Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика. Сборник задач и примеры их решения. Учебно-методическое пособие
.pdf
p
(б)
paap
paa aaaa
0
i
2
22
pp
2222
00
ˆˆ
ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ
() ()21
2Im
0
,
22
22
2(Im)
p
0
1
;
4
(в) произведение неопределенностей
()( )
xx p p px
22 2
11
00
44
.
Отметим, что оно остается минимально возможным при любом значении
.
5.17. Для когерентного состояния ; t (1.5.24), с учетом резуль-
i
ω
t
iω
татов предыдущей задачи, а также того, что
i
e, ||
, получим:
и
00
(а)
() 2 cos(ωφ)xt x t ,
(б)
() 2 sin(ωφ)pt p t ,
00
00
2222
(()xxtt
2222
(()pptt
2cos )
00
2sin )
00
;ee
t
2
1
;
4
1
4
(в) произведение неопределенностей
( () ()) ( () ())
xt xt pt pt p x
222
11
00
44
,
которое не зависит от времени.
t
;
71
6. Квазиклассическая динамика. Приближение ВКБ,
p
квантование Бора – Зоммерфельда,
квантовое туннелирование
6.1. Используя правило квантования Бора – Зоммерфельда (1.6.7),
ω
mx
2
ˆ
ˆ
для гармонического осциллятора с гамильтонианом
Hm
22
имеем
11 ω
(; )d 4d 2
pxE x x m E
2π 2π 2
где
En
n
6.2.
6.3.
6.4.
2/ωaEm
1
ω
2
1
En
n
2
En
n
β
E
n
m
4
nn
2
– классическая точка поворота. В итоге
.
3π 1
2
m
4
2
me
1
2
2
π
1/3
2/3
a
0
1
4
EE
nn
dξ 1 ξ
πω ω 2
0
2
.
2
1
n
2
I
2
2
3
.
4/3
, где
6.5. Рассмотрим задачу для потенциала (),Ux
симметрично в область
() γ ||, где Ux x x
:
0x
22
mx
1
n
1
d(1 )Itt
0
41/2
3
,
.
продолженного
. Приме-
няя для него правило квантования Бора – Зоммерфельда, получим
2/5
En
γπ1
n
9/5 3/5
2
m
I
6/5
, где
2
1
d(1 )Itt
0
3
.
72
Решения с
s
и
2nk
21nk
(где
0, 1, …)k
ственно четным и нечетным квантовым состояниям.
Граничному условию
ряют лишь нечетные решения для потенциала
(0)0x
для исходной задачи удовлетво-
().Ux
спектр энергий для исходной задачи:
2/5
EE k
kk
21
γ 2π 3
9/5 3/5
m
2
I
6/5
4
отвечают соответ-
С учетом этого
.
.
(0)0,Ux
вне металла
E
работа выхода элек-
6.6. Потенциал внутри металла
Uex
0
10 В/см), а
(
, где – напряженность приложенного электрического поля
6
e
– заряд электрона (см. рис. 1). С учетом наличия у электрона внутри металла кинетической энергии
трона из металла равна
UE
0
Коэффициент проницаемости барьера согласно формуле (1.6.8) ра-
вен
x
0
exp d 2 ( e p)x
DUexxE
2
0
m
0
Поток электронов, налетающих на барьер, оценим как
, где n – плотность электронов в металле. В итоге плотность
2nmE
42
3
()
UE
m
0
e
jnv
0
тока холодной эмиссии
jD
jnmE
0
2exp
42
3
()
UE
m
3/2
0
.
e
7. Движение в центральном поле
7.1. Общие свойства движения в центральном поле
(0)Ux
3/2
.
Предположим, что размер квантового состояния равен . Далее,
7.1.
исходя из соотношения неопределенностей (аналогично тому, как дела-
() /2 γ /
лось в задаче 2.4), оценим энергию состояния
73
Em
22
.
()
E
s
s
R
E
R
R
R
Легко заметить, что
. Приравняв ее производную к нулю и найдя минимум, для энер-
2s
гии основного состояния получаем оценку:
В случае, когда
ограничена снизу и имеет минимум лишь при
(2 )
sms
2
E
γ
2
, при
2s
энергия
0
()E
и происходит па-
2
s
дение частицы на центр.
7.2. Запишем уравнение (1.7.6) для радиальной волновой функ-
():
ции
r
nl
2
.
