Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая физика. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
М.П. САРИНА
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2016
1
УДК 530.145(075.8)
С 201
Рецензенты:
Баранов А.В., канд. физ.-мат. наук, доцент
Соколов Ю.В., канд. техн. наук, доцент
Работа подготовлена на кафедре прикладной
и теоретической физики для студентов I–II курсов
всех специальностей и всех форм обучения
Сарина М.П.
С 201 Квантовая физика: учеб. пособие / М.П. Сарина. – Новосибирск :
Изд-во НГТУ, 2016. – 131 с.
ISBN 978-5-7782-2896-2
В пособии представлена теория по разделам «Тепловое излучение» и «Основы квантовой механики», разобраны типичные задачи,
подобраны задачи для самостоятельного решения. Учебное пособие
может быть использовано преподавателями и студентами при изучении этих разделов
в курсе физики.
УДК 530.145(075.8)
ISBN 978-5-7782-2896-2 Сарина М.П., 2016
Новосибирский государственный
технический университет, 2016
2
1. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ
1.1. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
Из курса молекулярной физики и термодинамики известно, что при
температуре выше 0 К атомы и молекулы совершают тепловое движение, причем чем выше температура, тем выше кинетическая энергия
теплового движения атомов и молекул. Часть энергии теплового движения может излучаться, поэтому нагретые тела являются источником
электромагнитного
тел, обусловленное нагреванием, называется тепловым излучением.
Экспериментальные исследования показали, что тепловое излучение имеет непрерывный спектр, т. е. на любой частоте имеется некоторая излучаемая энергия. Распределение энергии по частоте зависит от
температуры тела, при этом для всех тел с повышением температуры
общая излученная энергия
смещается в область более коротких длин волн. Так, например, максимум энергии для батареи центрального отопления (
дится на инфракрасную область, Солнце (
гию в видимом диапазоне, а энергия атомного взрыва (
лучается в виде рентгеновского и
Все остальные виды излучения, не обусловленные внутренней
энергией тел, носят название люминесценции. Люминесценция может
возникать, например, при механическом воздействии, когда частицы
налетают на тело.
Поместим нагретое тело в идеально отражающую оболочку (рис. 1.1).
Поскольку температура тела отлична от 0 К ( тело нагрето), то оно
излучает энергию (тепловое излучение). Излученная энергия отражается от внутренних стенок оболочки и опять поглощается телом. Затем
процесс повторяется (излучение – отражение – поглощение и т. д.).
Равновесное излучение – это излучение, при котором распределение
излучения в широком диапазоне частот. Свечение
возрастает, а максимум излученной энергии
) прихо-
350 КT
3
) излучает энер-
6
10 КT
) из-
-излучения.
3
610 КT
энергии между телом и излучением остается
E
B
R
R
R
неизменным для любой длины волны. Другими
словами, сколько энергии поглощается, столько
же ее и излучается для каждой длины волны.
Экспериментально установлено, что равновесное
излучение не зависит от материала излучаемого
тела и его формы, оно зависит только от температуры тела. Равновесное излучение не поляризовано, оно однородно и изотропно (плотность
Рис. 1.1
ческого поля
энергии излучения одинакова во всех точках
пространства, векторы напряженности электри-
и магнитной индукции
ориентированы во всех
направлениях). Тепловое излучение – единственный вид излучения, которое является равновесным.
Для описания спектрального состава теплового излучения рассмотрим энергию
сти в диапазоне частот от
единичный диапазон частот
, излучаемую в единицу времени с единицы поверхно-
dR
до
, называют спектральной плотно-
r
,T
. Энергию, приходящуюся на
d
стью энергетической светимости (спектральной испускательной
способностью). Индексы
и T подчеркивают, что спектральная
плотность энергетической светимости зависит от температуры и частоты. Очевидно, что
dR r d
. (1.1)
ω,ωT
Таким образом, спектральная плотность энергетической све-
тимости – это энергия, излученная в единицу времени с единицы
поверхности тела в единичном диапазоне частот.
Чтобы найти всю энергию
, излученную с единицы поверхности
тела в единицу времени во всем диапазоне частот, нужно проинтегрировать (1.1):
Энергия
dR r d
0
, излученная с единицы поверхности тела в единицу
ω
. (1.2)
ω,
T
времени во всем диапазоне частот называется интегральной испускательной способностью, или энергетической светимостью.
