последний предел другим способом. Заметим,
что подынтегральная функция является нечетной, а при вещественных s чисто мнимой. Последнее обстоятельство означает, что будучи
§ 1. Модулярные преобразования. Функция Дедекинда 175
домноженной на i, она принимает в сопряженных точках сопряженные значения. Пользуясь указанными свойствами, находим
I(N)=4Re
где Γ
(N) — часть контура Γ(N), лежащая в первом квадранте. Далее,
1
Γ1(N)
ctg πis
8s
ctg
πs
y
ds,
несложные вычисления приводят нас к равенствам
ctg s =
cos σ ch t − i sin σ sh t
sin σ ch t + i cos σ sh t
из которых следует, что на вертикальном отрезке контура Γ
ch tsh t + i cos σ sin σ
= −i
sh2t +sin2σ
,
(N) спра-
1
ведливо соотношение
πt
sh
ctg πis ctg
πs
y
= −i
ch
y
−i + O(e
πt
y
−2πN
а на горизонтальном отрезке контура Γ
ctg πis ctg
πs
y
= −i
sh πσ
ch πσ
−i + O(e
−πN
)= −1+O(e
(N) имеет место формула
1
)= −1+O(e
2πt
−
−2πσ
−2πN
y
+ e
+ e
−πN
),
),
причем постоянные в знаках O абсолютны. Здесь мы воспользовались
тем, что 1 y 2, а число N достаточно велико. Подставляя полученные соотношения в выражение для I (N ) и производя интегрирование,
получим
I(N)=−
1
Re
2
ds
Γ1(N)
1
+ O
s
.
N
Поскольку подынтегральная функция аналитична во всей комплексной плоскости за исключением нуля, можно заменить контур интегрирования Γ
оси, соединяющего точки y(N +
радиуса N +
(N) другим контуром, состоящим из отрезка вещественной
1
1
с центром в нуле, лежащей в первом квадранте. Лег-
2
1
) и N +
2
1
, и четверти окружности
2
ко видеть, что интеграл по дуге окружности будет чисто мнимым,
поэтому
I(N)=−
1
N+
2
1
2
y(N +
dσ
+ O
1
σ
)
2
1
ln y
=
N
2
+ O
1
.
N
176 Глава 4. Круговой метод
Наконец, устремляя N к бесконечности, находим
ln y
lim
N→∞
I(N)=
,
2
что вместе с полученным выше выражением для этого предела дает
нам искомое равенство и завершает доказательство.
Поскольку преобразования S и Tkпорождают все множество модулярных преобразований, на основе уже доказанных свойств функции Дедекинда можно установить поведение последней при действии
на ее аргумент произвольного модулярного преобразования. Однако
вначале необходимо сделать небольшое отступление.
Пусть q — натуральное число, h — целое, взаимно простое с q.
Сумма вида
где (x)=
q−1
s(h, q)=
r=1
1
−{x}, называется суммой Дедекинда. Случаю q =1от-
2
r
q
hr
,
q
вечает пустая сумма, поэтому s(h, 1) равна нулю для любого h.В§3
главы 1 отмечалось, что функция (x) периодична с периодом 1, следовательно, функция (x/q) периодична с периодом q. Таким образом,
если h
сравнимо с h по модулю q,то
1
,q)=s(h, q).
s(h
1
Далее, при нецелом x выполняется соотношение (−x)=−(x), отку-
да имеем
s(−h, q)=−s(h, q).
Более тонкое свойство сумм Дедекинда состоит в том, что s(h,q) и
s(q, h) оказываются связаны весьма простым соотношением. В част-
ности, это соотношение позволяет с легкостью вычислять значения
сумм Дедекинда.
Теорема 4 (закон взаимности сумм Дедекинда). Пусть h
и q — взаимно простые натуральные числа. Тогда имеет место соотношение
h
s(h, q)+s(q, h)=
12q
q
+
12h
+
1
12hq
1
−
.
