Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая физика. Учебное пособие
.pdf
1) при
E
2) при
3) при
3n
22 22
ππ
EEE
1, 4 3
nn
2
EE
n
E
nn
E
7n
EEE
1, 8 7
nn
EE
n
E
nn
E
n
n
1,
nn
2
39
3
7
1,
n
9
2
749
7
15
1,
49
22
π
2
n
2
m
(2 3 1) 7
22
22
mm
22 22
ππ
22
22
mm
22
π
2
7
2
m
22
π
2
m
2
22 22
ππ
22
22
mm
22 22
ππ
22
22
mm
22
π
2
2
m
22
π
2
m
2
EEn
,
0,78
9
(2 7 1) 15
15
0,33
49
3
n
,
,
;
,
,
;
22
π
2
,
2
2
m
22
π
2
n
E
nn
1,
En
n
n
m
2
22 2
π
2
2
m
101
2
n
22
n
2
.
0
Таким образом, когда частица находится на нижних уровнях энер-
D
гии, энергетический спектр является дискретным, по мере увеличения
номера уровня расстояние между соседними уровнями уменьшается и
при больших значениях
EE
4,3
Ответ: 1)
3
0,78
спектр становится квазинепрерывным.
n
; 2)
EE
8,7
0,33
7
; 3)
E
1,
nn
E
n
0
.
5.10. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ
СКВОЗЬ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
Задача
26. Протон с энергией
10 эВE
движется вдоль оси x и
встречает на своем пути прямоугольный потенциальный барьер шириной
0,1 нм
высотой
. Найти вероятность Wпрохожде-
15 эВU
ния протона через потенциальный барьер. Как надо изменить ширину
барьера, чтобы вероятность его прохождения протоном была такой же,
как и у электрона при тех же условиях?
Дано:
10 эВE
0,1 нм
15 эВU
, ?
?W
Вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер равна коэффициенту прозрачности и
,
определяется формулой (3.41)
,
WDDe
2
20mU E
.
Постоянный множитель
можно считать равным единице, тогда
0
вероятность прохождения потенциального барьера для протона
2
mUE
2( )
p
We
9
20,110
21,6710 (15 10) 1,610
1,0510
34
27 19
1, 74 10e
43
.
Чтобы вероятность прохождения потенциального барьера шири-
ной
барьера шириной
протоном равнялась вероятности прохождения потенциального
электроном, должно выполняться условие
22
mUE mUE
2( ) 2( )
pe
ee
102
,
22
g
mU E mU E
2( ) 2( )
pe
31
m
e
m
1, 6 7 1 0
p
1
0,023
9,1 10
27
42,83
0,023
.
,
,
Барьер необходимо сузить в 42,83 раза.
43
Ответ:
1, 74 10W
, барьер необходимо сузить в 42,83 раза.
5.11. КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Задача
ского маятника длиной
27. Определить энергию нулевых колебаний математиче-
1 м
, находящегося в поле тяжести Земли.
Ответ выразить в электронвольтах.
Дано:
0,1 нм
?E
0
где
– собственная частота колебаний гармонического осциллятора.
Для математического маятника
Энергия нулевых колебаний квантового гармонического осциллятора определяется формулой (3.46)
,
1
,
2
ω =
ω
, тогда
E
0
11 10
E
0
g
22 1
Ответ:
1, 0 5 10 1, 6 6 10 Дж 1,04 10 эВ
1,04 10 эВE
0
34 34 34
34
.
103
.
5.12. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
f
L
Задача
числа
числа
28. Записать возможные значения орбитального квантового
и магнитного квантового числа
l
. Сколько различных волновых функций соответствует
3n
этому состоянию (без учета спина)?
Дано:
3n
?l
,
m
,
?
l
?N
Систематизируем возможные волновые
функции и квантовые числа в таблице,
учитывая правила (4.6) и (4.8):
0,1,2, 3...,( 1)ln
0, 1, 2, 3...,
ml
n
3
l
l
0 0
1
2
для главного квантового
m
l
,
.
m
0
1
–1
0
1
–1
2
–2
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
nlm
300
310
311
31 1
320
321
32 1
322
32 2
Количество возможных волновых функций для атома, находящего-
n
ся в состоянии с главным квантовым числом
22
39Nn
,
,
что соответствует количеству волновых функций в таблице.
