Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика для студентов технических вузов. Учебное пособие
.pdf
В ряде случаев из соображений симметрии оператор
x
x
f
ется записать в сферических координатах, которые наиболее просто
будут связаны с декартовыми, если начала их отсчетов будут совпадать,
а полярная ось сферической системы направлена вдоль декартовой
оси z:
T
(3.3) требу-
sin θcos
xr
sin θsin
yr
Чтобы теперь записать оператор дифференцирования, например
cos θ
zr
θ arccos
,
2222
rxyz
222
tg
z
yz
y
x
. (3.4)
, в сферических координатах, необходимо вспомнить дифференци-
рование сложных функций многих переменных:
С помощью этого алгоритма оператор кинетической энергии частицы
T
rABCf
,θ,
xrxxxr
можно записать в сферических координатах:
fr f f
A
TRr
θ
θθ
r
B
,
x
h
2
mr
2
θ
,
x
L
. (3.5)
xC
θ,
2
, (3.6)
,
где
Rr r
– радиальная часть оператора кинетической энергии
координатах, а
θ,sinθ
L
11
sin θθ θ sin θ
– угловая часть оператора кинетической энергии
ординатах.
Напомним, что в классической механике момент импульса записывается в виде
1
2
rr r
31
2
(3.6R)
2
22
T
в сферических ко-
T
в сферических
(3.6L)
i
x
x
M
x
M
jk
MrP r,P
M
x
()()().
yP zP zP xP xP yP
ijk
zy xz y x
xyz
PPP
xyz
M
y
(3.7)
M
z
По кватово-механическому принципу соответствия имеем
M M r P
и
MM ihy z
MM ihz x
y
x
y
x
MM ihx y
z
z
zy
z
yx
, (3.7x)
, (3.7y)
. (3.7z)
Эти операторы обладают удивительным свойством: коммутатор
двух из них пропорционален третьему:
,,,,,
M ihM M M ihM M M ihM
yzyzxzxy
С помощью алгоритма (3.5) можно их представить в сферических
координатах:
.
Mih
x
sin ctgθ cos
Mih
y
cos ctgθ sin
θ
Mih
z
θ
. (3.8z)
; (3.8x)
; (3.8y)
Оператор квадрата момента импульса
Квадрат длины вектора в декартовых координатах выражается через сумму квадратов его координат:
2222
MMM M
.
zyx
По принципу соответствия:
2
В декартовых координатах это выражение громоздко, но в сферических координатах (см. (3.8)) его можно преобразовать к виду
2222
MMMM
yz
.
32
2
H
y
H
M
L
где
рических координатах (3.6L). Оператор кинетической энергии
можно теперь записывать с помощью оператора
ветствующего физической величине
– угловая часть оператора кинетической энергии частицы в сфе-
TRr L Rr
22
hhL
sin θθ θ sin θ
22 2
hh h
22 22
mmr mmr
11
sin θθ,,
2
M
1
θ,
22
2
22
:
M
2
–
(3.9)
оператора, соот-
2
M
. (3.10)
T
(3.6)
Оператор Гамильтона (гамильтониан)
В классической физике функцией Гамильтона, обозначаемой H,
называется выражение для полной механической энергии тела массой M:
2
P
2
где U(x, y, z, t) – потенциальная энергия частицы. Если U не зависит от
времени t, то функция H представляет собой полную энергию тела.
По принципу соответствия запишем оператор потенциальной энергии частицы:
M
,,,
Uxyzt
, (3.11)
,,, ,,, ,,,Uxyzt U xyzt U x
причем время не может быть оператором. Функции Гамильтона будет
соответствовать оператор Гамильтона, или, иначе, гамильтониан:
2
P
HUxyzt Uxyzt
Однако в задаче о движении заряженной микрочастицы в электромагнитном поле, наиболее востребованной в вычислительной практике,
гамильтониан в форме (3.12) записать не представляется возможным,
так как энергия взаимодействия заряженной частицы с электромагнитным полем не является потенциальной.
