Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая теория поля
.pdf
6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОПАГАТОРЫ 51
обратное отображение обобщенных функций по отношению к отображению диагонали, то это и будет произведением двух обобщенных функций.
Ограничение на диагональ может быть при этом произведено при условии,
что не существует точек (x, p) ∈ WF(u),такихчто(x, −p) ∈ WF(v).
Мы можем также использовать сформулированную выше теорему для
ограничения обобщенных функций на подмногообразия.
Пусть M ⊂ N — гладкое подмногообразие в N,иu — обобщенная
функция на N. Тогда можно ограничить u на подмногообразие M при
условии, что не существует точек (x, p) ∈ WF(u), таких что x ∈ M и p
является касательным к M .
Есть специальный случай сформулированного выше результата, который является существенным для наших целей. Предположим, что мы выделяем правильный конус
функции u и v обладают тем свойством, что если (x, p) ∈ WF,тоp ∈ C
1
Cxвкаждойточкеx ∈ M. Пусть обобщенные
x
В этом случае мы можем перемножить обобщенные функции u и v.Этояв-
но следует из сформулированного выше общего результата, но может быть
показано также и элементарным путем.
Мы можем предполагать, что (u и (v быстро убывают вне некоторого
правильного конуса C. Если мы посмотрим теперь на взятие свертки, то
мы увидим, что существует лишь ограниченная область, не соответствующая быстрому убыванию обобщенной функции. Таким образом, свертка
является хорошо определенной, как и ее обратное преобразование Фурье.
Это и задает нам произведение обобщенных функций.
Мы можем понять теперь, почему фейнмановский пропагатор является
правильным выбором для КТП. Если мы рассмотрим его множество волновых фронтов WF(Δ
на световом конусе. При этом в начале координат волновой фронт представляет собой R
n
), мы обнаружим, что сингулярности возникают только
F
− 0; в каждой точке переднего светового конуса волновой
фронт есть передний световой конус; в то время как в каждой точке заднего
светового конуса волновой фронт есть задний световой конус. Это означает,
что Δ
удовлетворяет свойствам, позволяющим умножить его сам на себя
F
(за исключением начала координат). Дайсоновский пропагатор ведет себя
аналогичным образом, за исключением того, что волновой фронт в точках
переднего светового конуса есть задний световой конус, а в волновой фронт
в точках заднего светового конуса есть передний световой конус.
Опережающий пропагатор имеет волновые фронты только на переднем световом конус. В каждой точке переднего светового конуса волновой
фронт представляет собой двойной конус. Запаздывающий пропагатор ведет
.
1
Содержащийся в некотором полупространстве.
52 7. КТП ВВЫСШИХРАЗМЕРНОСТЯХ
себя аналогичным образом, за исключением того, что его волновые фронты
сосредоточены на заднем световом конусе.
Такие волновые фронты показывают в действительности, что изученные нами пропагаторы являются специальными, поскольку их множества
волновых фронтов вдвое меньше ожидаемых. Существуют в действительности еще только две другие такие возможности: волновые фронты могут
быть сосредоточены на всем световом конусе и представлять собой передний световой конус в каждой точке или быть сосредоточены на всем
световом конусе и представлять собой задний световой конус в каждой
точке. Такие решения оказываются обычными (не фундаментальными) решениями дифференциального уравнения и соответствуют преобразованиям
Фурье от дельта-функций δ
и δ
S
.
S
1
2
7. КТП в высших размерностях
Мы видели в деталях комбинаторные аспекты, возникающие в нульмерной теории поля, а также методы решения многих проблем с расходимостями. Все эти проблемы существуют также и в пространстве-времени
высших размерностей, однако возникают также новые проблемы, которые
нельзя увидеть в нульмерном случае.
Вспомним, что мы сопоставили точку пространства-времени x
дой вершине и пропагатор Δ(x
− xj) каждому ребру фейнмановской диа-
i
граммы. Они не появлялись в нульмерном случае, поскольку мы имели
там только одну точку в пространстве-времени и пропагатор был постоянной функцией, равной 1. После этого мы должны были проинтегрировать
полученную функцию по всем возможным значениям позиции пространства-времени x
для всех четырехвалентных вершин (опять-таки, это не
i
возникало в нульмерном случае в силу тривиальности интеграла). Возникающая проблема с такими интегралами при этом состоит в том, что они
обычно довольно сильно расходятся. В этом разделе мы увидим, как иметь
дело с этими новыми расходимостями.
i
каж-
7.1. Пример
Для иллюстрации того, что мы собираемся делать для регуляризации
интегралов, мы продемонстрируем наши идеи на следующем интеграле:
1
t(x)dx, где t(x) — гладкая с компактным носителем.
|x|
R
7. КТП ВВЫСШИХРАЗМЕРНОСТЯХ 53
Если t(x) имеет носитель вдали от 0, то интеграл хорошо определен и задает линейный функционал от t со значениями в вещественных числах.
