Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
.pdf
§6. КОМПЛЕКСНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ ПРОСТРАНСТВА(π1(Σ), SU(2)) 59
ференциал d. Комплексная структура I на Σ индуцирует разложения d =
∂ и ∇a= ∇
= ∂ +
1,0
∇
−−− → Γ(E ⊗ Ω
Γ(E)
1,0
+ ∇
0,1
,где
1,0
), Γ(E)
0,1
∇
−−−→ Γ(E ⊗Ω
0,1
),
так что пространство всех связностей раскладывается в прямое произведение
где A
— аффинное пространство над Ω
A = A
×A, (3.32)
1,0
(Ad(E)),аA—надΩ
0,1
(Ad(E)).
Калибровочная группа G всех гладких послойных автоморфизмов расслоения E сохраняет проекцию
на пространство
∂-операторов на E.
A
pr
−→A
(3.33)
Задание на E какой-либо эрмитовой структуры h выделяет подпространство эрмитовых связностей A
на A
является взаимно однозначным соответствием. Кроме того, h опре-
h
⊂A, и ограничение проекции (3.33)
h
деляет на калибровочной группе G сопряжение:
g →
g =(g∗)−1,
вещественными элементами которого являются послойные эрмитовы автоморфизмы:
G
= {g ∈G|g = g}.
h
При этом действие a → g(a) произвольного калибровочного преобразования g ∈Gна компоненты связности a описывается формулами:
∇
∇
1,0
g(a)
0,1
g(a)
= g ·∇
= g ·∇
1,0
· g−1= ∇
a
0,1
· g−1= ∇
a
1,0
a
0,1
a
−(∇
− (∇
1,0
g) ·g
a
0,1
g) ·g−1,
a
−1
∗
,
и сохраняет подпространство A
ствление pr|
A
∼
: A
−→Aэквивариантно относительно этого действия.
h
h
Поскольку композиция∇
бит
⊂Aэрмитовых связностей, а отожде-
h
2
0,1
a
/G =M
A
0,2
∈ Ω
(Ad(E)) = 0, пространство ор-
i
представляет собой объединение всех компонент пространства
топологически тривиальных I-голоморфных расслоений на Σ
1
Из-за присутствия нестабильных расслоений этот объект не является многообразием, но
все же может быть описан на языке стэков.
, и орбиты
I
1
модулей
(3.34)
60 ГЛАВА 3
плоских связностей AF⊂Ahсоставляют в нем компоненту максимальной размерности M
dim
Mss=3g −3). Применение классической геометрической теории ин-
C
ss
классов полустабильных расслоений (напомним, что
вариантов в стиле Кемпфа– Несс дает нам
Предложение 1 (Нарасиман – Шешадри). Имеет место изоморфизм
индуцирующий на RC(π
ss
.
с M
Предложение 2. Форма F
NS: RC(π
(Σ), SU(2)) структуру комплексного многообразия
1
(Σ), SU(2))∼−→Mss, (3.35)
1
из (3.30) имеет тип (1, 1), и линейное
A
CS
расслоение L, описанное на стр. 58, допускает единственную голоморфную структуру, согласованную с эрмитовой связностью A
структурой; при этом изоморфизм (3.35) отождествляет L с O
Вместестем,наM
ss
имеется каноническая келерова метрика (так называемая метрика Вейля – Петерсона) с келеровой формой ω
= i · Ω, дающая связность Леви-Чивита на комплексном касательном расслоении T M
каноническом линейном расслоении detT M
эрмитову связность
на O(Θ) = L. Наконец, рассматривая M
получаем над M
митовой связностью A
симплектической формой: F
Предложение 3. A
ss
и соответствующую ей эрмитову связность ALCна анти-
1
ALCна L, согласованную с голоморфной структурой
4
ss
детерминантное линейное расслоение Квиллена L сэр-
, форма кривизны которой также совпадает с нашей
Q
CS
A
Q
1
=
4
= i · Ω.
