Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика. Сборник задач и примеры их решения. Учебно-методическое пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
О. В. ЖИРОВ
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
СБОРНИК ЗАДАЧ
И ПРИМЕРЫ ИХ РЕШЕНИЯ
Учебно-методическое пособие
НОВОСИБИРСК
2023
1
УДК 530.145.6(075.8)
Ж736
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук,
доцент кафедры ЭФУиУ НГТУ А. Ю. Барняков
канд. физ.-мат. наук,
ст. эксперт-физик ИЯФ СО РАН А. А. Померанский
Работа подготовлена на кафедре электрофизических установок
и ускорителей и утверждена Редакционно-издательским советом
университета в качестве учебно-методического пособия
для студентов 4-го курса
Жиров О. В.
Ж736 Квантовая механика. Сборник задач и примеры их решения :
учебно-методическое пособие / О. В. Жиров. – Новосибирск :
Изд-во НГТУ, 2023. – 102 с.
ISBN 978-5-7782-5109-0
Пособие состоит из двух разделов: в первом изложены краткие
теоретические сведения и приведен базовый набор задач квантовой
механики с соответствующими вводными методическими указаниями по каждой теме, во втором содержатся подробные решения и ответы к предложенным задачам.
Пособие предназначено для студентов 4-го курса кафедры электрофизических установок и ускорителей физико
НГТУ для проведения практических занятий, а также для самостоятельной работы по квантовой механике в рамках курса «Теоретическая
физика».
-технического факультета
УДК 530.145.6(075.8)
ISBN 978-5-7782-5109-0 © Жиров О. В., 2023
© Новосибирский государственный
технический университет, 2023
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 4
1. Квантовая природа микромира. Масштабы квантовых
явлений и простейшие оценки
2. Волны де Бройля. Принцип суперпозиции. Волновые
пакеты. Соотношение неопределенностей Гейзенберга
3. Операторы, коммутаторы операторов. Общая теория
представлений и матричный подход Гейзенберга
4. Квантовая динамика, уравнение Шредингера
5. Одномерное движение в потенциальном поле,
стационарный случай
5.1. Общие свойства одномерного движения
5.2. Движение квантовых частиц в периодическом
потенциале
5.3. Гармонический осциллятор
6. Квазиклассическая динамика. Приближение ВКБ,
квантование Бора ‒ Зоммерфельда, квантовое
туннелирование
7. Движение в центральном поле
7.1. Общие свойства движения в центральном поле
7.2. Атом водорода
8. Движение частицы в магнитном поле. Спин
8.1. Электрон в однородном магнитном поле
8.2. Спин электрона
8.3. Уравнение Паули, спин в магнитном поле
9. Сложение моментов, волновые функции
10. Тождественные частицы
11. Теория возмущений
11.1. Стационарное возмущение
11.2. Возмущение, зависящее от времени
11.3. Переходы под воздействием периодического
возмущения
11.4. Рассеяние частиц на потенциале: приближение Борна 46 96
Список литературы
...........................................................
......................................................................
.....................................................................
................................................................
..............................................................
............................................................
...................................................................
..................................................................
..............................................
.................
.......................
.........................
.............................................
..............................................
...............
.........................
........................
......................
..............................
.....................................................
............................................
..............................
Задачи Ответы
........
5 49
7 52
9 55
13 58
16 61
16 61
18 67
22 68
25 72
28 73
28 73
30 75
31 77
31 77
33 79
35 81
35 83
39 85
39 85
39 85
42 92
45 93
100
3
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемые в пособии задачи уже многие годы используются на
практических занятиях базового курса квантовой механики, преподаваемого на кафедре электрофизических установок и ускорителей (ЭФУиУ)
физико-технического факультета Новосибирского государственного
технического университета (НГТУ). Некоторые из них вошли также
в традиционный набор задач по квантовой механике для студентов
3-го курса физического факультета
университета (НГУ). Происхождение большинства вошедших в этот
сборник задач уже давно носит «фольклорный» характер, и установить
авторство их вряд ли возможно, однако некоторые из них являются оригинальными.
Задачи в настоящем сборнике охватывают 11 тем, составляющих
ядро базового курса квантовой механики, предназначенного для инженеров и физиков-экспериментаторов. Пособие
первый содержит условия задач, сгруппированных по темам, второй –
соответствующие решения и ответы.
Для облегчения самостоятельной работы к каждой теме прилагается
вводный теоретический материал и методические указания. Разумеется,
это не отменяет необходимости чтения учебников, и детальные ссылки
на них с указанием соответствующих страниц и параграфов призваны
облегчить нахождение
изучения каждой темы. Кроме того, данное пособие является дополнением к читаемому лекционному материалу, опубликованному отдельно.
обсуждаемого материала для более глубокого
Новосибирского государственного
состоит из двух разделов:
4
E
1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И ЗАДАЧИ
1. Квантовая природа микромира. Масштабы квантовых
явлений и простейшие оценки
Масштаб квантовых явлений определяется фундаментальной физической константой, известной как постоянная Планка:
27
1,05 10 эрг с.
