Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика для студентов технических вузов. Учебное пособие
.pdf
Вид потенциала (10.45) позволяет рассмотреть случай:
x
E < 0, (10.48)
причем |E| < U
и поэтому
0
2( )
mE+U
2( )
0
22
hh
mU E
0
0,
а корни λ характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению (10.46а)*, будут мнимыми:
2( )
2
λ .
mE+U
0
2
h
Общее решение уравнения (10.46а)* можно записать:
(x) = Acos(æx) + Bsin(æx), æ =
1
2( )mU E
0
2
h
, (10.49а)
где A и B – произвольные постоянные. Дифференциальному уравнению
(10.46б)* будет соответствовать характеристическое уравнение, корни
которого вещественные:
2
2
2
λ
mE
h
Em
,
22
h
поэтому общее решение запишем в виде
k
2
(10.49б)
,
2
h
kxkx
2
DeCex
,)(
Em
где C и D – произвольные постоянные. Из условия
lim ( ) , 0,
x
xC
2
() .
xDe
2
kx
Требование непрерывности волновой функции (10.47) в точке x = 0
приводит к условию:
(x = 0) = 0, A = 0,
1
= Bsin(æx), (10.50-0)
1
а условие непрерывности волновой функции (10.47) в точке x = a требует выполнение равенств:
() ();
xa xa
12
dd
12
() (),
axa
dd
xx
(10.50-a)
или
ka
sin( ) 0;
BaDe
ææ
BaDke
æ
cos( ) 0.
ka
(10.51)
Нетривиальные решения этой СЛАОУ получим, если определитель
ее матрицы равен нулю:
91
ka
sin( )
ææ
ae
æ
cos( )
aek
(sin( ) cos( )) 0
ka ae
ka
æææ
sin( ) cos( ) 0.ka a
æææ
Трансцендентное уравнение перепишем в виде
ka
ka
e
,
,0
æ
tg( ) , tg , .aa
ææ
kka
(10.52)
Вариант графического решения этого уравнения показан на рис. 19.
Рис. 19. Эскиз графического решения трансцендентного уравнения (10.52)
Нетривиальные решения этого уравнения определяют дискретные
отрицательные энергии частицы в рассматриваемом потенциале. Такие
стационарные состояния частицы с отрицательной энергией называются
связанными состояниями, а дискретные отрицательные энергии этих
состояний – энергетическими уровнями микрочастицы в заданном потенциале. Уравнение (10.52) называется уравнением квантования. Число нетривиальных решений уравнения (10.52) определяется величиной
2( )
æ
mE+U
ξ
aa
0
2
h
,
то есть шириной и глубиной потенциальной ямы, и равно числу возможных связанных состояний микрочастицы в потенциале (10.45).
Из эскиза графического решения (рис. 19) следует, что для существования одного связанного состояния аргумент
92
æ
ξ
aa
mE+U
0
2
h
2( )
должен быть больше π/2, (не превышая 3π/2):
π 3π
a
æ
. (10.53а)
22
Для существования двух связанных состояний аргумент ξ должен
удовлетворять условию:
3π 5π
a
æ
, (10.53б)
22
и так далее. Возведем неравенства (10.53) в квадрат, получим:
222
2( ) 9
44
mE+U a
0
2
h
. (10.54)
Наибольшая среди отрицательных энергий частицы в «яме» может
быть энергия E 0. С таким значением E неравенства (10.54) превра-
щаются в условие существования связанного состояния:
22 22
hh
88
Ua
mm
0
9
2
.
(10.55)
Именно величина произведения
U
·a2
0
определяет возможность образования связанного состояния. Задавая
ширину ямы a, получаем условие на величину отрицательного потенциала U
:
0
22 22
hh
88
ma ma
U
22
9
0
, (10.55*)
при котором возможны связанные состояния микрочастицы в потенциальной яме (10.45). То же можно сказать про образование двух (10.53б), трех и
так далее связанных состояниях микрочастицы в потенциале вида (10.45).
Запишем уравнение (10.52) с явной зависимостью от E, учитывая ее
знак:
2( )
tg 1 0
mU E
При заданной глубине потенциальной ямы U
0
2
hE
an
U
0
. (10.56)
это уравнение можно
0
решать приближенными методами. Натуральное число n определяет n-ю
ветвь функции tg справа от главной ветви и соответствует n-му состоянию с отрицательной энергией частицы в яме, отсчитываемому от ее
«дна». Наиболее просто уравнение (10.56) решается методом деления
отрезка оси пополам, и, выбирая ту половину, на
концах которой
функция
93
2( )
tg 1
mU E
0
2
hE
an
U
0
имеет разные знаки; продолжаем процесс деления до нужной точности.
0
Состояния с энергией
E
можно нумеровать номером n, а так-
n
же все зависящие от n величины, характеризующие это состояние:
,, ()
kx
æ
nn n
. Возвращаясь к нетривиальному решению системы ал-
гебраических уравнений (10.51), получим
ka
n
DBe a
nn n
sin( )
æ
.
