Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая физика. Учебное пособие
.pdf
В выражениях (3.29) первое слагаемое – это волна, распространя-
x
x
x
E
ющаяся в положительном направлении оси
, а второе слагаемое – это
волна, распространяющаяся в обратном направлении. В области
обратной волны нет, поэтому коэффициент
.
0B
3
Физический интерес представляет случай, когда энергия частицы
меньше высоты потенциального барьера
2( )
mE U
2
β 0
2
, и во второй области показатели экспонент в вол-
EU
. В этом случае
новой функции становятся действительными:
III
ψ + область I,
I1 1
ψ + область II,
II 2 2
ψ область III.
III 3
ikx ikx
Ae Be
ββ
Ae Be
Ae
xx
ikx
(3.30)
Вид волновых функций в различных областях показан на рис 3.8.
Из рисунка видно, что волновая функция не равна 0 под барьером и за
барьером. За барьером волновая функция представляет собой волну де
Бройля с той же частотой, но с меньшей амплитудой. Таким образом,
существует ненулевая вероятность обнаружения частицы во второй и
третьей
барьер. Это явление получило название
области, т. е. частица может проникнуть через потенциальный
туннельного эффекта.
I
0U
ψ
I
U
II
0
0
ψ
II
III
0U
ψ
III
Рис. 3.8
51
Для описания туннельного эффекта вводят понятие
A
A
A
A
B
B
A
D
коэффициента
прозрачности потенциального барьера – отношения плотности пото-
ка частиц, прошедших через потенциальный барьер, к плотности потока частиц, падающих на потенциальный барьер,
2
A
Коэффициенты
и
1
в (3.31) ищутся из условия непрерывности
3
DA
3
. (3.31)
2
1
волновой функции и ее производной на границе областей
ψ (0) ψ (0),
III
ψ () ψ (),
II III
ψ (0) ψ (0),
III
ψ () ψ ().
II III
(3.32)
Из уравнения (3.32) можно выразить коэффициенты
через
. Решая систему (3.32), получим коэффициент прозрачности
1
,
,
2
,
3
1
2
потенциального барьера
2
2( )
mU E
Постоянный множитель
DDe
0
можно считать равным единице, тогда
0
. (3.33)
вероятность прохождения потенциального барьера
2
2mU E
WDe
. (3.34)
Из (3.34) следует, что вероятность прохождения барьера сильно зависит от массы частицы и ширины потенциального барьера. С увеличением массы частицы и ширины потенциального барьера вероятность
прохождения частицы через него уменьшается. Так, например, при
увеличении ширины потенциального барьера вдвое вероятность его
прохождения уменьшится в 7,4 раза:
52
2
F
W
W
1
2
e
2( )
e
mU E
2( )
2(2 )
mU E
2
7,4
e
.
При увеличении массы частицы вдвое вероятность его прохождения уменьшится в 4,1 раза:
2
mU E
2( )
W
1
W
2
e
2
mU E
2(2 )( )
e
2
e
4,1
.
Для потенциального барьера произвольной формы коэффициент
прозрачности имеет вид
x
2
2
2(() )
mU x E dx
x
DDe
0
1
. (3.35)
Таким образом, в квантовой механике существует ненулевая вероятность обнаружить частицу за барьером, туннельный эффект – это
специфическое явление квантовой физики, которое не существует в
классической физике.
3.8. КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ
ОСЦИЛЛЯТОР
Будем рассматривать линейный квантовый гармонический осциллятор – систему, которая совершает колебания под действием квазиупругой силы, пропорциональной отклонению осциллятора от положения равновесия. Классические линейные гармонические осцилляторы были рассмотрены в разделе «Колебания и волны» – это,
например, пружинный или математические маятники или колебательный контур.
