Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Квантовая механика для студентов технических вузов. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

1 / 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

__________________________________________________________________________________________________________________

В.А. Трясучёв

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ

Рекомендовано в качестве учебного пособия

Редакционно-издательским советом

Томского политехнического университета

Издательство

Томского политехнического университета

2017

УДК 530.145.6(075.8) ББК 22.314я73

Т80

Трясучёв В.А.

Т80 Квантовая механика для студентов технических вузов :

учебное пособие / В.А. Трясучёв ; Томский политехнический университет. – Томск : Изд-во Томского политехнического университета, 2017. – 156 с.

ISBN 978-5-4387-0746-2

Пособие знакомит с механикой микрочастиц, начиная с осмысления необходимости квантовой механики для описания всех явлений природы и заканчивая наиболее используемым методом расчёта квантовой механики – теорией возмущений. Последовательно изложены главы с описанием математического аппарата квантовой механики, статистического смысла законов микромира, основных постулатов и вытекающих из них законов квантовой теории. Решения идеальных задач применяются к описанию сложных квантовых явлений природы: альфа-распад ядер, электронный газ в металле, водородоподобные атомы, мю-катализ термоядерных реакций, двухатомные молекулы, излучение космического водорода, принцип работы лазеров.

При изучении квантовой механики по рецензируемому учебнику у студентов нет необходимости использовать многочисленные учебники по квантовой механике и специальным главам математики, поскольку весь материал изложен в данном пособии с необходимой полнотой. Данное пособие будет полезным для бакалавров, обучающихся по направлению 140302 «Ядерные физика и технологии».

УДК 530.145.6(075.8) ББК 22.314я73

Рецензенты

Кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры общей и экспериментальной физики

Томского государственного университета

А.М. Толстик

Доктор физико-математических наук,

профессор кафедры общей и экспериментальной физики

Томского государственного университета

Л.В. Горчаков

ISBN 978-5-4387-0746-2 © ФГАОУ ВО НИ ТПУ, 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ .......................................................................................... 6

ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................... 7

I. НЕОБХОДИМОСТЬ НОВОЙ ТЕОРИИ ........................................ 8

Постоянная Планка ................................................................................ 8

Фотоэффект ............................................................................................ 9

Комптоновское рассеяние ................................................................... 12

Гипотеза де Бройля и ее опытное подтверждение ........................... 13

II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ............................................................ 16

Понятие оператора. Свойства операторов ........................................ 16

Операторы «набла» и дельта .............................................................. 18

Свойства квантово-механических операторов ................................. 18

Свойства собственных функций и собственных значений

операторов. Вырожденные функции ................................................. 20

Полнота системы собственных функций операторов ...................... 26

Матричное представление операторов .............................................. 27

III. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ................................ 30

Оператор квадрата момента импульса .............................................. 32

Оператор Гамильтона (гамильтониан) .............................................. 33

Гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле .... 33

IV. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОСНОВНЫХ

ОПЕРАТОРОВ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ .............................. 36

Собственные функции операторов импульса

и кинетической энергии ...................................................................... 36

Собственные функции оператора момента импульса ..................... 38

V. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ

ПОВЕДЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ ................................................... 42

Опыт Джермера и Девиссона ............................................................. 42

Опыт Бибермана, Сушкина, Фабриканта

по дифракции электронов ................................................................... 43

Описание состояний микрочастиц в квантовой механике ............. 44

VI. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ ........................................... 45

Дискретные случайные величины ..................................................... 45

Среднее значение случайной величины и его связь с

математическим ожиданием ............................................................... 46

Непрерывные случайные величины .................................................. 48

VII. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

(ПОСТУЛАТЫ И ЗАКОНЫ) .......................................................... 49

Статистический смысл волновой функции ....................................... 49

Измеряемые величины в квантовой механике ................................. 51

Условие точного измерения физических величин ........................... 53

Вычисление вероятностей результатов измерения .......................... 54

Условие одновременной измеримости

нескольких физических величин ....................................................... 57

VIII. СПИН .................................................................................................. 61

Спиновые операторы электрона ......................................................... 61

Спин и статистика ................................................................................ 62

Собственные функции оператора проекции спина электрона ....... 64

Нормировка волновой функции частицы со спином ....................... 65

Сложение угловых моментов ............................................................. 66

Собственные функции оператора полного момента

для частицы со спином ........................................................................ 66

IX. ЗАВИСИМОСТЬ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ ОТ ВРЕМЕНИ ... 68

Уравнение Шредингера ....................................................................... 68

Вектор тока вероятностей для микрочастиц ..................................... 68

Уравнение Шредингера для стационарных состояний ................... 71

Матричная форма уравнения Шредингера ....................................... 72

Гейзенберговское представление ....................................................... 74

Полный набор физических величин квантовой системы ................ 75

X. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ПОЛЕ СИЛ,

НЕ ЗАВИСЯЩИХ ОТ ВРЕМЕНИ ................................................. 76

Движение свободной бесспиновой частицы ..................................... 76

Частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками ... 77

Туннельный эффект для микрочастиц .............................................. 79

Теория -распада ядер и термоядерный синтез ............................... 87

Частица в потенциальной яме. Связанные состояния ..................... 89

Симметрии уравнений Шредингера .................................................. 96

Электронный газ в металле ................................................................. 97

Квантовый гармонический осциллятор ............................................. 99

XI. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ ЧАСТИЦЫ

В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ............................................................ 103

Атом водорода ................................................................................... 108

Местонахождение электрона в атоме водорода ............................. 110

Водородоподобные атомы ................................................................ 112

μ-катализ ядерного синтеза .............................................................. 112

Теорема о вириале ............................................................................. 113

Молекула водорода ............................................................................ 115

XII. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ............................................................ 120

Стационарная теория возмущений.