Волновую функцию тогда можно записать:
Чтобы
sin( ), 0 ;
()
xB
nn
записывать в обычном виде, введем -функцию, или
)(x
n
ka kx
eaexa
xxa
æ
n
nn
æ
sin( ) , .
n
. (10.57)
функцию Хевисайда, которая определяется:
x
x
θ()
1, 0;
0, 0,
(10.58)
x
тогда
ka kx
() sin( ) ( ) sin( ) ( )
xB x axe ae xa
nnn n
ææ
nn
. (10.59)
Рис. 20. Эскиз варианта графика волновой функции (10.59)
Произвольную константу Bn найдем из условия нормировки n, которое вместе с условием ортогональности для этих функций можно записать:
() ()
xxdx
mn mn
94
, (10.60)
откуда
x
D
x
x
D
x
B
n
24 2
sin(2 ) sin ( )
a
2
aa
ææ
nn
æ
nn
2
k
1
. (10.61)
Нормированные волновые функции можно использовать для вычисления средних значений физических величин микрочастицы, находящейся в потенциальной яме (10.45) в состоянии n-й отрицательной
энергии.
Если при E < 0 у частицы нет связанных состояний, то определитель матрицы системы (10.51) не будет равен нулю, а сама система будет иметь только тривиальное решение:
B
,0)(
то есть микрочастица находиться при любых отрицательных энергиях
не может, а только при некоторых, определенных уравнением квантования (10.52).
Для случая E > 0 получаем:
2( )
mU E
"( ) ( ) 0,xxæ
11
2
2
2
2
2
2
k
,0)()("
xkx
h
20.mE
2
h
0
2
æ
0,
(10.62)
Запишем общие решения в универсальной комплексной форме:
ix ix
() ,
xAe Be
1
() , ,
2
Ce De k
ææ
ikx ikx
æ
(10.63)
где æ и k – вещественные. С учетом граничных условий для (x), получим:
() 2 sh( ) 2 sin( ),
1
() cos( )
xCe De D kx
2
где A, C, D – произвольные постоянные, а
янные, выражающиеся через С и D. Уравнение «сшивки» функций Ψ
в точке x = a возможно, но оно не несет строгих ограничений на
Ψ
2
iA i x A x
ikx ikx
ææ
и φ – произвольные посто-
, (10.64)
и
1
энергию частицы. В результате получим
() sin( )θ() cos( )θ(),
Axax kx xa
æ
sin( )
æ
a
ka
cos( )
(10.65)
где φ – проивольная константа, и жеской связи между æ и k нет.
Вариант эскиза этой функции изображен на рис. 21.
95
Рис. 21. Эскиз варианта графика волновой функции (10.65)
Симметрии уравнений Шредингера
Рассмотрим уравнение Шредингера для стационарных состояний,
когда частица массой m движется в потенциальном поле U(x):
22
d()
hx
2d
Симметрию всего уравнения определяет только функция U(x). Если
U(x) обладает какой-либо симметрией, это скажется на решении урав-
нения (10.66). Каким образом? На этот вопрос дает ответ теорема.
Теорема.
Если в уравнении (10.66) потенциальная энергия частицы
U(x) есть четная функция x, то есть
то решениями уравнения (10.66) будут функции с определенной четностью:
либо четные − (x) = (–x), либо нечетные − (x) = –(–x).
Доказательство. Заменим переменные в уравнении (10.66):
тогда
ddd d d ddd
ddd d d ddd
xxx x x xxx
и
hx
2d
mx
Возвращаясь к старым обозначениям
получим
hx
2d
mx
2
() () ().
Ux x E x
(10.66)
U(x) = U(–x), (10.67)
~
x
22
d()
22
d()
mx
2
2
;
()() ().
Ux x E x
()() ().
Ux x E x
xxx
,
22
22
~
xx
и учитывая четность U,
(10.68)
(10.69)
96
Сравнивая уравнение (10.66) и (10.69), видим, что для функций
x
(x) и (–x) дифференциальные уравнения одинаковы. Значит, волно-
вые функции (x) и (–x) могут различаться только численным множителем, то есть
() ( ) () ()
xxx
2
.
Отсюда
1α
, (10.70)
что и требовалось доказать. Применим доказанную теорему к нашей
модельной задаче.
Электронный газ в металле
Электроны в металлах имеют отрицательную энергию, так как для
их выбивания требуется затратить энергию, о чем свидетельствует явление фотоэффекта. В каком же состоянии находятся электроны в металле? Атомы металлов, объединяясь в кристаллы, становятся ионами,
теряя свои слабосвязанные валентные электроны, которые делаются
общими для всех ионов, из которых образуется
электроны оказываются в усредненном потенциальном поле ионов всего кристалла, и в этом смысле можно говорить об электронном газе в
металлах. Поле всех ионов в кристалле неизотропно. Есть такие направления, вдоль которых это поле постоянно. Эти направления определяют
цепочки ионов, образующих кристалл. Если движение
талле разделить на два независимых: вдоль цепочки ионов металла и в
направлении, перпендикулярном ему, то движение электронов вдоль
цепочки будет свободным или почти свободным, обеспечивая проводимость металлов (рис. 22). Сопротивление движению электронов в металле в этом случае возникает только из-за тепловых колебаний ионов в
узлах решетки
.
