Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика для студентов технических вузов. Учебное пособие
.pdf
2
x
2
d()
hx
,().
xa E x
2d
3
mx
2
(10.23)
3
Рис. 14. Потенциал-барьер прямоугольной формы
Перепишем эти уравнения в удобной для решения форме:
() () 0;xk x
101
Ψ () Ψ () 0;
xk x
22
Ψ () Ψ () 0,xk x
303
2
2
2
(10.21)*
(10.22)*
(10.23)*
где
2;mE
2
h
2( )
mE U
2
k
0
0
2
h
2
.
k
(10.24)
Волновую функцию Ψ(x) частицы, находящейся в таком потенциале, теперь можно представить в виде
Ψ (), 0;
xx
1
Ψ() Ψ (), 0 ;
xxa
2
xxa
Ψ (), .
3
(10.25)
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами (10.21)−(10.23) запишем в универсальной комплексной форме:
где A
, Bi
i
ik x ik x
() ;
xAe Be
11 1
() ;
xAe Be
222
() ,
xAe Be
33 3
)(
3,1
i
− произвольные постоянные. Руководствуясь стати-
00
ikx ikx
ik x ik x
00
(10.25а)
(10.25б)
(10.25в)
стическим смыслом волновой функции (10.25), потребуем ее непрерывности, а это, в свою очредь, требует выполнения условий для ее частей
Ψ
(x), i = 1, 2, 3.
i
81
Ψ (0) Ψ (0); Ψ (0) Ψ (0);
A
j
12 12
(10.26-0)
Ψ () Ψ (); Ψ () Ψ ().aa aa
23 23
(10.26-a)
Требования (10.26-0) и (10.26-a) ведут к равенствам:
,
BABA
2211
),()(
BAkBAk
22110
ikaika
ikaika
3322
aikaik
00
eBeAeBeA
,
aikaik
00
eBeAkeBeAk
33022
),()(
(10.27)
которые образуют систему 4-х линейных алгебраических уравнений с
шестью неизвестными A
, Bi
i
)( 3,1i
. Такие системы решаются разделе-
нием неизвестных на базисные (4 неизвестные) и свободные (2 неизвестные). Не решая системы (10.27), выберем свободные неизвестные,
исходя из физических соображений.
Так как k
– вещественное число (10.24), то 1(x) и 3(x) будут
0
плоскими волнами де Бройля, которые можно интерпретировать так:
ik x
0
– плоская волна де Бройля для микрочастицы, движущейся
e
1
слева направо к барьеру (в положительном направлении оси Х);
ik x
0
Be
1
3
– волна для микрочастицы, отраженной от барьера;
xik
0
eA
– волна для микрочастицы прошедшей барьер.
Если микрочастица движется слева направо к барьеру, то
xik
0
0
для любых x, а значит,
eA
1
В то же время эта частица не движется в
.0
A
1
(10.28)
обратном направлении из области x >a:
xik
Покажем, что A
0
для нашего случая можно выбрать любым поло-
1
BeB
(10.28*)
.0,0
33
жительным числом. Вычислим плотность потока вероятностей налетающей на барьер микрочастицы:
ih
2
AJ
in
1
m
2
xikxikxikxik
0000
hk
2
Aeikeeike
100
0
,))()((
(10.29а)
m
то же самое для отраженной от барьера микрочастицы:
j
hk
r
m
2
0
(10.29б)
,
B
1
и прошедшей барьер микрочастицы:
hk
out
m
82
2
0
.
A
(10.29в)
3
Назовем коэффициентом отражения R от потенциального барьера
R
A
отношение величин токов вероятностей отраженной от барьера микрочастицы к току вероятности падающей на барьер частицы:
2
B
1
. (10.R)
2
A
1
R
j
r
j
in
Коэффициентом прозрачности D потенциального барьера назовем
отношение величин токов вероятностей прошедшей барьер микрочастицы к налетающей на барьер:
2
A
3
. (10.D)
2
A
1
D
j
out
j
in
Из определений видно, что коэффициенты R и D имеют смысл вероятностей отражения микрочастицы от барьера и прохождения микрочастицей барьера. В отсутствие поглощения
jjj
,
inoutr
откуда
независимо от выбора величины A
1
, (10.30)
1
D
(A1 ≠ 0).
