Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
.pdf
СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Редакционный совет:
А. В. Болсинов
А. В. Борисов
В. В. Козлов
И. С. Мамаев
И. А. Тайманов
Д. В. Трещев
Вышли в свет:
А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Динамика твердого тела
П. И. Голод, А. У. Климык. Математические основы теории симметрии
М. Громов. Гиперболические группы
М. Громов. Знак и геометрический смысл кривизны
Дж. Д. Мур. Лекции об инвариантах Зайберга – Виттена
Дж. Милнор. Голоморфная динамика
И. Р. Шафаревич. Основные понятия алгебры
И. Добеши. Десять лекций по вейвлетам
Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина. Элементы современной теории
функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения
Э. Столниц, Т.ДеРоуз, Д. Салезин. Вейвлеты в компьютерной графике
К. Кассел, М. Россо, В. Тураев. Квантовые группы и инварианты узлов
Ж. П. Рамис. Расходящиеся ряды и асимптотические теории
О. В. Богопольский. Введение в теорию групп
А. Д. Морозов. Введение в теорию фракталов
Д. Рюэль. Термодинамический формализм
В. В. Козлов. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре
Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. Нелинейные колебания, динамические системы
и бифуркации векторных полей
С. П. Новиков. То п о л о г и я
А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Современные методы теории интегрируемых систем
Х. В. Брур, Ф. Дюмортье, С. ван Стрин, Ф. Такенс. Структуры в динамике.
Конечномерные детерминированные системы
СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский. Интегрируемые системы.
Теоретико-групповой подход
А. С. Холево. Статистическая структура квантовой теории
Я. Песин. Теория размерности и динамические системы: современный взгляд и
приложения
Р. д е л а Яве . Введение в КАМ-теорию
Ю. П. Соловьев, В. А. Садовничий, Е. Т.Шавгулидзе, В. В. Белокуров. Эллиптические
кривые и современные алгоритмы теории чисел
А. А. Женсыкбаев. Проблемы восстановления операторов
С. В. Матвеев. Лекции по алгебраической топологии
А. Н. Тюрин. Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
Готовятся к печати:
Н. А. Кудряшов. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
Д. Бураго, Ю. Бураго, С. Иванов. Курс метрической геометрии
В. П. Маслов. Квантование термодинамики и ультравторичное квантование
Л. П. Шильников, А. Л. Шильников, Д. В. Тураев, Л. Чуа. Методы качественной
теории в нелинейной динамике
А. И. Шафаревич. Введение в теорию квазиклассического квантования изотропных
многообразий
А. Н. Тюрин
КВАНТОВАНИЕ,
КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
ИТЭТА-ФУНКЦИИ
Перевод с английского
ЮРИНА
Н. А. Т
Научная редакция и подготовка издания к печати
ОРОДЕНЦЕВА
А. Л. Г
МоскваИжевск
2019
УДК 512.6, 514.7, 514.8, 517.9, 519.17
Интернет-магазин
• физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru
технологии
Тюрин А. Н.
Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции. —
Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2019, 168 стр.
Эта книга — уникальная монография о векторных расслоениях на кривых, написанная одним из самых ярких геометров нашего времени. Её цель — показать,
как с необыкновенной красотой переплетаются в геометрии векторных расслоений самые разные ветви современной математики: классические алгебраическая и
дифференциальная геометрия, лагранжева геометрия и геометрическое квантование,
дифференциальные уравнения на многообразиях и анализ Фурье, теория представлений и комбинаторика графов, калибровочные теории и квантовая теория поля . . .
Автор щедро делится с читателем замечательными геометрическими конструкциями, остроумными идеями и нерешёнными вопросами, вскрывающими глубокие
связи между на первый взгляд далёкими друг от друга разделами математики и
математической физики.