4
Энергетическую светимость
R
R
λ
длины волны
:
можно записать и как функцию от
λ
rd
0
. (1.3)
λ,
T
Связь между
r
ω,T
и
можно найти, применяя известное соот-
r
λ,T
ношение
λ 2π
c
, (1.4)
ω
c
где
– скорость света в вакууме.
Очевидно, что
ωλ
rd rd
ω, λ,
TT
, (1.5)
или
ω
d
Производную
rr
λ, ω,
TT
ωλd
можно найти из (1.4):
. (1.6)
λ
d
d
ω 2π
dc
λ
d
. (1.7)
2
λ
Знак «–» в (1.7) показывает, что при возрастании одной величины,
например
λ
, другая величина
– убывает, поэтому в дальнейших
(ω)
выкладках мы его писать не будем. Таким образом,
2π
rr
λ, ω,
С помощью формулы (1.8) можно перейти от
c
TT
λ
. (1.8)
2
r
λ,T
к
r
ω,T
и наобо-
рот.
Для характеристики поглощения телами излучения введем спек-
тральную поглощательную способность
5
. Пусть в узком диапа-
a
ω,T
зоне частот от
сти тела падает энергия
погл
dW
ω,ω+ ωd
. Спектральной поглощательной способностью называет-
ω
до
ωωd
в единицу времени на единицу поверхно-
dW
ω,ω+ ωd
, часть этой энергии поглощается
ся безразмерная величина, которая показывает, какая доля энергии,
падающая на единицу поверхности тела в единицу времени поглощается в выбранном диапазоне частот:
погл
dW
ω,ω+ ω
adW
ω,
T
d
ω,ω+ ω
d
. (1.9)
Из опыта известно, что при разных температурах тело поглощает
тепло на одинаковых частотах по-разному, т. е. вид функции
ме-
a
ω,T
няется в зависимости от температуры. Очевидно, что спектральная
плотность энергетической светимости всегда меньше либо равна еди-
нице
a
ω,1T
.
Особое место в теории теплового излучения занимает абсолютно
черное тело, для которого
a
ω,1T
, т. е. абсолютно черное тело по-
глощает всю падающую энергию при любых частотах и температурах. Идеальных черных тел в природе не существует, однако неко-
торые тела, как, например, сажа или черный бархат, в некотором диапазоне частот близки по своим свойствам к черному телу.
Модель черного тела можно представить
в виде замкнутой полости
с небольшим отверстием (рис. 1.2). Луч света попадает внутрь полости
и многократно отражается от стенок, вероятность того, что он выйдет
наружу, очень мала. Опыт показывает, что если диаметр отверстия в
10 раз меньше диаметра полости, то излучение поглощается практически полностью во всем диапазоне частот. Именно поэтому, если
смотреть днем на окна домов с улицы, они кажутся темными (размер окна
намного меньше размера комнаты и луч света, попав через окно в комнату, многократно отражается от стенок комнаты, но вероятность того,
что он выйдет наружу из окна ничтожно мала).
Наряду с понятием черного тела используют понятие серого тела
поглощательная способность которого меньше единицы и постоянна
при данной температуре во всем диапазоне частот:
cc
aa
TT
ω,
const 1
.
,
6
f
a
ω,T
1
Черное тело
Серое тело
Реальное тело
ω
Рис. 1.2 Рис. 1.3
На рис. 1.3 показана зависимость коэффициента поглощения от частоты (при некоторой температуре) для абсолютно черного тела, для
серого тела и для реального тела.
1.2. ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Экспериментальные исследования теплового излучения, интенсивно проводимые в XIX веке, показали, что между испускательной и поглощательной способностью тел есть связь. Так, например, швейцарский
физик Пьер Прево в 1809 году установил, что если два тела поглощают разные количества энергии, то они и излучают разные количества энергии. Немецкий физик Густав Кирхгофф в 1859 году, основываясь на рассуждениях Прево, вывел закон Кирхгоффа: отношение
испускательной и поглощательной способности тел не зависит от природы тел, оно является
универсальной функцией частоты (длины вол-
ны) и температуры:
r
ω,
T
(ω,)
T
a
ω,
T
, (1.10)
где
разные для разных тел, но их отношение – постоянная величина.
a
ω,T
– универсальная функция Кирхгоффа. Величины
(ω,)fT
r
ω,T
и
Таким образом, если тело излучает больше энергии, то оно и поглощает больше энергии. Если тело не поглощает энергию совсем, то оно и
не может излучать ее.
