Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
.pdf
§6. ПОЛНОЕ КВАНТОВАНИЕ 39
а H0(J(Σ), O(kΘ)) естественно отождествится с пространством голоморфных функций ϑ на (C
∗
)g, подъем которых на U удовлетворяет соотношени-
ям:
ϑ(z + u
ϑ(z + u
)=ϑ(z),
i
)=e
g+i
−2πkzi−πik Ω
ii
ϑ(z).
(2.25)
Следовательно, произвольное сечение ϑ(z) имеет разложение
ϑ(z)=
∈Zg/kZ
∈ C,aϑ(z) есть ϑ-функции с характеристиками из (2.19).
где c
c· ϑ(z), (2.26)
g
§ 6. Полное квантование
Итогом всего предыдущего служит
Теорема 1. Главно поляризованные абелевы многообразия (аснимии
алгебраические кривые) допускают полное квантование в пространствах
ϑ-функций.
Приведем еще раз список действий, проделанных нами при построении
этого полного квантования:
g
1) мы отождествили g-мерный тор U (1)
ния A
π
g
−→ T
и рассмотрели его комплексификацию (C∗)g⊃ U (1)g;
−
2) используя матрицу периодов Ω, ассоциированную с фиксированным
симплектическим базисом в H
(A), мы построили преобразование ко-
1
герентных состояний с дискретным временем
с нулевым сечением расслое-
(−iΩ)
CST
∞
C
(U(1)g)
и применили его к δ-функциям ϑ
на U(1)
бор {ϑ
3) еще раз используя матрицу периодов Ω, мы построили накрытие
(C
тривиально, и отождествили пространство голоморфных сечений
H
g
, заданных своими рядами Фурье (2.18); результатом стал на-
(z,Ω)} голоморфных ϑ-функций с характеристиками на (C∗)g;
∗
)g→ J(Σ), на которое расслоение O
0
(J(Σ), O(kΘ)) c пространством голоморфных функций на (C∗)g,
1/k
−−−−−→ L
∗
2
(C
)g,dν
R
1/k
∩H((C
∗
)g)
бор-зоммерфельдовых точек
(kΘ) поднимается
J(Σ)
40 ГЛАВА 2
удовлетворяющих условиям автоморфности (2.25); при этом получилось то же самое пространство (даже те же ϑ-функции), что и на предыдущем шаге.
На этом история многообразий модулей топологически тривиальных векторных расслоений ранга 1 над
алгебраическими кривыми = римановыми поверхностями
сегодня заканчивается. Но алгебраической кривой можно сопоставить и
другие многообразия модулей. Например, топологически тривиальных векторных расслоений ранга 2. Причем это сопоставление тоже будет точным
модулярным соответствием. Интерес к такой неабелевой теории особенно
подогревается тем, что она подлежит двумерной конформной теории поля.
Мы будем строить обобщение теории ϑ-функций на неабелев случай,
следуя только что выписанной программе действий. При этом особенно
важным для нас является следующее следствие сформулированной выше
теоремы (ибо именно его доказательство в неабелевом случае будет нашей
главной целью).
Следствие 1. Пространства волновых функций (2.7) не зависят от
выбора вещественной поляризации
1
«арифметического» типа2.
Конечно, в рамках классической теории ϑ-функций это замечание оче-
видно. Но для неабелевых ϑ-функций это утверждение означает важнейшее
для конформной квантовой теории поля
3
и маломерной топологии «условие независимости», и его доказательство потребует от нас куда больших
усилий, чем в абелевом случае.
0
Следует особо отметить, что H
мым представлением группы Гайзенберга Γ
(J(Σ), O(kΘ)) является неприводи-
уровня k. Точнее, Γkдей-
k
ствует на линейном расслоении O(kΘ), и индуцированное представление в
пространстве его голоморфных сечений является ее единственным (с точностью до проективизации) неприводимым представлением. Это обстоятельство составляет сердцевину классической теории ϑ-функций, и существование специального базиса в пространстве ϑ-функций обусловлено именно
им: группа K в (2.2) является фактором Γ
по мультипликативно вложенной
k
подгруппе Z/kZ.
