Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
§ 2. Сумматорные функции. Формула Перрона 21
, I2, I3обозначают интегралы по левой, верхней и нижней сто-
где I
1
ронам контура Γ, соответственно. Оценивая эти интегралы по абсо-
лютной величине, найдем
T
|, |I3|
|I
2
−U
x
1
|
|I
1
2π
−T
b
−U
x
n
1
2π
dt
n
U
σ
dσ
T
=
2πT
1
T
πU
−U
x
,
n
b
x
n
−1
x
ln
.
n
Откуда, переходя к пределу при U →∞, при n<x− 1 получим
1
2πi
b+iT
b−iT
s
x
ds
n
=1+O
s
1
T
b
x
ln
n
−1
x
.
n
Пусть теперь n>x+1. Выбирая произвольно большое число U , рас-
смотрим прямоугольный контур с вершинами в точках b ± iT , U ± iT .
Проводя аналогичные рассуждения, придем к равенству
1
2πi
b+iT
b−iT
= O
1
T
s
x
ds
n
s
b
x
ln
n
−1
x
.
n
Наконец, при |n − x| 1 оценим рассматриваемый интеграл тривиально
1
2πi
b+iT
b−iT
s
x
ds
n
s
x
n
2
T
b
b
−T
0
√
b
dt
t2+ b
dt
+2
b
2
2
T
b
ln
+1.
b
T
dt
b
t
b
Собирая вместе полученные оценки, имеем
∞
n=1
a(n)
1
2πi
=
b+iT
b−iT
n<x−1
s
x
ds
n
s
a(n)+O2
=
T
+1
b
1
T
|n−x|>1
b
ln
+
|n−x|1
|a(n)|
|a(n)| +
b
x
n
−1
x
ln
,
n
22 Глава 1. Метод комплексного интегрирования
причем наличие первого слагаемого в остаточном члене позволяет, не
нарушая равенства, заменить предел суммирования в главном члене
с x − 1 на x. Разобьем второе слагаемое в остаточном члене на две
x
суммы: по |n − x| >
, соответственно. При |n − x| >
S
2
суммы S
находим оценку
1
b
x
S
1
T
ипо1 < |n − x|
2
|a(n)|
b
n
x
|n−x|>
2
x
T
С другой стороны, при 1 < |n − x|
b
2
S
2
T
1<|n−x|
ln
x
2
n
x
−1
2
b
T
max
x
n
2
1<|n−x|
x
имеем | ln
2
∞
b
|a(n)|
n=1
x
имеем
2
|a(n)|
3x
2
x
2
x
, обозначая их через S1и
2
x
n
b
n
n
− 1
x
| > ln
x
T (b −a)
−1
x
2
3
, откуда для
2
b
.
α
|a(n)|,
max
3x
n
2
ибо s/ ln(1 + s) есть аналитическая в круге |s| < 1 функция. Итак, для
суммы S
S
2
2
справедлива оценка
2
x
b
T
1<|n−x|
x
2
1
|n − x|
|a(n)|2
max
x
3x
n
2
2
x ln x
b
max
n
3x
2
|a(n)|,
x
T
2
что и требовалось.
Задачи к §2
1. Доказать, что функция
∞
F (s)=se
Cs
n=1
является целой и имеет только простые нули при s =0, −1, −2,....
2. Пусть C — постоянная Эйлера,
C = lim
N→∞
1+
1
1
+
+ ...+
2
3
1+
s
n
N
s
−
n
e
1
− ln N.
§ 2. Сумматорные функции. Формула Перрона 23
Тогда при Re s>0 справедливо равенство
1
F (s)
∞
=
0
e−xx
s−1
dx.
Указание. Рассмотреть интеграл
N
I
N
(s)=
0
1 −
N
x
s−1
x
N
dx.
Из приведенных задач следует, что гамма-функция Эйлера задается при любом комплексном s равенством
∞
Γ(s)=
e
−Cs
n=1
1
s
1+
−1
s
n
s
n
e
.
Гамма-функция не имеет нулей, а в точках s =0, −1, −2,... имеет по-
люсы первого порядка.
3. (Интегральный вариант формулы Перрона)Пусть
∞
n=1
a(n)
s
n
,
F (s)=
причем этот ряд абсолютно сходится при Re s>a 0, и при b>a
B(b)=
1
∞
|A(u)|
du, A(u)=
b+1
u
a(n).
nu
Доказать, что при x 2, T 2 имеет место формула
где
x
A(u)du =
1
R(x) B(b)
b+1
x
T
1
2πi
+2
b
b+iT
b−iT
x ln x
F (s)x
s(s +1)
+lnTmax
T
s+1
ds + R(x),
x
2
u
|A(u)|,
3x
2
причем постоянная в знаке Виноградова абсолютна. Указание. Дей-
ствовать аналогично доказательству теоремы 7, пользуясь представлением теоремы 6 для F (s).
