Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика для студентов технических вузов. Учебное пособие
.pdf
Предполагая дискретный спектр собственных значений в уравне-
А
А f
f
x
f
f
f
А
ниях (12.1) и (12.2), возмущенное уравнение (12.2) представим в виде
()( )()( )
HW E
0
nn nn nn
000
(12.4)
и с учетом равенств:
HEW
0
nnn nnn
000
,
, (12.4а)
в уравнении (12.4) остается то, что можно скомбинировать в следующее
уравнение:
()()
HE W
0
00
Это операторное уравнение, но не на собственную функцию
nn n n
. (12.4б)
, и
n
решать его обычным путем нельзя. Применим для решения уравнения
(12.4б) теорему, которая называется теоремой Рэлея.
Теорема Рэлея. Если
то функции
() и χ()
xx
0
– самосопряженный оператор и
()χ()
xx
,
0
*
ортогональны, то есть
*
()χ()d 0fx xx
0
.
, (12.5)
Доказательство. Умножим первое уравнение (12.5) на функцию
*
слева и проинтегрируем полученные выражения по всем x:
)(
xf
0
**
() ()d ()χ()d.fxАfx x f x x x
00
)(
Умножим второе уравнение в (12.5) на
слева и также проин-
тегрируем по x:
()[ ()]d 0.fx Аfx x
*
0
Вычитая почленно из верхнего уравнения нижнее, получим:
***
() ()d ()[ ()]d ()χ()dfxАfxx
000
Так как оператор
– самосопряженный, левая часть нашего равен-
x Аfxx
xxx
.
ства равна нулю, а значит, равна нулю и правая, что и требовалось доказать.
Запишем уравнения (12.4а) и (12.4б) вместе в виде (12.5):
()φ ()
HE W
HE
где
(ε )
0
(ε )
и
0n
W
nn
самосопряженный оператор. Видим, что к функциям
0n
W
nn
должны быть ортогональны, то есть
0
0
nn n n
00
применима теорема Рэлея, поэтому функции
0
()0
HE
0
,
nn
00
,
0n
и
121
откуда
x
x
x
H
*
()(ε )()d0
ε () ()d () ()d
**
nn n n n
00 0 0
xWxx
nn n
00
xx xW xx
, (12.6)
.
С учетом нормировки известных функций
ε () ()d.
nn n
Таким образом, ранее неизвестное
значение известного оператора
. Пользуясь вторым уравнением из (12.4а), запишем:
0n
*
00
Wxx
ε
W
по известным волновым функциям
() ()
Wx x
nnn
выражается через среднее
n
получим:
0n
(12.7)
. (12.8)
Это уравнение позволяет перейти к нахождению собственных
функций оператора
W
, соответствующих собственным значениям
ε
n
В итоге неизвестное решение уравнения (12.2) может быть записанно в
виде
EE
0
nnn
() () (),
nnn
;
xx
0
(12.9)
где все величины известны, что и требовалось доказать.
.
Стационарная теория возмущений.
Невозмущенные состояния вырождены
Пусть энергии
собственные функции оператора
нию являются вырожденными. Согласно теореме 3 о вырожденных
функциях, линейная комбинация этих функций
где
и
a
1
− произвольные постоянные, также является собственной
a
2
функцией оператора
нию
. После включения возмущения W будем искать неизвестные
E
n
0
собственные функции оператора
ми значениями в виде
aa
10 20nk n n k
в уравнении (12.4a) соответствуют две разные
E
n
0
H
aa
01020nnn
H
, пренадлежащей тому же собственному значе-
0
1
:
0
0n
12
2
и
, которые по определе-
0n
,
с соответствующими неизвестны-
12
,
EE ε
0
, k = 1, 2. (12.10)
knnk
122
Возмущенное уравнение Шредингера в таких обозначениях запи-
шется:
()[]()[]
HWa a E a a ε
0
12 12
nnknknnk
10 2 0 0 10 2 0
, (12.11)
при k = 1, 2. С учетом равенств
11
HE
0
000nnn
,
22
HE
0
000nnn
,
или
()0
HE
0
1
nn
00
()0
HE
,
0
2
nn
00
(12.12)
в уравнении (12.11) останутся следующие слагаемые:
()()[ ], 1, 2
HE Wa a k
0
nk k n n
01020
12
. (12.13)
К уравнению (12.13) и к первому и второму уравнениям (12.12)
поочередно можно применить теорему Рэлея, тогда функции
m
, 1, 2
m
n
0
по отдельности и функция
()[ ]
Wa a
knn
12
ε
10 2 0
должны
быть ортогональны. Запишем условие ортогональности:
*1 1 2
()( )[ () ()]d 0
xWaxaxx
ε
nk n n
01020
*2 1 2
()( )[ () ()]d 0
xWaxaxx
nk n n
01020
ε
;
. (12.14)
Расписывая интегралы от сумм, получим:
*1 1 *1 1
axxxaxWxx
ε
kn n n n
10 0 10 0
() ()d () ()d
*1 2 *1 2
axxxaxWxx
ε
kn n n n
20 0 20 0
axxxaxWxx
ε
10 0 10 0
axxxaxWxx
ε
20 0 20 0
() ()d () ()d 0;
*2 1 *2 1
() ()d () ()d
kn n n n
*2 2 *2 2
kn n n n
() ()d () ()d 0.