1
А разложение (2.5) и проекция (2.6) лишь фиксируют специальные базисы в этих про-
странствах.
2
Т. е. задаваемой формой ω, удовлетворяющей условию (2.4).
3
На сленге: CQFT.
§6. ПОЛНОЕ КВАНТОВАНИЕ 41
Свойство быть пространством единственного (с точностью до проективизации) неприводимого представления некоторойалгебры будет присуще и
неабелевым ϑ-функциям. Только теперь такой алгеброй будет калибровочная алгебра конформной квантовой теории поля Весса – Зумино – Виттена
(WZW CQFT).
ГЛАВА 3
Неабелевы ϑ-функции
Строгое модулярное соответствие
Σ
→Mss(ΣI), (3.1)
I
которое сопоставляет алгебраической кривой многообразие модулей полустабильных голоморфных топологически тривиальных векторных расслоений ранга 2 на ней, стоит первым в ряду некоммутативных обобщений
якобиана. Можно, разумеется, рассматривать и куда более сложные конструкции, однако уже этому двумерному случаю вполне присущи все новые
геометрические черты, появляющиеся в общей ситуации. В этой главе мы,
следуя рецепту из §5 главы 1, проквантуем риманову поверхность Σ при
помощи строгого модулярного соответствия (3.1). Для этого мы шаг за шагом повторим все построения из абелевой теории (т.е. классической теории
ϑ-функций), проделанные нами выше.
§ 1. Алгебраическая геометрия многообразий модулей
векторных расслоений
Алгебро-геометрическая часть теории неабелевых ϑ-функций была хорошо развита трудами Нарасимана, Бовиля, Ласло, Паули, Оксбери, Раманана, Сорджера и многих других. Новой составляющей неабелевой теории является важнейшее понятие полустабильности.Полустабильность
двумерного топологически тривиального векторного расслоения E на кривой означает, что E не содержит линейных подрасслоений положительной
степени
нужны некоторые сведения о строении когерентных пучков на алгебраических кривых
сумму локально-свободного пучка (т.е. пучка сечений некоторого векторного расслоения) и
пучка кручения с носителем в конечном множестве точек.
1
. Кроме этого, для работы с двумерными векторными расслоениями
2
и кое-какая гомологическая алгебра3. Все необходимое мо-
1
Т. е . L ⊂ E с c1(L) > 0.
2
Любой когерентный пучок над гладкой алгебраической кривой распадается в прямую
3
Теорема Римана – Роха и первые когомологии пучков.
§1.АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ МОДУЛЕЙ 43
жет быть найдено в любом обзоре, посвященном этому предмету, например
в[17].
Итак, рассмотрим многообразие M
ss
(Σ) модулей топологически тривиальных полустабильных голоморфных векторных расслоений ранга 2 над
алгебраической кривой Σ.Напомним,чтонестабильные полустабильные
расслоения представлены на нем прямой суммой двух сопряженных топологически тривиальных линейных расслоений, а касательное пространство
ss
(Σ) в произвольной точке E имеет вид TEMss= H1(Ad(E)),где
к M
∗
Ad(E) ⊂ End(E)=E
⊗ E
— это подрасслоение бесследных эндоморфизмов. Поскольку
0
H
(ΣI, Ad E)=0
для любого стабильного расслоения E, по теореме Римана – Роха, имеем
ss
dim M
=dimTEMss=dimH1(Ad(E)) = −χ(Ad(E)) = 3g − 3.