Вернемся к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
(10.27). В качестве второй свободной неизвестной выберем А
и присво-
1
им ей значение единица. Система (10.27) примет вид системы, состоящей из четырех уравнений с четырьмя неизвестными:
1,BAB
122
k
1(),
BAB
122
k
0
ika ika
eBe Ae
22 3
k
k
0
ika ika
Ae Be Ae
22 3
Это определенная СЛАУ, то есть она будет иметь единственное
решение.
Методом подстановки из верхних 2-х уравнений получим
)(2
kkBk
A
2
из 2-х последних получим
aik
0
.
eAX
3
k
2
2
kk
0
020
kk
0
ika
XeA
ik a
0
,
и
,
ik a
0
.()
(10.31)
k
2
kk
0
ika
2
XeB
, где
83
Окончательно:
ika ika
() ()
kke kke
21,
Bk
10
A
2
B
2
A
3
() ()
kk e kke
() ()
kk e kke
() ()
kk e kke
() ()
kke kke
00
22
ika ika
00
ika
ik a
,
ika
,
0
.
2( )
kk ke
00
22
ika ika
00
2( )
kk ke
00
22
ika ika
00
4
kk e
0
22
ika ika
00
(10.32)
Предположим теперь, что энергия налетающей на барьер частицы
будет меньше U
k
(
0
0 <E<U
UEm
h
), тогда
0
)(2)(2
EUmi
00
h
k
i
,
0
mE
2
(10.33)
h
и
ik a
22
k
0
0
,
.
(10.34)
где k
4
ik e
A
3
и α – вещественные. Квадрат модуля этой величины
0
22
2( ) sh( ) 4 ch( )
kaika
00
0
4
D
2222 22
()sh4
kak
00
Из этого выражения видно, что коэффициент прозрачности (10.D)
не нуль, как это должно быть в классической механике.
Квантово-механический эффект проникновения частиц через барьер особенно интересен, когда барьер высокий и/или широкий. В этих
случаях:
1
α
α 1,a
sh(α )
ae
a
,
2
22
16
k
0
222
k
0
22
aa
.
(10.35)
Так как
DA e De
2
30
()
2
22(),
amUE
то величина D (10.35) быстро убывает с ростом а, U
a
h
0
(10.36)
– E, а также массы
0
частицы m.
84
Массы макрочастиц на много порядков величин больше массы
микрочастиц, величины α для них становятся очень большими и, как
следствие, «туннелирование» для макрочастиц прекращается (переход к
классике).
Если E > U
, то k и k0 в выражении (10.32) – вещественные числа и
0
для D получим:
22
4
DA
2
3
22 2 22 2
4()sin()
kk k k ka
00
kk
0
. (10.37)
Чтобы было проще оценить величину выражения (10.37), выделим
из него 1 и приведем к виду
2222
()sin()
kk ka
0
, (10.38)
D
1
22 2 22 2
4()sin()
kk k k ka
00
откуда видим, что D ≤ 1.
Итак, в квантовой механике частица с энергией E < U
с некоторой
0
вероятностью может пройти барьер, в то же время частица с энергией
E > U
может этот же барьер не пройти.
0
Рассмотрим два «барьера» прямоугольной формы разной высоты
и ширины, стоящих друг за другом вдоль направления движения частицы (рис. 15). Пусть на барьер слева направо движется частица с энерги-
22
aa
11 2 2
ей E < U
и E < U2, тогда
1
DDe D De
110 2 20
,
прозрачности
соответствующих барьеров по отдельности. Прозрачность барьеров 1 и
2 не зависят друг от друга, согласно определению прозрачности, а потому вероятность прохождения обоих барьеров равна произведению вероятностей прохождения каждого из них, то есть
2( )
aa
DDD DDe mU E
1 2 10 20
11 2 2
,2()
1
ii
h
. (10.39)
Рис. 15. Эскиз к расчету проницаемости двух барьеров
прямоугольной формы
85
Подобным образом рассчитывается прозрачность трех, четырех и
более прямоугольных барьеров, стоящих друг за другом.
