Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика. Сборник задач и примеры их решения. Учебно-методическое пособие
.pdf
Решая это уравнение относительно энергии
E
x
x
мость от параметра
:q
()
Eq
. Подстановка
и (1.5.9) позволяет определить коэффициенты
ствующие волновые функции
Энергия
нимумом при
значения
()Eq
– периодическая функция q с периодом
0q
и максимумом при
()Eq
образуют зону – область непрерывного спектра. Напом-
ψ (),
используя формулу (1.5.6).
q
E
, найдем ее зависи-
()Eq
в уравнения (1.5.8)
, cc
и найти соответ-
12
2π /,a
π /qa
, и все промежуточные
с ми-
ним, что для нахождения полного набора решений достаточно ограни-
читься выбором
q
, лежащим внутри
ππ
q
.
aa
Вблизи дна зоны
0q
спектр
()Eq
напоминает спектр свободной
частицы:
где
() ( 0) ( ) /2Eq Eq q m
m
– эффективная масса частицы,
эфф
2
, (1.5.11)
эфф
d()
Eq
1
()
vq
q
d
q
–
m
эфф
скорость частицы.
Литература: [11, § 11; 2, с. 811–826; 9, с. 261–269; 12, с. 301–305;
4, § 59].
() δ()
Ux G x na
Задача 5.8. В потенциале
n
, где
(модель бесконечного кристалла), найти энергетический спектр и вол-
новые функции состояний с энергией
0E
. В пределе
mGa
2
найти
1
эффективную массу и скорость частицы.
N
() δ(),
Ux G x na
Задача 5.9. В потенциале
и
() ,Ux
где
||xNa
(модель кристалла конечной длины
nN
где
2),LNa
найти энергетический спектр и волновые функции состояний с энергией
0E
.
,Na x Na
21
5.3. Гармонический осциллятор
p
x
p
x
p
x
Гамильтониан гармонического осциллятора
222
где
ˆ
η /
ˆˆ
pmx
ˆ
Haa
222 2
m
– масса, ω – частота осциллятора. Безразмерные операторы
ˆ
ˆ
p
и
0
ˆ
ξ /
ωω 1
22
ˆ
(ηξ) ω
m
x
, а размерные параметры
0
ω , / ω
mx m
00
ˆˆ
и
0
, (1.5.12)
определены как
0
. (1.5.13)
Операторы
уничтожения и рождения (названия отражают их
свойства, (1.5.19))
ˆˆ
xp
11
ˆ
a
22
11
ˆ
a
i(ξ iη),
xp
00
ˆˆ
xp
i(ξ i η)
xp
22
00
ˆ
ˆ
(1.5.14)
ˆ
ˆ
подчиняются коммутационному соотношению
ˆˆ
[, ] 1.aa
В свою очередь, координата и импульс выражаются через
xp
00
ˆˆˆˆ ˆˆ
(), ()
aa p aa
(1.5.15)
ˆˆ
и aa
. (1.5.16)
как
2i2
Энергетический спектр квантового осциллятора эквидистантен
ω
с шагом
:
ω(1/2), где 0, 1, 2, …
En n
n
, (1.5.17)
а волновые функции в координатном представлении
1/ 2
(/ ) (/ )exp ( /2 ), 2 ! π ,
xx CH xx x x C nx
(1.5.18)
nnn n
00 0 0
22
n
где
– полиномы Эрмита:
n
(ξ)
H
2ξ 20
HHnH
nnn
22
.