Полагая, что вырожденные функции гамильтониана
H
0
(12.15)
мы орто-
гонализовали и нормировали, воспользуемся равенством:
*
kp
() ()d .
xxx
00
nn kp
Обозначая
*
kp
() ()d
00
k
, (12.16)
;
. (12.17)
где
,1, 2kp
WxWxx
kp n n
, представим уравнения (12.14) в виде:
(ε )()0
aWaW
111212
k
()(ε )0
aW a W
121 2 22
Посмотрим на эти уравнения как на систему линейных однородных
алгебраических уравнений с неизвестными a
и a2. Нетривиальное ре-
1
шение системы существует, если определитель ее матрицы равен нулю:
123
WW
ε
11 12
WW
21 22
ε
0
. (12.18)
Вычисляя определитель, получим квадратное уравнение на неизвестные энергетические добавки
щественные и разные,
, то собственные значения энергии изна-
εε
21
. Если корни уравнения (12.18) ве-
ε
k
чально вырожденных состояний станут разными:
EE
В этом случае говорят, что вырождение снимается. Если
то расщепление не полное и невозмущенный уровень
. Эти два случая показаны на рис. 30.
EEE
021 nnn
Собственные функции оператора
12
aa x
nnn
110 20 1
ε
01 1
nn
φ ()
EE
,
02 2
nn
HW
;
nnn
210 20 2
ε
0
aa x
. (12.19)
будут равны:
12
12
смещается:
nE0
φ ()
,
0
причем остается только один произвольный множитель из двух, напри-
ε
W
W
111
. Все величины в уравнениях (12.13) теперь из-
12
()
x
. Делать это непросто, но в
k
мер, a
, a
1
aa
12
вестны и можно приступить к поиску
ряде задач этого делать и не требуется.
,
Рис. 30. Слева – расщепление уровня, справа – смещение уровня энергии
частицы (системы) под действием возмущения
Эффект Штарка. Расчет эффекта Штарка
по теории возмущений
Пусть в некоторой системе координат точечный заряд q определя-
r
ется радиус-вектором
. Тогда величина
ским моментом заряда q в выбранной системе координат. Если атом
124
qpr
называется электриче-
водорода поместить во внешнее электрическое поле напряженности ε,
||||
электрон в атоме, характирезующийся электрическим моментом
e
pr
, (12.20)
получит дополнительную энергию:
==(,)=
p ε r ε r ε r ε
cos( )Wee
, (12.21)
а это значит, что вырожденные по энергии разные состояния электрона
в атоме изменят свои энергии, то есть вырождение снимется. Как следствие, должен измениться и спектр излучения таких атомов водорода.
На опыте это явление смещения спектра излучения водорода в
сильном электрическом поле обнаружил в 1913 году немецкий физик
Й. Штарк, в
связи с чем оно получило название эффекта Штарка. Да-
же в очень сильных электрических полях изменения в спектре излуче-
–10
ния малы, так как электрон находится очень близко от ядра (~10
м) и
действие электрического поля ядра на электрон проявляется гораздо
сильнее напряженности любого внешнего поля. В этом аспекте внешнее
W
электрическое поле будет малым возмущением
для электрона атома.
Рассмотрим возбужденные состояния атома водорода, для кото-
рых, как мы знаем, имеют место вырождения. Для первого возбужденного состояния n = 2 запишем волновые функции двух вырожденных
состояний с l = 0 и l = 1:
r
r
() 2 , 0;
200 200
Kel
a
ra
2
r
2
ra
где через
обозначены произведения коэффициентов нормировок
K
nlm
r
() cosθ, 1,
210 210
Ke l
a
(12.22)
радиальных и сферических функций атома водорода с n = 2. Полярную
ось выбранной системы сферических координат направим по направлению напряженности
внешнего электрического поля, которое будем
ε
считать однородным и постоянным. Тогда
(,) cosθWe ez err εεε
. (12.23)
Собственную функцию оператора Гамильтона для атома водорода
с n = 2, относящуюся к одному собственному значению энергии
, запишем в виде линейной комбинации:
EE
022
Вычислим матричные элементы W
= а2 = 1:
а
1
1200 2 210
() ()aarr
оператора (12.23), полагая, что
kp
. (12.24)
125
*
Wrerr
11 200 200
2
K
200
Wrerrr
22 210 210
K
Wrerrr
12 200 210
*
KK e e rr ae
200 210
εε
eerr
() 2 dcosθ sinθ dθ d0,
2
210
rr
aa
000
(,θ,)( cosθ)(,θ,)d
r
ε
a
000.
