Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика для студентов технических вузов. Учебное пособие
.pdf
VIII. СПИН
x
x
Спиновые операторы электрона
Спин – собственный момент количества движения микрочастицы,
присущий не только структурным микрочастицам, таким как протон,
нейтрон, но и бесструктурным, точечным, таким как электрон, нейтрино. Слово «собственный» здесь означает, что такой момент количества
движения не зависит от выбора системы отсчета.
Гипотезу о существовании собственного момента количества движения
у электрона выдвинули американские ученые
1925 г. Экспериментально было установлено, что величина проекции спина
электрона на выделенное направление есть величина дискретная. Если выделенное направление отождествить с осью z декартовой системы координат,
то проекция спина электрона, S
, будет принимать только два значения:
z
1
S
z
2
Поскольку спин характеризует внутреннее состояние электрона,
постольку он не зависит от координат и времени, а вместе с координатами составляет набор переменных, описывающий состояние электрона:
Дж. Уленбек и С. Гаудсмит в
.
(8.1)
tzyx
,S,,,
,
z
с дискретными значениями координаты S
, равными
z
1
2
и –
1
.
2
Спин электрона – чисто квантовая физическая величина и не имеет
классического аналога. Если спин электрона считать волчком, то линейная скорость вращения такого волчка на экваторе будет больше, чем
скорость света. Поэтому невозможно воспользоваться принципом соответствия. Построим оператор спина электрона.
S
Величине S
поставим в соответствие оператор
z
z
, который в своем
собственном представлении должен иметь диагональный вид с собственными значениями
1
2
и –
1
по диагонали (см. теорему 7 в разделе 2):
2
1
S
2
z
0
0
. (8.2)
1
2
Как операторы проекций моментов количества движения операторы
S
S
,
S
y
и
z
должны удовлетворять коммутационным соотноше-
ниям проекций моментов:
,, ,, ,.
S S iS S S iS S S iS
yzyzxzxy
(8.3)
61
Одним из решений системы трех операторных уравнений (8.3) с
x
x
двумя неизвестными будут (проверить самостоятельно):
S
x
1
2
1
0
2
,
S
0
0
y
i
2
i
2
. (8.4)
0
Принято операторы-матрицы (8.2) и (8.4) выражать через матрицы
σ, у которых матричные элементы –целые числа:
01 0 1 0
σ , σ , σ ,
(8.5)
xy z
10 0 0 1
i
i
а соответствующие операторы получать умножением этих матриц на числа:
111
SSS
,,,
xy yz z
222
(8.6)
что существенно упрощает работу с проекциями спина.
В декартовых координатах векторный оператор спина электрона
S
будет иметь вид
=()
SS S Si j k i j k
xy z
1
2
yz
, (8.7)
а оператор квадрата вектора спина
2222
SSS S
xyz
13
22 2 2 2
()
44
xyz
. (8.8)
Последнее равенство получить самостоятельно.
Спин и статистика
Величина собственного момента количества движения у всех частиц
оказалась не произвольной, а принимающей значения
0,
1
ћ, ћ,
2
и так далее. Удивительно то, что частицы с дробным значением спина ћ
и целым значением спина ћ подчиняются разным квантовым распределениям, иначе – статистикам, и не только.
Статистические закономерности частиц в классической физике
определяются числом всевозможных распределений частиц в заданном
объеме при заданной энергии, чисто комбинаторикой. При этом предполагается,
что одинакового сорта частицы можно различать, например,
по координате, проекции импульса. В квантовой теории частицы одного
сорта не различимы, а правила комбинаторики для частиц с целым и
полуцелым ћ спином разные. Именно две частицы с полуцелым спином
не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии, что составляет содержание
принципа В. Паули. Такие микрочастицы подчиняются квантовой статистике Ферми–Дирака и их называют фермионами. Микрочастицы со значением спина, кратным целым ћ, подчиняются
квантовой статистике Бозе–Эйнштейна и их называют бозонами.
3
ћ, 2ћ,
2
5
ћ
2
62
К фермионам относятся все элементарные частицы, из которых со-
стоит атом: электрон, протон, нейтрон. У этих частиц значения спина
равны
1
ћ, но фермионами являются также частицы со спином
2
3
2
ћ и
5
ћ.
2
Это, например, Δ33-резонансы и другие возбужденные состояния нуклонов, а также гипероны.
К бозонам относятся все калибровочные бозоны: фотоны, глюоны,
W+, W, –Z
, а также мезоны.