ALC= AQ.
ss
= O(4Θ). Это определяет
ss
как семейство ∂-операторов, мы
и комплексной
CS
WP
ss
M
= iF
(Θ).
A
CS
Рассмотрим теперь калибровочную теорию полей Хиггса. Голоморфное поле Хиггса φ является, как мы знаем, голоморфным сечением φ ∈ H
ренциал w = π(E, φ)=tr(φ
сэлементом˙I ∈ Ω
ренциалов Бельтрами, мы получаем на кокасательном расслоении T
функцию
которая, согласно принципу Хартогса (см. стр. 53–54), продолжается на все
многообразие модулей полустабильных пар Хиггса M
0
(ΣI, Ad(E) ⊗ K)=T
0,1
2
(ΣI,K−1) из двойственного пространства диффе-
H
w
∗
Mssи определяет квадратичный диффе-
E
). Спаривая этот квадратичный дифференциал
∗Mss
(φ)=
Σ
trφ
2
·˙I, (3.36)
H
.
Σ
=
§7. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАНГОВ 61
Предложение 4. Функции Hw, H
ратичным дифференциалам w = w
ки Пуассона, индуцируемой канонической голоморфной симплектической
структурой на M
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
Продолжим функции H
H
.
Σ
до постоянных по базе функций на кокаса-
w
, отвечающие различным квад-
w
, коммутируют относительно скоб-
тельном расслоении
∗A
T
= A× Ω
к плоскому аффинному пространству A
(см. разложение (3.32)). Поскольку переменные базы и слоя канонически
сопряжены относительно канонической симплектической формы на T
0,1
(Ad(E))
операторов Коши– Римана на E
∗A
а пространство голоморфных полей Хиггса есть не что иное, как нулевой
уровень отображения момента по действию полной комплексной калибро-
и H
вочной группы G, функции H
w
должны коммутировать относительно
w
скобки Пуассона.
§ 7. Вычисление рангов
В неабелевом случае вычисление размерностей
i(Mss
dim H
использует абсолютно новую идею — рассматривать производящую функцию, дающую ответ сразу для всех многообразий модулей M
симости от рода g кривой Σ. В случае комплексной поляризации такая
идея навевается дональдсоновской калибровочной теорией четырехмерных
многообразий
1
, где аналогом целочисленного параметра g служит (также
целочисленный) второй класс Черна c
ризации соответствующие производящие функции естественно возникают
в конформной теории поля. Безусловно, было бы очень полезно отыскать
конструкцию, напрямую связывающую теорию Дональдсона с конформной
теорией поля столь же явно, как это происходит, например, в конструкции
Накаджимы для схем Гильберта Hilb
Итак, рассмотрим гладкую алгебраическую кривую Σ рода g имногообразие M
ний ранга 2 с тривиальным детерминантом на ней. На прямом произведении Σ ×M
1
См. [71], [72].
ss
модулей полустабильных голоморфных векторных расслое-
g
ss
нет универсального расслоения E, но есть расслоение Ad(E),
g
, O(kΘ))
g
ss
взави-
g
(E). В случае вещественной поля-
2
g
S алгебраической поверхности S.
,
62 ГЛАВА 3
старший класс Черна которого связан с «виртуальными» классами E по
формуле
c
(Ad(E)) = −p1(E)=c1(E)2− 4 c2(E) ∈ H4(Σ ×M
2
ss
),
g
а разложение Кюннета имеет вид:
g
−p
(E)=−2[Σ]⊗ [Θ] + [pt] ⊗ [x] − 4
1
a
⊗ μ(ai)+bi⊗ μ(bi),
i
i=1
где [Σ] — фундаментальный класс кривой Σ, [pt] — класс точки на
кривой Σ, a
зис (2.11) в H
[x]=4μ([pt]) ∈ H
класс −p
, biс i =1, ..., g — какой-либо симплектический ба-
i
1
(Σ, Z), [Θ] = 2 μ([Σ]) ∈ H2(M
4(Mss
, Z), μ(ai),μ(bi) ∈ H1(M
(E) задает гомоморфизм:
1
g
H
(Σ)μ−→ H∗(M
∗
ss
): σ →−
g
ss
, Z) — Θ-дивизор (3.2),
g
ss
). Таким образом,
g
p
(E)
1
.