В частности, наличию именно этого параметра обя-
заны такие свойства микромира, как устойчивость атомов, дискрет-
ность их энергетических спектров, существование квантов электромаг-
нитного поля [1, § 1; 2, § 1; 3, гл. 1; 4, § 1–3].
В ряде случаев сочетание этой постоянной с другими размерными
параметрами физической системы позволяет получить оценку для масштаба величин квантовых характеристик системы с помощью так
ваемого метода оценки по размерности [5, с. 29–30; 6, с. 4–8]. Этот метод представляет наибольший интерес в тех случаях, когда из доступных размерных параметров решаемой задачи невозможно построить
безразмерную комбинацию. В таких случаях комбинация требуемой
размерности строится единственным способом и дает ответ с точностью
до численного множителя, на практике не сильно отличающегося
единицы.
Например, энергетический спектр квантовой частицы, колеблющейся в некотором потенциальном поле с периодом
E
оценить расстояние
Из имеющихся в наличии двух параметров
бинация размерности энергии имеет вид
между соседними энергетическими уровнями?
и T единственная ком-
()
T
,T
дискретен. Как
/.
T Однако если
/2πh
назы-
от
5
при построении комбинации нужной размерности вместо периода T
M
воспользоваться так называемой угловой частотой
чается несколько более «правильный» результат
ω 2π / T
(ω)()
EE
, то полу-
T
2ω .π
Отсюда явным образом проявляется и ограничение метода – неустранимый произвол в виде численного множителя, который на практике
редко превышает один порядок, поэтому подобные оценки обычно
называются оценками по порядку величины. Стоит упомянуть, что для
фотона с частотой
ω
и волновым вектором
с точным результатом для его энергии
k
такая оценка совпадает
и импульса
ωE
.pk
Задача 1.1. Используя соображения размерности, получить для
атома водорода в основном состоянии оценку размера, энергии состояния и скорости электрона.
Задача 1.2. Для гармонического осциллятора оценить степень дис-
ω 1
см.
/:EE
(а) в макроскопическом
рад/с, амплитуда колебаний
28
е
910
mm
г,
кретности энергетического спектра
случае, когда масса
1A
см; (б) в микроскопическом случае, когда
16
рад/с,
ω 510
1m
г, частота
0,5 10Aa
B
8
3адача 1.3. Оценить рабочее напряжение для красного светодиода с
длиной волны
λ 450 нм.
λ 750 нм
и синего светодиода с длиной волны
Задача 1.4. Предположим, что электрон в атоме водорода подчиняется законам классической механики и движется по круговой орбите.
Оценить время падения электрона на ядро из-за неизбежных потерь на
электромагнитное излучение.
Задача 1.5. Для рассеяния фотона на свободном покоящемся электроне найти связь между частотой и углом рассеянного фотона (эффект
Комптона).
Задача 1.6. Предполагая, что электрон вокруг ядра атома водорода
движется по круговой орбите, а момент импульса электрона принимает
дискретные значения
()
rp n
(где n – целые числа), найти
спектр энергетических уровней атома водорода (Н. Бор, 1913).
6
2. Волны де Бройля. Принцип суперпозиции.
Волновые пакеты. Соотношение неопределенностей
Гейзенберга
Согласно теории, предложенной в 1924 г. де Бройлем, каждой материальной частице может быть сопоставлена так называемая волновая
функция, которая для свободно движущейся частицы принимает вид
плоской волны, или волны де Бройля:
ψ( , ) const e
rt
i(ω )
tkr
, (1.2.1)
где частота волны связана с энергией частицы как
2
тивистском пределе
kp
стицы как
.
Волновую функцию
2/Epm
), а волновой вектор ‒ с импульсом ча-
ψ(,)rt
называют также амплитудой веро-
ω /E
(в нереля-
ятности. В общем случае она комплексна, в отличие от вещественной положительно определенной плотности вероятности обнару-
жить частицу в состоянии с координатой
(,) |ψ(,)|wr t r t
2
. Стандартное условие нормировки для полной ве-
в момент времени :t
r
роятности дает условие нормировки и для волновой функции:
332
В отличие от классической, в квантовой механике принцип суперпозиции справедлив для амплитуд вероятности:
.1d (,)d|ψ(,)|rwr t r r t
ψ(,) ψ (,) ψ (,),rt rt rt
12
а не для самих вероятностей. Соответствующая такой сумме вероятность
(,) ψψ ψ ψ ψψ ψψwr t
не равна сумме вероятностей
мости от знака слагаемого
22 2
12 1 2 1212
(,) (,) ψψwrt wrt
12 12
**
ψψ ψψ
12 12
**
22
, и в зависи-
она может быть как усилена,
так и подавлена, что известно как явление интерференции.