0
В настоящее время выявилось огромное различие между фермионами и бозонами, так как это различие между частицами и квантами полей – переносчиками взаимодействий между частицами. Из упомянутых
калибровочных бозонов, W- и Z-бозоны – это переносчики слабых взаимодействий, в то время как глюоны со спином также 1ћ
− переносчики
сильных взаимодействий, фотоны со спином 1ћ − электромагнитных
взаимодействий, гравитоны – гравитационных. Заметим, что гравитону
приписывается значение спина 2ћ.
Как мы узнали, все наблюдаемые величины в квантовой механике
определяются квадратом модуля волновых функций состояния микрочастиц. Поэтому при перестановке координат двух тождественных частиц в многочастичной волновой функции, функции
«разрешается» из-
мениться только на множитель exp(iα), где α − константа. Например,
для волновой функции двух тождественных микрочастиц
i
e
где под ξ
(, ) (,),
12 21
будем подразумевать обычные координаты i-частицы и ее
i
проекцию спина. Возвращаясь к старому порядку переменных, получим
прежнюю волновую функцию, умноженную еще раз на exp(iα):
ii
(,) (, ),
ee
21 12
откуда с необходимостью следует, что e
надо брать e
i
= 1, что означает, что волновая функция двух и более
2
2i
= 1, а e
i
= ±1. Для бозонов
тождественных бозонов будет симметрична относительно перестановки
координат этих частиц. В частности, для двух одинаковых бозонов
(, ) ( ,),
12 21
а для фермионов в этом случае выбиратся e
(, ) ( , ),
12 21
i
= –1 и
для того чтобы для фермионов выполнялся принцип Паули. Если два
электрона имеют одинаковые квантовые состояния, то, согласно квантовой статистике, при их перестановке состояние квантовой системы,
состоящей из этих двух электронов, не должно меняться, а волновая
функция меняет знак. Зачит, такие состояния невозможны.
63
Собственные функции оператора
s
s
проекции спина электрона
Уравнение
() ()
Ss Ss
z
zzz
по своей сути является матричным
0
2
0
() (),
zzz
2
и имеет два независимых решения в виде матриц-столбцов:
10
1/2 1/2
,,
01
соответствующих двум собственным значениям дискретного спектра
проекции:
S
μ, μ=
z
что легко проверить:
χμχ
S
z
μμ
Ss
(8.9)
(8.10)
1
, (8.11)
2
.
μ2
– квантовое число проекции спинового момента.
Ввести в волновую функцию зависимость от проекции спина непросто. Сделаем это, пренебрегая спин-орбитальным взаимодействием.
В этом случае волновую функцию электрона можно представить в виде
1
произведения координатной ее части на спиновую β(s
,
rr
. (8.12)
zz
R r
Rs
z
):
Традиционное обозначение волновой функции фермиона в виде
матрицы-столбца использовать не будем.
Если мы хотим спиновую часть функции представить в аналитическом виде, то это можно сделать так:
() (μ )
S
z
1 μ 1 μ
μμ
22
. (8.12s)
Здесь используются символы Кронекера с дробными индексами.
В функции β(S
) отражен факт, что если частица имеет проекцию спина
z
ħ/2, то она не может иметь проекцию –ħ/2, и наоборот.
64
Нормировка волновой функции частицы со спином
x
s
s
d
При нормировке волновой функции частицы со спином, наряду с
интегрированием по непрерывным переменным, необходимо провести
суммирование по всем дискретным значениям переменных:
*3
, , 1
S
z
rr
zz
при этом надо помнить, что функции β(s
было перемножить, необходимо комплексное сопряжение полной волновой функции заменить на эрмитовое сопряжение ее спиновой части:
*
(,)(,) () ()()
rS rS Rr
S
z
2 2
() ( )( ) 2 () .
Rr Rr
Получить этот результат самостоятельно. В нормировке волновых
zz
12 12 12 12
функций со спином «половинка» необходимо учитывать множитель 2.
При вычислении средних значений операторов, зависящих от спина, интегрирование надо заменять суммированием по дискретной переменной. Например:
*
SSSS S
zzz
Оператор
(, ) (, ) R() (μ )(μ )0
rrr
μμ
S
zz
2
вычисляется с помощью операторов проекций
sdr
) – матрицы, и, чтобы их можно
z
1
2
2
1
2
, (8.13)
(8.14)
2
. (8.15)
S
,
S
S
y
z
,
:
2222
SSS
S
xyz
311
422
10 10
22
01 01
1
, (8.16)
1/2 здесь есть s − квантовое число, характеризующее величину спина
частицы (электрона), которая не меняется.