24 Глава 1. Метод комплексного интегрирования
§ 3. Дзета-функция Римана.
Функциональное уравнение
Мы начнем с доказательства формулы суммирования Эйлера, имеющей многочисленные приложения. Введем вспомогательные функции
1
(x)=
−{x},σ(x)=
2
Эти функции обладают очевидными свойствами
а) (x) и σ(x) периодичны с периодом 1;
1
б) (n)=
в) |(x)|
и σ(n)=0для любого целого n;
2
1
и 0 σ(x)
2
1
для любого вещественного x.
8
Теорема 8 (формула суммирования Эйлера). Пусть f(x)
— комплекснозначная дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. Тогда имеет место равенство
f(n)=
a<nb
b
f(x) dx + (b)f (b) −(a)f (a)+
a
+ σ(a)f
(a) − σ(b)f(b)+
0
x
(u) du.
b
σ(x)f(x) dx.
a
Доказательство. Применим к сумме в левой части преобразование Абеля, что приводит нас к соотношению
b
a<nb
f(n)=f (b)
= f(b)([b] −[a]) −
1 −
a<nb
1f(x) dx =
a
a<nx
b
([x] − [a])f(x) dx,
a
откуда, выражая целую часть через дробную и далее через функцию
(x), а затем интегрируя по частям, найдем
a<nb
f(n)=
b
f(x) dx + (b)f (b) −(a)f (a) −
a
b
(x)f(x) dx.
a
Мы получили упрощенный вариант формулы суммирования Эйлера,
который также часто используется.
§ 3. Дзета-функция Римана. Функциональное уравнение 25
Допустим, интервал (a, b) не содержит целых точек, то есть функция (x) непрерывна на (a, b).Тогда
b
−
(x)f(x) dx = −
a
b
f(x) dσ(x)=
a
= σ(a)f
(a) − σ(b)f(b)+
b
σ(x)f(x) dx.
a
Если же интервал (a, b) содержит целые точки, то, разбив его на интервалы, таких точек не содержащие, и действуя аналогично предыдущему случаю, получим требуемое.
При Re s>1 дзета-функция Римана определяется равенством
∞
1
n=1
.
s
n
ζ(s)=
Поскольку ряд Дирихле сходится равномерно в полуплоскости Re s
1+ε, дзета-функция Римана является аналитической в полуплос-
кости Re s>1. Кроме того, согласно тождеству Эйлера в этой полу-
плоскости
ζ(s)=
p
1 −
−1
1
.
s
p
Наконец, как уже отмечалось в §1, ζ(s) не имеет нулей в полуплоско-
сти Re s>1.
С помощью формулы суммирования Эйлера получим аналитическое продолжение ζ(s) в полуплоскость Re s>0.
Теор е ма 9. При Re s>0, N 1 имеет место равенство
ζ(s)=
N
n=1
1−s
1
N
+
s
n
s − 1
1
−
N
2
−s
+ s
∞
(u)
du.
s+1
u
N
Доказательство. Полагая M>Nи применяя упрощенный вари-
ант формулы суммирования Эйлера, получим
N<nM
1
n
M
du
1
=
s
=
N
1−s
N
s − 1
u
M
+
s
2
1
−s
−
N
2
−s
−
1
−
2
M
s − 1
N
1−s
−s
M
M
−s
(u)
du =
s+1
u
N
M
+ s
(u)
s+1
u
N
+ s
1
+
2
du.
26 Глава 1. Метод комплексного интегрирования
Переходя к пределу при M →∞, в полуплоскости Re s>1 имеем
ζ(s) −
N
n=1
1
n
1−s
N
=
s
s − 1
1
−
N
2
−s
+ s
∞
(u)
du.
s+1
u
N
Последний интеграл есть функция, аналитическая в полуплоскости
Re s>0. Согласно принципу аналитического продолжения получаем
требуемое.
Таким образом, ζ (s) аналитична в полуплоскости Re s>0 за исключением точки s =1, где она имеет полюс первого порядка с выче-
том 1.