7
Состояние свободной квантовой частицы, локализованное в некото-
p
p
рой области пространства, может быть описано волновыми пакетами –
суперпозицией плоских волн (волн де Бройля (1.2.1)):
ii
(,) d ( ) e d () ψ () e
rt pap pap r
33
где, в свою очередь, функция
щая нелокализованное квантовое состояние частицы с импульсом
(() ) ()
Ept pr Ept
ψ () exp /(2π )
rpr
p
p
i
3/2
, описываю-
, (1.2.2)
,
нормирована условием
d ψ ()ψ () δ(')
Коэффициент разложения
3*
rr r pp
pp
'
() d ψ ) ( , 0)(
ap r r rt
3*
p
. (1.2.3)
является
импульсной амплитудой вероятности, определяющей вероятность
обнаружить частицу в состоянии с определенным значением им-
пульса
няется,
:
()ap
и
2
Так как импульс свободной частицы сохра-
.() ()wp ap
()wp
не зависят от времени.
Из теории волн известно, что для волновых пакетов имеют место соотношения вида
ω 1t
и
. Аналогичные ограничения, из-
1kx
вестные как соотношения неопределенностей Гейзенберга, возникают и для квантовой частицы:
,Et xp
. (1.2.4)
Литература: [1, § 2–4; 2, с. 18–31; 4, § 17–20; 7, § 1, 2; 8, § 1, 2;
9, с. 17–41; 10, § 1–4].
Задача 2.1. Найти длину волны для частицы с кинетической энер-
1 эВ
гией
температуру, при которой длина волны де Бройля для атомов
, если эта частица: (а) фотон; (б) электрон; (в) нейтрон.
4
Задача 2.2. Плотность жидкого
He
равна
0,14 г/см .
3
Оценить
4
He
бу-
дет порядка среднего расстояния между ними.
8
Задача 2.3. Пусть начальная волновая функция для свободной ча-
x
F
F
x
стицы имеет вид
xx
0
a
4
0
2
. (1.2.5)
();wp
(б) вол-
(,);xt
(в) зависи-
tx
(, 0) exp iλ
1
1/4 2
2
a
2π
0
()
Найти: (а) распределение вероятности по импульсам
новую функцию в последующие моменты времени
мость положения центра пакета от времени; (г) зависимость ширины па-
кета от времени.
Задача 2.4. Исходя из соотношения неопределенностей Гейзенберга
для импульсов и координат, оценить энергию основного состояния гармонического осциллятора.
Задача 2.5. Исходя из соотношения неопределенностей Гейзенберга,
оценить энергию основного состояния частицы в поле
() | |.Ux x
Задача 2.6. Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, оценить энергию уровня в одномерной прямоугольной яме шири-
ной
a
и глубиной
,U
полагая яму «мелкой»:
0
2
0
2
/2 .Uma
3. Операторы, коммутаторы операторов. Общая теория
представлений и матричный подход Гейзенберга
Основные свойства квантово-механических операторов
{}:
ствующих на пространстве волновых функций
линейность:
аддитивность:
транзитивность:
ˆ
()Fc c cF cF
11 2 2 1 1 2 2
ˆˆ ˆ ˆ
() ;FF F F
12 1 2
ˆˆ ˆ ˆ
12 1 2
ˆˆ
()FF F F .
;
Функция от оператора определяется с помощью ряда Тейлора
ˆ
{},
дей-
ˆ
() ,
fF f
0
n
()
n
n
ˆ
()
!
n
n
()
где
ffx
9
n
d
d
()
x
. (1.3.1)
0
Функция
F
F
F
F
p
p
F
0.x
()fx
предполагается аналитической в окрестности точки
В общем случае произведение операторов некоммутативно:
ˆˆ ˆ ˆ
FFF .
12 21
Разность
Сумма
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
FFF FF
12 21 1 2
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
FFF FF
12 21 1 2
,
называется антикоммутатором.
,
называется коммутатором.
Из определения коммутатора следует:
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
FF F F F FF F
,,,
12 3 1 2 3 1 3 2
.
Для операторов координаты
i δ .
Их явный вид:
ij
лении;
ˆ
i,
r
i
p
i
ˆ
ii
ˆ
r
и импульса
i
ˆ
rr
ii
p
ˆ
,
p
i
‒ в импульсном представлении.
i
r
i
ˆ
коммутатор
i
ˆˆ
,
rp
ij
– в координатном представ-
Литература: [1, § 7; 2, с. 71–73; 4, § 30; 7, § 3; 8, § 3; 10, § 7–10].
В формализме
общей теории представлений [1, § 27–30; 2, с. 167–
178, 184–190; 14, § 5–7; 9, с. 161–203; 10, § 14] множество квантовых
состояний представляет собой унитарное векторное (
странство. Каждое квантовое состояние обозначается вектором
Скалярное произведение двух векторов
|a
гильбертово) про-
|
и
в унитарном
|b
.
пространстве определено как (в общем случае комплексное) число
ψ |,
ab a b
где эрмитово сопряженный вектор
есть ре-
|
a
зультат последовательных операций комплексного сопряжения и транспонирования:
|(| ) (| )
aa a
Матричный элемент произвольного оператора
FF
ab a b
Соответствующие «левые»
предложил называть
бра- и кет-векторами ‒ от английского слова
T
*
.
ˆ
|| .
|
и «правые»
ˆ
определяется как
|
векторы П. Дирак
brackets (скобки).
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]