Уравнение
2
() ()
имеет тривиальное общее решение
2
sSs
C
()
s
C
1
при одном собственном
2
значении, которое выразим через квантовое число s:
22
(1)sss
65
.
Сложение угловых моментов
J
J
M
.
s
Момент импульса микрочастицы в квантовой механике принято
называть угловым моментом. Угловые моменты M и L двух микрочастиц можно складывать:
M + L.
Сложение угловых моментов происходит не по правилу векторной
алгебры, а гораздо сложнее, с учетом дискретности проекций M и L на
выбранное направление (ось квантования). Ожидаемая длина суммы таких векторов
не будет принимать непрерывные значения из интервала
(),
LMLM ,
а будет равна дискретным значениям:
LMLMLM ,...2,, LM ,
. (8.17)
Сказанное можно отнести к сложению угловых моментов любого
числа микрочастиц.
Так как спин имеет свойства момента количества движения, то он
может складываться с моментом импульса микрочастицы M. В этом
случае говорят о полном моменте импульса микрочастицы M
+ S = J,
которому будет соответствовать оператор полного углового момента
.JMS
(8.18)
Суммарный вектор будет принимать ряд дискретных значений:
SMSMSM ,...
. (8.19)
2,, SM ,
Заметим, что в случае электрона, величина спина которого равна
1/ 2
, как следует из (8.19), возможно толька два значения полного мо-
мента:
1/ 2 , 1/ 2MM
.
Собственные функции оператора полного момента
для частицы со спином
Образуем из (8.18) оператор:
MS
zz
2
Операторы
J
и
z
коммутируют в рамках приближения отсутствия спин-орбитальной связи у микрочастиц, а потому имеют общую
систему собственных функций с дискретным спектром, значения которых будем различать при помощи квантовых чисел j и m
,
jm z
j
S
z
и
z
следующим образом:
66
2
,
r
но. Функции выражаются через собственные функции опе-
раторов
M
z
.
(8.20)
соответствен-
j
jm z j lm
j
J
j
s
J
j
Здесь величины
(, ) , μ| (θ,)(μ )
slmsjm
r
m
, μ|
lm s jm
– коэффициенты Клебша–Гордана,
. (8.21)
равные коэффициентам векторного сложения, взятым с определенной
фазой. Квадрат их величины пропорционален вероятности сложения векторов M и с проекциями M
SJ
и Sz в вектор с проекцией Jz =Mz + Sz.
z
Сумма по m в (8.21) не простая: ненулевыми будут коэффициенты, для
которых выполняется условие m + = m
. Обычно коэффициенты век-
j
торного сложения табулируются. Действуя на функции (8.21) операто-
2
рами
J
Квантовые числа j и m
z
,
, получим:
JsJsm srr r
2
(,) (,) ( 1) (,),
mz jmz jmz
jj j
zjmzzjmz jjmz
(, ) (, ) (, )
jj j
22
Jsjj sJr r r
связаны с физическими величинами J2 и Jz
j
. (8.22)
микрочастицы следующим образом:
l
22
zj
(1)Jjj
m
m
, . (8.23)
j
j
, ,
1
,
2
2
3
,
2
2
,,
,,
3
1
12
2
l
12
2
Для частицы с квантовым числом спина s = ½ и орбитальным квантовым числом l квантовые числа j могут быть только l – ½ и l + ½. Соответствующие собственные функции можно записать в явном виде, так
как в этом случае коэффициенты Клебша–Гордана выражаются аналитически через иррациональные выражения:
11
lm lm
1
lm
j
2
1
lm
j
2
22
ll
21 21
11
lm lm
22
ll
21 21
jj
jj
YY
11
mm
jj
22
YY
ll
mm
jj
ll
θ, χθ, χ ,
11
22
θ, χθ, χ .
12 12
12 12
(8.24)
67
IX. ЗАВИСИМОСТЬ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ ОТ ВРЕМЕНИ
H
x
Уравнение Шредингера
До сих пор зависимость волновой функции квантовой системы от
времени мы рассматривали формально, как зависимость от параметра.