22
mm
2
h
,,, ,,,
2
zt
,
. (3.12)
Гамильтониан заряженной частицы
в электромагнитном поле
С точки зрения классической физики на частицу с зарядом q в
электромагнитном поле действует сила
( ) [ ( )],
qt t
Fv,B
q
c
(3.13)
33
состоящая из силы Кулона и силы Лоренца, соответственно, и B – векто-
H
x
P
ры напряженности электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля,
не позволяет ее представить функцией градиента от какой-либо скалярной
функции, потенциальной энергии частицы. Составим гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле отдельно. Известно, что решением системы уравнений Максвелла является ненаблюдаемая в эксперименте величина четырех-вектор-потенциал электромагнитного поля D:
v – скорость частицы. Зависимость силы от скорости v
D,
с векторной
связаны с наблюдаемыми в эксперименте величинами электромагнитного поля и
ε
Так как сила Лоренца зависит от скорости частицы, то эта сила не
потенциальная и функция Гамильтона для рассматриваемого случая не
может быть записана в форме (3.11). Записывается она с помощью че-
тырехвекторного потенциала электромагнитного поля
са частицы
Согласно постулату соответствия, оператор Гамильтона для заряженной микрочастицы, движущейся в электромагнитном поле, можно
записать как
Если частица, находясь в электромагнитном поле, одновременно
находится в потенциальном поле другой природы U(
ниану (3.16) надо добавить оператор потенциальной энергии
A
и скалярной φ компонентами, которые, в свою очередь,
B известными выражениями:
Ar
tt
P следующим образом:
,
r
Htqt
1
ct
1
2
Mc
1
mc
2
q
PAr r
ih A t q t
A
,
t
,
;
(,) (,).
q
rr
(,) (,).
,rot,tt
Br Ar
2
2
. (3.14)
,A
и импуль-
(3.15)
(,)Utr
(3.16)
.
r,t), то к гамильто-
В заключение приведем вид основных операторов квантовой механики (координатное представление):
1.
2.
3.
x
;
x
Pijk
ih ih
ih
;
x
xy z
34
;
H
H
Mih
4.
z
;
2
M
5.
TRr
6.
7.
8.
r
22
θ,sinθ
hL h
PM
22 2 2
mmxyz m mr
1
mc
2
2 2
2
h
2
m
22 2 2 2
hh
2
ih t q t U t
,
Ut
q
(,) (,) (,).
Ar r r
11
sin θθ θ sin θ
222 2
;
2
22
2
;
;
35
IV. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОСНОВНЫХ ОПЕРАТОРОВ
x
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Собственные функции операторов импульса
и кинетической энергии
Собственные функции оператора проекции импульса определяются
уравнением
PxPx
x
или
ih
x
имеет решение (при замене частной производной на полную производную):
() exp( )Px
Cih
где C > 0 – произвольная постоянная. Функция (4.1a) удовлетворяет
всем требованиям, которым должна удовлетворять функция в квантовой
механике и о которых поговорим позже. Спектр собственных значений
P
непрерывен и бесконечен:
x
Векторное уравнение
x
x
P
x
x
,
xP
, (4.1a)
x
.
(4.1)
Pr Pr
или
решается подстановкой
где X, Y и Z – неизвестные функции одной соответствующей переменной и в координатной форме сводятся к трем независимым уравнениям
вида (4.1). Поэтому его решение есть:
i
ih PPP
r
j
где C > 0 – произвольная константа. Найденное решение совпадает с
решением волнового уравнения для электромагнитного поля с волновым вектором
странение волн де Бройля движущейся частицы с импульсом P и соот-
r
r
k
zyx eexp PPPCZYX
h/Pk
. Это уравнение интерпретируется как распро-
r
zyx
i
h
36
,
)()()(
zyxZYX
, (4.2a)
zyx
rkji
i
h
, (4.2)
rPr
, (4.2б)
zyx
Czyx
/hP
ветствующей длиной волны
. Уравнение (4.2б) удовлетворяет
всем условиям, которым должна удовлетворять функция микрочастицы
в квантовой механике и о которых скажем ниже. Спектр значений
P
непрерывен и бесконечен.
Уравнение
TT
,
или
22 2 2
h
mx y z
2
222
T
r
, (4.3)
должно иметь частное решение:
( ) exp( )Ci h
rPr, (4.3а)
P
в виде плоской волны де Бройля (проверить), что не удивительно, по-
2
скольку оператор кинетической энергии
P
коммутируют. Однако собственные функции оператора
P
и оператор импульса
2Tm
T
, принадлежащие одному собственному значению непрерывного спектра T, оказываются вырожденными: импульсам
P
и
P
соответствуют разные
функции:
)exp(
11
hiC rP
,
22
)exp(
hiC rP
,
но одинаковые собственные значения T:
2
P
T
22
mm
Поэтому, согласно теореме 3, собственные функции оператора
2
P
.
T
запишутся в виде линейной комбинации:
//
ih ih
T
с C
– произвольными константами. Собственные функции
i
Ce Ce
r
Pr Pr
12
, (4.3б)
r
T
од-
новременно являются и общим решением дифференциального уравне-
T
ния (4.3). Таким образом, собственные функции оператора
будут
иметь вид (4.3б), а спектр собственных значений положителен, непрерывен, неограничен и вырожден.
