Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая теория поля
.pdf
Р. Е. Борчердс
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Перевод с английского А. Я. Мальцева
МоскваИжевск
2019
УДК 530.145
ББК 22.315.1
Б839
Интернет-магазин
• физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru
технологии
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по про-
екту № 06-01-14062.
Борчердс Р. Е.
Квантовая теория поля. — Москва–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», Институт компьютерных исследований, 2019. — 96 с.
Автором предлагаемой монографии является выдающийся британский математик Ричард Борчердс, получивший в 1998 году медаль Филдса за «работы по алгебре и геометрии и, в частности, за доказательство Moonshine conjecture». Он ввел
точное математическое понятие «вершинной (операторной) алгебры», что сыграло
решающую роль в развитии теории представлений «monstrous moonshine» (понятие, введенное в 1979 году Конвеем и Нортоном для характеристики поразительной
связи между конечной простой группой Монстр и модулярными функциями.).
Данная книга основана на лекциях, прочитанных осенью 2001 г. студентам
университета в Беркли и направленных на ознакомление математиков с основами
квантовой теории поля. В последнее время применение в математике методов и
идей этой теории оказалось чрезвычайно успешным, прежде всего в маломерной
топологии, симплектической геометрии и теории модулей римановых поверхностей,
не говоря уже о математической физике.
ISBN 978-5-4344-0619-2 ББК 22.315.1
c
Р.Е.Борчердс, 2019
c
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2019
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Оглавление
1. Введение .............................. 5
1.1. Жизненныйциклфизика-теоретика ........... 5
1.2. ИсторическийобзорСтандартноймодели ....... 6
1.3. Некоторыепроблемыснейтрино ............ 10
1.4. ЭлементарныечастицывСтандартноймодели..... 12
2. Лагранжианы............................ 13
2.1. Чтотакоелагранжиан? .................. 13
2.2. Примеры .......................... 13
2.3. ОбщееуравнениеЭйлера–Лагранжа .......... 15
3. Симметрииитоки......................... 15
3.1. Очевидныесимметрии .................. 16
3.2. Нестольочевидныесимметрии ............. 18
3.3. Электромагнитноеполе.................. 20
3.4. Переход от классической теории поля к гомологиче-
скойалгебре ........................ 22
4. Фейнмановскиеинтегралыпопутям .............. 23
4.1. Конечномерныеинтегралы ................ 24
4.2. Случайсвободногополя ................. 25
4.3. ФункцииГринасвободногополя............. 27
4.4. Случайполясовзаимодействием ............ 28
5. 0-мернаяКТП ........................... 28
5.1. СуммированиепоБорелю ................ 32
5.2. Другиесуммыпографам................. 33
5.3. Классическое поле . .................... 34
5.4. Эффективноедействие .................. 36
6. Обобщенныефункцииипропагаторы.............. 41
6.1. Евклидовыпропагаторы ................. 43
6.2. Лоренцевыпропагаторы ................. 45
6.3. Волновые фронты и произведения обобщенных функ-
ций ............................. 48
7. КТПввысшихразмерностях................... 52
7.1. Пример........................... 52
4ОГЛАВЛЕНИЕ
7.2. Нормировочныепредписания .............. 54
7.3. Конечныепереномировки................. 56
7.4. Групповая структура конечных перенормировок . . . . 60
7.5. Дополнительные условия на нормировочные предпи-
сания ............................ 62
7.6. Произведения обобщенных функций в нормировоч-
ныхпредписаниях..................... 64
8. Перенормировкалагранжианов ................. 66
8.1. Алгебрыобобщенныхфункций ............. 67
8.2. Действие перенормировок на Lag и Feyn ........ 71
8.2.1. Действие на Lag ................. 72
8.2.2. Действие на Feyn ................ 74
8.2.3. Действиеналагранжианах........... 76
8.2.4. Интегрирование обобщенных функций . . . . 78
8.3. Конечномерныеорбиты.................. 79
9. Фермионы ............................. 82
9.1. АлгебраКлиффорда.................... 82
9.2. СтруктураалгебрКлиффорда .............. 86
9.3. Гамма-матрицы ...................... 88
9.4. УравнениеДирака..................... 89
9.5. Четность, зарядовая симметрия и симметрия по отно-
шениюкобращениювремени .............. 89
9.6. Векторныетоки ...................... 91
1. ВВЕДЕНИЕ 5
1. Введение
1.1. Жизненный цикл физика-теоретика
1) Написать плотность лагранжиана L. Это полином по полям ψ иих
производным. Например:
L[ψ]=∂
ψ∂μψ −m2ψ2+ λψ4.
μ
2) Выписать фейнмановский интеграл по путям. Грубо говоря, это выра-
жение вида
iÊL[ψ]
e
Dψ.
Величина этого интеграла может быть использована для вычисления
«сечений» различных процессов.