4
§ 1. Модулярные преобразования. Функция Дедекинда 177
Доказательство. В случае h и q, равных единице, утверждение
теоремы проверяется непосредственно. Если хотя бы одно из чисел h
или q больше единицы, то, при необходимости производя переобозначения, можно считать q 2. Преобразуя выражение для суммы Дедекинда, находим
q−1
r=1
r
hr
r
hr
q
=
q
.
s(h, q)=
= −
q−1
r=1
1
2
q − 1
4
r
−
q
h
+
2
q
q−1
r=1
hr
q
r2−
1
= −
q
q−1
1
q
r=1
Действительно, h и q взаимно просты, следовательно, hr пробегает
все ненулевые вычеты по модулю q. Остается воспользоваться q-периодичностью функции (x/q) и тем, что ее значения в точках r и q − r
противоположны.
Рассмотрим теперь сумму
q−1
r=1
hr
2
q
q−1
r=1
1
−
2
=
=2hs(h, q)+
hr
q
+
q−1
r=1
2
hr
hr
q
q
=
hr
q
+1
q−1
2
h
−
2
q
r=1
r2+
q − 1
4
.
Здесь мы воспользовались недавно полученным представлением для
суммы Дедекинда. С другой стороны, поскольку hr наряду с r пробегает все ненулевые вычеты по модулю q, имеем
q−1
r=1
hr
2
=
q
Пользуясь формулой 6
q−1
r=1
r
2
q
q−1
r=1
q−1
=
r=1
1
2
2
r
−
q
= −
q − 1
4
q−1
1
+
r2.
2
q
r=1
r2= q(q −1)(2q − 1), которую легко до-
казать по индукции, из двух предыдущих равенств находим
2hs(h, q)+
q−1
r=1
hr
q
hr
q
+1
2
+1)(q −1)(2q −1)
(h
=
6q
−
q − 1
2
.
В случае h =1 утверждение теоремы сразу следует из полученного равенства. Пусть теперь h 2. В сумме, стоящей в левой части
178 Глава 4. Круговой метод
последней формулы, сгруппируем слагаемые с одинаковым значением [hr/q]. Так как слагаемые с нулевым значением указанной целой
части не вносят никакого вклада в сумму, имеем
q−1
r=1
hr
q
hr
q
+1
=
h−1
l(l +1)Nl,
l=1
где N
— количество натуральных r, не превосходящих q −1, и таких,
l
что [hr/q]=l. Последнее условие равносильно двойному неравенству
ql/h r<q(l +1)/h, а поскольку h и q взаимно просты, границы этих
интервалов всегда нецелые, исключая верхнюю границу в случае l =
= h − 1. Отсюда, перегруппировывая члены, находим
q−1
r=1
hr
q
hr
q
+1
h−1
l(l +1)
=
l=1
h−1
= −2
l=1
q(l +1)
h
ql
l
+(q − 1)h(h − 1).
h
−
ql
− h(h −1) =
h
Но сумма в правой части последнего равенства, как мы знаем, может
быть выражена через s(q, h), а именно
h−1
l=1
ql
l
= −hs(q,h) −
h
h(h − 1)
+
4
= −hs(q,h) −
h−1
q
h
l=1
h(h − 1)
l2=
4
q(h − 1)(2h − 1)
+
6
.
Наконец, собирая вместе все полученные соотношения и приводя подобные слагаемые, имеем
2
h
q
1
2hs(h, q)+2hs(q,h)=
6q
+
+
6
6q
h
−
,
2
откуда, выполняя деление на 2h, получим требуемое.
Перейдем теперь к доказательству закона преобразования функции Дедекинда.
Теор е ма 5. Пусть M — модулярное преобразование, a, b, c и d
— его коэффициенты, причем c>0. Тогда в полуплоскости Im s>0
§ 1. Модулярные преобразования. Функция Дедекинда 179
справедливо равенство
η(Ms)=ω(M)
−i(cs + d) η(s),
где
ω(M )=e
a+d
πi
−s(d,c)
(
12c
)
,
а s(d, c) — сумма Дедекинда.
