Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика для студентов технических вузов. Учебное пособие
.pdf
2
x
(x,t) x
x
,dr r t
– вероятность обнаружения частицы в ограниченном пространстве объ-
3
емом
ddddrxyz
. Естественно, что ||2 должна быть конечной,
3
t,r
а
разрыва даже первого рода не допустимы в силу статистического смыс-
ла волновой функции. В противном случае одним и тем же координатам
будут отвечать разные значения вероятностей (рис. 9). Кроме того, волновая функция частицы должна быть однозначной, иначе одному и тому
же
пределений. А какую из них в этом случае считать истинной?
– непрерывной, при всех значениях
zyx ,,r
будут соответствовать разные
Ψ
0
r
zyx ,,
, так как точки
2
, tr
плотности рас-
Рис. 9. Разрыв первого рода волновой функции
Измеряемые величины в квантовой механике
Средние значения координат частицы в состоянии
записать с помощью соответствующих операторов координат. Так, для x
координаты имеем
*3
,,d
tx t r
Оказывается, что координаты не исключения и средние значения
любых физических величин частицы, например θ, тоже определяются,
подобным образом, с помощью соответствующих этой физической ве-
личине оператора
Хотя мы рассматриваем (и будем в дальнейшем рассматривать)
только одну микрочастицу, сформулируем постулат для нескольких
микрочастиц, то есть для квантовой системы.
θ
и волновой функции
θ , θ ,d.ttr
rr
*3
rr
.
t,r
:
t,r
можно
51
Постулат об измеряемых величинах (постулат 3)
x
Если производить многократные измерения физической величины
θ системы микрочастиц, находящихся в состоянии
числить ее среднюю величину, пользуясь выражением (6.4), то она
должна совпадать со значением, вычисленным по формуле:
θ , θ ,d
*
txtx
, (7.5)
tx,
, а затем вы-
где
новая функция квантовой системы, зависящая от совокупности непре-
рывных переменных, условно обозначенных за x.
будут средние значения физических величин, вычислить которые можно по формуле (7.5), если будут известны волновые функции квантовых
систем
ром, которое «портит» состояние микрочастицы Ψ, переводя это состояние в другое состояние
товом состоянии, надо вернуть систему снова в состояние Ψ. Как это
сделать? Если это и возможно, то очень непросто. Поэтому под многократными измерениями какой-либо физической величины будем понимать разовые измерения на множестве одинаково приготовленных состояний квантовой системы, описывающихся
функцией Ψ.
личине энергии поглощенного водородом фотона. После поглощения
фотона атом водорода перейдет в возбужденное состояние, характеризующееся другой волновой функцией, а значит, повторить опыт с этим
атомом не удастся. Но это и не требуется, так как при
ратуре все атомы водорода находятся в одинаковых (основных) состояниях и потому измерение энергии поглощенного фотона можно выполнить на соседнем атоме.
при каких-либо обстоятельствах измерить точно?
Будут ли случайными другие физические величины,
состояния микрочастицы? Опыт показывает, что да, за редким исключением.
– оператор физической величины θ,
θ
Таким образом, измеряемыми величинами в квантовой механике
tx,
и оператор
Любое измерение – взаимодействие микрочастицы с макроприбо-
Пример. Энергию возбуждения атома водорода определяют по ве-
А можно ли какие-либо физические величины квантовой системы
Координаты микрочастицы оказываются случайными величинами.
физической величины θ.
θ
*
. Чтобы повторно измерить θ в этом же кван-
tx,
– нормированная вол-
одной и той же волновой
комнатной темпе-
характеризующие
52
Условие точного измерения физических величин
D
x
x
Как любая случайная величина, физическая величина θ квантовой
системы характеризуется отклонением от среднего
θθ
и дисперсией
2
θθ
.
