Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика. Сборник задач и примеры их решения. Учебно-методическое пособие
.pdf
Диагональный матричный элемент
F
F
x
ˆ
среднее от оператора
наблюдаемые величины вещественны, и соответствующие им опе-
т. е.
раторы эрмитовы:
Для перехода к конкретному представлению в гильбертовом пространстве нужно выбрать набор базисных векторов
ряющих условиям
.|
Проецируя физический вектор квантового состояния
|
на базис
() |
с индексом (индекс может принимать как дискретные, так
и непрерывные значения).
Оператор
ется числовой матрицей:
представлением оператора
в качестве базиса
ˆ
xx xx
|,| |
лучим соответственно
Переход от представления в базисе
гом базисе
ния
,|U
{| },
, которую можно рассматривать и как числовой вектор
ˆ
F
{| β }
F
по состоянию
ˆˆ
() .
полноты:
, взятый «в обкладках» базисных векторов
{| }
либо оператора импульса
производится с помощью унитарного преобразова-
:
F
получим численнозначную волновую функцию
FF
12
ˆ
в базисе
собственные векторы оператора координаты
координатное либо импульсное представление.
FFF
aa a a a
Классически измеримые,
|.
a
1
и ортонормированности:
ˆ
|| ,
12
{| }.
{| }
ˆ
||
{| }
, удовлетво-
{| }
т. е. численнозначным
В частности, выбирая
|, (| |),ppppp
к представлению в дру-
ˆ
дает
, явля-
по-
|||
где
в базисе
вано
рым соответствуют эрмитовы операторы
|
условие полноты:
Для произвольной пары наблюдаемых физических величин, кото-
и
{| }
β |
– волновая функция квантового состояния
и базисе
{| β }
соответственно; здесь также использо-
1
11
.
,
ˆ
ˆ
a
и
и коммутатор которых
b
|
отличен от нуля:
x
x
L
p
ˆ
[, ] i 0ab C
ˆ
(где
ˆ
– эрмитов оператор), при усред-
C
ˆ
нении по любому квантовому состоянию
являющееся обобщением
берга
(см. также [1, с. 54]):
соотношения неопределенностей Гейзен-
222
ˆˆ
()()
aa bb C
ˆˆ
Задача 3.1. Вычислить коммутаторы:
ˆ
ˆ
[, ],
(а)
(б)
Указание: использовать для оператора
(в)
(г)
энергии,
K
где
ˆ
ˆˆ
[, ()],pU x
ˆ
,
Lr
ij
ˆˆ
,,
LK
i
где
ˆ
,
()Ur
– потенциал центрально-симметричного поля, r– рассто-
Lp
ˆ
ˆ
ˆ
()Ux
ˆ
ˆ
,
ij
ˆ
,(),
LUr
i
2
/2Kp m
– оператор кинетической энергии;
ˆ
– оператор потенциальной энергии.
ˆ
ˆ
()Ux
ˆˆ
,
,
LL
где
;
y
2
ˆ
ˆ
/2Kp m
яние до центра поля.
Указание: для оператора момента импульса
1
тензорном виде:
ˆ
Lrp
i ijk j k
ˆˆ
, где
– антисимметричный тензор
ε
ijk
|
возникает неравенство,
1
ˆ
. (1.3.2)
4
разложение в ряд Тейлора (1.3.1);
– оператор кинетической
ˆ
использовать определение в
i
(ε 1).
123
Задача 3.2. Показать, что выражение
ˆ
Tpa
a
ˆ
exp(i / )
является опе-
ратором сдвига в координатном пространстве:
ˆ
ψ() ψ()
Указание: использовать для
Tx xa
a
Задача 3.3. Доказать, что матрица
Задача 3.4.
Доказать утверждение (1.3.2).
ˆ
exp (i / )pa
. (1.3.3)
разложение в ряд Тейлора.
|Upx
унитарна.
Задача 3.5. Исходя из неравенства (1.3.2), найти соотношение неопре-
2
деленностей для случаев: (а)
22
ˆ
ω
mx
ˆ
и
b – потенциальная энергия гармонического осциллятора.