Мы хотели бы найти линейный функционал на пространстве всех гладких
функций с компактными носителями, который согласуется с вышеприведенным интегралом во всех случаях, когда второй определен. Вспомним, что
линейные функционалы на пространстве гладких функций с компактными
носителями называются обобщенными функциями. Заметим, что
1
d
=
(sign(x)log|x|) .
dx
|x|
Таким образом, с помощью интегрирования по частям получаем
|x|
R
1
t(x)dx = −
sign(x)log|x|t(x)dx.
R
Интеграл в правой части хорошо определен для любого гладкого t(x) ском-
пактным носителем и является определением обобщенной функции
dx
d
M
sign(x)log|x|
.
Таким образом, мы могли бы определить наш первоначальный интеграл
как полученную обобщенную функцию. Но перед тем как это сделать, зададимся вопросом: единственно ли такое продолжение? К несчастью, ответ, очевидно, отрицательный — мы можем добавить любое распределение
с носителем в 0. Мы, таким образом, имеем целое семейство возможных
продолжений; может быть, существует канонический способ выбрать один
из членов семейства?
Для того чтобы попытаться выбрать каноническое продолжение, мы
должны посмотреть на различные свойства функции 1/|x| и попытаться
обеспечить такие же свойства для получаемой обобщенной функции. Одно
из таких свойств заключается в том, что функция 1/|x| является однородной
степени −1. Зададим оператор Эйлера формулой E = x
d
иобозначим
dx
через f обобщенную функцию, определенную выше. Тогда легко проверить,
что
(E +1)f =2δ(x) и (E +1)
2
f =0.
Поскольку n-я производная дельта-функции является однородной степени −1 −n, то ясно, что не существует обобщенной функции, продолжающей 1/|x|, и однородной степени −1. Мы можем тем не менее потребовать,
54 7. КТП ВВЫСШИХРАЗМЕРНОСТЯХ
что она является обобщенно-однородной степени −1 — т.е. удовлетворяет
уравнению (E +1)
2
f =0. Это ограничивает возможное семейство обоб-
щенных функций до
f + k ·δ(x).
Существует ли теперь канонический выбор для k? Мы покажем, что такого
выбора не существует, поскольку растяжение вещественной оси вызывает
изменение k. Рассмотрим изменение масштаба x → λx для положительных λ.Тогда
d
dx
M
sign(x)log|x|
→
=
=
d
dλx
1
λddx
1
λddx
M
sign(λx)log|λx|
M
sign(x)log|λx|
M
sign(x)log|x|
=
+
=
log |λ|
λ
δ(x).
Следовательно, канонического выбора для k не существует. Тем не менее мы
видели, что существует каноническое семейство, на котором транзитивно
действует группа автоморфизмов.
Мы могли бы также попытаться продолжить функцию 1/x до обобщен-
ной функции. В этом случае мы бы получили, что существует каноническое
продолжение, совпадающее с обобщенной функцией M
. Причина раз-
log |x|
личия этих двух случаев заключается в том, что функция 1/|x| является
однородной степени −1 ичетной(такжекакδ(x)), в то время как 1/x
является однородной степени −1 и нечетной. В случае когда существует
распределение с носителем в нуле с теми же самыми трансформационными
свойствами, что и у функции, невозможно определить каноническое продолжение и всегда будет существовать семейство возможных продолжений.
7.2. Нормировочные предписания
Мы видели в предыдущем примере, что один из способов избежать
сингулярностей, возникающих в интегралах, — это рассматривать их как
обобщенные функции, а не как обычные. Проблема, возникающая при этом,
состояла в том, что такое продолжение не обязательно было единственным,
однако мы можем надеяться, что существует каноническое семейство продолжений, переставляемых транзитивно группой симметрий.
Предположим, что у нас имеется отображение F,сопоставляющеедиаграмме Фейнмана Γ обобщенную функцию F(Γ) и обладающее следующими свойствами.
