Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика для студентов технических вузов. Учебное пособие
.pdf
A
x
x
x
x
x
A
x
x
11. У оператора
дискретный спектр собственных значений и
вещественные собственные функции
Aa
nnn
,
среди которых есть две вырожденные. Ортогонализовать вырожденные
функции на области определения функций
. Попробуйте это сделать
n
в случае трех вырожденных функций.
d
i
12. При каких собственных значениях m оператора
его соб-
d
ственные функции будут периодическими с периодом 2π?
13. Вычислить интегралы, используя свойства δ-функций Дирака:
а)
б)
в)
г)
д)
sin( ) d ;
exx
[sh( ) ch( )] ( 8)d ;
0
sin 2 ch( )δ(1)d;
1
x
2
x
1
2
(sin( ))d .
2
()d;
xx
2
xx x
22
xx x
xx
3
14. Пусть
fx afx
nnn
() () () ()
и
fx ifx fx
234
.
() ()
()
а) Как записать функцию
в A-представлении?
б) Функция записана с одним отличным от нуля коэффициентом
c
nnk
. В каком представлении она дана?
*
bfBf fxBfxx
в)
nk k n k n
() ()d
. Является ли bnk функцией от x?
141
Задачи и упражнения к главам 3 и 4
f
f
x
M
H
A
x
x
p
x
2
1. Пусть
xx
,
. Могут ли эти операторы иметь общую
2Tm
систему собственных функций? Ответ обосновать.
2. Доказать, что
функциями оператора
2
()
L
,
sin sin
im
e
2
, где
,
11
и
sin
() cosg
являются собственными
2
22
.
3. Является ли функция
L
оператора
(см. задачу 2)?
4. Записать оператор
(, ) ( ) ()
в сферических координатах.
g
собственной функцией
5. Вычислить коммутатор (в сферической системе координат):
2
[,].
MM
z
6. Вычислить коммутаторы (в декартовой системе координат):
[ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ].
MMMMMMxMyxp
xy yz zx x x
7. Возвести в квадрат оператор в квадратных скобках:
2
,
2
но сначала доказать, что
1
iArtert
mc
e
[,] div
e
(,) (,)
A
.
8. Волновая функция состояния частицы имеет вид
()
– вещественная функция,
() exp( )()
cipx x
φ() 0
0
xx
,
. Показать, что
0
импульс частицы в рассматриваемом состоянии.
Задачи и упражнения к главе 7
1. Доказать, что дисперсия физической величины положительна:
*( )( ) ( )d | ( ) ( )| d
22
xx x x
,
2
– средний
если оператор
соответствует физической величине .
142
x
x
x
M
2. Дана функция
() exp
xix
xa
2
,
2
()
где a – вещественное положительное число.
()
а) Может ли
б) Вычислить
в) Найти M(x) на интервале
быть волновой функцией? Ответ обосновать.
|()|
2
и изобразить эскизом.
),(
.
3. Найти минимальный разброс значения импульса электрона в
атоме (
R
A
).
10
~10 м
4. Измеримы ли одновременно x и P
у микрочастиц?
y
5. В эксперименте установлено, что при -распаде ядра максималь-
ная энергия вылетевшего электрона составляет 3,5 МэВ. Каков размер
ядра?
6. Записать соотношение неопределенностей физических величин
координаты x и M
; координаты y и T-кинетической энергии.
z
Задачи и упражнения к главе 8
222
1. Вычислить
yz
.
, где
2. Попробуйте доказать, что
ababiab
стоянные векторы.
3. Записать в явном виде собственные волновые функции квадрата
2
оператора углового момента
(
2l
). Проверить нормировку и орто-
гональность этих функций.
2
,zss
для частицы со
4. Вычислить средние значения операторов
спином 1/2
.
,ab
– по-
143
5. Вычислить коммутатор
J
j
r
E
2
[,]
J
z
, где
sMJ
− полный мо-
мент импульса частицы со спином 1/2
.
Задачи и упражнения к главе 9
1. Доказать, что
22
**(**).
2. Найти собственные функции оператора импульса, которые име-
i
, и вычислить:
ют следующий вид:
rpr
() exp
p
();
r
а)
p
б) вектор плотности тока вероятности:
i
2
[() () () ()]
rr rr
pp pp
m
.
3. Записать гамильтониан частицы массой m и заряда q, находя-
щейся в кулоновском поле, создаваемом точечным зарядом Q (в декартовых и сферических координатах).
4. Как зависит от времени плотность вероятности обнаружить ча-
стицу с координатами
волновой функцией:
(,) ()exp ()exp
rt c r Et c r Et
, если ее состояние описывается следующей
ii
11 1 2 2 2
,
где
, , , cc
12 1 2
– вещественны? Описывает ли эта функция состояние с
определенной энергией? Какова вероятность нахождения системы в состоянии с энергией E
, E2?