ISBN 978-5-4344-0760-1
c
Институт компьютерных исследований, 2019, для издания на русском языке
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Игорю Ростиславовичу Шафаревичу
к его 80-летию
Оглавление
Введение ................................ 7
Г
ЛАВА 1. Процесс квантования ................... 9
§1. Конструкция ............................ 9
§ 2. Вещественная поляризация (симплектическая геометрия) . . 12
§3. Келеровоквантование(алгебраическаягеометрия) ...... 14
§4. РасширеннаятеорияКодаиры–Спенсера............ 17
§5. Строгиемодулярныесоответствия................ 23
§6. Полноеквантование........................ 24
ЛАВА 2. Алгебраические кривые = римановы поверхности ... 26
Г
§1. Прямойподход........................... 26
§2. Якобианы.............................. 27
§ 3. Алгебро-геометрическая теория ϑ-функций .......... 28
§ 4. Комбинаторно-симплектическая теория ϑ-функций ...... 30
§5. Плоскиеголоморфныеабелевысвязности ........... 35
§6. Полноеквантование........................ 39
ЛАВА 3. Неабелевы ϑ-функции ................... 42
Г
§ 1. Алгебраическая геометрия многообразий модулей векторных
расслоений . . ........................... 42
§2. Голоморфныеплоскиесвязности................. 45
§ 3. Многообразия модулей стабильных пар и разрешение осо-
бенностей.............................. 50
§ 4. Голоморфная симплектическая геометрия полей Хиггса . . . 52
§5. Калибровочнаятеориянаримановойповерхности....... 55
§ 6. Комплексная поляризация пространства RC(π
§7. Вычислениерангов ........................ 61
§8. СвязностиХитчина ........................ 66
(Σ), SU(2)) .. 58
1
6ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 4. Симплектическая геометрия многообразия модулей век-
торных расслоений ......................... 70
§1. U(1)-действиеГолдмана ..................... 70
§2. Вещественнаяполяризация.................... 73
§3. Бор-зоммерфельдовыслои .................... 75
§4. МодельДельцана ......................... 77
Г
ЛАВА 5. WZW CQFT ......................... 80
§1. WZW-версия............................ 80
§2. WZW-связность .......................... 85
§3. Монодромныепредставления................... 86
ЛАВА 6. Тривалентные графы ................... 88
Г
§ 1. Спин-сетки . . ........................... 88
§2. Трехмернаятопология....................... 89
§3. Геометрияграфов ......................... 91
§ 4. Петлевой комплекс, комплекс раскроек и комплекс графов . . 99
§5. Калибровочнаятеориянаграфах ................105
§6. Абелеваверсия:U(1)-спин-сетки ................108
§ 7. Гармонический анализ SU(2)-спин-сеток ............110
§8. MS-версияRCFTипредставлениеКоно ............113
Г
ЛАВА 7. Аналитические аспекты теории неабелевых ϑ-функций 122
§1. УнитарноепространствоШоттки ................122
§2. g-расширение конструкции Холла для SU(2) ..........123
Г
ЛАВА 8. Отображение Бортвика – Пола – Урибе .......... 128
§1. Геометриялагранжевыхциклов .................128
§2. Лежандровыраспределения ...................131
§3. Геодезическийподъем.......................136
Г
ЛАВА 9. Точки максимального вырождения ............ 142
§1. Предельныем-кривые.......................142
§2. Каноническиелинейныесистемы ................143
§ 3. Специальные однопараметрические деформации предель-
ных м-кривых ...........................145
§ 4. Специальная двупараметрическая деформация предельных
м-кривых..............................149
§5. Модулярнаяконфигурация ....................151
§6. Pic
) и модули расслоений на м-кривых ..........152
0(PΓ
§ 7. Алгебраическая геометрия ϑ-функций предельных м-кривых 156
Литература ............................... 159
Введение
Десять лет назад Арно Бовиль опубликовал обзор [9]1,гдевсегона
16 страницах дал полное и изящное введение в этот специфический раздел
алгебраической геометрии. Сегодня нам потребуется гораздо больше бумаги, даже если предположить, что читатель знаком с [9] (где уже описана
связь обобщенных ϑ-функций с классическими и квантовыми конформными теориями поля).
В этой книге мы, следуя стратегии А. Бовиля, не приводим ни мотивировок, ни доказательств. Однако все необходимые геометрические кон-
струкции будут представлены, а исходя из них читатель уже легко сумеет
отыскать (или угадать) доказательства сам. Таким образом, настоящий текст
не является математической монографией, но лишь конспектом обширнейшего направления исследований
В абелевом случае
3
ных — так называемых ϑ-структур уровня k — доставляет специальные
базисы в пространствах сечений тензорных степеней канонической поляризации якобиана, что позволяет представлять сечения голоморфными функциями на «абелевом пространстве Шоттки» (C
явные аналитические формулы, широко использующиеся в У
интегрируемых систем и классической механике (см. ссылки в [21]).
Нашей целью будет реализация подобной программы в неабелевом
случае, что является практическим ответом на итоговый вопрос А. Бовиля
(сформулированный в [9] под номером 9).
То, что уже сама конструкция ϑ-функций с характеристиками внутренним образом связана с процедурой квантования (квантовой теорией поля
в размерности 1), отмечалось неоднократно. Оказалось, однако, что методы конформной теории поля (т.е. теории в размерности 2=1+1)и
2
.
фиксация дополнительных комбинаторных дан-
∗
)gи писать замечательные
Ч
П
р
, теории
1
«Vector Bundles on Curves and Generalized Theta Functions: Recent Results and Open
Problems».
2
Мы надеемся в будущем развернуть его в полноценную монографию «Векторные расслоения над алгебраическими кривыми» или, на принятом нынче в математических кругах
сленге, «VBAC».
3
Изложенном в замечательных книгах [8], [15], [81], [22] и многих других.
8ВВЕДЕНИЕ
стандартные физические соображения: симметрии, поля, уравнения, сшивка локальных лагранжианов и т. п., открывают новые перспективы и дают
в руки столь эффективные вычислительные средства, о каких «алгебраические геометры и не мечтали» (А. Бовиль).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]