Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
§ 1. Мультипликативные функции. Производящие ряды 11
деляется своими значениями на степенях простых чисел, так как если
n = p
α
1
1
α
r
...p
,тоf(n)=f (p
r
α
1
) ...f(p
1
α
r
).
r
Теор е ма 1. Пусть f(n) и g(n) мультипликативны. Тогда
а) f (1) = 1;
б) f (n)g(n) мультипликативна;
в)
f(d) мультипликативна.
d|n
Доказательство. а) Пусть n таково, что f(n) отлична от нуля.
Так как 1 и n взаимно просты, по определению мультипликативной
функции имеем
f(n)=f (n · 1) = f(n)f(1).
Сокращая на f (n), получаем требуемое.
б) Пусть n и m взаимно просты. Тогда
f(nm)g(nm)=f (n)f (m)g(n)g(m)=f (n)g(n)f (m)g(m).
При этом f (n)g(n) не равна нулю тождественно, так как f (1) и g(1)
равны единице.
в) Пусть (n, m)=1. Тогда из основной теоремы арифметики следует, что если d
d
пробегает все делители nm, причем только один раз. Имеем
1d2
f(d)=
d|nm
пробегает делители n,аd2пробегает делители m,то
1
f(d1d2)=
d1|nd2|m
d1|nd2|m
f(d1)f(d2)=
f(d1)
d1|n
f(d2),
d2|m
ибо, очевидно, d
и d2взаимно просты. При этом рассматриваемая
1
функция не равна нулю тождественно, так как она равна единице
при n =1.
Определим функцию Мебиуса μ(n) равенствами μ(1) = 1; μ(n)=0,
если n делится на квадрат простого числа; μ(p
...pr)=(−1)r. Таким
1
образом, функция μ(n) отлична от нуля только на бесквадратных числах, а ее квадрат есть характеристическая функция множества таких
чисел.
Теор е ма 2. Имеют место следующие утверждения:
а) Функция Мебиуса мультипликативна;
б) при любом натуральном n справедливо равенство
μ(d)=
d|n
1,n=1,
0,n>1;
12 Глава 1. Метод комплексного интегрирования
в) если g(n)=
f(d),тоf(n)=
d|n
d|n
μ(d)g
n
и обратно.
d
Утверждение пункта в) известно как формула обращения Мебиуса.
Доказательство. а) Пусть n или m делится на квадрат простого
числа. Тогда nm также делится на квадрат простого числа, и равенство μ(nm)=μ(n)μ(m) выполнено. Если n или m равно единице,
то указанное равенство также выполнено. Пусть теперь n и m больше единицы, бесквадратны и взаимно просты. Тогда n = p
m = q
...qs, при этом pi= qjдля всех i =1,...,r и j =1,...,s,так
1
...prи
1
что
μ(n)μ(m)=(−1)
б) Из пункта а) и теоремы 1,в) заключаем, что функция f (n)=
=
μ(d) мультипликативна. Найдем ее значения на степенях про-
d|n
r
(−1)s=(−1)
r+s
= μ(nm).
стых чисел. При α 1 имеем
α
f(p
)=
μ(d)=μ(1) + μ(p)+...+ μ(pα)=1−1=0,
α
d|p
откуда вытекает вторая часть утверждения, поскольку любое натуральное число, большее единицы, представляется произведением степеней простых. Первая часть утверждения следует из теоремы 1,а)
или же проверяется непосредственно.
в) Положим g(n)=
f(d). Меняя порядок суммирования и ис-
d|n
пользуя утверждение предыдущего пункта, найдем
μ(d)g
d|n
Обратно, если f(n)=
n
=
d
d|n
μ(d)
d|n
k|
μ(d)g
f(k)=
n
d
n
d
k|n
=
d|n
f(k)
μ
μ(d)=f(n).
n
d|
k
n
g(d), действуя ана-
d
логично, получим
f(d)=
d|n
d|nk|d
В теории чисел важную роль играют ряды вида
d
μ
k
g(k)=
k|n
g(k)
μ(r)=g(n).
n
r|
k
∞
n=1
a(n)
n
s
,называемые рядами Дирихле. Следующая теорема позволяет перемножать
подобные ряды.
