Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика. Сборник задач и примеры их решения. Учебно-методическое пособие
.pdf
Для вырожденных или близко расположенных уровней потребуются
p
E
другие методы [7, § 39; 1, § 49, 50; 2, с. 214–220; 10, § 30, 31] (см. также
задачи 11.5 и 11.6).
Литература: [7, § 38, 39; 2, с. 210–220; 1, § 47, 48; 11, §17; 13,
с. 197–204; 10, § 29–31].
Задача 11.1. Для гармонического осциллятора с невозмущенным га-
22
ˆ
ω
mx
0
и возмущением
ˆ
Vx
ˆ
найти по-
мильтонианом
2
ˆ
p
(0)
ˆ
Hm
22
| n
правки к энергии произвольного состояния
.
Задача 11.2. В первом, отличном от нуля порядке теории возмуще-
ний найти поправки к уровням гармонического осциллятора, вызванные
3
ˆ
ангармоническими добавками к потенциалу: (а)
Указание: решать задачи (11.1) и (11.2), используя операторы рождения
и уничтожения, определенные в формуле (1.5.4).
βVx
; (б)
4
ˆ
γVx
.
Задача 11.3. Найти поправку к энергии основного состояния атома
водорода, обусловленную релятивистской поправкой к кинетической
энергии электрона:
24 4
22 24 2
pc mc mc V
.
2
pp
m
32 32
mc mc
88
ˆ
;
ˆ
Для водорода волновая функция основного состояния
(,θ, φ)exp
r
100
1
π
.
a
B
r
Задача 11.4. Для атома водорода в основном состоянии найти
энергию
полем
как
Задача 11.5. Для атома водорода в состоянии с
E
взаимодействия с внешним постоянным электрическим
(эффект Штарка) и поляризуемость атома, определенную
2
.
2
найти энергию
2n
)(E
взаимодействия с внешним постоянным электрическим полем
41
,
учитывая разность энергий атома в состояниях 2S и 2P:
x
B
B
x
B
B
B
B
B
6
P
2
E
4, 4 10 эВ
от
?
E
сит
Задача 11.6. Покоящийся электрон со спином
5
(наличием спина электрона пренебречь). Как зави-
s
стоянное магнитное поле
ной величине поля
до
B
0z
. Найти энергии и волновые функции стационар-
B
0z
поле
BB
z
z
BB
0
zx
медленно изменяют от значения
(,0, ),
ных состояний электрона в зависимости от величины поля
менится результат, если поле
B
?
0
x
EE
1
помещен в по-
2
При неизмен-
.
. Как из-
z
2SP S
Задача 11.7. Найти магнитный момент атома водорода (фактор
Ланде) в состоянии 2P (
1/ 2j
и
3/2.j
) при значениях полного момента
1l
2,n
Задача 11.8. Вычислить энергию спин-орбитального взаимодей-
ствия в атоме водорода в состоянии 2P.
Задача 11.9. Найти расщепление уровней атома водорода в состоя-
нии 2P (
) в пределе слабого магнитного поля (эффект
2,n
1l
Зеемана) и в пределе сильного магнитного поля (эффект Пашена – Бака).
11.2. Возмущение, зависящее от времени
Рассмотрим нестационарное уравнение Шредингера
ˆ
H
где
набором
En Hn
– не зависящий от времени гамильтониан задачи с полным
0
| n
ˆ
||
n
0
d
i|() |() ()|()
d
t
решений стационарного уравнения Шредингера:
ˆ
()Vt
, а
ˆˆˆ
tHt HVt t
0
, (1.11.6)
– оператор возмущения, зависящего от времени.
5
Эта разность энергий известна как лэмбовский сдвиг, обнаруженный
в 1947 г. У. Лэмбом и Р. Ризерфордом.
