Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
.pdf
§4. ПЕТЛЕВОЙ КОМПЛЕКС, КОМПЛЕКС РАСКРОЕК И КОМПЛЕКС ГРАФОВ 99
каждая вершина v ∈ V (Γ) накладывает на тип петли очевидные ограничения:
)+col(e2)+col(e3) ≡ 0(mod2),
col
(e1
|col
) − col(e2)| col(e3) col(e1)+col(e2).
(e1
Скажем, что петля имеет уровень k,еслиcol
(e) k для любого ре-
(6.15)
бра e ∈ E(Γ). Ясно, что для петель уровня k нижняя строчка в (6.15) заменяется чуть более сложным условием
|col
отличающимся от предыдущего плоского неравенства треугольника тем,
что представляет собой неравенство треугольника на сфере радиуса ∼
) − col(e2)| col(e3)
(e1
mincol
)+col(e2), 2k − col(e1) − col(e2), (6.16)
(e1
√
k.
Поэтому довольно естественно называть петли уровня k узлами.Напомним также (см. стр. 88), что деля тип узла пополам, мы получаем функцию (6.13), раскрашивающую ребра нашего графа неприводимыми представлениями SU(2), и условия (6.15) и (6.16) означают при этом, что пара (Γ, col
) задает SU(2)-спин-сетку.
§ 4. Петлевой комплекс, комплекс раскроек и комплекс
графов
Напомним, что мы называем окружностью на ориентированной поверхности Σ
стой замкнутой нестягиваемой петли C, не изотопный никакой компоненте
границы.
Петлевой симплициальный комплекс C(Σ
честве i-мерных симплексов наборы из (i +1)попарно непересекающихся
окружностей с очевидными примыканиями граней. Его одномерный остов
состоит из пар непересекающихся окружностей, а симплексы максимальной размерности 3g − 3 отвечают разрезаниям (4.8) поверхности Σ
2g − 2 штанов.
В двух важных специальных случаях: для Σ
пары таких непересекающихся петель, определение немного меняется —
две вершины петлевого комплекса соединяются ребром, если окружности
имеют 2 пересечения (на Σ
= C(Σ
1,1
рис. 9).
1
Или так называемым графом Фарея.
рода g с n выколотыми точками изотопический класс про-
g,n
) и 1 пересечение (на Σ
0,4
) кривой Σ
g,n
и Σ
0,4
1,1
1,1
), так что C(Σ
имеет в ка-
g,n
на
g,n
, где нет ни одной
)=
0,4
) оказывается идеальной триангуляцией1двумерного диска (см.
100 ГЛАВА 6
Еще имеется бесконечный граф штанов
Π(Σ), имеющий вершинами всевозможные
раскройки (4.8) поверхности Σ
(2g −2) штанов, и две такие вершины соединяются ребром, если соответствующие разрезания получаются друг из друга элементар-
ной перекройкой: одна из окружностей, скажем, C
, заменяется на новую окружность C
1
(см. рис. 7 на стр. 94), которая пересекает исходную дважды, если попадает в те же самые
штаны, и единожды — в противном случае.
Рис. 9. Граф Фарея
Этот бесконечный граф имеет каноническую клеточную проекцию
VΠ(Σ)
a
−→ T
на
g,n
1
g
(6.17)
на конечный граф T
фы, и две вершины соединяются ребром, когда соответствующие им графы
связаны элементарным преобразованием в смысле
, вершинами которого служат все тривалентные гра-
g
1
опр. 1 из § 3 главы 6
(см. стр. 94). Слои проекции (6.17) есть
−1
(Γ) = Mg/Aut(HΓ),
γ
где Aut(H
) — группа изотопических классов ориентированных диф-
Γ
феоморфизмов Σ → Σ, которые можно продолжить до диффеоморфизмов H
→ HΓтела с ручками, ограниченного поверхностью Σ.
Γ
Важнейшим для дальнейшего является также отождествление
модулярной группы
=AutC(Σg)
M
g
2
с группой клеточных автоморфизмов петлевого ком-
(6.18)
плекса.
Граф T
ного комплекса C(T
1
Которое в точности соответствует описанной выше элементарной перекройке разложения
на штаны.
2
По теореме Руадена,
Тейхмюллера τ
и τ
вообще очень близки: например, C(Σ
g
самое справедливо и в метрике Вейля – Петерсона.