Определение неабелевых Θ-дивизоров параллельно конструкции из § 1
главы 2. Зафиксируем на Σ линейное расслоение σ степени (g −1).Тогда
Θ=Θ
является дивизором в M
дивизор Θ бирационально-эквивалентен проективному пространству P
Действительно, поскольку c
def
= {E ∈Mss(Σ) | H0(Σ,E(σ)) =0} (3.2)
σ
ss
. Более того, как алгебраическое многообразие,
(E)=0, общее сечение E(σ) для обще-
1
3g−4
го E ∈ Θ не имеет нулей, и, откручивая его на −σ, мы можем представить E
в виде расширения
0 →O(−σ) → E →O(σ) → 0. (3.3)
А так как тривиальное расширение E = O(−σ) ⊕O(σ) не полустабильно,
наше расширение (3.3) определяется ненулевым коциклом из
1
Ext
(O(σ), O(−σ)) = H1(ΣI, O(−2σ)) = C
3g−3
(размерность вычислена по формуле Римана – Роха), причем изоморфным
расслоениям отвечают пропорциональные коциклы. Поэтому если сечение единственно (т. е. dim H
2
E ∈ Θ), то E однозначно определяется точкой проективного простран-
го
ства PH
умножение на локально-свободный пучок F (обычно — на линейное расслоение).
сечение с нулями является простым упражнением.
1
(ΣI, O(−2σ)) = P
1
Напомним, что на VBAC-сленге «подкрутка» E → E(F )
2
Оценка размерности подпространства расслоений, допускающих несколько сечений или
0
(Σ,E(σ)) = 1, что имеет место для обще-
3g−4
.
def
= E ⊗ F есть тензорное
1
.
44 ГЛАВА 3
Многообразие модулей Mssи само близко к рациональному. Если в
формуле (3.2) брать σ не из Pic
0
dim H
(ΣI,E(σ)) 2 ∀ E ∈Mss, ∀ σ ∈ Picg(Σ).
,аизPicg,томыполучим
g−1
Из соображений размерности вытекает, что канонический гомоморфизм вычисления can : H
(составляющих открытое, по Зарисскому, подмножество M
0
(ΣI,E(σ)) ⊗O→E(σ) инъективен почти для всех E
⊂Mss) и опре-
0
деляет точную тройку
2g
0 → C
в которой 2g точек {p
+ p
+ ···+ p2g∈|2σ| = PH0(ΣI, O(2σ)) = Pg,эквивалентный2σ,потому
2
⊗O
−−→ E(σ) →
, ..., p2g} составляют эффективный дивизор p1+
1,p2
can
2
i=1
O
→ 0, (3.4)
p
i
что детерминант канонического гомоморфизма
∧2can
O
−−−− →∧2(E(σ)) = O(2σ)
(представляющий класс c
Сопоставляя расслоению E ∈ M
(E(σ))) зануляется ровно на этом дивизоре.
1
дивизорpi∈|2σ|, получаем (оче-
0
видно, алгебраическое) отображение
det
M
−−→ Pg, (3.5)
0
слой которого легко описать, ограничивая каноническую тройку (3.4) в точ-
: над каждой из них одномерное подпространство
ки p
i
p
i
p
2
⊂ C
i
2
, и, тем самым,
задает точку γi= Pker (can
can
2
kerC
−−−→ E
) на проективной прямой PC
p
i
слой отображения (3.5) представляет собой набор точек
, ..., γ2p}⊂P1= PH0(Σ,E(σ)),
{γ
1,γ2
рассматриваемый с точностью до проективно-линейного преобразования
(отождествляющего H
0
(Σ,E(σ)) с C2). Таким образом, отображение (3.5)
является алгебраическим расслоением над g-мерной рациональной базой с
(2g −3)-мерными рациональными слоями.
§2. ГОЛОМОРФНЫЕ ПЛОСКИЕ СВЯЗНОСТИ 45
Предыдущее рассуждение работает и для векторных расслоений б´оль-
шего ранга. Тем не менее, старинная проблема бирациональной геометрии
рационально ли многообразие модулей M
ss
до сих пор остается открытой, несмотря на неослабевающие попытки ее
решить.
Продолжая описание геометрии M
ss
по образцу предыдущей главы,
имеем
Определение 1. Пространство голоморфных сечений
H
= H0(Mss(Σ), O(kΘ))
k
называется пространством неабелевых ϑ-функций уровня k.