2
22
1(1)
2
2
rRr UrRrERr
22
mr r
rmr
nl nl nl nl
и рассмотрим в нем предел
слагаемыми, пропорциональными потенциальной энергии
более энергией состояния
22
1(1)
2
mr r
22
rmr
будем искать решение в степенном виде
уравнение на параметр
и
. Первый корень должен быть отброшен, так как он отвечает ре-
l
шению, сингулярному при
l
() .
rr
nl
() () () ()
ll
2
. В этом пределе можно пренебречь
0r
()Ur
. Для получившегося уравнения
nl
2
rRr Rr
:
() () 0
nl nl
(1)(1)0ll
, второй же дает искомый результат
0r
ll
2
()
rcr
nl
. Подстановка дает
с корнями
,
, и тем
(1)l
7.3. Воспользуемся уравнением (1.7.8) для эквивалентной одномер-
ной задачи:
22
2
χ () ()χ () χ ()
rU r r E r
nl nl nl nl
2
m
r
эфф
,
χ ()nlr
где
χ () ().
rrRr
nl nl
связана с радиальной волновой функцией
В нашем случае
74
, поэтому
0l
() (),UrUr где
эфф
nl
()
r
как
()Ur U
E
E
при
0
ra
и
() 0Ur
при
ra
, что в точности совпадает
с условием задачи 5.6. Соответственно, и энергетический спектр уровней совпадает со спектром задачи 5.6. Условие появления первого свя-
22
занного состояния
(π )/8Uma
0
.
7.2. Атом водорода
7.4.
Пусть размер основного состояния атома водорода r .
Из соотношения неопределенностей Гейзенберга соответствующий импульс электрона можно оценить как
/~/,pp x
что дает
оценку энергии электронного состояния как функции параметра
() /2 /Eme
дения энергии основного (наинизшего) состояния минимизируем
по параметру
ного состояния
222
:
E
(ср. с формулой (2.2.1) в задаче 2.4). Для нахож-
()0E
min
()
min
, откуда
4
me
.
2
2
()
2
min
и энергия основ-
2
me
7.5. Степень вырождения уровня атома водорода
1
n
() (2 1)
gn l n
0
l
2
.
:
2
Ry /
7.6. Энергия атома водорода по формуле (1.7.9) равна
Согласно
теореме о вириале [1, с. 76; 9, с. 225–227; 11, с. 29–30] для
кулоновской системы средняя потенциальная энергия
полная энергия. Тогда
112
ran
, или
B
ran
B
2222
/2Ry/ /,Uer nean
2
.
n
2,UE где E –
B
n
откуда
.
7.7. Для суперпозиции квантовых состояний атома водорода 2S и 2P
(,θ, φ)()(θ, φ)()(θ, φ)r с RrY cRrY
1 20 00 2 21 10
75
(2.7.1)
запишем средний электрический дипольный момент
22
derr r r
z
dd | (,θ, φ)| cosθ
1 2 1 2 20 21 00 10
2
d()()d (θ, φ)cosθ (θ, φ).cc c c e r rR r rR r Y Y
Здесь учтено, что электрический дипольный момент равен нулю при
усреднении по состоянию с определенным орбитальным моментом
0,1l
(
), а отличный от нуля вклад возникает лишь за счет перекрест-
ных членов. Подставляя в интегралы
RR
20 21
YY
00 10
1
35
226
aa
BB
13
,cosθ
4π
rr
1e, e,
a
//
ra ra
BB
B
4π
и производя интегрирование, получим
где
dcccceacc ea
z
||e.cc
1,2 1,2
точно положить
произведения
ется при
||| |cc
||| |
cc
12
12 1 2 B 1 2 1 2 B
iφ
1,2
Для нахождения максимального значения доста-
φφ 0
12
12
3||||cos(φφ)3
φφ π.
или
12
с учетом нормировки
1
.
Максимальное значение
22
|| ||1cc
12
2
,
достига-
Таким образом, максимальное значение дипольного момента
dea
3
.
z
B
2
7.8. Степень вырождения уровней атома водорода ввиду так называ-
емого случайного вырождения равна
2
n (см. задачу 7.5), т. е. должна
быть полным квадратом. Соответственно, из перечисленных значений
допустимыми являются 4, 9, 16, 25.
76
В произвольном (не кулоновском) потенциале случайное вырожде-
y
x
B
p
ние отсутствует и степень вырождения определяется лишь числом различных проекций орбитального момента
, т. е. должна быть не-
21l
четным числом. В этом случае из перечисленных значений допусти-
мыми являются 7, 9, 15, 25.
8. Движение частицы в магнитном поле. Спин
8.1. Электрон в однородном магнитном поле
Запишем гамильтониан электрона в однородном магнитном
8.1.
поле (1.8.1):
и поле || e
B
1
ˆ
HpAr
2
m с
не зависит от времени. Согласно результатам задачи 4.5
z
e
ˆ
для оператора скорости имеем:
2
() ,
AryBBBx
где
1
()(,,0),
2
1
2
11
ˆˆ ˆˆ ˆˆ
vpyvpxvv
xx yy xy
mc mc
Введем операторы
ская
частота движения электрона по замкнутой орбите в плоскости
перпендикулярной направлению магнитного поля
,
y
диться, что операторы
ˆ
ˆ
[, ] iPQ
. Выражая
1
ˆ
HpAr vv
mc mm m
222222
eB eB eB
em P
ˆ
,;,i.