Рассмотрим гармонический осциллятор, совершающий колебания
действием квазиупругой силы
под
, где x – смещение осцил-
kx
лятора от положения равновесия. Потенциальная энергия имеет вид
53
2
A
x
A
kx
U
22
mx
0
, (3.36)
22
где
0
– собственная частота колебаний осциллятора.
m
k
2
В классическом гармоническом осцилляторе частица совершает
колебания внутри параболической потенциальной ямы, выйти за пределы которой она не может (рис. 3.9). Границы потенциальной ямы
определяются энергией частицы
внутри интервала
xA
E
E
, и частица может двигаться только
, где A– амплитуда колебаний.
()Ux
0
Рис. 3.9
A
В квантовой механике движение частицы описывается уравнением
Шредингера, которое для квантового гармонического осциллятора
имеет вид
22
22
m
ψ
d
dx
E
2
22
mx
0
. (3.37)
ψ 0
Решение уравнения (3.37) существует только в том случае, если
значения энергии удовлетворяют уравнению
1
En n
n
ω , 0,1,2,...
0
2
(3.38)
Уравнение (3.38) определяет квантование энергии в квантовом
гармоническом осцилляторе. Уровни энергии расположены на одинаковом расстоянии друг от друга – эквидистантно (рис. 3.10), кроме то-
54
го, минимально возможная энергия частицы в гармоническом осцил-
x
E
E
E
E
E
x
x
x
ляторе не равна 0:
ее называют
E , (3.39)
энергией нулевых колебаний.
()Ux
4
3
2
1
0
ω
00
2
0
Рис. 3.10
1
Отличная от нуля энергия нулевых колебаний является следствием
соотношения неопределенностей. В реальных кристаллах при температурах, близких к абсолютному 0, когда тепловое движение практически прекращается, кристаллическая решетка совершает колебания за
счет энергии нулевых колебаний. Наличие нулевых колебаний подтверждено экспериментально в опытах по рассеянию света при низких
температурах.
Найдем минимальное значение
возможной энергии квантового
гармонического осциллятора исходя из соотношения неопределенностей. Пусть гармонический осциллятор колеблется по закону
At
cos ω
. Неопределенность координаты
0
где
222
xx A t A t A
2
– среднее значение
(cosω )(cosω )
00
1
2
и
(cos ω )
2
t .
0
2
1
, (3.40)
2
Энергия колебаний связана с амплитудой колебаний соотношением
22
ω
mA
E
0
,
2
55
E
E
p
p
Подставим (3.41) в (3.40)
Am
12
ω
0
. (3.41)
xA A
11
2 ω
. (3.42)
m
0
Импульс квантового гармонического осциллятора
(cosω )
mV m mA t
. (3.43)
dA t
dt
0
ω sinω
00
Неопределенность импульса
p p Am t Am t Am
222
( ω sin ω ) ω (sin ω ) ω
00 0 0 0
Подставим (3.41) в (3.44)
ω
m
0
2 ω 2
121
ω
Am mE
E
0
m
0
. (3.45)
Подставим (3.45) и (3.42) в соотношение неопределенностей (3.2):
1
xp mE
EE
ωω2
m
00
ω
E
0
. (3.46)
,
2
1
. (3.44)
2
Из (3.46) видно, что энергия гармонического осциллятора не может
ω2
быть меньше
0
, что совпадает с энергией нулевых колебаний.
Для гармонического осциллятора существует правило отбора для
переходов частиц с одного уровня энергии на другой: разрешены только переходы частиц между соседними уровнями энергии
. (3.7)
1n
56
На рис. 3.11 показаны волновые функции для нулевого уровня и
x
x
x
пяти первых уровней энергии гармонического осциллятора.
Рис. 3.11
Пунктиром на рисунке показаны границы нахождения точки для
классического случая. С увеличением номера уровня область нахождения классической частицы расширяется. Также из рис. 3.11 видно, что
для квантового гармонического осциллятора существует ненулевая
вероятность нахождения частицы вне параболической потенциальной
ямы.