ˆˆ
ap
ˆ
ˆ
,
;bx
ˆ
(б)
aK
– кинетическая
ˆ
ˆ
m
2
2
12
4. Квантовая динамика, уравнение Шредингера
F
f
F
F
Эволюция квантового состояния
нением Шредингера
ˆ
H
где
торый также является и
и уравнение Шредингера для квантовой частицы в потенциальном поле
нию
– оператор Гамильтона (гамильтониан) квантовой системы, ко-
В координатном представлении волновая функция
принимает вид
(,)Urt
22
ˆ
i (,) (,) (,) (,) (,)
rt Urt rt Urt rt
tm m
Плотность вероятности
непрерывности
p
22
w
i| |H
t
оператором энергии квантовой системы:
div 0,
j
t
i
2jm
|
во времени описывается урав-
ˆ
|| .EH
, (1.4.1)
ˆ
(,) ,rt r
(,) | (,)|wr t r t
где поток вероятности равен
**
()
2
удовлетворяет уравне-
. (1.4.3)
. (1.4.2)
ˆ
Пусть
ˆ
тора
времени от наблюдаемой
она является
.
Если
Оператор
ˆ
||fF
ˆ
0,F
то и
интегралом движения. Если же оператор
– наблюдаемая (среднее значение) опера-
,F
среднее значение которого дает производную по
13
ˆ
F
t
ˆ
|| ,fF
[,]
определяется как
. (1.4.4)
ˆ
от времени
:
di
ˆˆ ˆˆ
FHF
t
d
0,f
т. е. наблюдаемая f не зависит от времени,
E
E
E
E
явным образом не зависит, т. е.
движения уже при выполнении условия
Особый интерес представляют системы, гамильтониан
ˆ
, то f становится интегралом
0F
t
ˆˆ
[,]0HF
.
ˆ
H
которых
не зависит от времени явным образом. В них интегралом движения является энергия, и существует полный набор квантовых состояний
с точно определенными значениями энергии, волновая функция кото-
i
t
рых принимает вид
(,) ψ ()e
rt r
nn
n
. Подставив
(,)
rt
n
в урав-
нение Шредингера и сократив левую и правую часть на общий множи-
i
Et
n
тель
e
, получим стационарное уравнение Шредингера
ˆ
ψ () ψ ()
HrE r
nnn
, (1.4.5)
в котором зависимость от времени выпала и которое с математической
точки зрения является уравнением на
{ψ ()}
и
собственные функции
Поскольку гамильтониан
ные значения
{}
вещественны, и ортонормированный
n
r
гамильтониана
n
ˆ
H
эрмитов:
собственные значения
ˆ
H
.
ˆˆ
то все его собствен-
,HH
{}
n
3
d ψ ()ψ () δ
набор собственных функций
rr r
mnmn
{ψ ()}
r
n
обладает также свойством пол-
(1.4.6)
ноты:
ψ () () ( ).
rr rr
nn
n
Наличие полного набора
оператор эволюции – оператор сдвига по времени, известный также
ить
как
функция Грина:
(, ; ) e ψ ()ψ ()
Urr t t r r
{}
и
n
n
ψ ()nr
i( )/
Ett
n
14
дает возможность постро-
(1.4.7)
nn
. (1.4.8)
Оператор эволюции позволяет найти волновую функцию в произ-
x
x
H
вольный момент времени
в момент времени
t
0
(,) d (, ; ) ( , ).rt rUrr t t r t
t
по начальной волновой функции, заданной
:
3
00
(1.4.9)
Литература: [7, § 8–10, 17–19; 8, § 8–10, 20–22; 2, § 6, 7; 1, § 15–18;
10, § 15–17, 21; 4, § 21, 22].
Задача 4.1. Найти решение уравнения Шредингера для свободной
частицы в постоянном поле
и энергию
E
.
учитывая массу частицы m
,(,)Urt U
0
Задача 4.2. Найти поток плотности вероятности для волны де Бройля:
ψ(,) exp(i / i /2 )
tpxptm
1
(2π )
1/ 2
2
.
Задача 4.3. Найти поток плотности вероятности для волнового па-
0t
кета, заданного в момент времени
(, 0) exp
xt
1
1/ 4 2
2
2π
a
0
:
()i
2
xpx
00
4
a
0
.
Задача 4.4. Для частицы в потенциальном поле, используя опера-
2
ˆ
p
тор Гамильтона
ˆ
HUx
найти: (а) оператор скорости
2
(б) оператор ускорения
m
(),
ˆˆ
ax
ˆ
.
Задача 4.5. Гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном
поле имеет вид
(,)
2
φ(,).
ert
е
ˆ
pArt
с
ˆ
2
m
ˆˆ
vx
;
ˆˆ
vr
Найти: (а) оператор скорости
; (б) оператор ускорения
15
ˆˆ
ar
.
Задача 4.6. Построить оператор эволюции (1.4.8) для волновой
x
x
x
x
x
x
x
x
x
функции свободной частицы (в одномерном случае).