Рис. 16. Эскиз к расчету проницаемости барьера произвольной формы
Пусть теперь потенциальная энергия частицы будет непрерывной
функцией координаты x: U = U(x) (рис. 16). Нас будет интересовать потенциал в области x, где U(x) > E. Отделяя эту область, получим отрезок
[a, b], как на рис. 16. Разобьем получившийся отрезок [a, b] на n равных
частей с длиной
ba
n
xx
i
и восстановим перпендикуляры в точках деления до пересечения их с
графиком функции. Получившиеся n криволинейных трапеций заменим
прямоугольниками с основаниями Δx и относительно произвольными
xx
высотами U
= U(ξi), где
i
. Прозрачность n таких барьеров
1iii
разной высоты будет произведением их прозрачностей:
1 2 10 20 0
nn ii
h
i
1
Dn D D D D D D mU E x
( ) .... .... exp 2 [ ( ) ]
. (10.40)
n
2
Предел этого выражения при n→ (Δx→0) будет, с одной стороны,
вероятностью прохождения бесконечного числа бесконечно тонких
прямоугольных барьеров конечной высоты, которые складываются в
барьер формы U = U(x), а с другой стороны, это есть определенный интеграл для функции y, стоящей в показателе экспоненты выражения
(10.40):
2
2[() ]ymUxE
,
h
86
на отрезке [a, b]. В итоге проходимость гладкого барьера, как на рис. 16,
D
будет равна:
b
DDnD mUxEdx
lim ( ) exp 2 [ ( ) ]
n
0
2
h
a
(10.40)*
с
lim ....
n
DDD
01 02 0 0
n
.
Теория -распада ядер и термоядерный синтез
Некоторые из атомных ядер α-радиоактивны, то есть спонтанно
распадаются с испусканием -лучей, которые, как известно, есть ядра
гелия-4:
X → α + Y. (10.41)
Хотя ядра состоят из протонов и нейтронов, последние могут объединяться внутри ядра, временно, в группы-ассоциации (по энергетиче-
ским соображениям) и, в частности, в -
частицы из-за того, что такое со-
стояние ядра энергетически более выгодно. На -частицу в ядре действует ядерная сила притяжения, порождаемая потенциалом сильного взаимодействия U
< 0 (приближенно ядерную силу можно считать потенци-
s
альной), и кулоновская сила отталкивания, потенциал которой известен:
2
2( 2)
U
ze
c
r
,
0
где z заряд материнского ядра в единицах элементарного заряда e, а
r – расстояние между центрами тяжести дочернего ядра Y и -частицы.
Потенциал ядерной силы притяжения U
имеет вид потенциальной ямы,
s
почти с вертикальными стенками, шириной, равной радиусу действия
–15
ядерных сил, совпадающему с радиусом ядра (10
м) (см. рис. 17). Ку-
лоновские силы – дальнодействующие, но они в сотни раз слабее ядерных сил. Если сложить потенциалы U
и Uc, то суммарный потенциал
s
получится формы, изображенной на рис. 17.
Как же происходит -распад ядер?
1. Испарительная модель лорда Кельвина
Ядро капля заряженной жидкости, и -частица в нем – молекула.
Непрерывно двигаясь, -частица оказывается на поверхности капли, где
ядерные силы слабее. Получив случайным образом от соседей энергию
ΔE
, -частица оказывается вне действия ядерных сил притяжения, но
α
под действием дальнодействующих кулоновских сил отталкивания, которые выталкивают -частицу с границы ядра. В этом случае кинетиче-
87
ская энергия T -частицы, покинувшей ядро, должна определяться из
закона сохранения энергии:
R
, (10.42)
Я
а
Б
UT
α
Б
высота так называемого кулоновского барьера дочернего ядра и
U
с
с
2
)2(2
ez
ядра гелия-4. Кулоновский барьер – это кулоновская потенциальная
энергия продуктов -распада на расстоянии, равном радиусу материнского ядра R
. Если T вычислять по формуле (10.42) для радиоактив-
Я
ных ядер, то она оказывается равной ≈ 30 МэВ. Однако опыты показали,
что энергии -частиц -распада известных радиоактивных ядер не превышают 8,5 МэВ, что делает несостоятельной модель Кельвина в объяснении -распада ядер.