3) Вычислить фейнмановский интеграл по путям, используя разложение
в формальный степенной ряд по «константе взаимодействия» λ:
a
+ a1λ + a2λ + ···
0
Все a
являются конечными суммами по фейнмановским диаграммам.
i
Фейнмановские диаграммы являются при этом графическим обозначением для конечномерных интегралов.
4) Вычислить интегралы и сложить все вместе.
5) Обнаружить, что конечномерные интегралы расходятся.
6) Регуляризовать интегралы, вводя «обрезание» (обычно существует
бесконечномерное пространство всевозможных регуляризаций). Например:
1
dx −→
2
x
R
|x|>
1
dx.
2
x
7) Теперь мы имеем ряд
()+a1()λ + ···
a
0
Блестящая идея: сделать λ, m и другие параметры лагранжиана за-
висящими от таким образом, чтобы члены полученного ряда от не
зависели.
61.ВВЕДЕНИЕ
8) Обнаружить, что новая сумма расходится даже при условии, что каждое отдельное a
теперь является конечным. Никакого хорошего пути
i
избежать это не известно. Получающиеся ряды оказываются в некотором смысле асимптотическими разложениями.
9) Проигнорировать пункт 8, взять лишь первые члены ряда и сравнить
с экспериментом.
10) В зависимости от результатов пункта 9: получить Нобелевскуюпремию
или вернуться к шагу 1.
В этой схеме возникает множество проблем.
Проблема 1. Фейнмановский интеграл является интегралом по бесконеч-
номерному пространству, и никакого аналога меры Лебега не суще-
ствует.
Решение. Взять то, что делают физики для вычисления интеграла, за его
определение.
Проблема 2. Существует множество возможных обрезаний. Это означает,
что значение интеграла зависит не только от лагранжиана, но также
и выбора обрезания.
Решение. Существует группа G, называемая группой конечных перенор-
мировок, которая действует как на лагранжианы, так и на обрезания.
КТП не меняется при действии G,иG действует транзитивно на пространстве обрезаний. Таким образом, мы должны беспокоиться только
о пространстве лагранжианов.
Проблема 3. Полученные в итоге формальные степенные ряды (даже после
перенормировки) являются расходящимися.
Решение. Работать в кольце формальных степенных рядов.
1.2. Исторический обзор Стандартной модели
1897 Томсон открыл электрон. Это первая из открытых элементарных ча-
стиц.
Почему мы верим, что электрон — элементарная частица? Если бы
он был составным, он не был бы точечным и мог бы также иметь
собственные колебания. Однако электроны детально исследовались
1. ВВЕДЕНИЕ 7
в экспериментах по частицам и выглядят точечными в этих экспериментах. Электроны также сталкивались друг с другом при огромных
энергиях, и никаких собственных колебаний при этом не было обнаружено.
1905 Эйнштейн открыл фотоны. Он также изобрел специальную теорию
относительности, изменившую наши представления о пространстве
и времени.
1911 Резерфордом был поставлен первый эксперимент с рассеянием и от-
крыто ядро атома.
1925 Создана квантовая механика, и физика стала невозможной для пони-
мания.
1927 Дираком, Йорданом и др. создана квантовая теория поля.
1928 Дирак придумал волновое уравнение для электрона и предсказал по-
зитрон. Это первая частица, предсказанная теоретически.
1929 Гейзенберг и Паули заметили, что КТП содержит множество беско-
нечностей. Их типы, возникающие в интегралах, были названы «уль-
трафиолетовыми» и «инфракрасными» расходимостями.
УФ-расходимости возникают, когда локальные сингулярности слиш-
ком велики для интегрирования. Например, следующий интеграл име-
ет УФ-расходимость в начале координат при s 1:
1
dx.
s
x
R
ИК-расходимости возникают, когда слишком велико поведение на бес-
конечности. Так, приведенный интеграл имеет ИК-расходимость при
s 1.
Наконец, даже если все эти расходимости устранены, результирующий
степенной ряд расходится.
1930 Паули предсказывает нейтрино, поскольку распад
n −→ p + e
−
имеет непрерывный спектр для электрона.
1932 Чадвик обнаруживает нейтрон.
Наблюдены позитроны.
81.ВВЕДЕНИЕ
1934 Ферми предлагает теорию β-распада. β-распад возникает в следую-
щем процессе:
−
n −→ p + e
Юкава объясняет «сильное» взаимодействие в терминах трех мезо-
+
нов π
, π0и π−. Идея заключается в том, что нуклоны удерживают-
+ νe.
ся вместе, обмениваясь этими мезонами. Известный радиус действия
сильного взаимодействия позволяет предсказать массу мезонов, она
порядка 100 MeV.
1937 Мезоны с массой порядка 100 MeV обнаружены в космических лучах.
Единственная проблема состоит в том, что они не взаимодействуют
снуклонами!
1947 Было понято, что обнаруженные мезоны не являются частицами Юка-
вы (теперь называемыми пионами). То, что было обнаружено, явля-
лось мюонами (которые подобны электронам, но только тяжелее).