является одномерным остовом конечного двумерного клеточ-
g
g
), который мы называем комплексом графов. Строится
g
Å
=Isom(τg) совпадает с группой изометрий пространства
в метрике Тейхмюллера; более того, метрические пространства C(Σ
g
) является δ-гиперболическим ([51]); то же
g,n
g,n
)
§4. ПЕТЛЕВОЙ КОМПЛЕКС, КОМПЛЕКС РАСКРОЕК И КОМПЛЕКС ГРАФОВ 101
Рис. 10. Треугольники
он так. Сначала все коммутативные треугольники элементарных преобразований заклеиваются двумерными клетками. Прообразами таких треугольников при проекции (6.17) являются изображенные на рис. 10 треугольники
бесконечного графа Π, и с точностью до этих треугольников на нашем исходном графе T
имеется каноническая связность (6.9). Поэтому, применяя
g
технику геодезических, описанную на стр. 95, удается заклеить клетками
и все остальные соотношения между элементарными преобразованиями и
построить
1
односвязный двумерный комплекс C(Tg)=C∇(Tg) S2,го-
меоморфный сфере.
Тем самым, граф T
оказывается плоским (в частности, про него можно
g
задать все классические вопросы: о хроматическом числе и т.п.), ну а в двух
специальных случаях
C
(Π(Σ
1
)) = C1(T(Σ
0,4
)) = C1(Σ
1,2
)=C1(Σ
0,4
) (6.19)
1,2
снова является одномерным остовом комплекса Фарея.
Стандартное доказательство перечисленных выше свойств состоит в
явном построении «ручками» бесконечного двумерного комплекса C(Π(Σ))
и проверке всех утверждений для него, а потом при помощи проекции (6.17)
результаты спускаются на комплекс C (T
).
g
Двумерными клетками бесконечного комплекса C(Π) являются соот-
ношения между элементарными преобразованиями, т. е. петли графа Π.Они
бывают трех-, четырех-, пяти- и шестиугольными и приходят из фрагментов поверхностей с меньшими g и n, встречающихся при раскрое на штаны
данной поверхности Σ
на кусках Σ
1
См. [37], а также замечание в конце этого параграфа.
1,1
и Σ
0,4
, а именно: треугольные соотношения возникают
g,n
(см. рис. 10), четырехугольные — на Σ
1,3
=Σ
1,1∪Σ0,4
102 ГЛАВА 6
Рис. 11. Четырехугольники
(см. рис. 11), пятиугольные — на Σ
(см. рис. 12), шестиугольные — на Σ
0,5
1,2
(см. рис. 13).
Поразительно, что двумерный комплекс C(Π) не несет большей информации, чем его одномерный остов Π, и структура его 2-клеток целиком
определяется этим графом. Например, все его треугольные клетки содержатся в подкомплексах Фарея
C(Π(Σ
)) и C(Π(Σ
1,1
0,4
)),
и каждое ребро служит стороной пары треугольников, соответствующих
и Σ
двум подповерхностям Σ
1,1
0,4
.
Фиксация какой-нибудь вершины в любом подграфе Фарея графа Π
означает выбор 0-клетки в C(Σ
),т.е.окружностинаΣ
g,n
,посколь-
g,n
ку выбор подграфа Фарея в Π-графе определяет раскрой на штаны (т. е.
набор окружностей (C
зом C
. Наоборот, для любой вершины C ∈ C0(Σ) существует (не един-
1
1,C2
, ..., C
)) с фиксированным первым разре-
3g−3
ственный!) подграф Фарея, выделяющий эту вершину описанным выше
образом. Действительно, дополним окружность C до полного набора раз-
резов (C
1,C2
, ..., C
ванными разрезами (C
выделенной вершиной p ∈ F
) с C1= C. Все раскрои на штаны с фиксиро-
3g−3
2,C3
, ..., C
.
C
) составляют подграф Фарея FCс
3g−3
§4. ПЕТЛЕВОЙ КОМПЛЕКС, КОМПЛЕКС РАСКРОЕК И КОМПЛЕКС ГРАФОВ 103
Рис. 12. Пятиугольники
Рис. 13. Шестиугольники
104 ГЛАВА 6
Таким образом, возникает отображение
1
(Π)
φ
−→ AutC0(Σ
AutC
), (6.20)
g,n
сопоставляющее окружности C ∈ C
в C
), соответствующую отмеченному графу Фарея g(p) ∈ g(FC).
0(Σg,n
Нетривиальные
1
n-угольные соотношения (c n =4, 5, 6) возникают
) единственную вершину
0(Σg,n
только из неприводимых ориентированных n-петель, у которых никакая
пара последовательных ребер не содержится ни в одном подграфе Фарея.
Кроме того, надо исключить из рассмотрения шестиугольники, склеенные
из треугольника и нетривиального квадрата. Исходя из этих простых соображений, Маргалит
определенного отображения AutC
морфизма
Таким образом, AutC
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Комплекс C(Π) был введен Хетчером и Терстеном в [37], где
они доказали, что он связен и односвязен, а вот изоморфизм (6.21) был получен
совсем недавно в работе [50].