Ответ:
,
0,1, 2l
0, 1, 2l
Задача 29. Электрон в атоме водорода находится в
Определить: 1) орбитальный момент импульса электрона
,
.
9N
состоянии.
-
; 2) мак-
L
l
симальное значение проекции момента импульса на направление
m
внешнего магнитного поля
ll
Z
.
104
Дано:
f
f
f
L
s
– состояние
1)
2)
?
L
l
L
max
l
Z
,
?
состоянию электрона в атоме водорода
1.
-
соответствует орбитальное квантовое число
.
3l
Орбитальный момент импульса электрона определяется формулой
(4.5)
Lll
В
состоянии
-
L
3(3 1) 12 12 1,05 10 3,63 10 Дж с
l
l
(1)
.
34 34
2. Проекция момента импульса на направление внешнего магнит-
ного поля может принимать значения (4.7)
m
ll
Z
Максимальное значение магнитного квантового числа
орбитальному квантовому числу
l
ml
max
l
.
m
.
3
Следовательно, максимальное значение проекции момента импуль-
са на направление внешнего магнитного поля
34 34
Lml
ll
Ответ: 1)
2)
max max
Z
L
l
L
l
Z
= =3 31,0510 3,1510 Дж с
12 3,63 10 Дж с
33,1510 Дж с
max
34
;
34
.
.
равно
l
.
Задача 30.
ей
12,1 эВE
электрон в атоме водорода поглотил фотон с энерги-
1
и перешел в возбужденное состояние с максимально
возможным орбитальным квантовым числом. Найти изменение орбитального момента импульса электрона
105
.
L
l
Дано:
s
s
s
s
s
– состояние,
1
12,1 эВE
?
L
l
Когда электрон в атоме водорода находится в состоянии
орбитальное квантовое число
1,
орбитальный момент импульса электрона
и
0l
0
L
l
.
Найдем номер уровня энергии, на который перешел электрон после
поглощения фотона. Для этого воспользуемся обобщенной формулой
Бальмера (2.10)
ν
E h hR hR
n
hR
hR E
6,63 10 3,29 10 12,1 1, 6 10
11 11
22 22
mn n
6,63 10 3,29 10
34 15 19
1
34 15
,
3
.
Максимально возможное значение орбитального квантового числа
max
1312ln
.
Максимальное значение орбитального момента импульса электрона
Lll
max max max
l
6 6 1, 05 10 2,57 10 Дж с.
(1)2(21)
34 34
Изменение орбитального момента импульса электрона после поглощения фотона
34
.
Ответ:
LL L
L
max max
ll l
2,57 10 Дж с
l
02,5710 Дж с
34
.
Задача 31. Вычислить численное значение: 1) собственного меха-
нического момента электрона (спина)
Lss
s
спина на направление внешнего магнитного поля
(1)
; 2) проекцию
Lm
zs
.
Дано:
1)
2)
L
L
z
,
?
?
1. Спин электрона определяется формулой (4.16)
106
Lss
s
s
(1)
,
где
1
– спиновое квантовое число. Тогда
s
2
11 3 3
L
s
11,05100,9110 Дж с
22 2 2
34 34
2. Проекция спина на направление внешнего магнитного поля
квантуется по закону (4.17)
Lm
zs
где
m – магнитное спиновое квантовое число. Тогда
Ответ: 1)
2)
1
s
2
Lm
.
sz s
L
L
11
1, 05 10 0,525 10 Дж с
22
34
0,91 10 Дж с
s
sz
34
0,525 10 Дж с
,
34 34
;
.
Задача 32. Заполненной электронной оболочке соответствует глав-
ное квантовое число
. Найти количество электронов, которые
3n
имеют следующие одинаковые квантовые числа:
1)
m ; 2)
s
1
2
; 3)
1
m
l
m
и
m .
2
l
1
s
2
.
Дано:
3n
1)
m ,
s
2)
m
l
3)
m
l
1)
3)
1
2
,
1
1
s
2
,
?N
?N
?N
2
, 2)
и
m
Возможные значения квантовых чисел,
соответствующих главному квантовому
числу
, определяются формулами
3n
(4.6), (4.8) и (4.18)
,
m .
