Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
§ 4. Метод ван дер Корпута. Проблема Гаусса 91
откуда, оценивая сумму дробных долей тривиально, получаем результат Гаусса
K(R)=πR + O(
√
R).
Для того, чтобы получить более точную оценку остаточного члена,
нужно найти асимптотическую формулу для суммы
σ =
x√R/2
Выберем параметры r =[lnR], 0 < Δ <
{R − x2}.
1
,ипустьΔ β −α 1 −Δ.
8
Согласно теореме 3 нам достаточно вычислить сумму
σ
0
=
x√R/2
g(R − x2),
где g(x) — «стаканчик» Виноградова, отвечающий параметрам r, Δ,
α, β. В силу теоремы 1 функция g(x) разлагается в ряд Фурье вида
+∞
g(x)=β −α +
m=−∞
m=0
ame
2πimx
,
причем для ее коэффициентов Фурье справедлива оценка
|a
m
| min
1
π|m|
,
π|m|
1
r
π|m|Δ
r
.
Используя приведенное разложение Фурье в выражении для суммы
, имеем
σ
0
σ
=(β − α)
0
Оценивая внутреннюю сумму при |m| > Δ
зуясь оценками коэффициентов a
a
m
|m|>Δ−1ln R
x√R/2
R
2
2πim√R−x
e
√
+∞
+
m=−∞
m=0
R
m>Δ−1ln R
a
m
x√R/2
−1
и выбором параметра r, находим
m
2
1
m
2πim√R−x
e
ln R тривиально и поль-
r
r
πmΔ
2
.
√Rπ−r 1
92 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
и, следовательно,
2
+1.
σ
=(β − α)
0
1
m
x√R/2
−2πim√R−x
e
R
+ O
2
mΔ−1ln R
Заменим внутреннюю сумму более короткой. Применим к ней теорему 5, полагая f (x)=−m
√
R − x2. Нетрудно проверить, что при
a =0,b=
R/2,H=1,A=√R/m, U =R/2
все условия теоремы выполнены, а поскольку
√
f
(x)=
√
R − x
mx
,xn=
2
n
√
n2+ m
R
,f(x)=
2
mR
(R − x2)
3/2
,
то для рассматриваемой суммы будет справедливо представление
−2πi√R(n2+m2)
x√R/2
−2πim√R−x
e
πi
2
4
= e
mR
1
4
nm
e
(n2+ m2)
+ O(R
3/4
1
1
−
4
2
m
+
+ln(m +2)).
Оценивая сумму в правой части тривиально и используя результат в
выражении для суммы σ
σ
0
, получим
0
=(β − α)
R
2
+ O(R
√
1
1
−
4
2
Δ
ln R),
что согласно теореме 3 дает для суммы σ асимптотическую формулу
Выбирая Δ=R
σ =
−
1
R
+ O(Δ
2
2
1
1
3
6
ln
R и подставляя полученное выражение в фор-
√
R + R
√
1
1
−
4
2
Δ
ln R).
мулу для величины K(R), приходим к результату Серпинского
K(R)=πR + O(R
1
1
3
3
ln
R).
§ 4. Метод ван дер Корпута. Проблема Гаусса 93
Для того, чтобы еще уточнить оценку остаточного члена, надо оценить сумму в правой части нетривиально, что мы и сделаем, применив
метод ван дер Корпута. Совершая преобразование Абеля, найдем
−2πi√R(n2+m2)
e
(n2+ m2)
nm
где m
m. Для оценки получившейся суммы используем теорему 9,
1
полагая k =5и f (n)=−
(5)
(n)=15√R(n2+ m2)
f
m
3/4
R(n2+ m2), при этом
3
−
2
−
−2πi√R(n2+m2)
e
nm
1
9
2
m2(4n3− 3nm2).