7. КТП ВВЫСШИХРАЗМЕРНОСТЯХ 55
1) Обобщенная функция F(Γ) является поднятием наивной функции
/
Δ(xi,xj), сопоставляемой фейнмановскому графу Γ всегда, когда
i↔j
эта функция определена.
2) F(•)=1.
3) Если σ(Γ
4) F(Γ
5) F(Γ) не меняется, если мы заменим все x
)=Γ2является изоморфизмом, то σ(F(Γ1)) = F(Γ2).
1
Γ2)=F(Γ1)F(Γ2).
1
на xi+ x.
i
6) Пусть Γ ∪ e является графом с отмеченным ребром, соединяющим
вершины i и j.Тогда,еслиx
= xj, F(Γ ∪ e)=Δ(xi,xj)F(Γ) всегда,
i
когда это хорошо определено.
Предположим теперь, что у нас есть некоторое отображение F стакими
свойствами и мы знаем его значения для всех графов Γ
, содержащихся в Γ.
Что мы можем сказать об F(Γ)?
• Если Γ не является связной, то F(Γ) определяется как произведение
F(Γ
)F(Γ2),гдеΓ=Γ1 Γ2.
1
Заметим, что это определение не зависит от разложения Γ на компо-
ненты.
• Пусть Γ является связной и имеется координата x
можем найти k, l с x
Тогда F(Γ) = F(Γ −e)Δ(x
= xjитакие,чтоk, l соединены ребром в Γ.
i
k,xl
).
= xj.Тогдамы
i
Заметим, что это определение не зависит от выборы ребра. Тем не
менее мы уже видели, что, если Δ(x) имеет сингулярности вне x =
=0, такое произведение может не иметь смысла. Мы покажем позднее
по индукции, что использование фейнмановского пропагатора дает достаточно хорошие волновые фронты для того, чтобы избежать этой
проблемы.
Таким образом, F(Γ) определена всюду, кроме диагонали x
= x2= ···.
1
Благодаря трансляционной инвариантности мы можем поэтому рассматривать обобщенную функцию F(Γ) как определенную во всем пространстве,
кроме начала координат. Мы видели в предыдущем разделе, что довольно
часто можно продолжить такие обобщенные функции до обобщенных функций на всем пространстве. Обобщенные функции, возникающие в физике,
56 7. КТП ВВЫСШИХРАЗМЕРНОСТЯХ
будут всегда продолжаемы таким образом1. Конечно, определение F(Γ) при
этом не является единственным, поскольку функция может быть изменена
на любой полином по производным x
, действующий на обобщенную функ-
i
цию с носителем на диагонали. Это в точности та самая неоднозначность,
которую мы видели при попытке продолжения функции 1/|x|.
Так мы увидели, что аксиомы для нормировочных предписаний имеют
смысл, хотя они, конечно, не определяют однозначно F(Γ). Это делает приведенное выше индуктивное определение F(Γ) бесполезным для реальных
вычислений; для них мы хотели бы иметь некоторый более алгоритмичный
способ определения диагонального члена (которые могут быть найдены
в физических книгах под именами типа размерной регуляризации, схемы
минимальных вычитаний, регуляризации Паули – Вилларса и т.п.).
7.3. Конечные переномировки
Перед тем как двигаться дальше, мы хотели бы слегка изменить опре-
деление фейнмановской диаграммы.
Мы сажаем на концы ребер диаграммы некоторые поля или производ-
ные полей. Вспомним, что вершины фейнмановской диаграммы возникали
из членов в лагранжиане — в нашем примере из ϕ
вершинам валентности 4. В более сложных лагранжианах мы можем иметь
члены типа ϕ
с ребрами, соответствующими ϕ, ϕ и ∂ϕ.
2
∂ϕ, которые должны приводить к вершинам валентности 3
2
4
,этотчленприводилк
Нам надо решить, какой пропагатор мы должны приписать ребру с кон-
цами, обозначенными выражениями D
и D2ϕ2(где D — некоторые диф-
1ϕ1
ференциальные операторы). Ответ достаточно прост, это
где Δ
D
1D2Δϕ1,ϕ
— некоторый основной пропагатор, который может быть вычис-
ϕ1,ϕ
2
(x1,x2),
2
лен аналогично тому, как мы впервые получили Δ.