Этой экспериментально измеряемой величине будет соответствовать вычисленная, согласно постулату 3, величина
2
θθθ , θθ ,d
где
ние квантовой системы;
личины θ системы в этом состоянии. Используя свойство самосопряженности оператора
tx,
– нормированная волновая функция, описывающая состоя-
θθ
θθ
, можно доказать (теорпрактикум), что
*
2
– оператор дисперсии физической ве-
xt x x
2
t
, (7.6)
θ (θθ),dDxtx
То есть для любого состояния
сия любой физической величины будет положительна:
и, значит, точно физическую величину θ квантовой системы измерить
нельзя, кроме разве что крайнего случая:
Последнее возможно, если подынтегральная функция в выражении
(7.7) будет равна нулю:
или
а это условие того, что волновая функция состояния квантовой системы
должна совпадать с собственной функцией оператора измеряемой фи-
зической величины (!) и с собственным значением (!) в момент вре-
D
(θθ),0xt
θ , θ ,,
txt
2
. (7.7)
tx,
квантовой системы диспер-
2
0θθθ
D
,
0.θ
, (7.8а)
(7.8б)
(7.8)
мени t, что практически невозможно, если – непрерывная величина.
Однако для дискретной физической величины равенство
θ , θ ,
txt
nnn
53
(7.8в)
может реализоваться. Значит, дискретная физическая величина θ может
x
x
быть измерена точно, если волновая функция квантовой системы
θ
совпадает с собственной функцией оператора
стемы
тервалом от других дискретных значений θ.
периментаторов, точно измерить дискретную физическую величину θ
квантовой системы возможно, но лишь тогда, когда система находится в
состоянии, являющимся собственным состоянием оператора
емой дискретной физической величины.
Закон 2. Если исключить неточность приборов и небрежность экс-
t,x
n
с собственным значением θn, отделенным конечным ин-
этой же квантовой си-
θ
измеря-
t,x
Вычисление вероятностей результатов измерения
Если состояние квантовой системы описывается волновой функцией Ψ(x,t), не являющейся собственной функцией оператора измеряемой
физической величины, то тогда при разовом измерении этой физической величины будем получать разные ее значения. Можно ли вычислить вероятность получения того или иного результата разового измерения? В квантовой механике возможно вычислить
сказания будущего результата измерения.
Но сначала рассмотрим постулат, который позволит понимать
квантовое состояние частиц, если оно описывается суммой (суперпози-
вероятность пред-
θ
цией) собственных функций оператора
чениями. В квантовой теории на этот счет имеется соглашение (копенгагенская интерпретация квантовой механики), которое сформулируем в
виде постулата.
Принцип квантовой суперпозиции состояний
(постулат 4)
Пусть θ1 и θ2 – два разных собственных значения оператора θ, которым соответствуют собственные функции этого оператора
θθ
θθ
тогда состояние квантовой системы, зависящее от времени:
θ 1 θ
11
θ 2 θ
22
CCt
с разными собственными зна-
x
x
;
,
)()(,
xtxtx
θ2θ1
, (7.9)
21
и
θ
1
:
θ
2
54
есть состояние, в котором измеряемая физическая величина θ может
x
принимать только два значения: либо θ
появления значений θ
.
и С
2
Состояния
, θ2 будут зависеть от величин коэффициентов С1
1
,
θ
1
принято называть чистыми состояниями в
θ
2
, либо θ2, причем вероятности
1
отличие от состояния Ψ (7.9), которое называют суперпозицией чистых
квантовых состояний. Сказанное можно обобщить на суперпозиции из
трех, четырех и т. д. чистых состояний, которые интерпретируются подобным образом.
Пусть измеряемая физическая величина θ будет дискретная; ей со-
ответствует оператор
ных значений θ
и соответствующие собственные функции Ψn(x)
n
, который имеет дискретный спектр собствен-
θ
θθ
nnn
, (7.10)
которые будем считать известными и нормированными. Вернемся к
среднему значению физической величины θ квантовой системы в состоянии Ψ(x, t). Оно будет (см. (7.5)):
θ , θ ,d
*
txtx
.
Запишем волновую функцию квантовой системы Ψ(x, t) в виде бесконечной суперпозиции собственных функций оператора
n
, (7.11)
xtCtx )()(),(
nn
:
θ
тогда
***
xtCtx )()(),(
.
m
mm
Подставляя вместо функций их разложения в ряды в выражение
для среднего (7.5), получим
θ , θ ,d
() ()θ () ()d θ ,
CtC t x xx C
nm n
nmnm n nn
*
**
xt xt x
2
(7.12)
где в последнем равенстве воспользовались свойством ортонормируемо-
сти собственных функций оператора
тематическое ожидание случайной дискретной величины (6.2) и
вероятность появления значения θ
. Но именно так определяется ма-
θ
2
0C
n
, так как наряду с этим условием вы-
n
−
полняется и второе необходимое требование для вероятностей дискретной случайной величины θ:
2
1
C
n
n
,
55
если волновая функция квантовой системы Ψ(x, t) – нормирована.