22
1
ˆ
Pmv Q v
ˆ
H
через операторы
2
()
ˆ
ˆˆ
и
ˆ
и PQ образуют каноническую пару:
22
ˆˆ
xy
ω
c
ˆ
ˆˆ
ω
ˆ
2
ˆ
c
mQ
, где
x
ˆ
и PQ, получим
22
zz
mc
eB
– ларморов-
mc
. Легко убе-
22
ˆ
ω
с
2
p
,
где первое слагаемое представляет собой гамильтониан гармонического
осциллятора, а второе описывает свободное движение вдоль оси
z
. Используя известные результаты для квантования гармонического осциллятора и квантования свободного движения, получим энергетический
спектр
77
11
E
p
B
(, ) ω
np n p
zz
22
2
,
m
где
тора,
0, 1, …n
z
‒ номер квантового состояния гармонического осцилля-
– импульс электрона вдоль оси z .
8.2. В квантовом случае так же, как и в классическом, электрон
в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, совершает цикличе-
eB
ω
ское движение с ларморовской частотой
c
. Однако в отличие от
mc
классического случая кинетическая энергия такого движения кванто-
m
22
вана:
Evv n
kxy
определяет оценку минимальной скорости электрона в присут-
0n
ствии магнитного поля:
ˆˆ
22
ω
0
1
(см. задачу 8.1). Ее значение при
2/ ω /vEm m
. Размер соответствую-
щего квантового состояния можно оценить, как
/ ω / ω /
rv m ceB
0
cc
.
8.3. Согласно формуле (1.8.2) за диамагнитные свойства атома отве-
2
чает слагаемое гамильтониана
ˆ
HB
диам
e
8
mc
2
(
2
. Усредняя
)
r
H
ˆ
диам
по основному состоянию атома водорода, получим поправку к энергии
22
ea
2
mc
222
eBa
B
B
,
т. е.
22
100 диам 100
ˆ
ψψ de sinθ
EH rr
eB
32 2
8π 4
amc mc
B
откуда магнитная восприимчивость
ra
2/
322
χ 0,
B
2
E
22
данный вклад действительно описывает диамагнитные свойства атома.
78
8.2. Спин электрона
f
f
Используя свойства матриц Паули, представленные в (1.8.6),
8.4.
и записывая
( σ)( σ) σσ (σσ σ σ)(σσ σ σ)
a b ab ab
( σ)( σ)ab
в компонентном виде, получим
11
ijij ij ij ji ij ji
ij ij
11
ab ab
ij ij
() i( )σab I a b
{σ , σ }[σ , σ ](δ i σ )
ij ij ij ijij ijkk
22
22
.
8.5. Из результата предыдущей задачи следует, что для единич-
ного вектора
откуда следует
n
квадрат
( σ)knI
Подставляя эти результаты в разложение функции
( σ)n
равен единичной матрице :I
2
21
k
( σ)(σ)
и
nn
.
( σ )
nx
( σ),nI
в ряд Тей-
лора, имеем
( σ )
fnx f f f
() (2) (2 1)
kl l
00 0
If n f
ll
00
11
xfxI fxfxn
() ( ) () ( )(σ).
22
kk l l l l
( σ)(σ)(σ)
nx n x n x
kl l
!(2)! (21)!
kl l
221
ll
xx
ll
(2 ) (2 1)
(2 )! (2 1)!
( σ)
ll
22 2121
8.6. Используя определение оператора конечного поворота (1.8.8),
имеем
i/2
e0
U
0e
i/2
и
ψψ
U
iφ/2
e
βe
iφ/2
.
2
79
8.7. (а)
I
(б)
11
UU
UU
i1 0 i
22
0i 1 0
, ψ =
i0 0 i
, ψ =
;
.
1i 1 1
8.8. Выберем в спинорном пространстве в качестве элементов но-
вого базиса исходный спинор
спинор
ψ
2
. Построим матрицу
ψψ
1
U
и ортогональный к нему
*
, взяв в качестве
верхней и нижней строки эрмитово сопряженные спиноры
(ψ )(,)
1
и
ная матрица унитарна:
и она обеспечивает искомое преобразование:
Используя формулу (1.8.5), матрицу
в «стандартном» виде как поворот вокруг оси
(ψ )(,).
2
UU U U I
cos i ( σ)sin
UI n
Легко убедиться, что получен-
(где
φφ
– единичная матрица),
1
ψ
U
можно представить также
U
n
на угол φ:
,
0
.
22
где
φ 1 φ
cos Tr Re , φ 2arccos (Re ), sin 1 (Re ) ,
U
22 2
nU
1
Tr σ (Imβ,Reβ,Im)/1(Re).
2
2
2isin(φ /2)
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]