Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая теория поля
.pdf
9. ФЕРМИОНЫ 91
Посмотрим теперь на представление S ⊕S∗, где действие Pin-группы
определено обычным образом на S и подкручено с помощью N (·) на S
∗
Определим скалярное произведение формулой
⊕ s2,s3⊕ s4)=(s1,s4)+(s2,s3).
(s
1
Тогда легко проверить, что эта билинейная форма сохраняется при действии
Pin-группы.
Наконец, пусть Φ=(S ⊕ S
действие Pin-группы, так что оно сохраняет билинейную форму. Имеется
также естественное действие сопряжения, отображающее S в S
∗
) ⊗ C. На этом пространстве определено
∗
и действующее комплексным сопряжением на C. Мы можем определить оператор
зарядового сопряжения C как такое сопряжение ∗, продолженное линей-
ным образом.
Теперь возникает одна проблема. Ортогональная группа не коммутирует с сопряжением (возникает дополнительный множитель −1 для отра-
жений спиноров, имеющих норму −1). Это можно устранить, добавляя при
действии элементов спинорной нормы −1 дополнительное умножение на i.
У нас есть теперь представление спиновой группы с коммутирующим
действием симметрии, называемой C. Симметрии P и T входят в спиновую
группу — T является отражением, перпендикулярным к плоскости времени,
а P есть отражение относительно временной оси. Используя эти определения, мы можем написать явные формулы для симметрий C, P и T .Почему
при этом возникают кажущиеся странными комбинации гамма-матриц?
Мы хотели бы иметь скалярное произведение такое, что сопряженный
элемент к x есть
x. Это означает, что нам надо найти симметричную матрицу, обладающую определенными свойствами, и для конкретного выбора
гамма-матриц, принятого в физике, эта симметричная матрица оказывается
равной γ
а не по более очевидному предположению Cψ = ψ
0
.
Почему при этом зарядовое сопряжение действует как Cψ = −iγ
∗
? Ответ состоит в том,
2ψ∗
что физики выбирают не вещественный базис в векторном пространстве
(поскольку это делает удобнее некоторые другие вычисления), и, следовательно, возникающий дополнительный множитель есть, как правило, матрица, необходимая для того, чтобы заменить выбранный базис на вещественный.
.
,
9.6. Векторные токи
Для нашего пространства полей Φ=(S ⊕ S
можных членов в лагранжиане имеет вид Sym
∗
) ⊗ C пространство воз-
•
(DΦ). Очевидный выбор
92 9. ФЕРМИОНЫ
для лагранжиана в теории Дирака есть
L =
ψi/∂ψ − mψψ.
К сожалению, этот лагранжиан не является эрмитовым. Есть два общепринятых способа обойти это. Первый состоит просто в том, чтобы добавить к
лагранжиану его эрмитово сопряженный (обозначаемый в физической литературе символами+ h.c.). Второй способ состоит в том, чтобы заметить,
что лагранжиан является эрмитовым с точностью до поверхностных членов (полных производных), и, поскольку введение поверхностных членов
не должно влиять на физику, мы можем просто работать с приведенным выше лагранжианом, помня о том, что нам может понадобиться модификация
с помощью поверхностных членов.
Наряду с тем, что лагранжиан является инвариантным по отношению
к очевидным симметриям (группа вращений, C, P и T ), существует так-
же несколько менее очевидная глобальная калибровочная симметрия. Она
задается формулами
ψ → e
iθ
ψ, ψ → e
−iθ
ψ.
Легко видеть, что это действительно является симметрией. В инфинитезимальной форме она имеет вид
δψ = iθψ,
ψ = −iθψ.
С помощью методов, развитых в первой половине курса, легко найти соответствующий сохраняющийся ток, который есть
μ
j
= ψγμψ.
Легко проверить, что этот ток преобразуется как вектор, и потому он называется векторным током. Если массовый член отсутствует (т. е. m =0), то
имеется еще одна симметрия, задаваемая формулами
ψ → e
5
iθγ
ψ, ψ → e
−iθγ
5
ψ.
Сохраняющийся ток в этом случае есть
μ
5
j
= ψγμγ5ψ.
На этот раз он преобразуется как аксиальный вектор и потому называется
аксиальным векторным током
1
Это пример тока, сохраняющегося в классике, но могущего быть разрушенным спонтанным нарушением в квантовой теории, поскольку перенормировка может ввести массовый член
для электрона. Такой феномен называется аксиальной векторной аномалией.
1
.
Ричард Е. Борчердс
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Компьютерная верстка Д. В. Панкратов
Корректор Г. Г. Тетерина
Подписано в печать 06.02.2019. Формат 60 × 841/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 5,58. Уч. изд.л. 5,61.
Гарнитура Таймс. Бумага офсетная №1. Заказ №45.
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
http://shop.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс: (+73412) 500–295
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]