Закон 3. Квадраты модулей коэффициентов C
в разложении (7.11)
n
есть вероятности появлений значений
θ
n
при разовом измерении дискретной физической величины θ квантовой
системы, находящейся в состоянии Ψ(x, t).
Для непрерывного спектра собственных значений физической величины θ:
θθ
θθ
, (7.9)*
разложение типа (7.11), как мы знаем, имеет вид
,dθxt C x
θθ
, (7.11)*
где собственные функции Ψ
нормированы на δ-функцию. Среднее зна-
θ
чение физической величины θ в этом случае будет:
θ , θ ,d
ddθθ d θ
xC x C x
CC C
**
θθ θ θ
**
CC x x x
θθ θ θ
*
θδ θ θ d θ d θθ dθ.
θθ θ
*
θ ddθ dθ
xt xt x
(7.12)*
2
Сравнивая полученный результат с выражением для среднего значения непрерывной случайной величины (6.12), видим, что функция
2
C
играет роль плотности распределения непрерывной случайной фи-
θ
зической величины θ, так как
2
0
C
θ
,
C
2
1dθ
θ
,
если волновая функция квантовой системы Ψ(x, t) нормирована. Отсюда
величина
2
dθC
θ
(7.13)
есть вероятность получить результат измерения непрерывной физической величины θ в интервале [θ, θ + dθ] у квантовой системы в состоянии Ψ(x, t).
56
Условие одновременной измеримости
A
нескольких физических величин
Пусть квантовая система в состоянии Ψ(x, t) характеризуется двумя
разными физическими величинами,
θ
и φ, например энергией и момен-
и
φ
. Напомним,
φ,
и наобо-
том импульса, которым соответствуют операторы
что если
будут одновременно и собственными функциями оператора
рот. Тогда точное измерение одновременно двух физических величин
возможно при условии, что волновая функция квантовой системы совпадает с собственной функцией любого из этих операторов.
В общем случае, когда операторы
вая функция квантовой системы не есть собственная функция никакого
из упомянутых операторов о точности измерения одновременно двух
физических величин квантовой системы, существует важное утверждение, которое мы докажем. Чтобы сформулировать это утверждение,
обозначим операторы дисперсии двух разных физических величин следующим образом:
Причем средние величины этих операторов, вычисленные с использованием волновой функции состояния квантовой системы, есть
дисперсии соответствующих физических величин, то есть
θ
φ
и
коммутируют, то собственные функции оператора θ
φ
θ
и
не коммутируют, а волно-
(θθ)(θ ),(φφ)(φ).
22 2 2
θ
Теорема о соотношении неопределенностей. Произведение дисперсий двух физических величин θ и φ квантовой системы в состоянии
Ψ(x, t) должно удовлетворять неравенству
22
()( )
Это неравенство называется соотношением неопределенностей
Гейзенберга, в честь немецкого физика-теоретика Вернера Карла Гейзенберга.
Доказательство. Обозначим операторы отклонений разных физических величин квантовой системы в состоянии Ψ(x, t) для краткости
буквами:
(θθ),(φφ).
( θ), ( φ).DD
2
1
C
4
,
57
1
(θφ φθ)Ci
B
(*)
. (7.14)
22
Запишем очевидное неравенство с функцией состояния Ψ(x, t) про-
A
A
A
извольной квантовой системы:
1
,,d0IAxt Bxtx
i
2
,
с произвольной, но вещественной константой λ. Рассмотрим это неравенство подробнее:
I,λ ,,λ ,d
xt B xt A xt B xt x
11
ii
**
**
****
ABAABBBx
***2*
11
***2*
λλλd
ii
(7.15)
22
AABBABx
i
**2*
AC Bx
[ λλ]d 0.