З
АМЕЧАНИЕ 2. Пространство конформных блоков WZW RCFT (см. опр. 1 из § 1
главы 5 на стр. 81) можно, как мы видели, интерпретировать как пространство голоморфных сечений тензорной степени неабелева Θ-расслоения на многообразии
модулей M
(см. гл. 3). При разрезании Σ на штаны конформные блоки можно строить, интегрируя по окружностям разрезания все промежуточные состояния, возникающие
отдельно на каждых штанах. Различные склейки приводят таким образом к различным базисам одного и того же векторного пространства, и эти базисы будут
выражаться друг через друга при помощи матриц дуальности, удовлетворяющих
условиям согласованности, которые удобно описывать в терминах комплекса C(
(многими способами) в произведение простейших матриц, отвечающих элементарным перекройкам. Условия согласованности состоят в том, чтобы результирующее
преобразование не зависело от способа разложения (т.е. от выбора пути на графе):
произведение простейших матриц вдоль каждой петли должно быть равно единице.
Все такие соотношения порождаются тождествами, возникающими из перечисленных выше n-угольных фундаментальных петель с n =3, 4, 5, 6,иэтовточности
утверждение об односвязности комплекса C(
1
2
ss
Поскольку комплекс C(
Т. е. не склеенные из треугольников.
См. [50].
2
сначала продолжил отображение (6.20) до корректно
AutC(Π)
(Π)=AutC(Π)=AutC(Σ)= Mg.
1
φ
(Π)
−→ AutC(Π),азатемидоизо-
1
φ
−→ AutC(Σ). (6.21)
полустабильных векторных расслоений на римановой поверхности Σ
) связен, каждая матрица дуальности раскладывается
).
).
§5. КАЛИБРОВОЧНАЯ ТЕОРИЯ НА ГРАФАХ 105
Таким образом, возникает система (некоммутативных) полиномиальных уравнений на элементарные матрицы дуальности, решения которой составляют много-
образие модулей RCFT, и в пределе при k →∞мы получаем алгебру слияния,
которая в рассматриваемом нами SU(2)-случае совпадает с кольцом представле-
(
ний
(2,)).
Пространства волновых функций (6.2) образуют подрасслоение
3g−3
k
H
⊂ C(T) × C
T
(2k)
= C(T) ×
в тривиальном векторном расслоении над C(T)=S
ном (см. (4.22)–(4.23)) в сумму линейных подрасслоений. И поскольку сфера
односвязна, расслоение H
k
обладает выделенной плоской тривиализацией,
T
C
α
A
α∈T
2k
2
, локально разложен-
(6.22)
единственной с точностью до умножения на константу, что и дает плоское
проективное расслоение Коно
k
→Mg.
PH
А именно, система матриц дуальности (см. зам. 2 из § 4 главы 6) определяет
плоскую связность на C
AutC
) c проективно-тривиальной монодромией
1(Tg
)
1(Tg
−→ PGL(rkg(∅), C), (6.23)
которая и является искомым представлением Коно.
§ 5. Калибровочная теория на графах
Связностью на тривиальном SU(2)-расслоении над графом Γ называется отображение
(Γ) =−→E (Γ)a−→ SU(2) : i
P
1
где i
:−→e →←−e есть смена ориентации ребра e. Пространство всех связно-
↓↑
стей (т.е. функций (6.24)) обозначим через A(Γ). Ясно, что все связности
плоские. Отображение
(Γ)a−→ SU(2) : (−→e1,−→e2, ...,−→ed) → a(−→e1)a(−→e2) ···a(−→ed)
P
d
называется интегралом по путям, и изменение ориентации всех ребер обращает интеграл:
∗
a(−→e1,−→e2, ...,−→ed)=a(←−e1,←−e2, ...,←−ed)=a(−→e1,−→e2, ...,−→ed)−1.
i
↓↑
∗
a (−→e )=a(←−e )=a(−→e )−1, (6.24)
↓↑
106 ГЛАВА 6
Монодромия L
аналогично.
Группа калибровочных преобразований G
функций V (Γ)
(Γ)a−→ SU(2) (вдоль отмеченных петель) определяется
d,v
=SU(2)
g
−→ SU(2) с покомпонентным умножением и действует на
A
V (Γ)
состоит из
пространстве связностей A(Γ) по правилу
ga(−→e )=g(v
(−→e )) · a(−→e ) ·g(vt(−→e ))−1. (6.25)
s
Поскольку на графе все связности плоские, пространство калибровочных
орбит
A(Γ)/G
= RC(π1(Γ), SU(2)) =
A
=Hom(π
(Γ), SU(2))/ Ad
1
(SU(2)) (6.26)
diag
совпадает с пространством классов изоморфных представлений фундаментальной группы π
свободной группе F
(Γ), которая у тривалентного графа рода g изоморфна
1
с g образующими. Таким образом, фактор простран-
g
ство (6.26) есть не что иное, как унитарное пространство Шоттки S
из § 2 главы 3 (см. стр. 49).
