Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
§ 3. Задачи с простыми числами. Проблемы Гольдбаха 201
ибо в силу монотонности логарифма
аряд
0
∞
n=2
n
du
ln u
n−1
1
сходится. Подставляя полученное соотношение в
n ln2n
1
−
ln n
ln(n − 1)
1
1
−
ln n
1
n ln2n
,
исходное равенство и учитывая выбор параметра Q, имеем
h
+ z=
S
q
ϕ(q)
μ(q)
=
ϕ(q)
1
q
l=1
(l,q)=1
2<nN
e
2πi
2πizn
e
ln n
hl
q
2<nN
e
+ ONe
2πizn
ln n
−c
+ ONe
√
L
4
.
−c
√
L
4
=
Здесь мы воспользовались результатом задачи 2 к §1 главы 2 и тем,
что h и q взаимно просты. Последнее равенство и дает нам искомую
асимптотику суммы S(α) на больших дугах.
Возведем полученную асимптотику в куб, учитывая, что главный
член тривиально оценивается величиной N. Имеем
h
3
S
+ z=
q
μ(q)
ϕ3(q)
2<nN
2πizn
e
ln n
3
+ ON3e
−c
√
L
4
,
откуда, интегрируя по соответствующему интервалу больших дуг и
пользуясь выбором параметра τ , найдем
1
=
qτ
−
qτ
μ(q)
ϕ3(q)
h
3
−2πi
e
+ ze
q
hN
q
S
1
Распространим интеграл в правой части на отрезок [−
−2πi
qτ
−
1
qτ
1
h
(
q
2<nN
+z)N
dz =
2πizn
e
ln n
3
−2πizN
e
dz + ON2e
1
1
,
]. Совершая
2
2
−c
√
L
5
.
преобразование Абеля и пользуясь результатом задачи 3 к §1 главы
1
2, при 0 <z
2πizn
e
2<nN
ln n
получим
2
ln N
1
2<nN
2πizn
e
N
+
2
2<nu
2πizn
e
u ln2u
du
1
z
.
202 Глава 4. Круговой метод
Отсюда, учитывая выбор параметров Q и τ, имеем
1
−
qτ
qτ
1
2<nN
2πizn
e
ln n
3
−2πizN
e
dz = κ(N)+O(q2τ2)=
= κ(N)+O(N
2L2B−2A
),
где
κ(N )=
1
2
1
−
2
2<nN
2πizn
e
ln n
3
−2πizN
e
dz
обозначает так называемый особый или сингулярный интеграл тернарной проблемы Гольдбаха. Собирая вместе полученные соотношения и суммируя их по всем интервалам, составляющим множество E
для интеграла по большим дугам находим
q
h=1
(h,q)=1
−2πi
e
hN
q
+ O(N2L
2B−2A
).
J
(N)=κ(N)
1
qQ
μ(q)
ϕ3(q)
Здесь мы пользовались результатом задачи 3,д) к §1 главы 1. Учитывая, что −h вместе с h пробегает все вычеты по модулю q, взаимно
простые с ним, мы можем переписать последнее равенство в виде
где
J
(N)=κ(N)
1
qQ
c
(N)=
q
μ(q)cq(N)
ϕ3(q)
q
h=1
(h,q)=1
+ O(N
2πi
e
hN
q
2L2B−2A
),
обозначает так называемую сумму Рамануджана.
Теперь вычислим особый интеграл κ(N). В силу монотонности логарифма имеем
2<nN
2πizn
e
ln n
−
2<nN
2πizn
e
ln N
2<nN
N
2
1
ln u
1
ln n
−
−
1
ln N
1
ln N
du
N
ln2N
.
,
1
§ 3. Задачи с простыми числами. Проблемы Гольдбаха 203
Последняя оценка легко получается интегрированием по частям с последующим разбиением отрезка интегрирования точкой
√
N. Отсюда,
пользуясь формулой для разности кубов, найдем
κ(N ) −
1
2
1
−
2
2<nN
N
ln2N
e
ln N
−
2πizn
1
2
1
2
3
e
2<nN
−2πizN
2πizn
e
ln n
dz
2
+
2<nN
2πizn
e
ln N
2
dz.
Раскрывая квадраты модулей обеих сумм и выполняя интегрирование, получим
N
ln4N
2
.
κ(N )=
1
ln3N
1
2
1
−
2
2<nN
2πizn
e
3
−2πizN
e
dz + O
Как мы уже знаем, интеграл в правой части последнего равенства
есть не что иное, как число решений уравнения n
e
N , то есть
3
2πizn
−2πizN
e
dz =
N−6
(N − n3− 5) =
n3=3
3 n
1
2
1
−
2
1,n2,n3
2<nN
+ n2+ n3= N при
1
(N − 7)(N −8)
2
откуда сразу получаем искомую асимптотическую формулу для особого интеграла
κ(N )=
2
N
2ln3N
+ O
N
ln4N
2
.