Постулат 5
Зависимость волновой функции Ψ(x, t) квантовой системы от времени задается дифференциальным уравнением в частных производных:
(,)
xt
ih H x t
t
(,)
, (9.1)
называемым уравнением Шредингера, где
− совокупность непрерывных переменных. По физическому смыслу
а
это уравнение эволюции системы, подобное уравнению Ньютона в
классической механике, и понимается так: если волновая функция системы известна в момент времени t = t
воляет узнать, какой будет эта функция в момент времени t = t
< t2). То есть во времени изменяются только функции плотности рас-
(t
1
пределения координат частиц, тогда как сами координаты от времени не
меняются. В этом заключается квантово-механический смысл причинности: не жесткая, а вероятностная связь прошлого квантовой системы с
настоящим, и влияние настоящего на будущее.
С математической точки зрения уравнение (9.1) есть дифференциальное уравнение в частных производных порядка не ниже второго. Решение
такого уравнения – исключительно трудная задача, особенно если частиц
несколько, а энергия взаимодействия их с внешними полями и друг с другом зависит от скоростей. Поэтому ограничимся рассмотрением уравнений Шредингера для одной микрочастицы, находящейся в потенциальном
поле U(r, t). В
этом случае уравнение Шредингера будет иметь вид
,
t
r
ih U t t
tm
2
h
2
, Ψ(x, t1), то уравнение (9.1) поз-
1
2
– гамильтониан системы,
, Ψ(x, t2),
2
,,
rr
. (9.2)
Вектор тока вероятностей для микрочастиц
Рассмотрим частицу массой m, которая движется в потенциальном
поле. И ее оператор Гамильтона имеет вид, как в уравнении (9.2). Запишем уравнение Шредингера для этой частицы в двух видах:
68
,
j
j
ih t U r t t
t
r
tm
2
h
2
2
,,,
rr
(9.3)
и
*
,
ih t U t t
t
r
tm
2
h
2* *
2
,,,
rrr
. (9.3)*
Умножим уравнение (9.3) на Ψ*, а (9.3)* на Ψ и вычтем из верхнего
уравнения нижнее (из левой части – левую, из правой – правую):
Ψ
*
Ψ
ih
Ψ
Ψ
tt
Исходя из явного вида векторного оператора
2*
h
m
2
*22*
ΨΨΨΨ
. (9.4)
и правила диффе-
ренцирования, преобразуем выражение (9.4) к виду
t
ih
)(
2
m
***
ΨΨΨΨ
, (9.4а)
где в правой части имеем скалярное произведение векторного оператора
на векторную функцию, которую обозначим
)(
t (r, r, r, (r, r,j
ih
m
2
**
)Ψ)Ψ()Ψ()Ψ
tttt
(9.4б)
и назовем током вероятностей.
Обозначим:
2
,,ttrr
,
divtt r,
r,j
,
(9.4в)
запишем (9.4а) в виде
,ω
trjr
t
0,div
t
. (9.5)
Уравнение (9.5) носит название уравнения непрерывности тока вероятностей. Вложим физический смысл в полученное уравнение.
2
Пусть частица имеет электрический заряд q. Если
,Ψ tr
– плотность
распределения координат микрочастицы, то
2
)(ω,Ψ
tqq ,rr t
есть пространственная плотность распределения электрического заряда,
создаваемая этой заряженной микрочастицей, а
(,)qt
r
− плотность электрического тока, создаваемая движущейся заряженной
υj
микрочастицей. Для свободной частицы
(теорпрактикум).
Умножим уравнение (9.5) на q и проинтегрируем его обе части по
пространству, которое может занимать частица:
ω(,)d div(,)dqtrqtr
t
rjr
VV
33
69
,
Перепишем это равенство, изменяя его правую часть:
qtrqt
t
ω(,)d (,)d
V
rjrσ
3
V
, (9.6)
где во втором выражении перешли к поверхностному интегралу второго
рода согласно теореме Остроградского–Гаусса, который есть поток вектора плотности электрического тока j через поверхность
. Поверх-
V
ностный интеграл вычисляется по внешней стороне замкнутой поверхности
(рис. 10); d
n
(r) – единичный вектор нормали к кривой поверхности V в точке r
, охватывающей трехмерную область интегрирования V
V
– дифференциал ориентированной поверхности:
d ()d
nr
,
(рис. 10).
Рис. 10. К теореме Остроградского–Гаусса
Равенство (9.6) отражает закон сохранения электрического заряда:
скорость изменения электрического заряда в пространстве объемом V
равна электрическому току, прошедшему через поверхность
, охваты-
V
вающую эту область пространства. А уравнение
(,)
t
qqt
r
t
jr
div ( , ) 0
(9.7)
− известное в классической электродинамике уравнение непрерывности
электрического тока.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]