42
Разлагая решение
i/
Et
n
e|
n
:
|() ()e | ()|(),
tat natnt
|()t
по стационарным состояниям
i/
Et
nn
nn
n
(1.11.7)
|()nt
подставим его в уравнение (1.11.6). Умножая получившееся уравнение
слева на бра-вектор
()|mt
, получим систему уравнений
где
ω ()/
EE
mn m n
d
i() ()()e,
at V tat
(1.11.8)
d
t
mmnn
n
и матричный элемент
Предположим, что в начальный момент
в состоянии
| i
, что соответствует начальному условию
iω
t
mn
() | ()|
Vt mVtn
mn
система находится
tt
0
ˆ
() δ .
at
0
ni ni
.
Ограничиваясь в уравнении (1.11.8) для амплитуды перехода из начального состояния
ˆ
щению
()Vt
, получим вероятность перехода
| i
в состояние
wt at Vt t
() | ()| ( )e d
mi mi mi
| m
первым порядком по малому возму-
t
1
2
2
t
0
iω
mn
2
t
. (1.11.9)
Для возмущения, действующего конечное время, вероятность перехода из начального состояния
ние
|f
при
t
равна
|| ()e d
wa Vt t
fi fi fi
| i
1
2
2
Если возмущение остается конечным в пределе
при
t
iω
t
mn
в конечное состоя-
2
. (1.11.10)
t
, то необходимо учесть изменения базиса стационарных состояний под действием
этого возмущения (ср. с формулой (1.11.4)):
()
Vt
|| |
nn m
m
mn
EE
mn
43
. (1.11.11)
В таком случае вероятность перехода из исходного состояния
f
x
p
старого базиса при
при
определяется формулой
t
t
в состояние
|
нового базиса
{| }n
| i
d()
Vt
fi
d
t
iω
1
wa t
fi fi
2
|| e d
22
ω
mn
2
t
mn
(1.11.12)
Литература: [7, § 40, 41; 13, с. 237–240; 10, § 33].
Задача 11.10. В начальный момент атом трития находится в основ-
ном состоянии
. В результате
1n
мгновенно увеличивается на единицу:
распадаβ-
ядра трития заряд ядра
. Найти вероятность того,
2ee
что в образовавшемся ионе гелия электрон останется в основном состоянии.
Задача 11.11. В потенциале
сит от
мент
) в основном состоянии находится частица с массой m. В мо-
константа G мгновенно увеличивается вдвое:
0t
() δ()Ux G x
(константа G не зави-
2GG
Найти вероятность «ионизации» системы (переход частицы в состояние
с энергией
).
0E
Задача 11.12. На атом водорода, находящийся в основном состоя-
нии
поля
ние с
Задача 11.13. На гармонический осциллятор
действуют кратковременным импульсом электрического
1,n
() /(1 /τ )tt
0
2.n
22
. Найти вероятность перехода атома в состоя-
222
ˆˆ
ˆ
Hm дей-
mx
ω
22
ствует зависящее от времени возмущение
ˆ
Найти вероятность перехода осциллятора при
если при
t
он находился в состоянии
| n
() xtVt
ˆ
t
.
arctg( / τ)/2
в состояние
|1n
.
.
,
44
11.3. Переходы под воздействием периодического возмущения
f
f
ν
f
f
0iω
t
В случае периодического возмущения
из состояния
тервале
равна (
(, d),
золотое правило Ферми)
где d
– число квантовых состояний, лежащих в интервале
| i
в состояния
ff
вероятность такого перехода в единицу времени
wV
d||δ(ωω)dν
|f
непрерывного спектра, лежащие в ин-
2π
ififif
02
2
ˆˆ
Vt V
() e
для перехода
, (1.11.13)
(, d).
ff
Источником такого периодического возмущения может быть электромагнитная волна. В квантовом пределе вектор-потенциал, электрическое и магнитное поле монохроматической электромагнитной волны
с частотой
и волновым вектором kописываются операторами:
ω
ˆ
Art a a
ˆ
ˆ
Здесь
– нормировочный объем; операторы
V
(,) e e e e ,
ω,,λ , λ ,λ
kkk
(,) e e e e ,
rt a a
ω,,λ ,λ ,λ
kkk
(,) e e e e
rt n a n a
ω,,λ ,λ ,λ
kkk
e
– вектор поляризации волны, где λ 1, 2 ;
λ
2
c
λλ
ω
V
ω
ˆˆ
λλ
V
ω
V
i ω *iω
kr t kr t
ˆˆ
i ω *iω
kr t kr t
ˆˆ
λλ
(1.11.14)
.