,
На промежутке (0,m
(5)
ся нулем f
(n), кроме того, f
считать, что m 10. Разобьем промежуток (0,n
межутков E
ток (n
F
/2,m1] на O(ln m) промежутков F0=(n0− 1,n0+1],атакже
0
=(n0+2
l
=(0,1] и El=(2
0
l−1
,n0+2l] и F−l=(n0− 2l,n0− 2
зависимости от значений m и m
] может лежать точка n0= m√3/2, являющая-
1
(5)
(0) = 0. Не теряя общности, можно
/2] на O(ln m) про-
l−1
, 2l] с натуральным l, а промежу-
могут присутствовать не все указан-
1
0
l−1
] с натуральным l.В
ные промежутки, а крайние могут быть неполными. При l 1 длина
промежутков E
, F±lравна 2
l
поэтому применение теоремы 9 с λ
n∈El,F
−2πi√R(n2+m2)
e
±l
l−1
, а при n ∈ El,F±lимеем
(5)
|f
(n)|√Rm−52l,
5
2l(√Rm−52l)
=√Rm−52lприводит к оценке
1
7
+2
8
l
(√Rm−52l)
30
1
−
30
,
откуда, суммируя по l и добавляя тривиальную оценку сумм по промежуткам E
nm
Здесь мы пользовались тем, что наибольшее значение 2
и F0, находим
0
−2πi√R(n2+m2)
e
1
m(√Rm−4)
30
1
+ m
7
8
(√Rm−4)
1
−
30
.
l
не превосхо-
дит m. Собирая вместе полученные оценки, окончательно имеем
mΔ−1ln R
7
30
+ R
1
m
x√R/2
mΔ−1ln R
−2πim√R−x
e
59
−
120
m
R
2
R
4
11
−
15
30
Δ
ln R + R
4
15
mΔ−1ln R
7
30
Δ
19
−
30
m
+
61
−
120
ln R,
94 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
откуда в силу теоремы 3 найдем
R
1
σ =
+ O(Δ
2
2
и доказательство завершается выбором Δ=R
√
R + R
4
11
−
15
30
Δ
ln R + R
7
61
−
30
120
Δ
ln R),
1
1
−
−
6
246
.
Наилучший на сегодняшний день результат в проблеме Гаусса по-
лучен Хаксли в 2003 году — показатель при R равен
131
. С другой сто-
416
роны, существует гипотеза, согласно которой этот показатель можно
1
взять равным
4
+ ε.
Задачи к §4
1. Пусть λ1,...,λn∈ Z и J
(P ; λ1,...,λn) — число решений си-
k,n
стемы уравнений
⎧
x
+ ...+ xk− x
1
⎪
⎪
⎪
⎨
2
x
+ ...+ x
1
⎪
⎪
⎪
⎩
n
x
+ ...+ x
1
2
− x
k
...
n
− x
k
− ...− x2k= λ
k+1
2
− ...− x
k+1
n
− ...− x
k+1
в натуральных x1,...,x2k, не превосходящих P.
а) Показать, что J
...
1
2πi(α1x+...+αnxn)
e
0
xP
1
0
(P ; λ1,...,λn) можно записать в виде
k,n
2k
−2πi(α1λ1+...+αnλn)
e
б) доказать оценку
(P ; λ1,...,λn) J
J
k,n
(P ;0,...,0) = J
k,n
в) показать, что
J
(P ; λ1,...,λn)=P2k;
k,n
λ1,...,λ
n
г) доказать оценку
n(n+1)
2k−
J
(P ) (2k)−nP
k,n
2
2
2k
n
2k
;
= λ
= λ
1
2
n
k,n
dα1...dαn;
(P );
§ 4. Метод ван дер Корпута. Проблема Гаусса 95
д) при k n доказать оценку
J
k,n
(P ) n!P
2k−n
.
Указание. В пункте д) использовать свойства симметрических многочленов.
2. Доказать оценку
ζ
5
+ it t
7
1
14
ln t.
3. Доказать оценку
ζ
1
+ it t
2
1
1
−
6
492
ln t.