Волновые функции квантового гармонического осциллятора четные на нулевом уровне энергии и на
того, количество точек пересечения волновых функции с осью
номеру уровня
кает ось
ось
в двух точках, при
n
. Так, например, при
в одной точке, при
3n
четных уровнях энергии. Кроме
равно
волновая функция пересе-
1n
волновая функция пересекает
2n
волновая функция пересекает ось x в
трех точках и т. д.
57
Z
Z
Z
Z
4. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
4.1. АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Рассмотрим атом, состоящий из одного электрона, движущегося
вокруг ядра с зарядом
добными
гелия
He
. При
, при
1
получаем атом водорода, при
– ион атома лития
3Z
электрона, находящегося в поле ядра на расстоянии
Уравнение Шредингера для водородоподобной системы запишется
в виде
24πε
. Такие системы называются водородопо-
e
2
– ион атома
. Потенциальная энергия
Li
от него,
r
2
E
4πε
e
. (4.1)
r
0
Ze
0
. (4.2)
U
22
mr
ψψ0
Решению уравнения Шредингера соответствует дискретный набор
отрицательных собственных значений энергии
24
1
Уровень с номером
энергии – это
бужденные
основное состояние. Уровни с номером
состояния. Когда энергия электрона отрицательна, он
En
n
Zme
222
8 ε
nh
соответствует минимально возможной
1n
, 1,2,3...
0
. (4.3)
– это воз-
1n
находится внутри гиперболической потенциальной ямы, если энергия
положительна, то электрон является свободным. Разность энергий
между соседними уровнями в потенциальной яме зависит от номера
уровня
n
, с увеличением номера уровни располагаются ближе друг к
другу (рис. 4.1).
58
Z
Z
Рис. 4.1
Энергия ионизации атома водорода (энергия, необходимая для
удаления электрона из атома)
24 4
Zme me
E
1
1
222 22
18ε 8 ε
=13,6 эВ
hh
00
, (4.4)
в выражении (4.4) учтено, что заряд ядра атома водорода
1
. Полу-
ченные результаты совпадают с теорией атома водорода, предложенной Бором.
Собственные функции
ψ (,θ,φ)
nlm
, являющиеся решением урав-
r
нения Шредингера (4.1), содержат три целочисленных параметра
. Главное квантовое число n указывает на номер уровня энер-
,,nlm
гии, на котором расположен электрон, и принимает целые значения
1,2,3,...n
квантового числа
Орбитальное квантовое число
. Момент импульса электрона зависит от орбитального
и может принимать только дискретные значения
l
Lll
l
(1)
. (4.5)
зависит от номера уровня, на кото-
l
ром расположен электрон, и меняется в пределах
0,1,2,3...,( 1)ln
. (4.6)
Из решения уравнения Шредингера также следует, что проекция
момента импульса на направление внешнего магнитного поля
тоже
квантуется
59
Lm
s
p
f
ll
Z
, (4.7)
где
– магнитное квантовое число, которое
m
l
может принимать значения
0, 1, 2, 3...,
ml
l
. (4.8)
Например, проекция момента импульса на
направление внешнего магнитного поля при
может иметь пять значений
2l
,2
(рис. 4.2).
Рис. 4.2
Таким образом, каждому вырожденному
уровню энергии соответствует несколько волновых функций. Например, для второго уровня энергии
существует четыре набора
2n
волновых чисел и соответственно четыре волновых функций
n
l
m
2 0 0
2 1 0
2 1 1
2 1 –1
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
nlm
200
210
211
21 1
Число различных состояний
2
Nn
, (4.9)
0,
L
l
Z
:
ψ
nlm
n
соответствующих одному значению
рождения
. Так, например, второй уровень энергии четырехкратно вы-
, называется кратностью вы-
рожден.
Различные состояния электрона в атоме при разных значения орби-
тального квантового числа
принято обозначать малыми буквами ла-
l
тинского алфавита:
0l
1l
2l
3l
-состояние
-состояние
-состояние
d
-состояние
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]