4 σ
Рассмотрим градуированную алгебру
S(Σ) = Sym
градуировка в которой задается тем, что σ ∈ H
=4−i,такчтоdeg(α)=i =⇒ μ(α) ∈ H
Определение 1. Линейная функция S(Σ)
рой N
· σ1· ... · σr) на мономе α = σ1· σ1· ... · σrс σi∈ H
g(σ1
суммарной степени d(α)=
μ(σ
) ··· μ(σr), если d(α)=dimRM
1
а в остальных случаях равно нулю, называется инвариантом или полино-
1
мом
Ньюстеда.
(H
(Σ, R)) ⊗ Λ∗(H
even
∗
r
(4 − ni) равно
i=1
(Σ, R)), (3.37)
odd
(Σ) имеет степень deg(σ)=
i
i(Mss
).
g
N
g
−−→ Q, значение кото-
ss
=6g −6, (3.38)
g
(Σ)
n
i
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Аналогичная конструкция применима к любому семейству векторных расслоений, т. е. к любому (виртуальному) расслоению E над Σ × B с про-
извольной базой B, и также дает некоторый полином N
1
Поскольку эта линейная функция может рассматриваться как однородный полином сте-
пени 3(g − 1) на H
(Σ,).
∗
B,E
на H∗(Σ,).
g
§7. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАНГОВ 63
Полином Ньюстеда инвариантен относительно группы диффеоморфизмов Diff
вание Дена φ
(Σ), сохраняющих ориентацию, и, так как для каждого i скручи-
+
∈ Diff+(Σ) меняет знак у aiи biи переводит все остальные
i
образующие в себя, значение
(μ([Σ])m· μ([pt])n· μ(a
N
g
может быть отлично от нуля, только если i
i
min
) · μ(b
min
j
min
= j
) · ...)
. А поскольку для
min
любой пары ручек существует сохраняющий ориентацию диффеоморфизм,
переводящий одну из них в другую, выражение
g
γ =2
μ(ai) · μ(bi) ∈ H6(M
i=1
не зависит от выбора симплектического базиса {a
∈ C[[pt], [Σ],γ],т.е.N
вида [Σ]
mptnγp
,причемсm +2n +3p =3g − 3.
принимает ненулевые значения только на мономах
g
ss
)
g
} в H1(Σ),иNg∈
i,bi
Таким образом, вместо градуированной алгебры (3.37) мы можем рассматривать универсальную алгебру
=Sym∗(α · Z ⊕β ·Z ⊕γ ·Z)
S
3
(симметрическую алгебру свободного градуированного Z-модуля с тремя
образующими степени degα =1, deg β =2, deg γ =3) и трактовать весь
набор полиномов N
как одну линейную форму S
g
N
−→ Q, принимающую
3
ненулевые значения только на мономах, степень которых d =3n кратна
трем, и сопоставляющую такому моному значение (3.38) полинома N
n+1
на этом мономе. Итак, мы получаем неоднородный полином N , однородные
компоненты которого имеют степени 3g −3.
Эти однородные компоненты (т.е. полиномы Ньюстеда для различных
родов) связаны важным рекуррентным соотношением
1
Ng(γ ·α)=g · N
(α). (3.39)
g−1
Чтобы этим воспользоваться, удобно перейти к нормированным многочленам Ньюстеда
1
См. [67, предложение 26]; ниже мы увидим, что подобные правила слияния имеются и
для вещественной поляризации.
0
N
−−→ Q : N
S
3
3n
0
=
(n +1)!