§ 1. Мультипликативные функции. Производящие ряды 13
Теор е ма 3. Пусть ряды
лютно, и пусть
∞
Тогда р яд
n=1
c(n)
также сходится абсолютно, причем
s
n
∞
n=1
c(n)=
c(n)
=
s
n
d|n
∞
n=1
∞
n=1
a(n)
a(d)b
a(n)
n
∞
n=1
.
b(n)
n
b(n)
сходятся абсо-
s
n
.
s
и
s
n
n
d
∞
s
n=1
Формула для коэффициентов c(n) содержит сумму по делителям
числа n, что и определяет тесную связь рядов Дирихле с арифметикой.
Доказательство. Перемножая частичные суммы, имеем
a(n)
s
n
N
m=1
b(m)
s
m
=
N
n,m=1
=
a(n)b(m)
(nm)
N
1
s
k
k=1
s
n|k
=
a(n)b
N
+
n,m=1
nm>N
a(n)b(m)
s
(nm)
,
k
n
N
n=1
√
но так как при nm > N или n>
N
n,m=1
nm>N
a(n)b(m)
(nm)
n>√N
|a(n)|
n
s
N, или m>√N,то
∞
|b(m)|
σ
m=1
m
σ
∞
|a(n)|
+
n=1
|b(m)|
σ
n
m>√N
m
σ
В силу абсолютной сходимости перемножаемых рядов правая часть
последнего выражения стремится к нулю при N , стремящемся к бесконечности.
Наконец, ряд
∞
n=1
|c(n)|
n
c(n)
сходится абсолютно, так как
s
n
1
σ
n
|a(d)|
σ
d|n
n
b
d
,
а по доказанному выше
∞
n=1
1
|a(d)|
σ
n
d|n
n
b
d
|a(n)|
=
n=1
∞
∞
|b(n)|
σ
n
n=1
< ∞.
σ
n
.
14 Глава 1. Метод комплексного интегрирования
∞
1
Простейший ряд Дирихле
n=1
сходится абсолютно в полу-
s
n
плоскости Re s>1. Его сумма как функция комплексного переменного s называется дзета-функцией Римана. Таким образом, при Re s>1
∞
1
n=1
.
s
n
Ряд Дирихле
∞
n=1
ζ(s)=
f(n)
называется производящим рядом Дирихле
s
n
функции f (n). Производящие ряды Дирихле многих мультипликативных функций выражаются через дзета-функцию Римана. Например,
пользуясь основным свойством функции Мебиуса и теоремой 3, при
Re s>1 находим
ζ(s)
∞
n=1
μ(n)
n
∞
n=1
1
n
s
d|n
μ(d)=1.
=
s
Отсюда, в частности, следует, что ζ(s) не имеет нулей в полуплоскости
Re s>1. Итак, в этой полуплоскости
∞
μ(n)
s
n
n=1
Теорема 4 (тождество Эйлера). Пусть ряд
1
ζ(s)
.
∞
f(n)
абсо-
s
n=1
n
=
лютно сходится, причем f (n) — мультипликативная функция. Тогда справедливо равенство
∞
n=1
f(n)
s
n
=
p
1+
f(p)
s
p
2
)
f(p
+
2s
p
+ ...=
p
∞
k=0
f(pk)
ks
p
.
Тождество Эйлера по существу представляет собой аналитический
эквивалент основной теоремы арифметики о единственности канонического разложения натурального числа на простые сомножители. Если f (n) вполне мультипликативна, тождество Эйлера примет вид
∞
n=1
f(n)
s
n
=
1 −
p
f(p)
s
p
−1
.
§ 1. Мультипликативные функции. Производящие ряды 15
Доказательство. Поскольку ряды
∞
k=0
f(pk)p
−ks
сходятся абсо-
лютно, повторное применение теоремы 3 показывает, что их можно
перемножать между собой в любом конечном числе. Имеем
pN
1+
f(p)
s
p
2
)
f(p
+
2s
p
+ ...=
N
n=1
f(n)
s
n
n>N
f(n)
s
n
,
+
где штрих у знака суммы означает суммирование по натуральным n,
все простые делители которых не превосходят N . Здесь мы существен-
но пользуемся основной теоремой арифметики и мультипликативностью функции f(n). В силу абсолютной сходимости производящего
ряда Дирихле имеем
f(n)
s
n
f(n)
= o(1)
s
n
n>N
n>N
при N →∞. Переходя к пределу при N , стремящемся к бесконеч-
ности, доказываем сходимость произведения и получаем требуемое.
