Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
§ 3. Решето Сельберга. Теорема Бруна-Титчмарша 141
причем
где f
(d) — вполне мультипликативная функция, определяемая ра-
0
венствами
Доказательство. Пусть λ
с условием λ
=1.Тогда
1
S(A, z)=
n∈A
(n,P (z))=1
S =
d|P (z)
dξ
f
(p)=
0
1=
p|d
f(p)
1 − f(p)
f0(d),
dξ
f(p),p z,
0,p>z.
— произвольные вещественные числа
d
μ(d)
n∈A
d|(n,P (z))
n∈A
d|(n,P (z))
2
λ
.
d
Раскрывая скобки и меняя порядок суммирования, получим
n∈A
d|(n,P (z))
Отсюда понятно, что выражение для мощности множества A
= X
2
λ
d
d1,d2|P (z)
=
d1,d2|P (z)
λ
λ
λ
f([d1,d2]) +
d
d
1
2
λ
d
d
1
2
n∈A
[d1,d2]
d1,d2|P (z)
1=
λ
λ
R
d
d
1
2
[d1,d2]
исполь-
d
.
зуется лишь для d,делящихP (z).
Рассмотрим главный член. Не ограничивая общности, будем предполагать, что суммирование идет только по тем числам d
, на которых
i
f(d) отлична от нуля. Если f(d)=0или d P(z), то соответствующее
значение λ
равным нулю. Так как d
ни на что не влияет и ради удобства может быть принято
d
и d2бесквадратны, а f(d) мультипликатив-
1
на, имеем
d1,d2|P (z)
λ
λ
d
1
f([d1,d2]) =
d
2
d1,d2|P (z)
λ
d
1
f(d1)f(d2)
d
2
f((d1,d2))
λ
.
Введем мультипликативную функцию f
f
1
(p)=
f(p)
1 − f(p)
(d) такую, что
1
142 Глава 3. Метод решета
для любого простого p. Вновь пользуясь бесквадратностью чисел d
и d2, а также теоремой 1,в) главы 1, находим
1
f((d1,d2))
=
p|(d1,d2)
1
f(p)
=
p|(d1,d2)
1+
1
f1(p)
=
k|(d1,d2)
1
f1(k)
.
Таким образом,
d1,d2|P (z)
λ
λ
d
1
f([d1,d2]) =
d
2
d1,d2|P (z)
=
k|P (z)
f1(k)
λ
d
1
λ
f(d1)f(d2)
d
1
2
d|P (z)
d≡0(mod k)
k|(d1,d2)
λdf(d)
2
,
1
f1(k)
=
где, в силу нашего предположения, суммирование идет лишь по тем k,
для которых f (k) не равна нулю, что мы обозначили штрихом возле
знака суммы. Вводя обозначение
u
=
k
d|P (z)
d≡0(mod k)
λdf(d),
перепишем последнее равенство в виде
d1,d2|P (z)
λ
λ
d
1
f([d1,d2]) =
d
2
k|P (z)
f1(k)
2
u
k
.
1
Заметим, что из определения величин u
лю, если f (k)=0или k P (z). Числа λ
быть выражены через u
следующим образом
k
λ
1
=
d
f(d)
k|P (z)
k≡0(mod d)
следует, что они равны ну-
k
при d | P (z) и f(d) =0могут
d
k
μ
.
u
k
d
В самом деле, подставляя это выражение в формулу, определяющую
d|P (z)
, найдем
k
l|P (z)
l≡0(mod d)
l
μ
u
d
=
l
l|P (z)
l≡0(mod k)
u
l
r|
l
μ
kr
l
k
= u
.
k
величины u
d≡0(mod k)
§ 3. Решето Сельберга. Теорема Бруна-Титчмарша 143
Здесь мы пользовались тем, что внутренняя сумма в левой части равна нулю при f(d)=0, и тем, что u
Постараемся выбрать числа λ
возможно меньшим. Положим λ
равно нулю при k P(z).
k
так, чтобы сделать главный член
d
=0при d>ξ, что заодно позволит
d
уменьшить количество слагаемых в остаточном члене. Кроме того, мы
должны учесть требование λ
=1. Из формул для коэффициентов λ
1
следует, что достаточно выбрать числа ukтак, чтобы uk=0при k>ξ,
а также при f(k)=0или k P(z), и чтобы
μ(k)uk=1.
k|P (z)
Разумеется, мы можем считать, что суммирование здесь идет только
по тем значениям k, которые не превосходят ξ и для которых f(k) не
равна нулю. В таком случае имеем f
(k) > 0 и, применяя неравенство
1
Коши, находим
1=
k|P (z)
μ(k)f1(k) ·
kξ
k|P (z)
kξ
μ2(k)f1(k) ·
u
k
f1(k)
k|P (z)
kξ
2
2
u
k
f1(k)
=
k|P (z)
kξ
f1(k) ·
k|P (z)
u
f1(k)
2
k
.