1
Задачи и упражнения к главе 10
1. «Вычислить» коэффициент прозрачности прямоугольного по-
тенциального барьера D,
A
3
а) показать, что при
D
()()( ) 2cos2
kk kk kk ka
000
DA
() ()
kke kke
00
44222
2
, если
3
ik a
0
22
kk
0
;
0
4
kk e
22
ika ika
U
:
0
16
144
;
E
E
U
б) показать, что при
22
где
k
;
D
()sh4
0
22
4
k
2222 22
kak
00
0
,
в) получить для б) упрощенную формулу для коэффициента прозрачности:
22
16
k
если
DeDe
U
0
ae
,
<1.
0
222
()
k
0
22
aa
0
,
2. Оценить коэффициент прозрачности прямоугольного барьера
для электрона и протона с U
– E =10
0
–18
Дж, a = 10
–10
м, если D0 = 1. Че-
му равен коэффициент отражения?
3. Оценить для альфа-частицы коэффициент прозрачности прямо-
–15
угольного барьера, если его ширина равна 1,2·10
Принять D
= 1.
0
м, а U0 – E = 7 МэВ.
5. Оценить для альфа-частицы коэффициент прозрачности барьера,
–13
если его ширина равна 10
м, а U0 – E = 12 МэВ. Принять D0 = 1. Каков
период полураспада соответствующего альфа-радиоактивного ядра?
Задачи и упражнения к главам 11–12
Волновая функция атома водорода без спина
() (, ),
nlm nl lm
nn l ln n
r
() (),
RNeL
nl nl n l
dd
() ( ), () ().
Lee L L
kkk
dd
RrY
1, 1, 2, . .. , 0 .
2
z
ra
2
,,
na me
ks
ks
ks
ll
21
2
2
145
1. Вычислить:
10
()Rr
()Rr
,
20
()Rr
,
30
()Rr
,
21
.
2. Вычислить и записать волновые функции:
,
211
,
300
.
100
,
200
,
3. Вычислить среднее расстояние электрона в основном состоянии
до ядра.
4. Вычислить
в состояниях
100
и
210
.
5. Вычислить радиус второй боровской орбиты атома водорода.
6. Вычислить
2
[, ], ( )HM H T U x y z
222
, где
U
− оператор
потенциала центрального поля.
Указание. Воспользоваться сферической системой координат.
() (, ),
nlm nl lm
nn l ln n
r
() (), ,
RNeL ra
nl nl n l
2
ll
21
RrY
1, 1, 2, ..., 0.
2
z
na me
2
− радиус боров-
2
ской орбиты атома водорода в основном состоянии.
ks
dd
() ( ), () ().
Lee L L
kkk
ks
dd
ks
210
,
21 1
7. Вычислить величину боровского радиуса a для мюонного,
π-мезонного и K-мезонного атомов, а также энергии их основных состояний.
146
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Вариант 1
Частица массой m совершает одномерное движение в потенциальном поле
,0
x
()
Ux
1. Решить уравнение Шредингера для частицы с отрицательной
энергией (E < 0).
2. При каких значениях U
микрочастицы?
3. При
a = 8·10
–15
м определить интервал значений глубин U
тенциальной ямы, при которых для
двух связанных состояний.
4. Выбрав из полученного интервала среднее арифметическое
значение U
, вычислить энергии двух состояний нейтрона (основного и
0
возбужденного).
5. Вычислить отношения времен пребывания
вне ее в основном и в возбужденном состоянии.
6. Определить среднее значение координаты x
ном и возбужденном состоянии. Полученный результат объяснить.
7. Каково будет среднее значение импульса, кинетической и по-
тенциальной энергии
нейтрона в обоих состояниях? Выполняется ли
,0
Uxa
0
и a возможны связанные состояния
0
0,
xa
нейтрона возможно существование
нейтрона в яме и
нейтрона в основ-
по-
0
равенство
n
UTE
? Полученный результат объяснить.
nn
Вариант 2
Частица массой m совершает одномерное движение в потенциальном поле
,0
x
()
Ux
1.
Решить уравнение Шредингера для частицы с отрицательной
энергией (E < 0).
147
,0
Uxa
0
0,
xa
2. При каких значениях U0 и a возможны связанные состояния
микрочастицы?
При a = 1,010
3.
тенциальной ямы, при которых для
–14
м определить интервал значений глубин U
альфа-частицы возможно суще-
по-
0
ствование двух связанных состояний.
Выбрав из полученного интервала среднее арифметическое
4.
значение U
, вычислить энергии двух состояний альфа-частицы (ос-
0
новного и первого возбужденного).
Вычислить отношения времен пребывания альфа-частицы в
5.