i ω *iω
kr t kr t
ˆˆ
,
aa
,λ ,λ
kk
описывают рождение
e,k
λ
и уничтожение квантов электромагнитного поля:
|, ,
где
n
k
ˆ
an
,λ ,λ
kk
ˆ
an
,λ ,λ
kk
– вектор состояния квантованного электромагнитного
,, ,( 1),
nn
kk
,λ ,λ
1,
(1.11.15)
,, ,( 1),
nn
kk
,λ ,λ
,
поля в представлении чисел заполнения.
Литература: [2, с. 427–438; 1, § 80, 94; 11, § 43, 44; 10, § 34, 61–65].
45
/| |nkk
;
Задача 11.14. Электрон находится в осцилляторном потенциале
B
p
p
22
ω
mz
()
Uz
0
в квантовом состоянии
| n
. Найти вероятность в еди-
2
ницу времени радиационного электрического дипольного (E1) перехода
в квантовое состояние
|1n
.
Задача 11.15. Вычислить вероятность в единицу времени электри-
ческого дипольного (E1) перехода в атоме водорода из состояния 2P
в состояние 1S.
Задача 11.16. Покоящийся электрон находится во внешнем маг-
нитном поле (0, 0, ).
B
Вычислить вероятность в единицу вре-
z
мени радиационного магнитного дипольного (M1) перехода из состо-
яния
s
z
1
2
в состояние
s
z
1
.
2
11.4. Рассеяние частиц на потенциале: приближение Борна
k
Пусть имеется поток квантовых частиц с импульсом
(0, 0, )k
, описываемых плоской волной
с рассеивающим центром
рассеянной волны
ψ , и суммарная волна
рас
ψ ekz
()Ur
приводит к появлению расходящейся
i
пад
()
ψψψ
. Взаимодействие
пад рас
должна
удовлетворять уравнению Шредингера
2
где
222
ˆ
E
mm
22
2
m
k
– энергия, m – масса падающих частиц. Для постро-
() ()
()ψψ
Ur E
, (1.11.16)
ения решения удобно рассмотреть эквивалентное интегральное уравнение
() i ()
ψ () e d ( ) ( )ψ ()
rrGrrUrr
2
m
kz
3
2
46
, (1.11.17)
где функция Грина
f
f
f
f
() δ()Gr r
.
()
Gr
1exp(i )
4π
kr
удовлетворяет
r
В рамках задачи о рассеянии нас интересует поведение
||ra
больших расстояниях от рассеивающего центра:
()Ur
мер области действия потенциала
i
(, )
fkk
kr
e
, где
(, )
kk
– амплитуда рассеяния, удовлетворяющая
. В этом пределе
, где
() i
ψ () e
r
уравнению
i()
kr
(, )
kk
i
qr
()fq
формулами:
q
. (1.11.18)
в линейном по
, (1.11.19)
Предполагая
(, ) d e ()ψ ()
kk r Ur r
()Ur
m
2π
3
2
достаточно малым и пренебрегая вкладом рас-
сеянной волны в подынтегральном выражении, получим
Борна (М. Борн, 1926) для амплитуды рассеяния
()Ur
приближении:
qk k
где
ношением
() d e ()
qrUrU
– передача импульса, связанная с углом рассеяния θ соот-
||2sin.
qq k
mm
3
22
2π 2π
θ
Дифференциальное и полное сечение рас-
2
сеяния выражается через амплитуду
2
()k
()
ψ ()r
r
a
– раз-
kz
на
формулу
dσ
d
22
() , σ ()d
fq fq
. (1.11.20)
Условия применимости приближения Борна:
(а) для случая медленных частиц, при
()Ur
47
:
ma
2
2
сти рассеивающего потенциала
|()|Ua
1qa
, где a – размер обла-
(1.11.21)
(здесь потенциальная энергия мала по сравнению с энергией частицы,
локализованной на размере
);a
(б) для быстрых частиц:
|()|
(здесь потенциальная энергия
aUa
v
()Ua
ностью кинетической энергии
рез область взаимодействия размера
1
(1.11.22)
мала по сравнению с неопределен-
за время пролета частицы че-
/Et
a
,
).