()λ d
22
Здесь, в предпоследнем равенстве, воспользовались эрмитовостью
операторов A и B, а в последнем – введено обозначение:
11 1
CABBA
()(θθ)(φφ)(φφ)(θθ)(θφ φθ).
ii i
(7.16)
Используя определение о средних значениях (7.5), можно (7.15) переписать в виде
22
λλ 0AC B
2
,
или
22
2
λλ 0BCA
, (7.17)
где λ – вещественное число. Квадратный трехчлен относительно λ будет
2
0B
не отрицательный с
, если у соответствующего квадратного
уравнения:
22
2
λλ 0,BCA
(7.18)
не будет вещественных корней. Для этого дискриминант квадратного
уравнения (7.18) должен быть отрицательным:
2
() 4 0CAB
22
,
а отсюда следует:
22
BC
1
()
2
,
4
что и требовалось доказать, если вернуться к обозначениям (*).
Если операторы
φ
θ
и
коммутируют, то неравенство (7.14) примет вид
58
22
x
( θ)(φ)0
. (7.19)
Это означает, что дисперсии физических величин θ и φ по раздельности или вместе могут быть равны нулю, как об этом уже говорилось
φ
θ
и
выше. Если же операторы
не коммутируют, то дисперсии ни од-
ной из двух физических величин, согласно (7.16), в ноль не могут обратиться ни при каком состоянии системы Ψ(x, t) (включая и состояния,
являющиеся собственными для любого из двух операторов). Из выражения (7.14) также следует, что для написания соотношений неопределенности надо знать волновую
функцию квантовой системы Ψ(x, t).
Но в некоторых случаях знания волновой функции не требуется. Это
φ
θ
и
случай, когда операторы
не коммутируют, но их коммутатор ра-
вен константе.
Важный частный случай
Рассмотрим физические величины,
θ = x, φ = P
,
x
которыми характеризуется одна микрочастица. Вычислим оператор
C
(7.16) для этих величин:
1
CxPPx
()
xx
,
i
который оказывается константой, а значит, с этой константой ħ будет
совпадать среднее значение коммутатора операторов величин x, P
для
x
микрочастицы, находящейся в любом состоянии. Или для любого состояния микрочастицы получим
2
22
()( )
xP
x
, (7.20)
4
–34
где ħ, согласно уговору, равна 1,054·10
Дж·с = 6,582·10
Таким образом, чем точнее измеряется x-координата частицы,
например положение электрона в атоме,
2102
() (10м)x
,
тем с большей дисперсией, то есть меньшей точностью измеряется про-
2
4
()
:
x
1
. (7.21)
2
екция импульса этой частицы на ось X, P
2
P
()
x
–22
МэВ·с.
То же можно сказать о парах y, P
и z, Pz. Чтобы понять соотноше-
y
ние (7.20), представьте себе цилиндр с двумя плотно подогнанными
59
поршнями. Между поршнями находится микрочастица, которая не мо-
жет проникнуть за поршни. Систему декартовых координат выберем
так, чтобы ось X проходила вдоль по центру цилиндра. Пока поршни
цилиндра широко раздвинуты, частица совершает плавные движения
(если ее энергия не очень велика) вдоль оси X туда и обратно и ее импульс
можно измерить достаточно точно. Начнем уменьшать расстояние между поршнями, локализуя частицу все в меньшем интервале Δx.
Согласно вышесказанному должна увеличиваться дисперсия величины
. Это проявится в быстром изменении направления проекции импуль-
P
x
движущейся частицы. Другими словами, чем тисней мы сжимаем
са P
x
частицу, тем чаще она будет биться в поршни, меняя направления проекции импульса P
, и тем самым неопределенней будет ее импульс
x
(проекция).
Заметим, что неравенство (7.20) не будет зависеть от квантового
состояния, в котором находится рассматриваемая частица, а потому носит принципиальный характер: в каком бы состоянии микрочастица не
находилась, невозможно точно измерить одновременно ее координату и
соответствующую этой координате проекцию импульса. И поэтому
нельзя характеризовать микрочастицу координатами и импульсами, как
в классической механике, что раньше обсуждалось при постулировании
вида волновой функции.
Самостоятельно. Написать неравенства для дисперсий следующих
tr,
физических величин микрочастицы, находящейся в состоянии
:
22
()( ) ?
yP
()( ) ?
xP
y
и
y
.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]