d
Таким образом, при упомянутых ограничениях на величины u
−1
сматриваемый главный член не может быть меньше S
S =
k|P (z)
kξ
f1(k)=
k|P (z)
kξ
p|k
f(p)
1 − f(p)
,где
.
k
рас-
Это минимальное значение достигается в том случае, когда неравенство Коши обращается в равенство, то есть при выборе u
циональным μ(k)f
пропорциональности определяется из условия λ
u
= μ(k)f1(k)/S при k ξ и k | P (z),иuk=0в противном случае,
k
(k) для k ξ и k | P (z). При этом коэффициент
1
=1. Итак, выбирая
1
пропор-
k
имеем для главного члена следующее выражение
λ
λ
f([d1,d2]) = S−1.
d
d
1
d1,d2|P (z)
2
144 Глава 3. Метод решета
Участвующие в этом равенстве оптимальные коэффициенты λ
на-
d
зываются коэффициентами Сельберга.Приd | P (z), d ξ и f(d) =0
их можно найти из оптимальных значений u
по формулам предыду-
k
щего абзаца; если же хотя бы одно из этих условий не выполнено, то
коэффициенты Сельберга равны нулю.
Рассмотрим теперь остаточный член. Вначале оценим коэффициенты Сельберга. Пусть d |P (z), d ξ и f(d) не равна нулю. В этом
μ(k)f
таков
d
1
(k)=
μ(d)f
Sf(d)
1
(d)
r|
r
P (z)
d
ξ
d
f1(r).
случае явный вид коэффициентов λ
λ
1
=
d
Sf(d)
k|P (z),kξ
k≡0(mod d)
k
μ
d
Здесь мы пользовались взаимной простотой и бесквадратностью чисел r и d, которая вытекает из условий суммирования. Так как функции f(d) и f
(p) и теоремой 1,в) главы 1, найдем
f
1
Учитывая, что функция f
(d) мультипликативны, пользуясь выражением f (p) через
1
f
1
f(d)
(d)
f1(p)
=
f(p)
p|d
=
1+f
1
p|d
(r) неотрицательна, получим для коэффи-
1
(p)=
f1(k).
k|d
циентов Сельберга оценку
|λ
d
|
1
S
k|d
f1(k)
r|
P (z)
r
f1(r)
d
ξ
d
1
S
n|P (z)
nξ
f1(n)=1,
ведь представление натурального n произведением kr с указанными
условиями на сомножители если существует, то является единственным. Итак, модули коэффициентов Сельберга не превосходят единицы. Оценивая остаточный член, имеем
[d1,d2]
d1,d2|P (z)
d
ξ
1,d2
|R
[d1,d2]
| =
d|P (z)
dξ
2
|Rd|
d1,d2ξ
[d
1,d2
1,d2
1.
]=d
]=d бу-
d1,d2|P (z)
λ
λ
R
d
d
1
2
Поскольку d бесквадратно, число решений уравнения [d
дет равно 3
ν(d)
, ибо для каждого простого, делящего d, существует
§ 3. Решето Сельберга. Теорема Бруна-Титчмарша 145
только три возможности: оно делит либо только d
либо оба этих числа. Отбрасывая условия d
1,d2
, либо только d2,
1
ξ, получим верх-
нюю оценку
d1,d2|P (z)
λ
λ
R
d
d
1
2
[d1,d2]
d|P (z)
dξ
ν(d)
3
|Rd|
2
dξ
μ2(d)3
2
ν(d)
|Rd|.
Осталось оценить снизу величину S. Пользуясь тем, что f (p) < 1,
а d бесквадратно, имеем
S =
d|P (z)
dξ
f(d)
1+f(p)+f
p|d
2
(p)+...=
d|P (z)
dξ
f(d)
n
(d)
f0(n),
причем значок (d) означает, что суммирование идет лишь по таким n,
в каноническом разложении которых могут встречаться только простые, делящие d. Здесь мы пользуемся определением функции f
(n) и
0
основной теоремой арифметики. Учитывая, что при d | P (z) значения
f(d) и f
(d) совпадают, находим
0
S =
d|P (z)
dξ
f0(d)
n
(d)
f0(n)
f0(m),
mξ
ибо любое m, не превосходящее ξ, в каноническом разложении которого могут встречаться только простые, не превосходящие z,может
быть представлено произведением dn,гдеd — наибольший бесквадратный делитель m,аn таково, что в его каноническом разложении
могут встречаться только простые, делящие d.Еслижеm делится
на простое, большее z,тоf
(p) равны нулю при p>z. Этим доказательство завершается.
f
0
Замечание. В ходе доказательства мы получили справедливое в условиях теоремы 7 соотношение
где λ
— коэффициенты Сельберга.
d
n∈A
λ
d|n
(m) обращается в нуль, так как значения
0
2
= XS−1+ O
d
dξ
2
μ2(d)3
ν(d)
|Rd|,
Проиллюстрируем метод решета Сельберга на примере задачи о
распределении простых чисел в арифметической прогрессии. В этой
задаче, как и во многих других, удобно выбирать ξ равным z.