N
n+1
. (3.40)
64 ГЛАВА 3
Тогда все соотношения (3.39) запишутся одним уравнением
0
(γ ·z)=N0(z) ∀z ∈ S
N
3
(3.41)
на полный нормализованный многочлен, так что мы можем исключить образующую γ и рассматривать N
S
Так называемая гипотеза Ньюстеда (см. [67]) предсказывает, что
0(αm
N
· βk) может быть отлично от нуля только при k (m +2k)/3.
0
как Q-значную линейную форму на
=Sym∗(α · Z ⊕β ·Z).
2
Имея это в виду, заменим образующую β на
ω = α · β.
Тогда N
0
как линейная форма на Sym∗(α · Z ⊕ω ·Z) будет удовлетворять
соотношению
0(α3k
N
· ωn)=N
3(n+k)+1
из которого вытекает итоговое главное равенство
n+k
(−4)
где B
0(α3k
N
i
· ωn)=
— числа Бернулли.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Таддеуш получил многочлены Ньюстеда (3.42) из формулы
Верлинде для производящей функции размерностей пространств конформных блоков (см. ниже), основываясь на предположении, что квантование с помощью M
является численно полным (см. § 5 главы 1). Мы обошли эту гипотезу Таддеуша при
помощи конструкции Дональдсона из [19].
АМЕЧАНИЕ 3. Внешнее умножение на однородный элемент x ∈
З
дифференциальный оператор в пространстве полиномов, переводящий линейную
L
форму
−→в
3
∂L
∂x
и соотношения (3.41) могут рассматриваться как дифференциальные уравнения на
многочлены Ньюстеда. Более того, из этих уравнений легко угадываются и рекуррентные формулы для производящих функций спаривания (3.38) (см. [66]). Подход Виттена опирался на вычисления объемов Vol( M
1
См. [67, формула (29)].
· (n +3k)!
(n + k +1)!
(z)=(degz +degx) · L(x ∧ z),
n+3k
(α
1
· (2k)! · (4
ss
g
· βn),
:
k
− 2) · B2k, (3.42)
индуцирует
3
)=N0(α
3g−3
),послечего
ss
g
§7. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАНГОВ 65
остальные значения многочленов Ньюстеда восстанавливаются из этих рекуррентных формул.
Другой способ вычисления1спаривания (3.38) и многочленов Ньюстеда доставляет процедура геометрической аппроксимации. Имеется цепочка
флипов
гдекаждоеMP
семейство векторных расслоений E
(см. зам. 1 из § 7 главы 3) и N
многообразие модулей MP
размерности 3g −2:
асамоелевое—P
так что N
ния, а N
из (3.43), мы можем шаг за шагом восстановить все многочлены N
чиная с самого правого P
2
:
MP
есть многообразие модулей t-стабильных пар3,дающеесвое
i
1
-расслоением над M
0
· H = N0,гдеH — класс Гротендика этого P1-расслое-
max
0
— форма Ньюстеда. Используя явное описание каждого флипа
... MP1 MP0, (3.43)
max
над Σ × MPiисвоимногочленыN
i
0
, аналогичные (3.38) и (3.40). Самое правое
i
в (3.43) является проективным пространством
0
0
= P
--
3g−2
ss
:
g
M
,
ss
,
g
3g−2
MP
.
MP
max
g,i
g,i
,на-
По теореме Римана– Роха– Хирцебруха,
(−1)idim Hi(M
i
ss
, O(kΘ)) =ch(O(kΘ)) · td(M
g
ss
)
3g−3
, (3.44)
g
и, т. к. дивизор Θ положителен, в левой части, согласно теореме Кодаиры,
стоит лишь dim H
показал
= e
ки).
4
,чтоc1(Mss)=4[Θ],аp(M
2[Θ]
√
sh(√β/2)
1
Этим вычислением мы обязаны Загье и Макдональду (см. в [66] соответствующие ссыл-
2
См. [61].