Возвращаясь к формуле для интеграла по большим дугам, распространим суммирование по q до бесконечности. Пользуясь тем, что
(N)| ϕ(q), и нижней оценкой функции Эйлера, имеем
|c
q
qQ
μ(q)cq(N)
ϕ3(q)
= σ(N)+O
q>Q
1
ϕ2(q)
= σ(N)+O
(ln ln Q)
2
Q
,
,
где ряд
σ(N )=
∞
μ(q)cq(N)
q=1
ϕ3(q)
204 Глава 4. Круговой метод
называется особым (сингулярным) рядом тернарной проблемы Гольдбаха. Как мы увидим ниже, особый ряд несет арифметическую информацию, касающуюся разрешимости уравнения Гольдбаха, тогда
как особый интеграл определяет порядок роста числа его решений.
Собирая вместе полученные равенства, для интеграла по большим
дугам находим
(N)=σ(N)κ(N)+O(N2L
J
1
−B−2
+ N2L
2B−2A
),
откуда, вспоминая оценку интеграла по малым дугам и выбирая параметры A =12и B =10, для искомого числа решений J(N ) имеем
J(N )=σ(N )
2
N
2ln3N
+ O
N
ln4N
2
.
Здесь мы пользовались асимптотической формулой для особого интеграла, а также тем, что особый ряд есть O(1).
Осталось вычислить особый ряд. Докажем мультипликативность
(N) как функции переменной q. Произведение двух сумм Рамануд-
c
q
жана можно записать в виде
)=1
(h
q
2
h2=1
2,q2
)=1
(h1q2+h2q1)N
2πi
e
q1q
2
.
c
q
1
(N)c
(N)=
q
2
(h
q
1
h1=1
1,q1
Пусть q
и q2взаимно просты. Очевидно, что выражение h1q2+ h2q
1
пробегает ϕ(q1)ϕ(q2) различных вычетов по модулю q1q2, причем все
они взаимно просты с модулем. В силу мультипликативности функции Эйлера отсюда следует, что h
вычеты по модулю q
, взаимно простые с ним. Таким образом, пра-
1q2
вая часть последнего равенства есть c
+ h2q1пробегает в точности все
1q2
(N), что и требовалось. По-
q1q
2
скольку функция Мебиуса также мультипликативна, σ(N ) является
абсолютно сходящимся рядом мультипликативных функций. Согласно тождеству Эйлера (см. теорему 4 главы 1), находим
σ(N )=
1 −
p
Здесь мы пользовались тем, что μ(p
c
(p − 1)
k
) равна нулю при k 2. Вычис-
p
(N)
.
3
ляя значение суммы Рамануджана с помощью задачи 2 к §1 главы 2,
1
§ 3. Задачи с простыми числами. Проблемы Гольдбаха 205
получим
σ(N )=
p|N
1 −
(p − 1)
1
pN
1+
(p − 1)
2
1
.
3
Таким образом, при четном N особый ряд обращается в нуль, а при
нечетном N имеем
σ(N ) >
p
1 −
1
2
p
pN
1+
(p − 1)
1
3
2
ζ(2)
> 1,
>
ибо при p, большем двух, p − 1 оценивается снизу предшествующим
p простым числом.
Применение кругового метода к бинарной проблеме Гольдбаха, то
есть к задаче о количестве представлений четного числа суммой двух
простых чисел, сразу встречает серьезные трудности. Именно, не удается получить достаточно хорошей оценки интеграла по малым дугам,
поскольку задача не является тернарной. Однако, ее можно сделать
тернарной искусственно, и доказать на этом пути более слабое утверждение: почти все четные числа представимы суммой двух простых
чисел.
Теор е ма 9. Пусть E(x) обозначает количество четных чисел,
не превосходящих x и непредставимых суммой двух простых чисел.
Тогда для любого фиксированного положительного D имеет место
оценка
E(x)
x
.
lnDx
В частности, мощность «исключительного множества» есть o(x).
Эта теорема была доказана в 1938 году независимо Чудаковым, ван
дер Корпутом и Эстерманом. В 1975 году Монтгомери и Вон значительно улучшили оценку E(x), доказав существование положительного δ такого, что
E(x) x
1−δ
.
Наилучшее на сегодняшний день значение δ получено Ли в 2000 году
и составляет 0.086. Отметим также, что в 1924 году Харди и Литтлвуд
в предположении аналога гипотезы Римана для L-функций Дирихле
доказали, что
E(x) x
1
+ε
2
.