Рис. 17. Эскиз к теории α-распада ядра
2. Модель Георгия Гамова (1928 г.)
Сумма потенциалов Us и Uс имеет вид как на рис. 17 и напоминает
потенциальный барьер. Непрерывно двигаясь, -частица оказывается на
поверхности ядра, где удерживающие -частицу ядерные силы слабее.
Получив от окружающих ее частиц случайным образом дополнитель-
ную энергию, но меньшую, чем необходимо для преодоления сил ядерного притяжения
(рис. 17), -частица налетает на образованный
E
α
двумя потенциалами барьер (атакует его) и, с некоторой вероятностью,
проникает через него, оказываясь на расстоянии от центра ядра, значи-
88
тельно большем, чем радиус ядра RЯ. Кинетическая энергия, преобрета-
емая прошедшей барьер -частицей, определяется теперь ее потенциальной, но гораздо меньшей, чем кулоновский барьер энергией
<
Б
(10.42):
U
с
2
, (10.43)
α
2( 2)
ze
T
UT
c
Ra
я
U
тун
где a – ширина барьера.
Используя теорию Гамова, можно объяснить эмпирический закон
Гейгера–Неттола, который гласит: чем меньше время жизни
α-радиоактивного ядра, тем больше энергия испускаемых -частиц.
Реакция слияния легких ядер
23 4
HH Hen
11 2
(Qr = 17,6 МэВ), (10.44)
идет с выделением большого количества энергии. Чтобы заставить
23
большое число ядер сталкиваться часто, надо горючую смесь
H, H
11
разогреть до температуры T 0,1 МэВ = 0,724·109 K, так, чтобы средняя
кинетическая энергия ядер смеси была равна потенциальному кулоновскому барьеру их слияния. Однако опыт показал, что термоядерные ре-
7
акции начинают идти при гораздо меньшей температуре, T 5·10
K,
благодаря туннельному эффекту и максвеловскому хвосту теплового
распределения ядер по скоростям. Это большой подарок природы чело-
вечеству, ибо при таких температурах топливо (
H, H
11
) находится в
23
плазменном состоянии при большом давлении и удерживать его конечное время для установления теплового равновесия при более высокой
температуре – дело непростое и пока невыполнимое. О магнитном и
инерционном способах удержания высокотемпературной плазмы можно
прочитать в специальной литературе.
Частица в потенциальной яме. Связанные состояния
Микрочастица массой m совершает одномерное поступательное
движение в потенциале вида
,0;
x
() , 0 ;
Ux U x a
эскиз которого изображен на рис. 18.
0
0, ,
xa
89
(10.45)
Рис. 18. Эскиз графика потенциала «прямоугольная яма»
конечной глубины
Уравнение Шредингера для стационарных состояний:
() ()HxEx
, (10.46)
в зависимости от области x запишется:
2
2
d Ψ ()
2d
mx
2
hx
2d
mx
xh
1
2
2
d Ψ ()
Ψ () Ψ (), 0 ,
UxEx xa
0
11
2
2
d Ψ ()
h
2d
mx
3
2
x
2
2
Ψ () Ψ (), 0.
33
Ψ (), ,
Exxa
2
xE x x
(10.46б)
(10.46в)
(10.46а)
При конечных значениях E уравнение (10.46в) имеет только тривиальное решение:
.
0)(
x
3
Волновую функцию микрочастицы в потенциале (10.45) будем искать в виде
Ψ (), 0 ;
xxa
1
Ψ() Ψ (), ;
xxxa
2
0, 0.
x
(10.47)
Уравнения (10.46а) и (10.46б) перепишем в форме, удобной для
решения:
2( )
"( ) ( ) 0,
mE+U
xx
11
"( ) ( ) 0.
22
0
2
h
2
xx
mE
2
h
(10.46а)*
(10.46б)*
Видим, что это линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]