/tav
§ 66–68].
Задача 11.17. Найти в приближении Борна дифференциальное
и полное сечение рассеяния на потенциале
() (),Ur G r
где G – посто-
янная.
Задача 11.18. Найти дифференциальное сечение рассеяния на по-
тенциале
() ( ) ( ),Ur G r a r a
где G – постоянная, а направле-
ние вектора случайно. Исследовать зависимость сечения при
1,qa
и
где
Задача 11.19. Вычислить в борновском приближении дифференци-
альное сечение рассеяния быстрых электронов на протоне:
Задача 11.20. Вычислить сечение рассеяния быстрых электронов на
qk k
.
()
Ur
атоме водорода в основном состоянии.
2
e
.
r
1qa
48
2. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ
1. Квантовая природа микромира. Масштабы квантовых
явлений и простейшие оценки
1.1. Атом водорода описывается тремя размерными параметрами:
массой электрона
неподвижным, так как
[] [энергия][время],
куда комбинация размерности скорости
щий масштаб. Так как безразмерная постоянная тонкой структуры
2
/1/137ec
Далее комбинацию размерности энергии легко построить как
242
mv me
ee
h
энергии Хартри (Д. Хартри, 1928). Наконец, отношение квадрата за-
ряда
2
e к энергии
называемый боровский радиус:
Энергия основного состояния атома водорода отрицательна,
и точный результат содержит множитель
Ry 13,6 эВ
m
, зарядом e и постоянной Планка (ядро считаем
e
mm ). Размерность постоянной Планка
ep
2
размерность
[][энергия][расстояние],e
2
/ve задает соответствую-
, где c – скорость света, получаем
.E7/2,2 эВ
Она известна как атомная единица
E,
имеющее размерность длины, определяет так
h
22
ame
B
/
.
e
1/ 2:
называется постоянной Ридберга.
vc
.
E/2 Ry,E
h
от-
где
1.2. Энергия осциллятора равна
ω.E
В макроскопическом случае
22
ω /2EmA , дискретность спектра
0,5E
эрг,
49
1, 05 10E
эрг,
27
27
E
E
11
эрг и
/~1EE
.
2π / λ / λ,EcA
6
определяется энергией рекомбинации
/2,1 10;1EE
в микроскопическом случае
5,25 10E
1.3. Энергия фотона согласно формуле
2π 1,24 10 м, эВAc
2,7 10E
эрг,
11
где
пары частица – дырка, равной ширине запрещенной зоны между валентной зоной и зоной проводимости. Эта же ширина определяет пороговое напряжение для протекания тока через светодиод в прямом
направлении:
1, 24 10 м.В
для синего (
6
λ 450 нм
/(/)/λVEe Ae
, где e ‒ заряд электрона,
Для красного светодиода
2,75 В.V
)
(λ 750 нм)
(/)Ae
1, 6 5 В,V
1.4. При движении по круговой орбите радиуса
трона определяется силой кулоновского притяжения
ускорение элек-
r
2
(/)/ .aer m
Подставляя ускорение в формулу для интенсивности дипольного излучения [15, § 67], имеем
222
22
eee
Ia
2
332
33
ccmr
2
.
Оценивая характерное время падения электрона на ядро как отноше-
2
/2
ние энергии атома
τ ~
22 13
remc
Здесь
e
er к интенсивности излучения
|| 3
Irс
222
eee
2
21/,8810
2
32
r
3
cmr
см – так называемый классический
2
rr
4
e
радиус электрона. Подставив в качестве начального радиуса
8
10
см, получим 11τ 4, 7 10
1.5. Запишем 4-вектор энергии-импульса фотона до рассеяния
(/,ω /)kcnc
с.
и после рассеяния
( ω /, ω /)kcnc
I
, получим
2
.
ra
B
n
, где
и
n
– единичные векторы в направлении падающего и рассеянного фотона.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]