206 Глава 4. Круговой метод
Доказательство. Пусть Z(x) обозначает количество четных чи-
сел, лежащих в промежутке (x, 2x] и непредставимых суммой двух
простых чисел. Очевидно, что
N
E(x)=
Z(2−nx)+E(2−Nx)
n=1
при любом натуральном N, следовательно, достаточно показать, что
Z(x) есть O(x ln
количество четных чисел, лежащих в промежутке (x, 2x], непредставимых суммой двух простых чисел и имеющих не более ln
лителей, поскольку количество четных чисел n в промежутке (x, 2x],
удовлетворяющих неравенству τ (n) > ln
−D
x). Для этого, в свою очередь, достаточно оценить
D+1
D+1
x, есть O(x ln−Dx).Дей-
x де-
ствительно, суммируя последнее неравенство по указанным числам и
пользуясь теоремой 17 главы 1, найдем
x
x<2m2x
τ(2m)>ln
D+1
ln
D+1
Возьмем произвольное натуральное число N ,ипустьn
— любые четные числа, лежащие в промежутке (x, 2x] и такие, что
τ(n
шений уравнения p
) ln
j
D+1
x при j =1,...,N. Через J (x, N) обозначим число ре-
+ p2= n,гдеn пробегает числа n1,...,nN.Итак,
1
x
1
τ(n) x ln x.
n2x
,...,n
1
мы сделали задачу тернарной. Пусть A и B — фиксированные поло-
−A
жительные числа. Введем параметры τ = xL
и Q = LB, обозначая
для краткости ln x через L. Рассуждая так же, как и в доказательстве
теоремы 8, представим искомое число решений в виде интеграла
1
J(x, N )=
1+
τ
S2(α)
1
τ
N
j=1
−2πiαn
e
j
dα,
N
где введено обозначение
p2x
2πiαp
e
.
S(α)=
Разбиение отрезка интегрирования на большие и малые дуги проводится в точности так же, как в доказательстве предыдущей теоремы.
§ 3. Задачи с простыми числами. Проблемы Гольдбаха 207
Вначале оценим интеграл по малым дугам. Вынося из-под знака
интеграла максимум модуля суммы S(α) на множестве E
, затем рас-
2
пространяя интеграл на весь отрезок и применяя неравенство Коши,
имеем
S2(α)
E
2
N
j=1
−2πiαn
e
×
j
dα
max
1+
τ
1
τ
|S(α)|×
α∈E
2
1
|S(α)|2dα ·
1
1
N
1+
τ
−2πiαn
e
1
τ
j=1
2
2
j
dα
.
Как мы уже выяснили при доказательстве теоремы 8, для любого α
из множества E
найдется рациональное приближение, знаменатель
2
которого удовлетворяет неравенствам Q<q τ . Отсюда, применяя
теорему 3 главы 3, находим
max
|S(α)|xL
α∈E
2
2
1
τ
+
x
+ e
Q
√
1
−
L
2
xL
A
−
+2
2
+ xL
B
−
+2
2
.
Далее, поскольку интегралы от квадратов модулей тригонометрических сумм вычисляются точно и равны, соответственно, π(2x) и N ,
получим
3−A
1
3
2
2
J(x, N )=J
где J
(x, N ) обозначает интеграл по большим дугам.
1
Рассмотрим интеграл J
тура множества чисел n
(x, N )+O(N
1
(x, N ). Поскольку арифметическая струк-
1
нам неизвестна, сделаем суммирование по j
j
2
x
L
+ N
внешним. Пользуясь тем, что составляющие множество E
3−B
1
3
2
2
2
x
L
),
интервалы
1
не пересекаются, найдем
(x, N )=
J
1
N
j=1
qQ
q
h=1
(h,q)=1
qτ
−
qτ
h
2
+ ze
S
1
q
−2πi
(
h
q
+z)n
j
dz.
1
При доказательстве теоремы 8 мы получили асимптотическую формулу для суммы S(α) в окрестности рациональной точки. Применение
этой формулы к последнему равенству с учетом выбора параметров
208 Глава 4. Круговой метод
Q и τ приводит нас к соотношению
J
(x, N )=
1
N
j=1
μ2(q)cq(nj)
qQ
ϕ2(q)
1
−
qτ
1
qτ
2<n2x
2πizn
e
ln n
2
−2πizn
e
+ ONxe
j
−c√L
dz +
.
Следуя доказательству теоремы 8, распространим интеграл в правой
1
части на отрезок [−
1
qτ
1
−
qτ
2<n2x
2πizn
e
ln n
2
1
,
2
2
−2πizn
e
],чтодает
j
dz = κ(nj)+O(qτ)=κ(nj)+O(xL
B−A
где введено обозначение
κ(n
)=
j
1
−
2
1
2
2<n2x
2πizn
e
ln n
2
−2πizn
e
j
dz.