146 Глава 3. Метод решета
Теорема 8 (теорема Бруна-Титчмарша). Пусть (k,l)=1,
x
. Тогда справедливо неравенство
k
3
π(x; k, l)
2x
ϕ(k)lnx/k
+ O
x ln ln x/k
ϕ(k)ln2x/k
.
Значение этой широко применяемой теоремы состоит в том, что
она дает равномерную оценку π(x; k, l) вплоть до очень больших значений k. В 1973 году Монтгомери и Вон показали, что остаточный
член в правой части неравенства может быть опущен.
Доказательство. Пусть A — множество чисел вида kn + l, не пре-
восходящих x. Легко видеть, что
z
π(x; k, l) S(A, z)+
k
+1.
Для оценки S(A, z) применим решето Сельберга, полагая ξ равным z.
Если (d, k) > 1, то множество A
пусто, ибо d | kn + l влечет (k, l) >
d
> 1.Еслиже(d, k)=1, то числа kn + l вместе с n пробегают полную
систему вычетов по модулю d, поэтому сравнение kn + l ≡ 0(mod d)
1 и
d
kd
x
+ O(1)
имеет в точности одно решение, и множество A
содержит
d
элементов. В обозначениях теоремы 7 имеем X = x/k, R
f(d)=
0, (d, k) > 1,
1
, (d, k)=1.
d
Легко видеть, что f(d) мультипликативна и 0 f(p) < 1. Более того,
поскольку f(d) вполне мультипликативна, она совпадает с функцией
(d) при d z. Итак, применяя теорему 7, получим
f
0
S(A, z)
x
k
(d,k)=1
dz
−1
+ O
μ2(d)3
2
dz
1
d
ν(d)
.
Оценим снизу сумму в главном члене. Пользуясь результатом задачи 3,в) к §1 главы 1, в силу основной теоремы арифметики получим
k
ϕ(k)
=
p|k
1 −
−1
1
p
=
1+
p|k
1
1
+
+ ...=
2
p
p
n
(k)
1
,
n
§ 3. Решето Сельберга. Теорема Бруна-Титчмарша 147
где значок (k) указывает, что суммирование идет по таким n,вканоническом разложении которых могут встречаться только простые,
делящие k. Далее,
n
(k)
1
n
(d,k)=1
dz
1
d
1
rz
ln z,
r
ибо любое r может быть представлено произведением nd, где в каноническом разложении n встречаются только простые, делящие k,ав
каноническом разложении d, напротив, встречаются только простые,
не делящие k. Итак, имеет место оценка
1
ϕ(k)
dz
(d,k)=1
d
ln z.
k
Осталось оценить остаточный член. Поскольку d бесквадратно, а
τ
(p)=3, получим
3
dz
μ2(d)3
2
ν(d)
=
μ2(d)τ3(d)
2
dz
τ3(d) z2ln2z.
2
dz
Здесь мы пользовались результатом задачи 1,а) к §6 главы 1. Собирая
вместе полученные оценки, находим
π(x; k, l)
x
ϕ(k)lnz
+ O(z
2
ln2z).
Доказательство завершается выбором z =
6
можно считать x/k 10
, иначе требуемая оценка следует из триви-
x/k ln−2(x/k), при этом
альной оценки π(x; k, l) 1+x/k.
В отличие от метода Бруна решето Сельберга позволяет получить
только верхнюю оценку величины S(A, z). Для получения нижней
оценки в этом случае удобно пользоваться следующим комбинаторным тождеством, которое в теоретико-числовую практику было введено Бухштабом. Как раз в такого рода приложениях решета Сельберга заметную роль начинает играть параметр ξ.
Теорема 9 (тождество Бухштаба). При z
<z имеет место
1
тождество
S(A, z)=S(A, z
1
) −
S(Ap,p− 1).
z1<pz
148 Глава 3. Метод решета
Как мы видим, имея верхние оценки, которые метод Сельберга
дает для S(A
S(A, z
) в этом случае требуется оценка снизу, асимптотическая фор-
1
,p− 1), можно получить нижнюю оценку S(A, z).Для
p
мула либо точное равенство, что не представляет особых проблем, ес-
невелико. Тождество Бухштаба является одним из важнейших
ли z
1
инструментов в методе решета. Оно может применяться и к комбинаторному решету, позволяя переходить от нижних оценок к верхним и
обратно, взаимно уточняя их, причем этот процесс может повторяться
многократно.