1948 Фейнман, Швингер и Томонага независимо изобретают систематиче-
ские подходы для контроля бесконечностей в КТП. Дайсон показыва-
ет, что они все эквивалентны. Это приводит к созданию работающей
теории поля.
1952 В экспериментах по рассеянию пионов и нуклонов найдены резонан-
сы. Это интерпретируется как указывающее на существование новой
частицы
n + π −→ новая частица −→ n + π.
Огромное число частиц было затем открыто подобным образом в те-
чение 50-х.
1956 С помощью пучков высокой интенсивности от ядерных реакторов об-
наружены нейтрино.
Создана теория Янга – Миллса.
1957 Альварес наблюдает холодный термояд, возникающий в пузырьковых
камерах. Эта реакция происходит из-за того, что протон и мюон могут
образовывать «тяжелые атомы водорода», которые вследствие умень-
шения орбитального радиуса могут подходить друг к другу достаточно
близко для взаимодействия.
Несохранение четности замечено Ли-Янгом и Ву. Слабые взаимо-
действия несимметричны по отношению к зеркальному отражению.
1. ВВЕДЕНИЕ 9
В экспериментах используются холодные атомы60Co в магнитном
поле. Происходит реакция
60
Co −→60Ni + νe+ e−,
в которой, однако, электроны излучаются в одном преимущественном
направлении.
1960 Гелл-Манн и Цвейг предсказывают кварки. Это объясняет огромное
число частиц, открытых в 1950-е. Это 3 кварка (верхний, нижний
и странный). Наблюдаемые частицы при этом не являются элементар-
ными, но состоят из кварков. Они либо являются кварк-антикварко-
выми парами (обозначаемыми как q
(обозначаемыми qqq). Это предсказывает существование новой части-
−
цы Ω
, в которой кварковые составляющие имеют вид sss.
q), либо кварковыми триплетами
1968 Вайнберг, Салам и Глэшоу предлагают теорию электрослабых взаи-
модействий. Как и в теории Юкавы, здесь существуют три частицы,
переносящие слабое взаимодействие. Они называются «промежуточ-
ными векторными бозонами» W
+
, W−и Z0. Предсказанные массы
этих частиц находятся в области 80 GeV.
1970 Иллиопулос и другие вводят очарованный кварк.
1972 т ’Хоофт доказывает перенормируемость калибровочных теорий.
Кобаяши и Маскава предсказывают третье поколение элементарных
частиц для объяснения нарушения CP-инвариантности. Первое поко-
ление состоит при этом из {u, d, e, ν
из {t, b, τ, ν
}.
τ
1973 Изобретена квантовая хромодинамика. «Цвет» является необходимым,
поскольку иначе невозможны были бы частицы, такие как Ω
}, второе из {c, s, μ, νμ} итретье
e
−
(составленные из кваркового триплета sss), из-за принципа запрета Паули.
Таким образом, кварки имеют 3 различных цвета (обычно красный,
зеленый и синий). КХД является калибровочной теорией на группе
SU(3). Трехмерное векторное пространство в калибровочной сим-
метрии является цветовым пространством.
1974 Одновременно двумя группами открыт очарованный кварк. С. Тинг
обстреливал протонами бериллиевую мишень и заметил острый резонанс в реакции при энергии порядка 3.1 GeV. На ускорителе SPEAR
исследовались электрон-позитронные столкновения и был замечен резонанс при энергии 3.1 GeV.
10 1. ВВЕДЕНИЕ
Изолированные кварки никогда не наблюдались. Это явление называется «кварковым конфайнментом». Грубо говоря, сильное взаимодействие очень медленно падает с расстоянием, так что для разделения двух кварков требуется больше энергии, чем для создания новых кварк-антикварковых пар и триплетов. Такая ситуация называется
«асимптотической свободой» сильного взаимодействия.
1975 Обнаружены «адронные струи» (jet). В экспериментах по сталкиванию
частиц часто появляются огромные количества новых частиц, разлетающихся в виде узких пучков, называемых адронными струями. Это
интерпретируется как наблюдение кварков. Именно полагается, что
два кварка начинают разлетаться в различных направлениях, используя энергию для повторяющихся образований новых кварковых пар
и триплетов, которые и наблюдаются как частицы.
Обнаружен τ-лептон.
1977 Лидерман открывает ипсилон-частицу (Υ), состоящую из кварков b
b.
1979 Отмечены события с тремя адронными струями. Это рассматривает-
ся как наблюдение глюона. Глюоны при этом являются частицами,
переносящими межкварковые взаимодействия.
1983 В CERN’е открыты промежуточные векторные бозоны.
1990 Поставлена под сомнение уверенность, что может существовать толь-
ко три поколения элементарных частиц, поскольку нейтрино не имеют
массы. Это более не представляется верным, поскольку похоже, что
нейтрино имеют массу.
1.3. Некоторые проблемы с нейтрино
Нейтрино могут возникать из множества различных источников:
• ядерные реакторы;
• пучки частиц;
• остатки от большого взрыва;
• космические лучи;
• солнечные нейтрино.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]