3
См. [67], [14] или [13].
4
См. [55].
β/2
0(Mss
2g−2
dim H
, O(kΘ)) = dim H
g
r
. С другой стороны, Ньюстед
I
ss
)=(1+β)
g
2g−2
,такчтоtd(Mss)=
. Поэтому в правой части (3.44) получаем
k +2
2
g−1
j
sin
2−2g
jπ
. (3.45)
k +2
r
=
I
66 ГЛАВА 3
§ 8. Связности Хитчина
В этом параграфе мы покажем, что сопоставление кривой ΣIрода g>2
многообразия модулей M
ss
(ΣI) голоморфных полустабильных топологиче-
ски тривиальных расслоений на ней является строгим модулярным соответствием, а пространства (неабелевых) ϑ-функций
0(Mss
H
(ΣI), O(kΘ)) (3.46)
доставляют успешное квантование кривой Σ. Иначе говоря, при g>2
кривая Σ
со слоем (3.46) на многообразии модулей M
обладает плоской проективной связностью, так что проективизация
0(Mss
PH
бых точек Sing M
ность кривой Σ
однозначно восстанавливается по Mss, а векторное расслоение
I
p
k
V
−→Mg: p
k
−1
(I)=H0(Mss(ΣI), O(kΘ)) (3.47)
k
кривых рода g
g
(ΣI), O(kΘ)) локально не зависит от I.
Первое утверждение почти очевидно в силу того, что множество осо-
ss
=Kum(ΣI) представляет собой куммерову поверх-
. Раздуем конечное множество Sing (Kum(ΣI)), рассмот-
I
рим двойное накрытие полученной поверхности, разветвленное в исключительном дивизоре, а затем стянем исключительный дивизор — получится
якобиан J(Σ
) нашей кривой. Нетрудно видеть, что ограничение неабелева
I
Θ-дивизора на куммерово многообразие переходит при этом в дивизор 2Θ
на якобиане. Теперь классическая теорема Торелли (см. начало § 2 главы 2)
дает нашу кривую Σ
Существование проективной плоской связности на расслоении (3.47)
в неабелевом случае
.
I
1
доказал Хитчин. Чтобы построить эту связность, мы
опять воспользуемся теорией деформаций из §4 главы 1, а калибровочная
теория голоморфных полей Хиггса (см. конец § 6 главы 3) позволит нам
вычислить ее кривизну.
Прежде всего напомним (см. § 6 главы 3), что на пространстве
RC(π
(Σ))I= Mss(ΣI) канонически индуцируется выбором комплексной
1
структуры I на Σ комплексная структура I = I(I ). Мы должны убедиться,
что при этом выполняются все условия со стр. 17–18. Согласно результату
Нарасимана и Раманана
2
H0(T Mss)=H1(Mss, O)=0.
1
Обсуждение абелева случая см. на стр. 29–30.
2
См. [56].
§8. СВЯЗНОСТ И ХИТЧИНА 67
Для построения голоморфного тензора W0∈ H0(S2(T Mss)) рассмотрим касательное пространство T
векторном расслоении E ∈M
0
(Σ, Ad(E) ⊗ KΣ),гдеKΣ— канонический класс кривой Σ. Каса-
= H
тельный вектор к многообразию модулей M
дифференциалом Бельтрами˙I ∈ H
0
(Σ, Ad(E) ⊗KΣ)
H
является квадратичной формой на T
образие модулей M
ss
и дает искомое сечение W0.