,
1
s
2
0,1,2, 3...,( 1)ln
0, 1, 2, 3...,
ml
l
107
Для
таблице
возможные значения квантовых чисел представлены в
3n
0l
1l
2l
l
m
l
m
l
m
l
m
l
m
l
0
1
0
1
2
0
m
1
m ,
s
2
1
m ,
s
2
1
m ,
s
2
1
m ,
s
2
1
m ,
s
2
1
m ,
s
2
1
m
s
2
1
m
s
2
1
m
s
2
1
m
s
2
1
m
s
2
1
m
s
2
1. Количество электронов со спиновым квантовым числом
m
спиновым квантовым числом
1
s
2
.
6N
2. Количество электронов с магнитным квантовым числом
.
4N
3. Количество электронов с магнитным квантовым числом
m
1
s
2
m
m
1
l
и
2
l
.
1N
Ответ: 1)
6N
; 2)
4N
; 3)
.
1N
108
6. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
6.1. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ
1. Вычислить энергетическую светимость абсолютно черного тела
при температуре
2. Найти температуру абсолютно черного тела, если его энергети-
ческая светимость
3. Определить энергию, излучаемую за время
вого окошка плавильной печи площадью
ра печи
2000 КT
тело.
4. Найти время, за которое из смотрового окошка плавильной печи
площадью
тура печи
8 cмS
1200 КT
ное тело.
5. Во сколько раз надо увеличить термодинамическую температуру
абсолютно черного тела, чтобы его энергетическая светимость возросла в три раза?
6. Как надо изменить термодинамическую температуру абсолютно
черного тела, чтобы его энергетическая светимость уменьшилась в два
раза?
7. Найти мощность излучения металлического шара
, нагретого до температуры
1 смr
черным телом.
8. Найти мощность излучения тонкой монетки в форме диска радиусом
, нагретой до температуры
1 смr
но черным телом.
9. Найти энергетическую светимость угля, находящегося при температуре
800 КT
500 Ct
*2
.
50 кВт/мR
.
5 минt
2
10 cмS
из смотро-
, если температу-
. Считать, что печь излучает как абсолютно черное
2
излучается энергия
5, 65 кДжW
, если темпера-
. Считать, что печь излучает как абсолютно чер-
радиусом
300 Ct
, считая его абсолютно
200 Ct
, считая ее абсолют-
, считая его серым телом со степенью черноты
109
T
P
P
P
P
площадь поверхности угля
10. Шар радиусом
T
температуре
T
ру
, при которой находится шар, считая его серым телом со степе-
нью черноты
и излучает мощность
0,5
T
5 cмR
.
2
20 смS
.
находится при некоторой постоянной
10 кВтP
. Найти температу-
Вычислить энергию, излучаемую углем за время
0,8.
11. С поверхности сажи, находящейся при температуре
за время
10 минt
излучается энергия
100 ДжW
. Определить ко-
1 чt
, если
700 К,T
эффициент теплового излучения сажи, считая ее абсолютно черным
телом. Площадь поверхности сажи
12. Муфельная печь потребляет мощность
ее внутренней поверхности при открытом отверстии
щадь отверстия
2
20 смS
. Считая, что отверстие излучает как абсо-
2
.
2 смS
2 кВт
. Температура
1200 КT
. Пло-
лютно черное тело, найти, какая часть мощности рассеивается стенками.
13. Какую мощность
радиусом
5 Ct
0
1 cмR
поддерживать его температуру
, чтобы при температуре окружающей среды
необходимо подводить к медному шарику
. Считать, что
25 Ct
тепловые потери обусловлены только излучением. Поглощательная
способность меди
T
14. К зачерненному металлическому шарику радиусом
подводится мощность
.
0,6
2 cмR
. Температура шарика
2 Вт
350 КT
Найти температуру окружающей среды.
15. К зачерненному металлическому шарику подводится мощность
2 Вт
. Температура шарика
и на
320 КT
превышает
30 КT
температуру окружающей среды. Найти радиус шарика, полагая, что
вся подводимая мощность идет на излучение.
16. Начальная температура абсолютно черного тела
время
это время тело излучило энергию
линейно уменьшилась до температуры
10 ct
100 ДжW
1
2
. Найти площадь по-
и за
500 КT
. За
400 КT
верхности тела.
17. Поверхность черного тела нагрета до температуры
Затем треть поверхности нагревается на
100 КT
, а оставшаяся
1000 КT
часть поверхности охлаждается на столько же градусов. Как изменится
энергетическая светимость этого тела?
.
.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]