Указание. При больших N к дзетовой сумме применить теорему 8 и
заменить полученную сумму более короткой, затем применить теорему 9 с k =5. При малых N сразу применить теорему 9 с k =4.
4. Доказать, что
τ(n)=x ln x +(2C −1)x + O(x
nx
1
1
−
3
246
ln2x).
а) пользуясь теоремой 3 аналогично доказательству теоремы 10;
б) пользуясь формулой Вороного (см. теорему 20 главы 1).
Указание. В пункте а) сумму дробных долей разбить на подсуммы
по промежуткам, концы которых различаются в два раза, и применять теорему 3 к каждой подсумме отдельно; в пункте б) перейти к
двойной тригонометрической сумме, пользуясь определением функции τ (n), и преобразовать ее, пользуясь приемом Гаусса-Дирихле.
5. Пусть N (a) обозначает количество точек с целыми координата-
ми в замкнутой области, ограниченной астроидой x
Доказать, что
N(a)=
3πa
8
2
+ O(a
2
1
−
3
123
ln2a).
2/3
+ y
2/3
= a
2/3
6. Применяя формулу Аткинсона (см. задачу 2 к §6 главы 1), доказать, что
nx
τ3(n)=x
1
2
ln
x +(3C −1) ln x + c
2
1
+ O(x
37
+ε
75
).
.
96 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
Указание. Перейти к тройной тригонометрической сумме по klm N
и преобразовать ее, пользуясь формулой включения-исключения: из
трех сумм по k
ем Гаусса-Дирихле) вычесть три суммы по k, l
ветствующие попарным пересечениям, и прибавить сумму по k, l, m
√
3
N, которая отвечает тройному пересечению указанных выше об-
√
3
N, lm N/k (к внутренней сумме применить при-
√
3
N, m N/kl, соот-
ластей.
§ 5. Метод Виноградова. Граница нулей
дзета-функции Римана
Весьма тонкий метод оценки тригонометрических сумм, предложенный Виноградовым, позволил существенно улучшить результаты,
касающиеся поведения дзета-функции Римана в окрестности единичной прямой, а также нашел применение в целом ряде других задач.
Ядром метода является теорема об оценке среднего значения 2k-ой
степени модуля суммы Вейля
J
k,n
(P )=
1
0
...
1
2πi(α1x+...+αnxn)
e
0
xP
где k, n — натуральные, а P 1. Согласно задаче 1,а) к §4 величина
J
(P ) имеет также смысл числа решений системы уравнений
k,n
⎧
x
+ ...+ xk= x
1
⎪
⎪
⎪
⎨
2
x
+ ...+ x
1
⎪
⎪
⎪
⎩
n
x
+ ...+ x
1
2
k
n
k
= x
...
= x
k+1
2
k+1
n
k+1
+ ...+ x
+ ...+ x
+ ...+ x
в натуральных x1,...,x2k, не превосходящих P.
2k
dα1...dαn,
2k
2
2k
n
2k
Теорема 11 (теорема Виноградова о среднем). Пусть τ —
натуральное, k nτ . Тогда справедливо неравенство
J
(P ) DτP
k,n
2k−Δ(τ )
,
где
τ
1
n
,D
=(nτ )
τ
6nτ
(2n)
4n(n+1)τ
Δ(τ)=
n(n +1)
2
1 −1 −
.
§ 5. Метод Виноградова. Граница нулей дзета-функции 97
Согласно задаче 1,г) к §4 для величины J
(P ) имеет место сле-
k,n
дующая оценка снизу
n(n+1)
2k−
J
(P ) (2k)−nP
k,n
2
.
Таким образом, теорема о среднем дает правильный порядок J
при k n
ln n. С другой стороны, поскольку J
(P ) Pk, получить
k,n
2
верхнюю оценку такого порядка при k<n(n +1)/2 нельзя.
Докажем вначале вспомогательное утверждение.