Предложение 1. H
2(Mss
, Z)=Z.
Предложение 2. Θ-дивизор обилен.
0(Mss
Предложение 3 (Г. Фалтингс, 1992). H
(Σ), O(kΘ)) является
неприводимым представлением калибровочной алгебры конформной квантовой теории поля в модели Весса – Зумино – Виттена.
Далее мы докажем все эти предложения.
§ 2. Голоморфные плоские связности
До сих пор мы рассматривали векторные расслоения как локально-свободные пучки. Вместе с тем, векторное расслоение ранга 2, как и линейное,
можно задавать матрицами перехода α
некоторым конечным покрытием базы: Σ=∪U
ные функции α
пересечениях U
рять уравнению 1-коцикла α
одно и то же расслоение, если существует набор β
обратимых на U
−1
= α
ij
∩ Uj, а на тройных пересечениях Ui∩ Uj∩ Ukудовлетво-
i
,такой,чтоα
i
должны быть регулярны и обратимы на попарных
ji
· αjk· αki=1. Два коцикла αij, α
ij
= βiαijβ
ij
к которому было бы интересно привести матрицы перехода, в неабелевом
случае не столь однозначен.
Например, треугольным матрицам перехода отвечает представление
расслоения в виде расширения (как в (3.3)), а постоянным — фиксация
голоморфной плоской связности.
между его тривиализациями над
ij
. Как и в § 5 главы 2, матрич-
i
матриц, регулярных и
−1
j
i
. Однако «простейший вид»,
ij
задают
46 ГЛАВА 3
Набор матриц перехода производит набор матричных дифференциальных 1-форм {α
ниями в Ω(End(E)). Класс его когомологий c(E) ∈ H
ется полным классом Черна. При действии группы автоморфизмов Aut(E)
на пространстве H
На кривой H
−1
dαij}∈Z1({Ui}), который является 1-коциклом со значе-
ij
1
(Ω(End(E))) этот класс переходит в себя.
1
(Ω(End(E)))∗= H0(End(E)) по двойственности Серра,
1
(Ω(End(E))) называ-
и нетрудно проверить следующее
2
Предложение 1 (М. Атья). Если c(E),σ=0,тоσ
= σ в H0(End(E)).
Это простое наблюдение влечет массу структурных результатов о многомерных расслоениях. Поскольку расслоение End(E) расщепляется в прямую сумму тривиального линейного расслоения послойных гомотетий и
расслоения бесследных эндоморфизмов:
End(E)=O⊕Ad(E) ,
возникает разложение
Ω(End(E)) = Ω ⊕ (Ad(E) ⊗Ω), (3.6)
в котором проекция на первое слагаемое сопоставляет эндоморфизму его
след. В частности, если в H
0
(End(E)) есть один идемпотент, то существует и второй, и тогда E должно быть прямой суммой двух линейных
расслоений.
Расслоение называется неразложимым, если оно не распадается в пря-
мую сумму двух собственных подрасслоений:
Алгебра H
0
тентов, т.е. H
E = E
(End(E)) неразложимого расслоения E не содержит идемпо-
0
(Ad(E)) = H1(Ad(E) ⊗Ω) = 0,такчто
c(E)=trc(E) ∈ H
⊕ E2.
1
1
(Ω).
Если, как и выше, представить c(E) коцепью {α
морфизму Дольбо,
−1
tr(α
dαij) ∈ H1(Σ, Ω) ⊂ H2(Σ, C),
ij
и формальное матричное вычисление
−1
tr(α
dαij)=(detαij)−1d det αij
ij
−1
dαij}, то, согласно изо-
ij
§2. ГОЛОМОРФНЫЕ ПЛОСКИЕ СВЯЗНОСТИ 47
показывает, что для любого неразложимого расслоения E на кривой
c(E)=c
(det E)=c1(E) ∈ H2(Σ, Z) ⊂ H2(Σ, C), (3.7)
1
и если оно тривиально (как в рассматриваемом нами случае топологически
тривиальных расслоений), то
−1
dαij= hi− h
α
ij
j
для некоторого набора матричных дифференциальных 1-форм h
на Ui.