Заметим, что в силу абсолютной сходимости производящего ряда Дирихле, случай расходимости произведения к нулю здесь исключен.
Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть соответствующий
ряд логарифмов и учесть, что |ln(1 + s)| 2|s| при |s|
1
.
2
Пользуясь тождеством Эйлера, при Re s>1 находим
∞
n=1
ζ(s)=
μ(n)
s
n
=
p
1+
1 −
p
1
1
+
s
p
,
+ ...=
2s
∞
n=1
s
p
1
p
μ2(n)
s
n
p
=
1 −
−1
1
,
s
p
p
1+
1
.
s
p
Отсюда легко следует полученное выше соотношение между первыми
двумя функциями, а также справедливое в полуплоскости Re s>1
равенство
∞
n=1
μ2(n)
n
ζ(s)
ζ(2s)
.
=
s
16 Глава 1. Метод комплексного интегрирования
Задачи к §1
1. При k 3 функции τk(n) можно определить по индукции ра-
венством
τ
k
где
τ
2
есть число делителей n.
а) Доказать мультипликативность τ
б) показать, что τ
в натуральных x
(n) есть число решений уравнения x1...xk= n
k
,...,xk;
1
в) показать, что
τ
г) доказать неравенство τ
д) доказать неравенство τ
е) доказать неравенства 1 τ
ж) показать, что при Re s>1
n=1
(n)=
d|n
τ
k−1
(n)=τ (n)=
(pα)=C
k
(uv) τk(u)τk(v);
k
(n) τ
k
∞
τk(n)
k−1
α+k−1
k−1
(n) c(ε)nεпри любом ε>0;
k
= ζk(s).
s
n
d|n
(n);
k
(d),
1
;
(n);
2. При k 1 функции σ
(n) определяются равенствами
k
σ
(n)=
k
в частности,
σ
(n)=σ(n)=
1
есть сумма делителей n.
а) Доказать мультипликативность σ
б) показать, что
σ
(pα)=
k
в) доказать неравенства n
k
σk(n) 2nkпри k 2;
d|n
(α+1)k
p
pk− 1
dk,
k
d|n
(n);
− 1
d
;
§ 1. Мультипликативные функции. Производящие ряды 17
г) пользуясь результатами задач 1,г) и 1,ж) к §4, доказать оценки
n σ(n) n ln ln n;
д) показать, что при Re s>k+1
∞
σk(n)
= ζ(s)ζ(s − k);
s
n
n=1
е) показать, что при Re s>k+ l +1
∞
σk(n)σl(n)
n=1
s
n
ζ(s)ζ(s − k)ζ(s − l)ζ(s − k −l)
=
ζ(2s − k −l)
.
Указание. В пункте г) выразить σ(n) в виде произведения по простым
числам и показать, что оно максимально на числах вида 2 ·3·5·...·p
в пункте е) пользоваться тождеством Эйлера.
3. Функция Эйлера ϕ(n) есть количество натуральных чисел, не
превосходящих n и взаимно простых с ним, то есть
kn
(k,n)=1
1.
ϕ(n)=
;
k
В частности, имеем ϕ(p
α
)=pα− p
а) Показать, что
ϕ(n)=n
б) доказать мультипликативность ϕ(n);
в) показать, что
ϕ(n)=n
p|n
г) показать, что
ϕ(d)=n;
d|n
д) доказать оценки
n
ϕ(n) n;
ln ln n
α−1
d|n
.
μ(d)
1 −
;
d
1
;
p
18 Глава 1. Метод комплексного интегрирования
е) показать, что при Re s>2
∞
n=1
ϕ(n)
n
s
ζ(s − 1)
=
ζ(s)
.
ж) доказать асимптотическую формулу
nx
1
ϕ(n)
ζ(2)ζ(3)
=
ζ(6)
ln x + c + O
ln x ln ln x
x
.
Указание. В пункте ж) пользоваться тем, что
d|n
|μ(d)|
ϕ(d)
=
1+
p|n
1
p − 1
,
а также результатом задачи 1 к §3.
§ 2. Сумматорные функции. Формула Перрона
Докажем вначале интегральный аналог преобразования Абеля для
сумм, который имеет исключительно широкое применение в аналитической теории чисел.