Лемма. Пусть n 2, H =(2n)
ное целое число с условием R P/H, v
X
Пусть V
таких, что разности Vi− V
длинами P
Yi= Xi+ R, причем Yi+ R X
i<vi
= v
i
i(1−1/n)
i
+ ...+ v
1
i
, E — число пар наборов v1,...,vnи v
n
, i =1,...,n. Тогда имеет место оценка
i
E 80H
4
, P>(2n)4n, R — минималь-
,...,vn— целые с условиями
1
, −RH X1, Yn RH .
i+1
1
лежат в некоторых промежутках с
n(n−3)
3n−1
2
2
P
.
В доказательстве решающую роль играет то обстоятельство, что
значения v
Доказательство. Пусть E
что величины V
=1,...,n. Оценим вначале E
Пусть v
в некоторых промежутках с длинами P
Пусть η
минимально, то есть ξs 0. Мы получим верхнюю оценку для ξs,
η
s
считая ξ
отделены друг от друга.
i
— количество наборов v1,...,vnтаких,
1
лежат в некоторых промежутках с длинами P
i
.Пустьs — целое с условием 1 <s n.
1
,...,vnзаданы. Тогда v
s+1
,...,ηsи η1+ ξ1,...,ηs+ ξs— два таких набора, причем
1
> 0. Записывая условия попадания в промежутки, имеем
s
i
+ ...+ v
1
i
, i =1,...,s,тожележат
s
i−1
.
(P )
k,n
,...,v
i−1
, i =
n
(η
+ ξ1)i− η
1
iξ
при i =1,...,s, |θ
i
1
1
ξ1+ ...+
| 1. Если какое-то из ξkравно нулю, заменим
i−1
коэффициент при нем величиной η
+ ξs)i− η
(η
s
iξ
i−1
«по непрерывности». Аналогич-
k
i
θ
ξs=
i−1
i
P
s
s
i−1
98 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
ные замены предполагаются далее по умолчанию. Вводя обозначения
Δ=
(η1+ξ1)−η
(η1+ξ1)i−η
(η1+ξ1)s−η
1
ξ
1
... ... ... ... ...
i
1
iξ
1
... ... ... ... ...
s
1
sξ
1
...
...
...
(ηj+ξj)−η
ξ
j
(ηj+ξj)i−η
iξ
j
(ηj+ξj)s−η
sξ
j
j
...
i
j
...
s
j
...
(ηs+ξs)−η
(ηs+ξs)i−η
(ηs+ξs)s−η
sξ
s
ξ
s
i
s
iξ
s
s
s
s
и
заметим, что последний столбец определителя Δ
последний столбец определителя Δ, к которому прибавлена ли-
на ξ
s
Δ
=
(η1+ξ1)−η
(η1+ξ1)i−η
(η1+ξ1)s−η
1
ξ
1
... ... ... ... ...
i
1
iξ
1
... ... ... ... ...
s
1
sξ
1
...
...
...
(ηj+ξj)−η
ξ
j
(ηj+ξj)i−η
iξ
j
(ηj+ξj)s−η
sξ
j
j
... θ
i
j
...
s
j
...
0
θ
i−1
i
θ
s−1
s
есть умноженный
i−1
,
P
s−1
P
нейная комбинация первых s − 1 столбцов, следовательно
Δξ
− Δ=0.
s
Разложим оба определителя в этом равенстве по элементам первого
столбца и, рассматривая результат как разность значений некоторой
функции от v
при v1= η1+ ξ1и v1= η1, применим формулу конеч-
1
ных приращений Лагранжа, а затем опять запишем результат в виде
определителей. Проведя такое преобразование с первыми s − 1 столб-
цами и затем с последним столбцом, но только для первого определителя (в случае ξ
где
=0преобразование проводить не нужно), получим
k
− Δ
s
i−1
j
s−1
j
=0,
... x
... x
i−1
s
s−1
s
,
Δ
Δ
sξs
1 ... 1 ... 1
... ... ... ... ...
i−1
=
s
... x
x
1
... ... ... ... ...
s−1
x
... x
1
§ 5. Метод Виноградова. Граница нулей дзета-функции 99
а
причем X
i<xi
Разлагая определитель Δ
Δ
1 ... 1 ... θ
... ... ... ... ...
i−1
x
=
1
s
... ... ... ... ...
s−1
x
1
... x
... x
i−1
j
s−1
j
Yi.