Невозмущенные состояния не вырождены ..................................... 120

Стационарная теория возмущений.

Невозмущенные состояния вырождены .......................................... 122

Эффект Штарка. Расчет эффекта Штарка

по теории возмущений ...................................................................... 124

Эффект Зеемана ................................................................................. 127

Сверхтонкое расщепление спектральных линий водородоподобных атомов и излучение

космического водорода ..................................................................... 127

Нестационарная теория возмущений .............................................. 128

Понятие квантового перехода .......................................................... 132

Периодическое возмущение и лазеры ............................................. 134

Рубиновый лазер (Al2O3+Cr)............................................................. 135

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ................................................................. 137

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ....................................................... 147

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ........................................................................................ 154

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...................................................................... 155

ПРЕДИСЛОВИЕ

Со дня выхода первого издания курса квантовой механики для студентов технических вузов прошло 4 года. За это время автор читал этот курс в двух институтах ТПУ, получал отзывы отдельных студентов ТГУ, Казанского, Саратовского и других университетов и убедился в нужности этого учебного пособия для усвоения необычных законов квантовой физики бакалаврами гистрантами. Так как квантовая механика является наукой феноменологической, то ее естественно строить на математике, математике квантовомеханических операторов, а не на аналогии с классической физикой. Поэтому в начале курса с математической строгостью формулируются свойства и доказываются теоремы для квантово-механических операторов, находятся собственные функции и ных и дискретных собственных значений операторов доказательства проводятся раздельно. Пунктуально сформулированы постулаты и теоремы об измеряемых величинах в квантовой механике. Чтобы не отсылать читателей к специальным разделам математики, кратко, прямо в учебнике, даются элементы статистики, без которой невозможно усвоение квантовых законов ношений неопределенностей Гейзенберга сделан для общего случая измеряемых физических величин. Задача об атоме водорода решена с нахождением волновой функции радиального уравнения. Кроме сравнения полученных результатов с полуквантовой теорией Бора рассчитываются вероятности нахождения электронов в атоме без привязки к стационарным орбитам Бора. Рассмотрена традиционная теорема представления эволюции квантовых состояний и его отличие от шредингерского. В пособии широко представлены мезонные атомы, а -мезоатомы рассматриваются как катализаторы низкотемпературного нуклеосинтеза.

Подробно решены обычные одномерные задачи: туннельный эффект, потенциальная яма, квантовый гармонический осциллятор. Туннельный эффект

применяется к теории -распада ядер частице в потенциальной яме конечной глубины предназначается для численного решения. Студенты вычисляют пять измеряемых величин в этой задаче и объясняют результаты, исходя из общих положений квантовой механики.

Метод стационарных возмущений применяется к вычислению эффектов Штарка и Зеемана для атома в электрических и магнитных сверхтонкое расщепление уровней атома водорода в связи с излучением космического водорода. В нестационарной теории возмущения не удалось обойтись без традиционных математических трудностей, но демонстрация квантового перехода для вынужденного излучения проведена на примере работы рубинового лазера.

Автор благодарен ведущему научному сотруднику кафедры прикладной физики Александру Петровичу Потылицыну, ния учебного пособия на ранней стадии подготовки, за ценные советы и критику. Автор также признателен генеральному директору НП «Уральский лазерный инновационно-технологический центр» Владимиру Тимофеевичу Комарову за полезные советы, особенно к последней главе пособия.

собственные значения таких операторов. Для непрерыв-

. Вывод соот-

о вириале. Дается понятие гейзенберговского

и термоядерному синтезу. Задача о микро-

полях. Рассмотрено

взявшему на себя труд прочте-

и ма-

ВВЕДЕНИЕ

«Настоящее колдовское исчисление …»

А. Эйнштейн, 1925 г.

Законы микромира, описывающие взаимодействия частиц, из которых состоит окружающий нас макромир (протоны, нейтроны, электроны и т. д.), совершенно не похожи на законы механики Ньютона. Механика Ньютона опирается на понятие «траектория», которая рассчитывается с помощью дифференциального и интегрального исчисления, а механика квантов и микрочастиц опирается на функцию и дается на языке математики операторов. Постулаты и законы квантовой механики формулируются и доказываются с помощью операторов, которые являются квантово-механическими аналогами классических величин, таких, например, как энергия, скорость, импульс и прочие. На языке операторов и их свойств с любой требуемой точностью описываются взаимодействия частиц. В дробно рассматриваются квантово-механические операторы, их свойства, свойства их собственных функций и собственные значения операторов. Детально рассмотрен вывод соотношения неопределенностей и его приложение к некоторым задачам, а также зависимость волновых функций электрона от спина. С математической строгостью решается задача об атоме водорода и о вероятности стояниях с заданными квантовыми числами. Данное пособие вводит читателя в необычный мир квантовой механики и позволяет получить представление о квантовом мире микрочастиц.