Mss= H1(Σ, Ad(E)) вполустабильном
E
ss
. По двойственности Серра T∗M
кривых в точке ΣIзадается
1
(ΣI,K
ψ→ψ˙I
−−−−−→ H1(Σ, Ad(E)) (3.48)
∗
E
g
∗
),и-умножение на него
Σ
Mss. Ее продолжение на все много-
ss
E
Предложение 1. Отображение
=
H
1
(ΣI,T
1,0
)f−→ H0(Mss,S2(T
1,0Mss
)),
переводящее дифференциал Бельтрами˙I в квадратичную форму
f(˙I): φ →
tr(φ2) ∧˙I, (3.49)
Σ
является изоморфизмом.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Согласно принципу Хартогса (см. § 4 главы 3) мы можем продолжить
любую голоморфную квадратичную форму с T
чина M
H
, причем продолженная форма должна быть постоянна на слоях го-
Σ
∗Mss
на его замыкание Хит-
ломорфного отображения момента (3.18), поскольку они являются компактными абелевыми многообразиями. Итак, наше пространство голоморфных
квадратичных форм двойственно пространству голоморфных квадратичных
дифференциалов на Σ
Рассмотрим деформациюM
некоторой открытой окрестностью нуля B ⊂ C
ss
= M
) и голоморфное векторное поле t ∈ H0(B,T B) на B. Согласно
I
. Этим все сказано.
I
p
ss
−→ B комплексной структуры I над
m
(такую, что p−1(0) =
классической теории Кодаиры – Спенсера оно определяет семейство классов
инфинитезимальных деформаций вдоль векторов t, т. е. сечение
0
ξ ∈ H
Выбрав над каждой точкой b ∈ B достаточно мелкое открытое покрытие слоя M
ss
= p−1(b), рассмотрим семейство (3.50) как семейство
b
(B,R1p∗TMss). (3.50)
68 ГЛАВА 3
элементов пространства H1(M
циальных операторов на расслоении предквантования L,т.е.каксечение Δ ∈ H
0
(B,R1p∗(D1(L))), описывающее инфинитезимальные дефор-
ss
,D1(L)) классов когомологий дифферен-
b
мации расслоения поляризации вдоль векторов t. Построенная в (3.48)
голоморфная квадратичная форма W
∈ H0(B,R0p∗(S2T )) поднимается
0
(при помощи связности Леви-Чивита метрики (3.49)) до семейства операторов Лапласа –Бельтрами, заданных локально над открытыми множествами зафиксированного нами покрытия слоев M
го порядка имеют одинаковые главные части и, стало быть, задают сечение D ∈ H
0
1
B,R
p∗(D2(L)). Теперь описанная в § 4 главы 1 машинерия
ss
. Эти операторы второ-
b
дает нам голоморфную проективную связность на расслоениях (3.47) над
базой B с главным символом, равным
1
−
2k − 4
Более того, комбинация ∂
σ · δ(W ) ∈ H
+ Pt,где
t
= iD+
P
t
0
(B,R1p∗TMss). (3.51)
i
2k − 4
Δ, (3.52)
задает глобально определенный голоморфный оператор теплопроводности
на L
, а его главный символ является квадратичной формой, поднятой с
I
базы расслоения Хитчина (3.18), и, согласно предл. 4 из § 6 главы 3, эти
символы коммутируют как функции на кокасательном расслоении.
Таким образом, для вычисления кривизны нашей связности надо вы-
числить лишь коммутатор
− ∂
∂
tPt
Pt− [Pt,P
t
для двух голоморфных векторных полей t и t
aprioriимеет порядок 3, но его главный символ является
] (3.53)
t
на B. Последний член в (3.53)
1
скобкой Пуассона
коммутирующих символов операторов (3.52), так что
− ∂
∂
tPt
Pt− [Pt,P
t
] ∈ H0(Mss,D2(L)) (3.54)
t
для любой комплексной структуры из B.
Чтобы доказать, что построенная нами связность является проективно-плоской, мы должны проверить, что оператор (3.54) постоянен. Но последняя стрелка в длинной точной последовательности
0 → H
1
См. [32].
0(Mss,D1
(L)) → H0(Mss,D2(L)) →
→ H
0(Mss,S2
T ) → H1(Mss,D1(L)) (3.55)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]