*
(,θ,)( cosθ)(,θ,)d
r
() dcosθ sinθ dθ d0,
*
err
ε
a
00 0
(,θ,)( cosθ)(,θ,)d
2dcosθ sinθ dθ d3.
ra
ε
2
ra
2
33
ε
32
π 2π
3
ε
π 2π
π 2π
3
r
3
3
Очевидно, что
WW
.
2112
Условие нетривиального решения системы (12.14) будет выглядеть
так:
(12.25)
W
W
21
12
0
;
22
εε
W
ε
112
,
212
0Wε
, (12.26)
12
Wε
,
то есть уровень расщепляется:
EE EW
21 02 1 02 12
ε
;
22 02 2 02 12
ε
,EE EW
(см. рис. 31). Штарковское расщепление − уширение спектральных ли-
ний в не очень горячей плазме извещает о наличии в ней электрического
поля, которое невозможно измерить никаким другим способом.
Рис. 31. Расщепление уровня (n = 2) атома водорода
в сильном электрическом поле
126
Эффект Зеемана
Электрон в атоме с квантовым числом l 0 обладает орбитальным
магнитным моментом помимо спина:
μ MM
2
mc
e
M
где
числом l; g
момент импульса электрона, характеризующийся квантовым
– гиромагнитное отношение для движущегося электрона с
l
моментом импульса, определяемым орбитальным квантовым числом l.
Взаимодействуя с внешним магнитным полем напряженности
трон будет обладать дополнительной энергией ():
По квантово-механическому принципу соответствия запишем оператор возмущения такого взаимодействия:
Wg gMB M A
ll
Это взаимодействие снимает вырождения по энергии возбужденных состояний, различающихся квантовыми числами l и m. Как следствие, спектральные линии излучения и поглощения атомов водорода в
магнитном поле смещаются и расщепляются (уширяются). Это явление,
наблюдаемое на опыте в 1896 году голландским физиком П. Зееманом,
получило название эффекта Зеемана. Заметим, что когда
g
, (12.27)
l
B
, элек-
gW
l
)()( BM,Bμ,
. (12.28)
rot
. (12.29)
0, M μ
e
атома водорода не равно нулю, так как электрон обладает собственным
моментом импульса, спином
S
и, соответственно, собственным магнит-
ным моментом:
e
μ SS
Sl
mc
e
. (12.30)
2
g
Переходы между расщепленными уровнями используются в методе магнитного резонанса для измерения магнитных моментов атомов,
или напряженности магнитного поля.
Сверхтонкое расщепление спектральных линий
водородоподобных атомов
и излучение космического водорода
1 атом водорода
Плотность вещества во Вселенной
вения атомов в космическом пространстве происходят крайне редко.
Поэтому водород, который в межзвездном газе составляет более 70 % от
всех элементов, пребывает во Вселенной в основном состоянии с кван-
ρсм
3
, и столкно-
127
товым числом l, равным 0. Однако космический водород излучает элек-
μ
txW
W
тромагнитные волны и вот почему.
Атомное ядро состоит из протонов и нейтронов, которые имеют
собственные магнитные моменты, а протоны – и орбитальные магнитные
моменты, возникающие за счет движения с отличным от нуля орбитальным моментом. Тем самым ядра атомов являются источниками магнитного поля. Спиновые магнитные моменты частиц обратно пропорциональны
их массам, то есть магнитные моменты нуклонов в ≈ 2000 раз меньше
магнитных моментов электронов (12.27). Хотя и слабое, но в атоме водорода присутствует магнитное поле его ядра. Взаимодействие спиновых
магнитных моментов электронов с таким полем приводит к очень малым,
сверхтонким расщеплениям уровней их
собственного магнитного момента электрона
энергии. За счет взаимодействия
с магнитным полем ядра
S
он может иметь дополнительную энергию при ориентации его спина против напряженности магнитного поля своего ядра, по сравнению с его
энергией, когда его магнитный момент ориентирован по направлению
напряженности магнитного поля ядра. В этом случае электрон, находящийся на подуровне с большей энергией, может самопроизвольно (спонтанно) перейти на более низкий подуровень и, как следствие, испустить
электромагнитную волну. Разница в энергиях этих подуровней не велика
из-за малости магнитного момента протона и равна:
6
5,9 10 эВEE E
,
где стрелками условно показаны направления собственных магнитных
моментов электрона как против ↓, так и по ↑ направлению магнитного
поля протона соответственно. Этой малой энергии отвечает радиоизлучение с длиной волны = 21,1 см. С помощью радиотелескопов,
настроенных на эту волну, определяют концентрацию водорода в межзвездном газе, а эффект Доплера позволяет
определять скорость газовых
облаков относительно земного наблюдателя.