Для особого интеграла в этом случае нам будет нужна не асимптотическая формула, а всего лишь нижняя оценка. Последнюю легко
получить, обращая порядок суммирования и интегрирования и пользуясь соотношением ортогональности. Вспоминая, что n
заключено
j
в пределах от x до 2x, имеем
κ(n
)=
j
n+m=n
2<n,m2x
ln n ln m
j
1
ln2x
1
2<n,m2x
n+m=n
j
1
x
ln2x
,
),
причем постоянная в знаке Виноградова абсолютна. Пользуясь тривиальной оценкой суммы Рамануджана и затем оценивая функцию
Эйлера снизу, для интеграла по большим дугам находим
(x, N )=
J
1
N
j=1
κ(nj)
μ2(q)cq(nj)
qQ
ϕ2(q)
+ O(NxL
B−A+1
).
Теперь распространим суммирование по q в последней формуле
до бесконечности. В ходе доказательства теоремы 8 мы установили
мультипликативность суммы Рамануджана как функции переменной
§ 3. Задачи с простыми числами. Проблемы Гольдбаха 209
q. Так как наличие функции Мебиуса в качестве множителя фактически ограничивает суммирование только бесквадратными q, пользуясь
задачей 2 к §1 главы 2, в этом случае имеем
|c
q(nj
)| =
|cp(nj)| =
p|q
(p − 1) = ϕ((q,nj)) ϕ(nj).
p|(q,nj)
Итак, особый ряд σ(n
) есть абсолютно сходящийся ряд мультипли-
j
кативных функций, а значит
σ(n
j
)=
∞
μ2(q)cq(nj)
q=1
ϕ2(q)
=
p|n
j
1+
1
p − 1
1 −
pn
j
(p − 1)
1
2
в силу тождества Эйлера. Оценим ту часть особого ряда, которая соответствует q, превосходящим Q. Группируя слагаемые по значениям
d =(q, n
) и опуская условие взаимной простоты
j
j
ϕ(d)
r>
μ2(rd)
ϕ2(rd)
Q
d
μ2(q)|cq(nj)|
q>Q
ϕ2(q)
d|n
d|n
j
q
и
d
1
ϕ(d)
n
j
, получим
d
ϕ2(r)
Q
r>
d
1
.
Здесь мы воспользовались тем, что r и d взаимно просты, так как их
произведение бесквадратно. Оценивая функцию Эйлера снизу (при
этом следует иметь в виду, что Q/d может быть как растущим, так и
близким к нулю), находим
μ2(q)|cq(nj)|
q>Q
ϕ2(q)
(ln ln Q)
2
d
Q
d|n
j
ϕ(d)
(ln ln Q)
2
ln L
τ(n
Q
j
) L
D−B+2
,
ибо, напомним, числа n
восходит L
D+1
. Представив, как и в предыдущем абзаце, особый ин-
таковы, что количество их делителей не пре-
j
теграл в виде суммы, нетрудно оценить его сверху как O(x).Итак,
N
J
(x, N )=
1
σ(nj)κ(nj)+O(NxL
j=1
B−A+1
+ NxL
D−B+2
),
210 Глава 4. Круговой метод
при этом в силу четности n
для особого ряда имеет место нижняя
j
оценка
σ(n
j
) >
p|n
j
1+
1
p − 1
p
1 −
1
2
p
2
ζ(2)
> 1,
>
ибо при p, большем двух, p − 1 оценивается снизу предшествующим
p простым числом.
Собирая вместе полученные соотношения и выбирая параметры
A = D +11 и B = D +7, для искомого числа решений J (x, N ) имеем
N
J(x, N )=
σ(nj)κ(nj)+O(NxL−3+ N
j=1
1
3
D
−
2
x
−2
2
2
L
).
Отсюда, пользуясь нижними оценками особого интеграла и особого
ряда, получаем, что
1
3
D
−
2
x
при N>c
J(x, N ) c
xL−D,гдеc3= c
3
NxL−2− c2N
1
2
2
/c
. Итак, среди любых N четных чисел
2
1
из промежутка (x,2x], имеющих не более L
ся представимые суммой двух простых, если N больше c
−2
2
2
L
> 0
D+1
делителей, найдут-
xL−D.Но
3
это как раз и означает, что среди всех принадлежащих промежутку
D+1
(x, 2x] четных чисел, имеющих не более L
xL−Dнепредставимы суммой двух простых чисел.
шее c
3
делителей, самое боль-
Задачи к §3
1. Доказать, что
1
0
pN
2. Пусть k — фиксированное натуральное число, не меньшее трех,
(N) обозначает количество представлений натурального N сум-
и J
k
мой k простых чисел. Доказать, что
4
2πiαp
e
J
k
dα =
(N)=σk(N)
3
2N
3ln4N
p
k−1
N
(k − 1)! lnkN
1+
1
(p − 1)
+ O
3
+ O
3
k−1
N
k+1
ln
N
ln5N
,
N
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]