Здесь и далее имеется в виду та однозначная ветвь квадратного
корня, которая положительна при положительных значениях подкоренного выражения.
Поскольку наборы коэффициентов (a, b, c, d) и (−a, −b, −c, −d) задают одно и то же модулярное преобразование, c всегда можно счи-
b
тать неотрицательным. Если же c равно нулю, то M = T
и соответ-
ствующий закон преобразования η(s) нам уже известен.
Доказательство. Согласно теореме 2 можно представить преоб-
k
разование M композицией преобразований S и T
M получается последовательным домножением преобразования T
сцелымk, то есть
k
S
справа на упомянутые элементарные преобразования. Не ограничивая общности, можно считать, что все возникающие при этом промежуточные преобразования имеют ненулевой коэффициент c. В про-
тивном случае представляющую M цепочку преобразований можно
редуцировать, пользуясь тем, что модулярное преобразование с нулевым коэффициентом c представляет собой сдвиг.
k
Пользуясь формулой для η(T
k
Ss)=e
η(T
s) и теоремой 3, имеем
πik
12
η(Ss)=e
πik
12
√
−is η(s).
Отсюда следует, что утверждение теоремы выполнено для преобразования T
k
S, ибо его коэффициенты суть k, −1, 1 и 0. Осталось пока-
зать, что если теорема справедлива для некоторого преобразования
, то она справедлива также для преобразований MTkи MS.
M
Предполагая, что теорема справедлива для преобразования M
коэффициентами a, b, c и d, и снова пользуясь формулой для η(T
с
k
s),
получим
η(M
Tk
s)=ω(M)−i(c(s + k)+d) η(Tks)=
πik
12
ω(M)−i(cs + ck + d) η(s).
= e
180 Глава 4. Круговой метод
Tk
Но коэффициенты преобразования M
равны a, ak + b, c и ck + d,
откуда находим
ω(M
Tk
)=e
πi
a+ck+d
(
12c
−s(ck+d,c)
)
= e
πik
12
ω(M),
ибо s(ck + d, c)=s(d, c). Таким образом, утверждение теоремы спра-
Tk
ведливо и для преобразования M
.
Снова предполагая справедливость теоремы для преобразования
и пользуясь теоремой 3, имеем
M
Ss)=ω(M)−i(c(−s−1)+d) η(Ss)=
η(M
= ω(M
)−i(d − cs−1)√−is η(s).
Рассмотрим случаи положительного и отрицательного d. Случай ну-
левого d исключен, так как по построению преобразование M
S имеет
ненулевой коэффициент c. В случае положительного d коэффициенты
преобразования M
ω(M
S)=e
S суть b, −a, d и −c, поэтому
b−c
πi
−s(−c,d)
(
12d
)
= e
= e
πi
b−c
πi
(
12d
b
+
(
12d
+s(c,d)
d
+
12c
1
12cd
)
=
1
−
4
−s(d,c)
πi
−
)
= e
4
ω(M).
Здесь мы воспользовались нечетностью суммы Дедекинда по первому
аргументу, теоремой 4 и тем фактом, что ad − bc =1. Таким образом,
имеем
η(M
Ss)=e
πi
4
ω(MS)−i(d − cs−1)√−is η(s)=
= ω(M
S)−i(ds − c) η(s).
Нетрудно видеть, что при Im s>0 все встречающиеся под радикалами выражения имеют положительную вещественную часть, так что
π
π
,
их аргументы лежат в интервале (−
). Под квадратным корнем
2
2
здесь, как уже отмечалось, понимается та ветвь, которая принимает
положительные значения при положительных значениях аргумента.
Правильность согласования знаков в последней формуле можно проверить, подставив туда какое-либо конкретное значение s, например,
s = i. Итак, утверждение теоремы выполняется для преобразования
S в случае положительного d. Осталось рассмотреть случай отри-
M
цательного d. Поскольку здесь коэффициенты преобразования M
S
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]