Теперь докажем функциональное уравнение дзета-функции Римана, которое связывает значения в точках s и 1 − s, давая тем самым
аналитическое продолжение ζ(s) на всю комплексную плоскость. Нам
понадобится вспомогательное утверждение.
Теорема 10. Пусть x>0 и функция θ(x) задана равенством
+∞
−πn2x
θ(x)=
e
n=−∞
.
Тогда имеет место соотношение
√
1
θ
x
=
xθ(x).
Доказательство. Пусть x — фиксированное число. Выберем па-
4
раметры N>10 и M = N
I(n)=
.При|n| N рассмотрим интегралы
1
2
sin π(2M +1)u
1
−
sin πu
2
−πx(n+u)
e
2
du.
Пользуясь известным свойством ядра Дирихле
1
2
sin π(2M +1)u
1
−
2
sin πu
du =
1
M
−
2
1
2
k=−M
2πiku
e
du =
k=−M
1
M
2
2πiku
e
1
−
2
приходим к соотношению
1
I(n)=e
−πxn
2
2
+
sin π(2M +1)u
1
−
sin πu
2
−πx(n+u)
e
2
− e
−πxn
2
du =1,
du.
§ 3. Дзета-функция Римана. Функциональное уравнение 27
Разобьем интеграл в правой части последнего равенства на три
интеграла I
, I2и I3по отрезкам [N−3,
1
1
], [−N−3,N−3] и [−
2
1
, −N−3],
2
соответственно, и оценим каждый из них сверху. По теореме Лагран-
1
жа о конечных приращениях при |u|
−πx(n+u)
e
откуда находим для интеграла I
I
N
2
ибо | sin πu| 2u при |u|
2
− e
оценку
2
−3
N
0
1
. Интегралы I1и I3оцениваются одина-
2
ково, поэтому рассмотрим только I
−cos π(2M +1)u
I
=
1
π(2M +1)sinπu
−
1
2
cos π(2M +1)u
−3
N
−πx(n+u)
e
π(2M +1)
π cos πu
+
sin2πu
2
имеем
2
2
−πxn
Nu,
udu
sin πu
. Интегрируя по частям, имеем
1
− e
2πx(n + u)e
−πxn
1
2
N
1
2
2
N
−πx(n+u)
sin πu
−πx(n+u)
e
,
−
−3
2
+
−πxn
2
2
− e
du.
Действуя аналогично предыдущему, получим, что внеинтегральный
−1
член есть O(NM
−1
есть O(Nu
), откуда
), а выражение в скобках в последнем интеграле
1
2
N
N
+
I
1
M
M
−3
N
du
u
N lnN
M
1
.
2
N
Выполняя суммирование по n с учетом полученных оценок, нахо-
дим
N
n=−N
I(n)=
N
n=−N
−πxn
e
2
+ O
1
.
N
С другой стороны, представляя ядро Дирихле в виде суммы мнимых
28 Глава 1. Метод комплексного интегрирования
экспонент и меняя порядок суммирования, имеем
1
N
n=−N
2πiku−πxu
e
−
2
1
2
k=−M
2
M
du =
e
2πiku−πx(n+u)
M
k=−M
N+
−N−
2
du =
1
2
2πiku−πxu
e
1
2
2
du.
=
M
k=−M
N
n=−N
N
n=−N
I(n)=
n+
1
n−
2
1
2
Вычислим последний интеграл, для чего рассмотрим прямоугольный контур с вершинами в точках ±(N +
1
), ±(N +
2
1
)+ikx−1.Так
2
как подынтегральная функция аналитична внутри этого контура, интеграл по нему равен нулю в силу теоремы Коши. Отсюда, оценивая
интегралы по боковым сторонам контура тривиально, находим
ибо
N+
−N−
+ O(|k|e
1
2
2πiku−πxu
e
1
2
= e
−πxN
−
∞
N+
πk
2
x
1
2
2
du =
)=e
+∞
−∞
−πxu
e
−
2
−N−
2
πk
x
−πxu
e
du
1
N+
2
2πik(u+ikx−1)−πx(u+ikx−1)
e
1
2
1
N+
2
1
−N−
2
2
du + O((|k| +1)e
∞
N
−πxu
e
−πxu
e
2
du + O(|k|e
du e
−πxN
−πxN
−πxN
),
.
2
du +
)=
Вычислим несобственный интеграл в правой части последнего равенства
+∞
−∞
−πxu
e
2
du =2
∞
0
−πxu
e
2
du =
√
1
πx
∞
0
e−vv
−
1
2
dv =
Γ(
√
1
2
πx
)
1
√
=
x
Собирая вместе полученные оценки, приходим к соотношению
N
n=−N
−πxn
e
2
+ O
1
N
√
=
1
x
N
k=−N
4
2
πk
−
x
e
+ O(N8e
4
−πxN
),
.