37
Собственные функции оператора момента импульса
Уравнение на собственные функции оператора проекции момента
импульса на ось Z записывается:
MMrr
В сферических координатах
стой вид:
ih r
и его решение
где безразмерную величину M
CiMhCe
z
z
,,r
,θ,
r
M
exp
/h обозначили
z
m
z
M
z
. (4.4б)
.
r
оно имеет наиболее про-
,θ,
z
im
, (4.4)
, (4.4а)
h
Заметим, что константа C > 0 может быть любой функцией, но
только переменных r и . Функция
видному условию:
так как при повороте на угол φ = 2π ничего не меняется в функции, то
есть
im
ee
Отсюда следует, что m может быть только целым (положительным
или отрицательным) числом (показать самостоятельно), что приводит
к дискретному спектру проекций момента импульса:
должна удовлетворять оче-
2π
,
2im
.
MMm
z
mzm
и собственные функции этого оператора можно нумеровать числом m.
Уравнение на собственные функции оператора квадрат момента
импульса частицы запишется в виде
и в сферических координатах имеет вид
11
22
hM
sin θθ θ sin θ
Оно сводится к известному уравнению Штурма–Лиувилля:
11
sin θθ θ sin θ
sin θ .
sin θ 0
,
z
2
MM
22
38
2
22
mhM
2
2
m
,
, (Ш-Л)
,2,1,0
, (4.4в)
(4.5)
где
M
M
2
λ
.
2
h
Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных решается с помощью подстановки:
где
θF
и
уравнения (
θ, θF
– функции одного переменного. Конечные решения этого
θ,
), которые представляют интерес для квантовой
,
механики, получаются только для положительных целых четных λ в (Ш-Л):
2
λ 1
ll
2
h
,
22
1Mhll
, (4.6)
где l – натуральные числа, включая ноль. Поэтому спектр собственных
2
M
значений оператора
также дискретен. Его собственные функции
будем нумеровать натуральным числом l:
2
θ,1θ,
ll
Спектр собственных значений оператора
2
hl l M
. (4.7)
2
M
вырожденный, так
как каждому собственному значению
2
будут соответствовать (2l + 1) разных функций Ψ
1
llh
, различающихся про-
l
екциями момента импульса на выделенную ось (обычно Z). При каждом
l возможны (2l + 1) ориентаций вектора момента импульса относитель-
но оси Z, как это показано для l = 2 на рис. 5.
Для того, чтобы различать вырожденные функции с определенным l,
но разными проекциями, вводят дополнительный нумератор к функциям
– квантовое число проекции m, принимающее целые положительные и
Ψ
l
отрицательные значения при заданном l (включая и ноль):
lml
.
Функции Ψ
где
l
m
(cosθ)
P
жающиеся через простые полиномы Лежандра P
m
P
l
(θ,φ) хорошо изучены. Их можно представить в виде:
lm
Px
≡
m
()
l
– присоединенные полиномы Лежандра, выра-
m
1)1(
,cos
lm lm l
m
2
2
xx
m
CP e
m
d
x
Pd
l
m
x
,
im
, (4.8)
(x)
l
lm ,,2,1,0
,
(4.8а)
для которых, в свою очередь, существует воспроизводящая функция:
39
Px x
l
ll
lx
2!d
1d
l
2
[( 1) ]
l
. (4.8б)
Z
m = 2
m = 1
(1)
L
(2)
L
m = 0
m = –1
m = –2
(5)
L
(3)
L
(4)
L
Рис. 5. Возможные значения проекций на ось Z для момента импульса,
определяемого квантовым числом l = 2
Требование нормировки и ортогональности всех функций Ψl,
включая и вырожденные, можно записать в виде
*
Ω
откуда следует, что константы C
θ, θ,sinθdθd δδ
lm l m ll mm
в выражении (4.8) должны выбирать-
lm
, (4.8в)
ся в виде
ml
C
!
lm
ml
!
l
)12(
. (4.8г)
π4
Функции (4.8) известны в математической литературе под названием сферические и имеют обозначения
m
Y
(4.9)
Операторы
M
2
и
M
θ, θ,.
lm l
z
коммутируют (теорпрактикум) и поэтому
могут иметь общие собственные функции, согласно теореме 4. Этими
функциями как раз и являются сферические функции, так как наряду с
равенством (4.7) имеет место равенство
Mmh
z
что следует из вида оператора
θ, θ,
lm lm
M
z
и функций Ψ
40
, (4.10)
(θ,φ) (4.8).
lm
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]