яме и вне ее в основном и в возбужденном состоянии.
Определить среднее значение координаты x альфа-частицы в
6.
основном и возбужденном состоянии. Полученный результат объяснить.
Каково будет среднее значение импульса, кинетической и по-
7.
тенциальной энергии
ли равенство
n
альфа-частицы в обоих состояниях? Выполняется
UTE
? Полученный результат объяснить.
nn
Вариант 3
Частица массой m совершает одномерное движение в потенциальном поле
,0
x
()
Ux
1.
Решить уравнение Шредингера для частицы с отрицательной
,0
Uxa
0
0,
xa
энергией (E < 0).
При каких значениях U
2.
и a возможны связанные состояния
0
микрочастицы?
При a = 1,5·10
3.
потенциальной ямы, при которых для
–14
м определить интервал значений глубин U
дейтона (d) возможно существо-
вание двух связанных состояний.
Выбрав из полученного интервала среднее арифметическое
4.
значение U
, вычислить энергии двух состояний дейтона (основного и
0
первого возбужденного).
Вычислить отношения времен пребывания дейтона в яме и вне
5.
ее в основном и в возбужденном состоянии.
Определить среднее значение координаты x дейтона в основ-
6.
ном и возбужденном состоянии. Полученный результат объяснить.
0
148
7. Каково будет среднее значение импульса, кинетической и по-
тенциальной энергии
венство
n
дейтона в обоих состояниях? Выполняется ли ра-
UTE
? Полученный результат объяснить.
nn
Вариант 4
Частица массой m совершает одномерное движение в потенциальном поле
,0
x
()
Ux
1.
Решить уравнение Шредингера для частицы с отрицательной
энергией (E < 0).
При каких значениях U
2.
микрочастицы?
При a = 2·10
3.
тенциальной ямы, при которых для
двух связанных состояний.
Выбрав из полученного интервала среднее арифметическое
4.
значение U
, вычислить энергии двух состояний μ-мезона (основного и
0
возбужденного).
Вычислить отношения времен пребывания μ-мезона в яме и вне
5.
ее в основном и в возбужденном состоянии.
Определить среднее значение координаты x μ-мезона в основ-
6.
ном и возбужденном состоянии. Полученный результат объяснить.
Каково будет среднее значение импульса, кинетической и по-
7.
тенциальной энергии
–11
м определить интервал значений глубин U
μ-мезона в обоих состояниях? Выполняется ли
,0
Uxa
0
0,
xa
и a возможны связанные состояния
0
μ-мезона возможно существование
по-
0
равенство
n
UTE
? Полученный результат объяснить.
nn
Вариант 5
Частица массой m совершает одномерное движение в потенциальном поле
()
Ux
1.
Решить уравнение Шредингера для частицы с отрицательной
Uxa
,0
0
0,
xa
,0
x
энергией (E < 0).
149
2. При каких значениях U0 и a возможны связанные состояния
микрочастицы?
При a = 2,5·10
3.
потенциальной ямы, при которых для
–10
м определить интервал значений глубин U
электрона возможно существо-
вание двух связанных состояний.
Выбрав из полученного интервала среднее арифметическое
4.
значение 0, вычислить энергии двух состояний
электрона (основного и
возбужденного).
Вычислить отношения времен пребывания электрона в яме и
5.
вне ее в основном и в возбужденном состоянии.
Определить среднее значение координаты x электрона в ос-
6.
новном и возбужденном состоянии. Полученный результат объяснить.
Каково будет среднее значение импульса, кинетической и по-
7.
тенциальной энергии
равенство
n
электрона в обоих состояниях? Выполняется ли
UTE
? Полученный результат объяснить.
nn
Вариант 6
Частица массой m совершает одномерное движение в потенциальном поле
0
()
Ux
,0
x
,0
Uxa
0
0,
xa
1. Решить уравнение Шредингера для частицы с отрицательной
энергией (E < 0).
2.
При каких значениях U
и a возможны связанные состояния
0
микрочастицы?
При a = 5,5·10
3.
тенциальной ямы, при которых для
–15
м определить интервал значений глубин U
η-мезона возможно существование
двух связанных состояний.
Выбрав из полученного интервала среднее арифметическое
4.
значение U
, вычислить энергии двух состояний η-мезона (основного и
0
возбужденного).
Вычислить отношения времен пребывания η-мезона в яме и вне
5.
ее в основном и в возбужденном состоянии.
Определить среднее значение координаты x η-мезона в основ-
6.
ном и возбужденном состоянии. Полученный результат объяснить.
7. Каково будет среднее значение импульса, кинетической и по-
тенциальной энергии
равенство
n
η-мезона в обоих состояниях? Выполняется ли
? Полученный результат объяснить.
UTE
nn
по-
0
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]