Пусть M является векторным пространством, представляющим со-
бой пространство-время. Вспомним, что фейнмановской диаграмме Γ с |Γ|
1
Если бы мы работали с гиперфункциями вместо обобщенных функций, мы могли бы
всегда производить такое продолжение.
2
Такие фейнмановские диаграммы выглядят отличными от используемых в физической литературе, тем не менее их взаимосвязь легко прослеживается. Физики используют различные
типы линий для обозначения ребер. Они также неявно производят суммирование по многим
различным графам одновременно — например, суммирование по всем возможным поляризациям фотона. Таким образом, физические диаграммы Фейнмана соответствуют обычно суммам
диаграмм в нашей форме.
7. КТП ВВЫСШИХРАЗМЕРНОСТЯХ 57
вершинами мы сопоставляем обобщенную функцию F(Γ) на простран-
стве M
⊕|Γ|
, которое мы обозначаем как MΓ.ПодU(M ) мы подразумеваем
универсальную обертывающую алгебру алгебры Ли, порожденной опера-
∂
тором
.ПодU(M )Γмы подразумеваем тензорное произведение |Γ| ко-
∂x
i
пий U(M).
Конечная перенормировка есть отображение C из фейнмановских
диаграмм в полиномы по
∂
, которое
∂x
i
1) линейно по полям, посаженным на ребра,
2) C(•)=1,
3) C коммутирует с изоморфизмами графов,
4) C(Γ
Физики называют C контрчленом. Заметим, что C(Γ) является элементом U(M)
)=C(Γ1)C(Γ2).
1Γ2
Γ
.
Мы можем произвести конечную перенормировку нормировочных
предписаний следующим образом:
C[F](Γ) =
C(γ)F(C(γ)−1Γ/γ).
γ⊂Γ
Замечание. Определение содержит множество неявных обозначений,
объясняемых ниже.
Требуется, чтобы γ ⊂ Γ содержала все вершины диаграммы Γ,хотя
она и не должна содержать все ее ребра. Γ/γ является графом, полученным
из Γ стягиванием связных компонент γ в точки (заметим, что ребра в γ при
этом тоже стягиваются в точку).
C(γ) является полиномом по
∂
; как объяснялось выше, это элемент
∂x
i
универсальной обертывающей алгебры (в нашем случае алгебра Ли является абелевой, хотя не вызывает никаких проблем рассмотрение и неабелевых
алгебр). Универсальные обертывающие алгебры являются естественными
алгебрами Хопфа — т.е. они имеют еще три операции: коединицу (η), анти-
под (S) и коумножение (Δ). В нашем случае
Δ
∂
∂x
i
=
∂x
∂
i
⊗ 1+1⊗
∂x
∂
i
58 7. КТП ВВЫСШИХРАЗМЕРНОСТЯХ
и
S
Для элемента g алгебры Хопфа символ g
∂
∂x
i
∂
= −
.
∂x
i
−1
является сокращением для S(g),
поскольку антипод представляет собой некий вариант линеаризованного
обратного. Если элемент g встречается в выражении дважды, то под этим
подразумевается неявное суммирование. Предположим, что
Δ(g)=
g
⊗ g
2,i
,
1,i
i
тогда выражение вида g—нечто—g—нечто— является сокращением для
g
i
—нечто—g
1,i
—нечто—.
2,i
Если элемент g встречается в выражении 3 раза, то мы могли бы иметь
два способа использования коумножения: (id ⊗Δ) ◦ Δ или (Δ ⊗ id) ◦ Δ.К
счастью, аксиома коассоциативности гарантирует, что оба эти способа дают
один и тот же результат. Таким образом, мы обозначаем через Δ
2
любую из
этих операций. Аналогично мы получаем операции
Δ
n
: G → G
⊗(n+1)
.
Так же, как и выше, мы используем эти операции для придания смысла
выражению, где g встречается n +1раз.
Нам надо теперь объяснить, каким образом элемент U(M )
на фейнмановский граф Γ. Мы можем думать об элементах U(M )
Γ
действует
Γ
как
о дифференциальных операторах, посаженных на вершины фейнмановского графа Γ. Положим, что дифференциальный оператор, соответствующий
вершине v, действует по следующему правилу, напоминающему правило
Лейбница:
c
a
−→
b
∂a
c
+
b
c
a
+
∂b
∂c
a
b
Таким образом, мы получаем в результате сумму фейнмановских графов
вместо одного графа. Мы продолжаем действие на суммы фейнмановских
графов по линейности (и аналогично для F). При применении дифференциальных операторов в определении действия имеется дополнительное соглашение: каждое из ребер, входящих в γ, игнорируется при применении
дифференциального оператора к Γ.