В представлении чисел заполнения стационарному состоянию
E
р
с энергией
отвечает вектор квантового состояния
n
«квантов» энергии
оператора
тора
уничтожения
рождения
ˆ
a
ω,
содержащихся в данном состоянии. Действие
ˆ
a
понижает число квантов, а действие опера-
‒ повышает:
| n
, где n – число
ˆˆ
причем для основного состояния (с числом квантов
Произвольное состояние
| n
1, 1 1an nn a n n n
ˆ
00.a
(1.5.20)
, (1.5.19)
0n
) результат равен
может быть получено из основного со-
стояния как
n
ˆ
()
a
n
Собственное состояние оператора
стоянием
где комплексное число
:
ˆ
a
(/ i/ ) 2хх р р
00
ние центра волнового пакета на фазовой плоскости
0
. (1.5.21)
!
n
ˆ
a
называется когерентным со-
, (1.5.22)
характеризует положе-
(/ ,/ )
рхх
00
. Ко-
герентное состояние обладает максимальной локализацией, допускаемой
соотношением неопределенностей Гейзенберга:
222
() ()
xp
1
4
причем размер пакета не зависит от параметра
и связанной с ним
средней энергии состояния (см. задачи 5.15 и 5.16). В фиксированный
момент времени когерентное состояние может быть представлено
в виде суперпозиции стационарных состояний:
,
1
2
||
2
e
23
n
n
n
, (1.5.23)
!
n
0
и в последующие моменты времени эта суперпозиция принимает вид
E
x
x
p
1
2
i
|| ω
;e
2
tn
t
2
n
iω
(e )
n
0
tn
, (1.5.24)
!
где учтено, что вектор стационарного состояния с энергией
i/
Et
от времени как
;e
nt n
n
.
n
Литература: [1, § 26, 32; 2, c. 46–51; 7, § 23; 9, c. 349–360, 371–383;
12, с. 309–322; 10, § 25, 27; 4, § 23].
Задача 5.10. Исходя из уравнения (1.5.20) в координатном представ-
лении
ˆ
00 i ()
ax
1
xp
2
1
2
x
0
2
xx x
00
ˆ
xp
00
d
d
() 0,
x
0
(1.5.25)
найти волновую функцию основного состояния осциллятора.
n
ˆˆ
aa
Задача 5.11. Вычислить коммутаторы: (а)
n
ˆ
ˆ
Ha
[,( )]
, где
ˆ
H
– гамильтониан осциллятора (1.5.12).
Задача 5.12. Доказать, что состояние
[,( )];
| n
, определенное формулой
(1.5.21), является собственным состоянием гамильтониана
Задача 5.13. Для состояния
2
. Найти произведение неопределенностей
| n
вычислить: (а)
,
()( )xx p p
22
(б)
ˆ
H
2
; (б)
[, ]Ha
(1.5.12).
зависит
ˆ
ˆ
,p
,
.
Задача 5.14. Доказать, что состояние
лой (1.5.23), является собственным состоянием оператора
Задача 5.15. Для когерентного состояния
, определенное форму-
ˆ
a
.
(1.5.23) найти распре-
деление вероятности по энергии и вычислить среднюю энергию состояния.
24
Задача 5.16. Для когерентного состояния
x
p
p
x
x
2
(а)
,x
()( )xx p p
;
22
(б)
,
.
2
;
(в) произведение неопределенностей
(1.5.23) вычислить:
Задача 5.17. Для когерентного состояния
(),xt
(а)
стей
()( )xx p p
2
;()xt
(б)
22
(),pt
2
;()pt
(в) произведение неопределенно-
. Зависит ли оно от времени t?
; t
(1.5.24) найти:
6. Квазиклассическая динамика. Приближение ВКБ,
квантование Бора ‒ Зоммерфельда,
квантовое туннелирование
В случае, когда величина квантового параметра в масштабах рассматриваемой задачи мала, говорят о
мы ограничимся рассмотрением одномерного случая). В этом пределе
становится возможным ввести понятие локальной (определяемой в каждой точке
E
где
) длины дебройлевской волны2:
λ() , () 2 ( ())
()
px
– энергия частицы, m– масса частицы. Применимость такого
подхода подразумевает, что масштаб, на котором изменяется потенциал
()Ux
внешнего поля, мал по сравнению с длиной волны:
квазиклассическом пределе (ниже
px mE U x
, (1.6.1)
dλ()
1
. (1.6.2)
dxx
В общем случае оба линейно независимых решения уравнения
Шредингера в
классически доступной
(() )Ux E
области имеют вид
2
Аналогично тому, как это делается в геометрической оптике в оптически
неоднородных средах.