Теорема 5 (преобразование Абеля). Пусть c
=
cn.Пустьf(x) — комплекснозначная непрерывно диффе-
a<nx
ренцируемая на отрезке [a, b] функция. Тогда
cnf(n)=C(b)f (b) −
a<nb
b
C(x)f(x)dx.
a
∈ C и C (x)=
n
Доказательство. Введем функцию g(n, x) равную единице при
n x и нулю в противном случае. Меняя порядок суммирования и
интегрирования, имеем
a<nb
b
a
a<nb
b
c
g(n, x)f(x)dx =
n
a
cng(n, x)f(x)dx =
a<nb
c
n
b
n
f(x)dx,
b
a
cnf(x)dx =
a<nx
=
и остается воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.
§ 2. Сумматорные функции. Формула Перрона 19
Выражение
f(n) называется сумматорной функцией f(n).
nx
Оказывается, производящий ряд Дирихле достаточно просто выражается через сумматорную функцию.
∞
Теор е ма 6 . Пусть ряд
F (x)=
f(n). Тогда при Re s>a
nx
∞
n=1
f(n)
s
n
n=1
= s
f(n)
сходится при Re s>a 0,а
s
n
∞
F (x)
dx.
s+1
x
1
Доказательство. Совершая преобразование Абеля, получим
N
n=1
f(n)
s
n
=
F (N)
N
N
+ s
s
f(x)
dx.
s+1
x
1
Здесь мы пользовались тем, что F (x)=0при x<1. Для доказательства теоремы достаточно показать, что F (N )N
−s
стремится к нулю
при N , стремящемся к бесконечности.
Выбирая ε столь малым, что σ − ε>a, имеем
N
1
N
f(n)
s−ε
n
s
n=1
n
s−ε
= N
−ε
N
n=1
f(n)
s−ε
n
−
s − ε
s
N
N
f(n)
s−ε−1
x
s−ε
nx
n
1
dx,
причем в силу сходимости соответствующего ряда Дирихле
N
n=1
f(n)
s−ε
n
c(s, ε)
для любого N . Отсюда находим
F (N)
N
c(s, ε)N
s
−ε
+
|s| + ε
N
σ−ε−1
σ
N
x
1
dx c1(s, ε)N−ε,
а правая часть стремится к нулю при N , стремящемся к бесконечности.
Следующая теорема, напротив, выражает сумматорную функцию
через соответствующий производящий ряд Дирихле. Более того, она
играет важнейшую роль в методе комплексного интегрирования, сводя исследование сумматорной функции к анализу комплексного интеграла специального вида.
20 Глава 1. Метод комплексного интегрирования
Теорема 7 (формула Перрона). Пусть
∞
a(n)
F (s)=
n=1
,
s
n
причем ряд абсолютно сходится при Re s>a 0,иприσ → a +0
∞
n=1
|a(n)|
σ
n
(σ −a)
−α
с некоторым α>0. Тогда при любых b>a, x 2, T 2 справедлива
формула
a(n)=
nx
1
2πi
b+iT
b−iT
F (s)
s
x
ds + R(x),
s
где
R(x)
b
x
T (b −a)
α
+2
b
x ln x
T
+ln
T
+1max
b
x
2
n
3x
2
|a(n)|,
причем постоянная в знаке Виноградова абсолютна.
Доказательство. Ряд Дирихле, представляющий функцию F (s),
равномерно сходится на отрезке интегрирования, поэтому его можно
интегрировать почленно, что приводит нас к равенству
1
2πi
b+iT
b−iT
∞
n=1
a(n)
n
ds =
∞
n=1
a(n)
s
x
s
s
1
2πi
b+iT
b−iT
s
x
ds
n
.
s
Рассмотрим внутренний интеграл. Пусть n<x−1. Выберем произвольно большое число U и рассмотрим прямоугольный контур Γ
с вершинами в точках −U ± iT , b ± iT .ПотеоремеКошиовычетах
имеем
1
2πi
s
x
ds
s
=res
n
Γ
s=0
s
x
1
s
=1.
n
С другой стороны,
1
2πi
s
x
ds
n
Γ
s
b+iT
s
x
1
=
2πi
b−iT
ds
n
s
+ I
+ I2+ I3,
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]