Калибровочная группа изоморфна полупрямому произведению
v
G = G
(Γ) SU(2)
Δ
нормальной подгруппы Gv(Γ) = {g ∈GA| g(v)=id} калибровок, тожде-
ственных в слое над какой-либо фиксированной вершиной v, и диагональной подгруппы
SU(2)
постоянных функций V (Γ)
⊂GA| SU(2)Δ= GA/Gv(Γ)
Δ
g
−→ SU(2).Фактор
u
g
(Γ,v), SU(2)) = A(Γ)/Gv(Γ) (6.27)
R(π
1
состоит из орбит связностей, отмеченных над v, т. е. представляет собой
пространство всех представлений отмеченной фундаментальной группы
(оно зависит от выбора v), а фактор
CA(Γ) = A(Γ)/SU(2)
Δ
совпадает с пространством постоянных связностей. Таким образом, проекцию
π
A(Γ)
−→ RC(π1(Γ), SU(2)) (6.28)
§5. КАЛИБРОВОЧНАЯ ТЕОРИЯ НА ГРАФАХ 107
на фактор (6.26) можно двумя способами разложить в композицию проекций:
A(Γ)
π
R
R(π
(Γ), SU(2)) CA(Γ)
1
@
@
@
@
@RR
RC (π
1
и выбор какого-либо сечения проекции (6.28) называется фиксацией калибровки. Оборачивание стрелок A(Γ)
∗
i
↓↑
−−→A(Γ) задается элементом
01
def
=
g
i
−10
@
@
(Γ), SU(2))
∈ SU(2)
@
Δ
π
@
C
R
R
@
(6.29)
и тривиально действует на CA(Γ).
Классы сопряженных элементов Conj(SU(2)) можно запараметризовать отрезком [0, 1] при помощи функции классов:
SU(2)
cj
−→ [0, 1]: g →
1
π
arccos
tr(g)
, (6.30)
2
применение которой во всех вершинах дает сюръекцию:
CA(Γ)
cj
--
[0, 1]
3g−3
=
[0, 1]e.
e∈E(Γ)
Комбинируя ее с факторизацией (6.29), получаем проекцию
π
C
A(Γ)
--
CA(Γ)
с послойным действием инволюции i
, оборачивающей ориентацию ребер.
↓↑
cj
--
e∈E(Γ)
[0, 1]
e
(6.31)
108 ГЛАВА 6
§ 6. Абелева версия: U (1)-спин-сетки
Хорошим вводным примером в калибровочные теории на графе Γ является абелева U (1)-теория, спин-сетки которой являются ни чем иным, как
ϑ-характеристиками в классическом исчислении ϑ-функциий.
Поскольку множество неприводимых представлений U (1):
IR (U(1)) = Z,
всякая U (1)-спин-сетка на графе Γ задается некоторой функцией
w
−→ Z = IR (U(1)) , (6.32)
E(Γ)
удовлетворяющей (как и в (6.3)) условиям Клебша– Гордана, которые в
абелевом случае выражаются равенством
)+w(e2)+w(e3)=0 (6.33)
w(e
1
для любой тройки ребер {e
1,e2,e3
} = S(v), сходящихся в одной вершине v ∈ V (Γ), а спин-сетки уровня k подчиняются дополнительному ограничению: w(e) 2k ∀ e. Множество таких спин-сеток мы обозначаем че-
k
.
рез S
A
С другой стороны, U (1)-связность на графе Γ, как и выше, задается
отображением
(Γ) =−→E (Γ)a−→ U (1): i
P
1
индуцирующим интеграл по путям P
,−→e2, ...,−→ed)=a(−→e1)a(−→e1) ···a(−→ed),
a(−→e
1
монодромию L
обозначим через A
Абелева калибровочная группа G
g
ций V (Γ)
−→ U (1), действует на пространстве связностей AA(Γ) по тому
же правилу: ga(−→e )=g(v
подгруппа U (1)
(Γ)a−→ U (1) и т.д. Пространство таких связностей мы
d,v
.
A
(−→e )) · a(−→e ) · g(vt(−→e ))−1, но ее диагональная
⊂GA(Γ) действует теперь тривиально, и поэтому
Δ
(Γ)/GA(Γ) = Hom(π1(Γ),U(1)) = U(1)
A
A
s
есть в точности абелево унитарное пространство Шоттки (2.24) из §5 главы 2, т. е. слой проекции (2.8) над нулем тора T
∗
a (−→e ) − a(←−e )=a(−→e )−1, (6.34)
↓↑
(Γ)a−→ U (1):
d
= U(1)
A
V (Γ)
, состоящая из функ-
g
g
, δ-функция которого
−
(6.35)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]