5. Одномерное движение в потенциальном поле,
стационарный случай
5.1. Общие свойства одномерного движения
Стационарное уравнение Шредингера для частицы с массой m в по-
тенциале
является линейным дифференциальным уравнением второго порядка
и имеет два линейно независимых решения
шение дается их линейной комбинацией:
коэффициенты
нормировки.
В ряде случаев координатное пространство распадается на не-
сколько областей, в каждой из которых имеется свое решение, и возникает необходимость «сшивки» смежных решений
нице раздела
непрерывность волновой функции
при условии ограниченности потенциала
x
при наличии в точке раздела
()Ux
()Ux
2
(1.5.1)
, cc
определяются из граничных условий и условия
12
x
. Требования сшивки:
– непрерывность производной
вида
δ(),Gxx
где
ψ ()ψψ
2
m
const,G
Ux E
ψ ().
ψ() ψ () ψ (),
ψ () ψ ();
ab
Произвольное ре-
1,2
cxc x
11 2 2
ψ (), ψ ()
ab
x
|()|Ux L
ψ () ψ ();
ab
x
x сингулярности потенциала
– скачок производной:
где
x
на гра-
в точке
2
В случае
ψ (0)ψ (0) ψ()
xx
инфинитного движения типичной является задача о прохож-
mG
2
. (1.5.2)
дении падающей волны через область потенциального поля и нахождении
амплитуд отраженной (рассеянной) и прошедшей волны. Общая нормировка определяется нормировкой падающей волны, а граничное условие
16
заключается в требовании, чтобы за областью потенциального поля оста-
R
j
j
j
j
x
x
x
лась лишь уходящая (прошедшая) волна. Искомым результатом тут является коэффициент прохождения
где
пад
и
пр
– поток падающей, прошедшей и отраженной волны
отр
,
соответственно. Очевидно, что
В случае
финитного движения типичной является задача о нахож-
/Tj j
пр пад
1TR, так как
и отражения
jj
отр пр пад
/
jj
отр пад
.
дении спектра энергетических уровней в квантовой системе и волновых
функций соответствующих квантовых состояний. Условие нормировки
принимает вид:
d|ψ()| 1xx
2
, а граничные условия фактически сво-
дятся к требованию, чтобы волновая функция затухала за пределами
классически доступной области. Важным следствием этого требования
является
дискретность энергетического спектра финитного движения.
Для финитного движения в одномерном случае справедливо утвер-
ждение о
невырожденности энергетических уровней: не существует
двух различных решений с одной и той же энергией. Из этого утверждения вытекает ряд следствий:
(а) волновая функция представима в вещественном виде:
(б) в
основном (наинизшем) состоянии волновая функция не имеет
ψ() ψ ();xx
узлов (нулей);
(в)
осцилляционная теорема: число узлов (нулей) волновой функ-
ции равно
n
, где
(г) если потенциальное поле
к операции отражения
дает определенной четностью:
0, 1, 2, n
– номер уровня;
()Ux
() ( ),Ux U x
то волновая функция также обла-
ψ() (1)ψ().
симметрично по отношению
n
x
,
Литература: [7, § 21, 25; 8, § 21–22, 24; 11, § 5; 2, с. 41–45, 53–62;
4, § 24].
Задача 5.1. Найти волновую функцию и энергию квантовых
состояний частицы с массой
и
()Ux
при
|| /2
a
.
m
в потенциале
() 0Ux
при
|| /2
a
Задача 5.2. Как изменится спектр уровней в задаче 5.1, если к потен-
циалу
()Ux
добавить
() δ()Ux G x
1
, где константа
17
0G
?
Задача 5.3. Найти волновую функцию и энергию связанного состо-
x
яния частицы с массой
0G
.
m
в потенциале
() δ (),Ux G x
где константа
Задача 5.4. Найти амплитуду прошедшей и отраженной волны при
0E
рассеянии квантовой частицы с энергией
циале
() δ(),Ux G x
вычислить коэффициенты прохождения и отра-
и массой m на потен-
жения. Обсудить поведение амплитуд прошедшей и отраженной волны
0E
при аналитическом продолжении в область
.
Задача 5.5. Найти спектр энергий связанных квантовых состояний
m
частицы с массой
||xa
при
Указание: рассмотреть по отдельности случаи четных и нечетных волно-
вых функций. При какой глубине ямы
ное связанное состояние?
.
в потенциале
()Ux U
U
появится
0
при
0
||xa
-еn
четное и
и
() 0Ux
-еn
нечет-
Задача 5.6. Частица с массой
При какой минимальной глубине ямы
m
находится в потенциале
при 0; 0 при }() { при 0; UaxxU
0
U
появится первое связан-
0
xa
.
ное состояние?