и доказательство завершается переходом к пределу при N, стремя-
щемся к бесконечности.
§ 3. Дзета-функция Римана. Функциональное уравнение 29
Идея доказательства этой теоремы лежит в основе так называемой
формулы суммирования Пуассона. Перейдем теперь к доказательству
функционального уравнения ζ(s).
Теорема 11 (функциональное уравнение дзета-функции
Римана). Функция ζ (s) аналитически продолжается на всю ком-
плексную плоскость за исключением точки s =1 и удовлетворяет
тождеству
s
s
−
2
π
Γ
ζ(s)=π
2
1−s
−
2
Γ
1 − s
2
ζ(1 − s).
Доказательство. В полуплоскости Re s>1 имеем
s
2
N
n=1
n
−s
−πn2u
e
∞
0
2
s
−1
2
e−xx
u
dx =
s
−1
2
du.
u. Рассмотрим вспомо-
N→∞
N→∞
N
n=1
0
−
π
∞
s
s
−
2
π
Γ
ζ(s) = lim
2
= lim
Здесь мы сделали замену переменной x = πn
гательную функцию
∞
−πn2u
ω(u)=
Из ее определения следует, что ω(u) e
10 следует, что ω(u) u
s
s
−
2
π
Γ
ζ(s)=
2
∞
s
2
u
0
e
n=1
1
−
2
при u → 0. Таким образом,
−1
ω(u) du − lim
=
N→∞
θ(u) − 1
−πu
.
2
при u →∞, а из теоремы
∞
0
n>N
−πn2u
e
s
−1
2
du,
u
причем первый интеграл в правой части сходится. Оценивая выражение в скобках, получим
n>N
−πn2u
e
∞
e
N
minu
−πx2u
1
−
2
dx =
, (Nu)−1e
1
2√πu
−πN2u
πN
∞
2
u
e−vv
−
1
2
dv
,
30 Глава 1. Метод комплексного интегрирования
что сразу приводит нас к оценкам интегралов
1
∞
1
2
N
0
2
N
n>N
n>N
−πn2u
e
−πn2u
e
s
−1
2
du
u
s
−1
2
u
du
1
N
1
2
N
σ−3
2
u
−πN2u
du =
σ
2
u
0
∞
e
1
2
N
2N
−2
du N
1−σ
σ − 1
,
1−σ
.
Поскольку Re s>1, оба выражения стремятся к нулю при N,стремящемся к бесконечности. Таким образом, в полуплоскости Re s>1
справедливо равенство
s
s
−
2
π
ζ(s)=
Γ
2
∞
s
−1
2
u
0
ω(u) du.
Рассмотрим часть этого интеграла, соответствующую промежутку
v
1
2
−1−
s
2
dv =
−
s
2
−1
и пользуясь теоремой 10, имеем
s
2
ω(v−1) dv =
∞
1
ω(v) dv =
√
s(s − 1)
vω(v)+
1
1
∞
θ
v
√
2
v
−
2
∞
1
+
1
− 1
1
2
−
v
1
2
−1−
v
−1−
v
s
−
2
ω(v) dv.
s
2
dv =
s
2
dv =
(0, 1). Производя замену u = v
1
s
−1
2
u
1
s − 1
ω(u) du =
√
∞
1
vθ(v) − 1
2
1
−
s
0
=
=
∞
1
−1−
v
∞
+
−
v
1
Итак, в полуплоскости Re s>1 имеет место формула
s
s
−
2
π
ζ(s)=
Γ
2
1
s(s − 1)
∞
s
−1
+
2
u
1
+ u
1
s
−
−
2
2
ω(u) du.
Последний интеграл есть целая функция комплексного переменного
s, так что по принципу аналитического продолжения получаем, что
дзета-функция Римана задается равенством
ζ(s)=
1
s
s
−
2
π
Γ
2
1
s(s − 1)
∞
s
−1
2
u
+
1
+ u
1
s
−
−
2
2
ω(u) du
при любом комплексном s, кроме s =1, так как полюс первого поряд-
ка при s =0 гасится нулем функции 1/Γ(
s
). Наконец, правая часть
2
предпоследнего равенства не меняется при замене s на 1 − s, что до-
казывает функциональное уравнение ζ(s).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]