Доказательство. Разность S(A, z
чисел множества A, не делящихся на простые, не превосходящие z
) − S (A, z) равна количеству
1
1
но имеющих хотя бы один простой делитель, не превосходящий z.Эти
числа разбиваются на непересекающиеся классы в зависимости от их
наименьшего простого делителя p, лежащего в промежутке (z
,z].В
1
классе, отвечающем данному p, лежат числа множества A, кратные
p и не имеющие простых делителей, меньших p, а количество таких
чисел есть в точности S(A
,p− 1), что и требовалось.
p
Задачи к §3
1. Доказать, что
π
(x)
2
Указание. Воспользоваться тем, что 2
ство простых делителей n с учетом их кратности.
2. Пусть r(2N ) обозначает количество представлений четного чис-
ла 2N суммой двух простых чисел. Доказать, что
r(2N )
ln2N
Указание. Следуя доказательству теоремы 8, показать, что
x
.
ln2x
Ω(n)
τ (n),гдеΩ(n) — количе-
N
p|N
1+
1
.
p
,
2N
ϕ(2N)
где τ
(d) — число делителей d, взаимно простых с 2N .
τ(d)
dz
d
nz
τ(n)
n
,
§ 4. Решето с весом. Бинарная проблема Гольдбаха 149
3. (Проблема делителей Титчмарша) Доказать, что
τ(p − 1) x.
px
Указание. Пользоваться теоремой Бруна-Титчмарша и задачей 3,ж)
к §1 главы 1.
4. Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел
n таких, что как n, так и n +2имеют не более k простых сомножителей (с учетом кратности), где k — некоторое натуральное число. Ука-
зание. Применить теорему 9 с z
=2, затем теорему 7 с ξ = zα,гдеα
1
— достаточно большое фиксированное число. При рассмотрении суммы в главном члене нужно использовать прием Ранкина (теорема 2),
чтобы оценить сумму по d>ξ. В качестве k следует взять наимень-
шее натуральное число, большее 2α; в этом случае нужно выбрать
1/(β+1)
z = x
,где2α<β<k.
§ 4. Решето с весом. Бинарная проблема Гольдбаха
При получении нижних оценок методом решета мы требовали, чтобы все простые делители чисел просеиваемого множества были больше z, что приводило к ограничению на количество этих делителей —
чем большим мы могли взять z, тем лучше получался результат. Идея
как-то иначе ограничить количество простых делителей впервые была реализована Куном в 1941 году в рамках метода решета Бруна
и заключалась в том, чтобы каждое число просеиваемого множества
учитывать с некоторым весом, то есть вместо величины S(A, z) рассматривать сумму
W (A, z)=
n∈A
(n,P (z))=1
1 −
p|n
w
.
p
Например, если выбрать w
= k−1при z<p y и wp=0в противном
p
случае, то с положительным весом будут учитываться лишь те числа
множества A, которые не имеют простых делителей, не превосходящих z, и имеют не более k −1 простых делителей в промежутке (z, y].
Мы видим, что параметр z фактически заменяется на больший параметр y. Количество же чисел с упомянутыми свойствами оценивается
150 Глава 3. Метод решета
снизу величиной W (A, z), поскольку веса не превосходят единицы. С
другой стороны, имеем
W (A, z)=S(A, z) −
1
k
S(Ap,z),
z<py
и остается лишь оценить S(A, z) снизу, а S(A
,z) сверху, используя
p
стандартный метод Бруна. Это простое соображение позволило значительно усилить результаты, получаемые методом решета, и более
того, оказалось практически универсальным: во-первых, веса можно
вводить не только в решето Бруна, но и в другие решета, а во-вторых,
существует большая свобода выбора коэффициентов w
и даже само-
p
го вида весовой функции.
При построении взвешенного решета Сельберга целесообразно вводить веса не в сумму S(A, z), а в ее приближенное выражение, включающее коэффициенты Сельберга λ
W (A, z)=
n∈A
, то есть рассматривать сумму
d
1 −
p|n
w
p
d|n
2
λ
.
d
Нетрудно видеть, что W (A, z) представляется в виде разности сумм,
первая из которых уже была вычислена асимптотически в ходе доказательства теоремы 7, оценку же второй суммы в случае кусочнопостоянного w
можно получить из следующей теоремы.
p
Теорема 10. Пусть существует мультипликативная функция
f(d) такая, что для любого простого p имеют место неравенства
0 f(p) < 1, а для любого бесквадратного d справедливо представле-
ние
1=Xf(d)+R
n∈A
d
d
с некоторым X>0.Пустьf1(d) — мультипликативная функция
такая, что f
(p)=f(p)/(1 − f (p)) для любого простого p.Пустьве-
1
личина S задается равенством
S =
d|P (z)
dz
f1(d)=
μ2(d)f1(d).
dz
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]