25
бегущих во встречных направлениях волн (приближение Вентцеля –
p
x
x
x
Крамерса – Бриллюэна (ВКБ)):
x
i
()d
xx
()
. (1.6.3)
() e
x
A
px
В
классически недоступной области
(() )Ux E
соответствующая
пара решений имеет вид падающих и растущих экспонент
1
x
B
() e κ()d, κ() 2 ( () ) ()
κ()
Классически доступная область может быть ограничена
ческой
точкой поворота:
xx x mUx E px
x
. (1.6.4)
класси-
().Ux a E
Соответствующее правило
сшивки решений (1.6.3), (1.6.4) в смежных областях для случая решения, затухающего вглубь классически недоступной области, было
получено Х. А. Крамерсом в 1926 г.:
x
() cos ( )d при () ,
C
()
px
C
2()
px
где
( ) exp ( )d при () ,
C
– нормировочный множитель. Это правило применимо при
условии, что производная потенциала
1 π
px x Ux E
a
x
1
px x Ux E
a
4
()Ux
в точке поворота ко-
(1.6.5)
нечна. В случае, когда классически доступная область ограничена
бесконечной потенциальной стенкой, приближение ВКБ справедливо
вплоть до стенки, на которой волновая функция должна обращаться
в нуль:
x
xa px
() sin d;
C
xa Uxa
()0, так как ().
1
p
a
26
(1.6.6)
Для случая финитного движения, ограниченного классическими
p
E
точками поворота
a
и ,b возникает правило квантования Бора ‒
Зоммерфельда
1
(; )d , где 0, 1, …
pxE x n n
2π
которое ввиду зависимости
дает связь между энергией квантового состояния и его номером
()
En
n
.
Другой класс задач связан с
1
2
(; ) 2 ( ())
xE mE Ux
квантовым туннелированием
, (1.6.7)
от энергии E за-
n
сквозь потенциальный барьер. В квазиклассическом приближении
проницаемость потенциального барьера, определяемого как вероятность подбарьерного прохождения (туннелирования) квантовой ча-
стицы, равна
bb
exp κ()d exp 2 ( () )d
Dxx mUxEx
где
a
и b – точки входа (под барьер) и выхода:
22
aa
() ()Ua Ub E
, (1.6.8)
.
Литература: [1, § 21–24; 2, с. 149–165; 7, § 46–48, 50; 10, § 37–40].
Задача 6.1. Используя квазиклассическое приближение, найти
спектр энергий гармонического осциллятора.
Задача 6.2. Найти уровни энергии для частицы в потенциале
()Ux x
.
:
Задача 6.3. Найти уровни энергии для частицы в потенциале
() /| |Ux e x
() βUx x
2
Задача 6.4.
4
.
.
Найти уровни энергии для частицы в потенциале
Задача 6.5. Найти уровни энергии для частицы в потенциале
() γUx x
3
при
0x
()Ux
и
при
27
0x
.
Задача 6.6.
Вычислить плотность
тока холодной эмиссии электронов из
металла в зависимости от приложенного
электрического поля
(рис. 1). Высота
потенциального барьера на границе ме-
U
Рис. 1
талла
тронов внутри металла
, кинетическая энергия элек-
0
E
.
7. Движение в центральном поле
7.1. Общие свойства движения в центральном поле
В центрально-симметричном поле момент сил со стороны поля ра-
()Ur
вен нулю, потенциал
||rr
и не зависит от углов.