7. КТП ВВЫСШИХРАЗМЕРНОСТЯХ 59
F(C(γ)−1Γ/γ) является обобщенной функцией на M
Нам, однако, необходимо, чтобы она была обобщенной функцией на большем пространстве. Это легко устроить, поскольку M
тым подпространством M
функцией на замкнутом подпространстве X пространства Y . Тогда мы мо-
жем продолжить D до обобщенной функции D
Γ
.Предположим,чтоD является обобщенной
на Y , полагая
(f):=D(f|X).
D
Γ/γ
, а не на MΓ.
Γ/γ
является замкну-
Наконец, мы должны сказать, каким образом C(γ) действует на обобщенные функции. Это обычное действие дифференцирования на обобщенные функции.
Нам надо проверить теперь, что C[F] действительно является нормиро-
вочным предписанием. Большая часть аксиом удовлетворяется тривиально:
•C[F] коммутирует с изоморфизмами графов, очевидно;
•C[F] мультипликативна на непересекающихся объединениях графов,
очевидно;
•C[F] трансляционно-инвариантна, очевидно;
•C[F](Γ ∪ e)=C[F](Γ)C[F](e) для ребра e, соединяющего вершины i
и j,иx
= xj. Последняя аксиома требует несколько больших усилий
i
для доказательства, чем предыдущие. Поскольку нам интересна только
ситуация x
= xj, мы можем игнорировать члены, в которых e является
i
ребром в γ.Тогда
C[F](Γ∪e)=(
несущественные члены)+
=(
несущественные члены)+
=(
несущественные члены)+
=(
несущественные члены)+
=(
несущественные члены)+
C(γ)F(C(γ)−1Γ/γ)F(C(γ)−1e)) =
γ⊂Γ
C(γ)F(C(γ)−1Γ/γ)×C(γ)C(γ)−1F(e)=
γ⊂Γ
C(γ)F(C(γ)−1Γ/γ) ×η(C(γ))F(e)=
γ⊂Γ
C(γ)F(C(γ)−1Γ/γ) ×F(e)=
γ⊂Γ
несущественные члены)+C[F](Γ)C[F](e).
=(
C(γ)(F(C(γ)−1(Γ∪e)/γ)=
γ⊂Γ
60 7. КТП ВВЫСШИХРАЗМЕРНОСТЯХ
7.4. Групповая структура конечных перенормировок
Если мы вычислим композицию двух конечных перенормировок нормировочного предписания, мы получим
C
1[C2
[F]](Γ) =
=
γ1⊂Γ
γ2⊂C1(γ1)−1Γ/γ
C1(γ1)C2[F](C1(γ1)−1Γ/γ1)=
γ1⊂Γ
C1(γ1)C2(γ2)F(C2(γ2)−1C1(γ1)−1Γ/γ1/γ2).
1
Последняя сумма может быть записана в виде
C(γ)F(C(γ)−1Γ/γ),
γ⊂Γ
где C определяется выражением
C(Γ) =
C1(γ)C2(C1(γ)−1Γ/γ).
γ⊂Γ
Приведенные формулы легко проверить простым вычислением:
C(γ)F(C(γ)−1Γ/γ)=
γ⊂Γ
=
γ⊂Γ
=
λ⊂Γλ⊂γ⊂Γ
=
λ⊂Γ
C1(λ)C2(C1(λ)−1γ/λ)F(C2(C1(λ)−1γ/λ)−1C1(λ)−1Γ/γ)=
λ⊂γ
C1(λ)C2(C1(λ)−1γ/λ)F(C2(C1(λ)−1γ/λ)−1C1(λ)−1Γ/γ)=
C1(λ)C2(C1(λ)−1γ)F(C2(C1(λ)−1γ)−1C1(λ)−1Γ/λ/γ)=
γ⊂Γ/λ
=
λ⊂Γ
C1(λ)C2(γ)F(C2(γ)−1C1(λ)−1Γ/λ/γ).
γ⊂C1(λ)−1Γ/λ
При этом напрашивается следующее определение произведения двух
перенормировок:
(C
1◦C2
):=C.
Мы покажем теперь, что это определяет групповую структуру на множестве
перенормировок.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]