Задача 5.7. Найти энергии состояний дискретного спектра для частицы
с массой
m
в потенциале двух
δ-ям:
() δ()δ().Ux G x a x a
(а) Изучить качественно зависимость энергии состояний от расстоя-
ния между
δ-ямами.
(б) При каком расстоянии между
δ-ямами
антисимметричное со-
стояние исчезнет?
5.2. Движение квантовых частиц в периодическом потенциале
Рассмотрим потенциал
(),Ux
обладающий симметрией по отноше-
нию к сдвигу:
ˆ
TUx Ux a U x (1.5.3)
() ( ) (),
a
18
ˆ
x
x
x
x
x
x
x
x
Tpa
где
a
ˆ
exp(i / )
– оператор сдвига
xa
(см. задачу 3.2),
a – период потенциала. Примером такого потенциала для электро-
нов в кристалле является поле, создаваемое ионной кристаллической
решеткой.
ˆ
T
Поскольку оператор
(),Ux
существует базис – полный набор таких состояний
коммутирует с гамильтонианом
a
ˆ
2
ˆ
/2Hp m
{ψ ()}
,
λ
которые одновременно диагонализуют не только гамильтониан
ˆ
ψ () ψ ()HxEx
λλ
, но и оператор сдвига (теорема Блоха, предложен-
ная Ф. Блохом в 1928 г.):
ˆ
ψ () ψ ()λψ (),
λ
где
– собственное значение оператора сдвига есть тот численный
множитель, на который умножается волновая функция
сдвиге
на период a потенциала
Поскольку при сдвиге на период
так как в силу симметрии периодический потенциал
Tx xa x
λλ λ
a
().Ux
a задача остается той же самой,
(1.5.4)
ψ ()
при
λ
() (),Ux a Ux
то той же самой должна остаться и наблюдаемая плотность вероятности:
()|()||λ || ()| |λ |)()(wx a x a x x xww
откуда
i
λ eqa
| λ |1
. В общем случае параметр λ можно представить в виде
, где величина q носит название квазиимпульс. Для учета всех
уникальных значений параметра
ψ ()
λ
для
q
достаточно ограничиться диапазоном
в целях удобства мы будем использовать обозначения
22 22
λ
и соответствующих им решений
,
ππ
q
. Далее
aa
λ()
()ψ () ψ
xx
qq
.
С учетом сказанного для построения решения
брать любую ячейку (элемент периодичности), например:
ψ ()
Искомая волновая функция
внутри выбранной ячейки есть ли-
q
нейная комбинация пары линейно независимых решений
ψ ()
достаточно вы-
q
φ (; )xE
1, 2
0
a
.
ста-
ционарного уравнения Шредингера:
19
ˆ
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
φ (; ) φ (; ), где 1, 2;
HxEExE i
ii
(1.5.5)
ψ () φ (; ) φ (; ),
где черта сверху означает, что функции
внутри ячейки
волновой функции
0
ψ ()
q
ражены через значения
Сшивая
ψ ()
q
и ψ ()
cxEc xE
q
11 2 2
ψ ()
q
a
. Внутри соседней ячейки
(1.5.6)
φ (; )xE
и
1, 2
определены
2ax a
в силу теоремы Блоха (1.5.4) могут быть вы-
ψ ()
, определенные в первой ячейке:
q
i
ψ () ψ ()e
xxa
qq
на их общей границе
q
qa
. (1.5.7)
a
, из условия не-
значения
прерывности волновой функции имеем
i
ψ ()ψ ()ψ (0)e ψ ()
Если потенциал
axa a
qq qq
ii
φ (0; )e φ (; ) φ (0; )e φ (; ) 0.
c E aE c E aE
11 1 2 2 2
qa qa
()Ux
в точке
qa
a
конечен1, то непрерывна и про-
(1.5.8)
изводная волновой функции:
i
ψ ()ψ ()ψ (0)e ψ ()
axa a
qq qq
ii
φ (0; )e φ (; ) φ (0; )e φ (; ) 0.
c E aE c E aE
11 1 2 2 2
qa qa
qa
(1.5.9)
Система уравнений (1.5.8) и (1.5.9) для коэффициентов
, cc
12
имеет
нетривиальное решение при условии равенства ее детерминанта нулю:
ii
φ (0; )e φ (; ) φ (0; )e φ (; )
112 2
det 0.
φ (0; )e φ (; ) φ (0; )e φ (; )
112 2
qa qa
EaE E aE
ii
qa qa
EaE E aE
(1.5.10)
1
Случай
дачи 5.8.
δ-функционной
сингулярности рассмотрен в решении за-
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]