Оператор момента количества движения
рует с оператором Гамильтона (см. задачу 3.1 (г))
зависит только от расстояния до центра
1
ˆ
ˆ
()Lrp
коммути-
2μ
ˆ
(1.7.1)
22 22
ˆ
pL
ˆ
HUr r Ur
() ()
2μ 2μ
1
22
rr
rr
и является интегралом движения (здесь
2
μ
– масса частицы). При отсут-
ствии внешних моментов сил движение по углу является, по сути, сво-
()Ur
бодным, не зависящим от потенциала
, и волновая функция при-
нимает вид
где
Y
lm
– сферические (шаровые) функции, являющиеся собствен-
(θ, φ)
ψ(,θ, φ)()(θ, φ)
rRrY
ными функциями операторов
nl lm
ˆ
2
ˆ
L
L
– проекции на ось квантования
и
z
28
, (1.7.2)
z
:
R
E
R
ˆ
Здесь
,lm
– целые числа, причем
2
LY ll Y LY mY
lm lLmzlm
квантования ‒ принимает
(θ,φ)
lml
. Функции
Y
lm
ванности
*
d(θ, φ)(θ, φ) δδ
YY
lm l m ll mm
При отражении координат
ются как
ψ(,θ, φ)r
ции
θπθ
(1.7.2) определяется исключительно лишь четностью
φπφ
и
сферических функций
(1) ;
m
(2 1)l
значения, лежащие в интервале
ˆ
‒ проекция момента
. (1.7.3)
ˆ
ˆ
L
на ось
удовлетворяют условию ортонормиро-
rr
угловые переменные преобразу-
. (1.7.4)
. Тем самым четность волновой функ-
(πθ, πφ)(1) (θ, φ)
YY
lm lm
и не зависит от потенциала
()Ur
.
l
(1.7.5)
В свою очередь, вся зависимость от потенциала в центрально-сим-
метричном поле
содержится в радиальной функции
nl
()
r
, удо-
()Ur
влетворяющей уравнению
2
1
2μ
2
rRrUrRrERr
2
rr
r
() () () ()
nl nl nl nl
эфф
, (1.7.6)
где эффективный потенциал есть сумма «центробежного потенциала»
()Ur
и
мента
шения с энергией
по числу различных значений проекции
:
2
(1)
ll
Ur Ur
эфф
2μ
2
r
() ()
Отметим, что уравнение (1.7.6) не зависит от
ˆ
L
на ось квантования. Это означает, что в центральном поле ре-
вырождены, как минимум,
nl
m
. (1.7.7)
m
– проекции мо-
(2 1)-кратноl
. Подстановка
() χ()/
rrr
–
приводит уравнение (1.7.6) к виду
29
22
s
R
2
χ () ()χ () χ ()
rU r r E r
nl nl nl nl
2
m
r
эфф
, (1.7.8)
совпадающему с уравнением Шредингера для одномерной задачи с потенциалом
()Ur
и с граничным условием
эфф
χ(0)0r
.
Литература: [7, § 32; 2, с. 128–135; 11, § 15; 10, § 23; 4, § 25].
() γ /.
Задача 7.1. Пусть
Ur r
Пользуясь соотношением неопре-
деленностей, оценить энергию основного состояния.
Задача 7.2. Показать, что для произвольного потенциала, в котором
отсутствует падение на центр, в пределе
l
() .
rr
nl
0r радиальная функция
Задача 7.3. Определить уровни энергии для частицы с моментом
0l
, находящейся в центрально-симметричном потенциале
при
ra
и
() 0Ur
при
ra
. При какой минимальной глубине
()Ur U
U
0
по-
явится первый уровень?
7.2. Àòîì водорода
0
Энергетический
где
альное
Ry 13,6 эВ
ным
r
квантовое число,
– постоянная Ридберга. Каждое состояние с определен-
l
вырождено
(1)
nnl
имеется дополнительное
спектр атома водорода описывается формулой
Ry
En
n
– главное квантовое число,
0, … , 1ln
(2 1)-кратноl
по проекции момента m . Кроме того,
, (1.7.9)
2
0, … , 1
nn
r
– орбитальный момент,
«случайное» вырождение, специфичное ис-
– ради-
ключительно для кулоновского потенциала, проявившееся в том, что
энергия (1.7.9) зависит только от главного квантового числа
n
и l по отдельности.
r
nl
Состояния атома водорода обозначаются как
ного момента вместо числовых значений
30
0, 1, 2, 3, …l
, где для орбиталь-
n
, а не от
используются
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]