по элементам последнего столбца, най-
s
...
...
θ
θ
i−1
i
s−1
s
0
i−1
P
,
s−1
P
дем
s−1
Δ
=
s
r=0
Это многочлен степени s − 1 относительно x
ентом Δ
Величина U
, корни которого суть x1,...,x
s−1
Δ
=Δ
s
s−1(xs
— коэффициент этого многочлена при x
r
− x1) ...(xs− x
Urx
r
.
s
со старшим коэффици-
s
, следовательно
s−1
).
s−1
r
, поэтому
s
U
=Δ
r
s−1
1i1<...<i
s−1−r
откуда, пользуясь тем, что модули x
|U
| |Δ
r
s−1
|C
(−x
) ...(−x
i
1
не превосходят RH , получим
s−1−rHs−1−r
r
s−1
s−1
i
R
.
i
s−1−r
),
С другой стороны, разлагая по элементам последнего столбца опре-
делитель Δ
Собирая вместе полученные соотношения, имеем для ξ
Но числа x
, найдем
s
s−1
θ
r +1
r=0
s−1Hs−1
R
r
r
P
Ur.
оценку
s
s−1
r
C
s−1
s−1
)
r=0
r +1
.
=
Δ
s
Δ
s
=
ξ
s
отделены друг от друга, точнее xs− xk R(2s −2k −1)
i
Δ
(xs− x1) ...(xs− x
s
при k =1,...,s− 1, поэтому
s−1
ξ
s
s−1
H
s(2s − 3)!!
r=0
r+1
C
s
s+1
(2
(2s − 1)!!
− 2)H
s−1
,
100 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
где, как обычно, (2s − 1)!! = 3 · 5 · ... · (2s − 1). Пользуясь тем, что
2H
s−1
=2(2n)
4s−4
(2s −1)!!, можно переписать эту оценку в виде
s−1
4H
2 −
1
...s −
2
ξ
s
− 1 4e
1
2
s−1s−sHs−1
− 1,
ибо в силу вогнутости логарифма справедливо неравенство
ln2 −
Таким образом, v
значений, если v
,...,vnлежит в промежутке длины 1, имея не более двух различных
v
2
1
+ ...+lns −
2
при s 2 имеет не более 4e
s
,...,vnфиксированы. Но v1при фиксированных
s+1
значений. Отсюда для величины E
n
1
2
4e
s=2
E
так как при s 4 имеем 4e
Теперь перейдем к оценке величины E. Число наборов v
не превосходит Rn. Для каждого такого набора величины V
лежать в некоторых промежутках с длинами P
на промежутки длины P
i−1
1
2
s−1s−sHs−1
s−1s−s
s
ln xdx = s ln s −s +1.
1
находим оценку
1
8H
1.
s−1s−sHs−1
n(n−1)
2
,
i(1−1/n)
. Разобьем их
различных
,...,v
1
должны
i
, быть может, предварительно чуть расширив; при i = n, очевидно, разбивать не требуется. Количество получившихся в результате систем промежутков не превзойдет
n−1
i=1
1+
P
ибо P>(2n)
1
i(1−
)
n
i−1
P
R
= P
4n
. Далее, так как R P/H +1, имеем
n
P
n
n
H
n−1
2
1+
n−1
i=1
H
P
1+P
n
H
i
−1
n
P
n
P
1+
n
n−1
2
n
1
n
1+
eP
H
n
eP
n−1
2
1
n
n
.
n
n
,
Собирая вместе полученные оценки, приходим к неравенству
E R
n
· eP
n−1
2
· E1 8e2P
3n−1
2
H
n(n−3)
2
,
что и требовалось.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]