вероятностную волновую

пособии достаточно по-

нахождения электрона в со-

I. НЕОБХОДИМОСТЬ НОВОЙ ТЕОРИИ

В конце XIX в. все известные явления природы укладывались в созданные для их объяснения теории. Механика подчинялась законам Ньютона, волновые движения – законам Гюйгенса, Френеля и т. д., электромагнитные процессы описывались уравнениями Максвелла, тепловое движение подчинялось законам термодинамики. Правда, было несколько тучек на ясном небе физики того времени. Одна из них из вестна как «ультрафиолетовая катастрофа». Катастрофа заключалась в том, что распределение интенсивности ультрафиолетового излучения от

нагретого тела по частотам ω, dI/d, наблюдаемое на опыте, имело противоположную зависимость от ω, чем это следовало из проверенного закона Рэлея–Джинса для видимого света (рис. 1):

dω

где ω – циклическая частота излучаемого света; a сированной температуре.

a

, (1.1)

– константа при фик-

Рис. 1. Штриховая кривая – закон Рэлея–Джинса

Постоянная Планка

В 1900 г. М. Планк предложил для частотной плотности ультрофиолетового излучения формулу



dω

ω ,

exp 1





 





(1.2)

которая включала неизвестную костанту ћ и при надлежащем выборе ее











величины приводила к хорошему согласию с экспериментом. Здесь k – постоянная Больцмана, T – температура, градус Кельвина. Как следует из выражения (1.2), размерность введенной костанты ћ была необычной

[энергия·с], (1.3)

а для описания экспериментальной зависимости, приведенной на рис. 1, ее значение оказалось чрезвычайно

малым (c учетом уточнения на сей

день):



; h = 6,6261·10

–34

Дж·c = 4,1356·10

–15

эВ·c. (1.4)

π2

Из гипотезы Планка следовало простое выражение для энергии электромагнитной волны а именно:

ωνhE



, (1.5)

в то время как в классической физике энергия электромагнитной волны определялась через квадраты напряженностей ее электрической и магнитной составляющих. Кроме того, при интерпретации формулы (1.2) нужно было предположить, что излучение и поглощение света должно происходить порциями – квантами с энергией (1.5). Альберт Эйнштейн пошел дальше революционных представлений Планка. Для объяснения законов фотоэффекта

он предположил, что излучение должно распро-

страняться порциями, как частицы.

Фотоэффект

Явление образования электронов на поверхности металла, облучаемого светом, получило название фотоэффекта. Оно было открыто Г. Герцем в 1887 г.

С точки зрения классической физики на электрон, слабо связанный в металле, действует сила:

(),

где (t) – напряженность электрического поля электромагнитной волны, меняющаяся по гармоническому закону:

() сos( ).tt



Уравнение Ньютона для электрона, на который действует электрическое поле излучения, будет иметь вид



() cos( ).mt e t





(1.6)



00 υ

Проинтегрируем его, взяв простейшее начальное условие





() cos(ω )d ;

mtdt e tt

υε



mt t



() sin(ω );





() sin(ω );

υ tt

max max

υ T





εε

ω 2 ω

(1.7)

То есть расчеты в рамках классической физики приводили к тому, что максимальная кинетическая энергия вылетевших электронов должна быть обратно пропорциональна частоте ω падающего света и про-

порциональна интенсивности

Экспериментальное изучение фотоэффекта, начатое русским физиком А.Г. Столетовым в 1888 году, показало, что максимальная энергия выбиваемых из металлов электронов прямо пропорциональна частоте

падающего света ω и не зависит от его интенсивности нии частоты падающего света ниже определенного значения ω

. При уменьше-

электро-

ны вообще перестают вылетать из металлов (красная граница фотоэффекта). Для каждого металла ω

имело свое собственное значение.

Возникшее противоречие между теорией и экспериментом разрешил А. Эйнштейн в 1905 году благодаря полному отказу от волновой теории света в этом явлении, предположив, что свет не только излучается и поглощается порциями, но и распространяется как частица, получившая название «фотон». Тем самым подтвердилась гипотеза И. Ньютона XVII

в. о корпускулярной природе света!

Фотон γ взаимодействует с атомом A вещества таким образом, что сам он поглощается, а один из электронов вылетает из атома, и последний становится ионом A



 AeAγ

. (1.8)

Законы сохранения импульса и энергии для такого процесса имеют вид:



PPPP

A e

Aγ





EEEE

AAγ

Поскольку происходит превращение энергии в вещество, в законе сохранения надо учитывать полные энергии частиц. В системе отсчета, где атом покоится,

1 / 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]