i
(3.8)
Определение 1. Набор матричных 1-форм (3.8), кограницей которого является коцикл (3.7), называется голоморфной плоской связностью на
расслоении E, ассоциированной с набором матриц перехода α
Имея такой набор, мы можем решить на каждом U
−1
dβi= hiи перейти к эквивалентному коциклу α
β
i
рицы которого удовлетворяют условию dα
ij
=0, т. е. постоянны. Рассло-
= βiαijβ
ij
.
ij
уравнение
i
−1
j
,мат-
ение с постоянными матрицами перехода называется локальной системой
коэффициентов. Над любым односвязным открытым множеством оно тривиализуется и, тем самым, определяет класс эквивалентных (относительно
присоединенного действия SL(2, C)) представлений
π
−→ SL(2, C) (3.9)
1
фундаментальной группы базы. Обратно, каждый класс эквивалентных
представлений (3.9) обычным образом
ной плоской связностью
(фактор по диагональному действию π
накрывающей U базы и операторами (π
1
E = U×
π
определяет расслоение с голоморф-
2
C
1
автоморфизмами универсальной
1
) на C2).
1
(3.10)
Мы доказали классический результат:
Предложение 2 (А. Вейль
2
). На топологически тривиальном двумер-
ном векторном расслоении над римановой поверхностью Σ имеется голоморфная плоская связность, и пространство A
всех таких связностей
NA
совпадает с пространством
RC(π
(Σ), SL(2, C))
1
классов эквивалентных представлений π
1
Ср. с (2.20).
2
Отметим, что в ключевой работе [80] А. Вейль ввел понятие класса матричных диви-
зоров, эквивалентное современному понятию «векторное расслоение», и не только доказал
это предложение, но и высказал идею, что векторные расслоения старших рангов доставляют
неабелевы аналоги якобианов.
(Σ) в SL(2, C).
1
48 ГЛАВА 3
Разумеется, расслоение (3.10) может оказаться нестабильным или
неразложимым полустабильным. Мы исключим их из рассмотрения и обозначим через
ss
⊂ANA= RC(π1(Σ), SL(2, C))
A
NA
пространство классов представлений (и соответствующих им голоморфных
плоских связностей), дающих стабильные или полустабильные разложимые
расслоения.
Поскольку h
i
− h
и hj− h
i
одинаково ограничиваются на Ui∩ Uj,
j
разность двух голоморфных плоских связностей
{h
}−{h
i
}∈H0(Ω ⊗End(E))
i
задает глобальное сечение расслоения Ω ⊗End(E). Такое сечение представ-
φ
ляет собой гомоморфизм E
−→ E ⊗Ω и называется1полем Хиггса.Внашем
случае (топологически тривиальное неразложимое расслоение ранга 2) поле
Хиггса необходимо является бесследным,т.е.
0
φ ∈ H
и, по двойственности Серра: H
(Σ, Ad(E) ⊗K), (3.11)
0
(Ad(E) ⊗K)=H1(Ad(E))∗, пространство
бесследных полей Хиггса на E канонически изоморфно слою кокасательного расслоения Ω
ss
к многообразию модулей MssвточкеE.Таким
M
образом, забывающее отображение
f
ss
A
NA
−→M
ss
(3.12)
(слой которого — пространство голоморфных плоских связностей на данном голоморфном расслоении) является аффинным расслоением над кока-
ss
сательным расслоением Ω
(ср. с (2.22)). Как мы видели на стр. 37, такое
M
расслоение задается чеховским коциклом
∈ H1(Mss, Ω
ε
NA
M
ss
)=H
1,1(Mss
, C)
разностей локальных сечений аффинного расслоения над пересечениями
карт.
Как и в абелевом случае, справедливо
Предложение 3. ε
NA
=[Θ].
1
В случае расслоений над кривой, где ΩΣ= KΣ.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]