кристалл. «Общие»
электронов в ме-
Рис. 22. Движение отдельного электрона «газа» вдоль и поперек цепочки
атомов-ионов. Для простоты выделена одна цепочка
Реально такие цепочки будут и спереди и сзади, и сверху и снизу, образуя пространственную периодическую структуру.
97
Движение же в перпендикулярном направлении будет ограничено
x
потенциалом отталкивания атомов-ионов, не давая электронам упасть
на ион. Этот потенциал можно представить в виде потенциальной ямы,
симметричной относительно центра между цепочками ионов, и в хорошем приближении яму можно считать прямоугольной, то есть
0, ;
xa
() , ;
Ux U a x a
0
0, .
xa
(10.71)
Здесь a – величина порядка размера кристаллической решетки ме-
–7
талла ~ 10
…10–8 м. Поэтому движение электронов в поперечном к це-
почкам ионов направлении будет подчиняться законам квантовой механики.
Рис. 23. Эскиз графика потенциальной энергии валентного электрона
в металле при движении вдоль оси 0X, перпендикулярной направлению
цепочки атомов-ионов
При движении электронов поперек цепочки ионов, то есть вдоль
0X, потенциальная энергия U(x) будет четной функцией координаты x
(рис. 23), а значит, и уравнение Шредингера для электрона в металле:
22
d()
hx
2d
mx
2
() () (),
Ux x E x a x a
, (10.72)
будет иметь решения либо четные, либо нечетные относительно переменной x. Нам известно решение этого уравнения для
ka kx
(0) sin( )θ() sin()θ()
nnn n
Bxaxeaexa
ææ
nn
0x
:
. (10.73)
Согласно симметрии потенциала в уравнении (10.73) его решения
будут либо нечетными, либо четными функциями. Взяв ранее в решении этого уравнения (10.73) Ψ(0) = 0, мы уже сделали выбор в пользу
нечетного продолжения решения и тогда
98
ka kx
(0) sin()θ() sin()θ()
xB xaxe aexa
nnn n
ææ
nn
. (10.74)
Эскиз графика нечетного решения уравнения (10.72), состоящего
из функций (10.73) и (10.74), показан на рис. 24. Таким образом, решение модельной задачи о частице в потенциальной яме конечной глубины вида (10.45) можно использовать для описания электронного газа в
металле, поведение которого подчиняется законам квантовой механики.
Рис. 24. Эскиз варианта графика волновой функции,
состоящей из функций (10.73) и (10.74)
Для проводимости металлов не имеет значение, в каком состоянии
(в основном или в возбужденном) находятся переносчики тока – элек-
троны проводимости. Кроме того, направлений в кристалле (осей цепочек ионов) можно выбрать очень много, даже если в основе кристалла
лежит простая кубическая решетка.
Квантовый гармонический осциллятор
В классической механике одномерному колебательному движению
частицы массой M под действием упругой силы с коэффициентом упругости k > 0 соответствует функция Гамильтона:
2
p
x
H
M
или в стандартном виде:
2
H
p
x
2
M
ω
xM
2
Гармоническим осциллятором в квантовой механике назовем со-
стояние микрочастицы, которое описывается уравнением Шредингера
для стационарных состояний (принцип соответствия):
2
kx
,
22
22
, k/M = ω2.
99
22 22
x
λhE/
d ω
hmx
2
mx
2d 2
() ()
Ex
. (10.75)
Для нахождения собственных функций и собственных значений
этого гамильтониана перепишем это уравнение в виде
2222
d() ω 2
xmx mE
22 2
d
xh h
() () 0
xx
и перейдем к безразмерным переменным:
, (10.76)
bx
ξ
dddξ d
const;
][1lb
2222
d() ωξ 2
224 22
dξ
mmE
hb hb
xx
ddξ ddξ
() (ξ)0
b
,
. (10.77)
Выберем значение величины b из условия:
22
ω
m
bh
, (10.78)
1
42
поскольку эта величина тоже должна быть безразмерной. Перепишем
уравнение (10.77), чтобы определить тип уравнения:
"( ) ( ) ( ) 0
2
.
ω2
, (10.79)
Будем искать решение этого линейного однородного дифференциального уравнения с непостоянными коэффициентами в форме
2
ξ
2
)ξ()ξ(
He
. (10.80)
Подставляя выражение (10.80) в уравнение (10.79), придем к дифференциальному уравнению на неизвестную функцию H(ξ):
"()2 '()( 1)() 0,HH H
(10.81)
которое уже является известным дифференциальным уравнением. Конечные решения этого дифференциального уравнения также с непостоянными коэффициентами на интервале (–,) возможны только при целых и нечетных λ:
2
E
λ n
ω
h
и эти решения есть полиномы Чебышева–Эрмита n-го порядка,
, n = 0, 1, 2, …, (10.82)
12
H
n
)ξ(
Как следует из (10.82), спектр энергии квантового осциллятора
имеет дискретные положительные значения:
21
n
EEh
ω
n
100
, n = 0, 1, 2,…. (10.83)
2
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]