Нестационарная теория возмущений
«Дополнительное», вообще говоря, малое воздействие на квантовую систему может быть нестационарным, то есть зависеть от времени:
),(
.
Пусть во время t < 0 квантовая система пребывала в стационарном
состоянии и ее уравнение эволюции имело вид
(,) (,)ih x t H x t
00
t
0
, (12.31)
128
txW
T
t
H
p
с гамильтонианом
H
, не зависящим от времени. В момент времени
0
t = 0 возникает возмущение
и по прошествии промежутка вре-
),(
мени T оно исчезает. Что произойдет с системой за время
?
0
В этот промежуток времени она будет описываться уравнением:
(,)
xt
ih H W t x t
t
(())(,)
0
. (12.32)
Будем исходить из того, что решение уравнения (12.31) известно и
спектр энергии квантовой системы дискретен. Тогда решение уравнения
(12.31) можно представить в виде
tiE
tx
n
0
где
0
есть решение уравнения для стационарных состояний:
)(
0xn
Функцию координат и времени
() ()
xE x
nnn
000
0
n
h
.
в уравнении (12.32) будем
),(tx
)(exp),(
x
0
,
n
(12.33)
искать в виде разложения в ряд по волновым функциям стационарных
состояний
n
Коэффициенты такого разложения a
:
),(0tx
. (12.34)
),()(),(
p
txtatx
pp
0
будут зависеть от времени.
p
Потребуем, чтобы (12.34) было решением уравнения (12.32):
(,)
() ( , ) () ( ) () ( , )
iha t x t iha t H W a t x t
pm
pp p mm
0 0
xt
0
p
t
0
,
но с учетом равенства
0
p
ih H
0
0
t
в уравнении останутся только следующие члены:
ih a t x t W t a t x t
Подставим в (12.35) волновые функции стационарных состояний
с выделенной явной зависимостью от времени (12.33):
),(0tx
p
Далее умножим обе части этого уравнения на функцию:
() ( ,) () () ( , )
pp mm
pm
00
iE t
ih a t x
()exp ( )
pp
p
0
p
h
0
. (12.35)
iE t
Wta t x
() ()exp ( )
m
mm
0
m
h
0
. (12.36)
129
tE
H
*
k
0
k
0
itx
h
*
)()exp(),(
x
k
0
и проинтегрируем по всем возможным непрерывным переменным x
квантовой системы:
()
iE E t
p
pkp
()exp ( ) ( )
iha t x x dx
()
iE E t
()exp ( ) ( ,) ( ) .
at xWxt xdx
mkm
m
00
00
kp
h
km
h
*
00
*
00
(12.37)
Используя ортонормируемость собственных функций оператора
0
и вводя обозначения:
)(
ω
km
EE
omok
,
() ( ) ( , ) ( )
Wt xWxt xdx
km k m
h
*
00
, (12.38)
перепишем уравнение (12.37) в виде
() () exp(ω )()
ih a t a t i t W t
km kmkm
m
(12.39)
для k = 1, 2, 3, … Система равнений (12.39) представляет собой нормальную линейную однородную систему дифференциальных уравнений
не с постоянными коэффициентами на неизвестные функции
. Ре-
)(ta
m
шить ее стандартным методом исключения неизвестных функций невозможно. Будем решать эту систему методом итераций с заданным
начальным условием а именно при t = 0
,
)()0,(
0xxn
или с помощью коэффициентов разложения это можно записать так:
,0)( ,1)( ,0
mn
mntatat
. (12.40)
Это начальное условие удобно ввести в систему (12.39) с помощью
добавления дополнительного индекса n к функциям-коэффициентам
)(ta
, чтобы оно выполнялось автоматически:
m
mnnn
, ,0)0(,1)0( nmtata
или
a
при этом сама система (12.39) запишется в виде
ih a t a i tW t i tW t
() (0) exp(ω )()exp(ω )()
kn mn km km kn kn
m
,)0(
(12.41)
mnmn
. (12.42)
Систему (12.42) будем решать методом итераций, который заключается в следующем.
Пусть нам надо решить дифференциальное уравнение вида
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]