7
Найти универсальную функцию Кирхгоффа можно, применяя закон
f
f
R
R
R
Кирхгоффа к абсолютно черному телу. Обозначим
*
– спектральная
r
ω,T
испускательная способность черного тела, спектральная поглощательная способность черного тела
*
a
ω,
. По закону Кирхгоффа
1
T
rrr
ω, ω, ω,
a
ω,
**
TTT
*
a
T
ω,
T
*
r
T
ω,
1
(ω,)
T
. (1.11)
Таким образом, универсальная функция Кирхгоффа – это не что
иное, как испускательная способность абсолютно черного тела
*
(ω,)
Tr
Вид функции
ω,
.
T
впервые был предложен в 1879 году австрий-
(ω,)fT
ским физиком Йозефом Стефаном из анализа экспериментальных данных. Он показал, что энергетическая светимость всех тел пропорцио-
нальна четвертой степени температуры
4
. Однако в 1884 году ав-
T
стрийский физик-теоретик Людвиг Больцман доказал, что это утверждение справедливо только для абсолютно черного тела и нашел коэффициент пропорциональности
*
где
– энергетическая светимость абсолютно черного тела;
5,67 10
8
Вт
– постоянная Стефана–Больцмана. Выражение
24
мК
*4
, (1.12)
T
(1.12) называется законом Стефана–Больцмана.
Для реальных тел закон Стефана–Больцмана имеет вид
где
– интегральная поглощательная способность. Энергия,
1
A
T
RAR AT
излученная с поверхности тела площадью
*4
TT
, (1.13)
S
за время t, вычисляется
следующим образом:
*4
W R St StT
8
, (1.14)
а мощность излучения (энергия, излученная в единицу времени)
*4
PRS TS
.
Если абсолютно черное тело площадью
дится в окружающей среде с температурой
излученная с поверхности тела за время
с температурой
S
T
()TT
2
21
t
, определяется следующим
, то энергия,
выражением:
WStTT
Оценим поток энергии с единицы площади
44
12
. (1.15)
W
, который улав-
St
ливает кобра. Для этого сначала перепишем уравнение (1.14):
W
где
TT T
21
, (1.16)
St
. Кобра улавливает излучение тел, температура кото-
рых отличается от температуры окружающей среды на
Пусть температура окружающей среды
44 3
TT TT
12 2
4
К. Подставим значе-
300T
2
10 ...10
ния в (1.15):
PTT
12
PTT
22
3831
4 4 5,67 10 300 10 0, 6
3832
4 4 5,67 10 300 10 0,06
Вт
м
2
Вт
м
,
2
нахо-
T
1
12
К.
.
Таким образом, кобра улавливает поток энергии с единицы по-
верхности
(0,06...0,6)
Вт
м
.
2
Закон Стефана–Больцмана ничего не говорит о спектральном составе теплового излучения. Из экспериментальных результатов известно, что распределение излучаемой энергии в спектре абсолютно
черного тела является неравномерным. Все кривые имеют ярко выраженный максимум (рис. 1.4), который смещается в область более ко-
9
ротких длин волн при повышении температуры тела. Площадь под
R
кривой равна энергетической светимости абсолютно черного тела
*4
, определяемой законом Стефана–Больцмана.
T
Рис. 1.4
Длина волны, соответствующая максимуму излучения, определяется законом смещения Вина
b
где
2,9 10 мКb
3
– постоянная Вина. Закон смещения Вина пока-
, (1.17)
max
T
зывает, что положение максимума функции излучения меняется при
изменении температуры. При этом при повышении температуры длина
волны, соответствующая максимуму излучения, смещается в область
более коротких волн.
В реальных температурах, достигаемых в лабораторных условиях,
максимум излучения находится в инфракрасной области, и только при
температурах выше
5000 КT
попадает в видимую область спектра.
Если считать Солнце как абсолютно черное тело, и температуру его
внешних слоев принять за
6200 КT
, то максимум излучательной
способности Солнца приходится на длину волны:
3
6200
=470 нм
10
(зеленый цвет).
max
b
T
2,9 10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]