Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
.pdf
§8. СВЯЗНОСТ И ХИТЧИНА 69
когомологий тройки
1
0 → D
является вложением, поскольку ее композиция со взятием символа
1(Mss,D1
H
Поэтому H
(L)) → H1(T ) есть изоморфизм по предл. 1 из § 8 главы 3.
1(Mss,D2
(L) → D2(L) → S2T → 0
(L)) = H0(Mss,D1(L)) = C.
В итоге получается
Теорема 2. Келерово квантование многообразий модулей топологически тривиальных двумерных векторных расслоений является успешным.
и проблема:
является ли построенная нами связность унитарной или на V
другая унитарная проективно-плоская связность?
k
есть
ГЛАВА 4
Симплектическая геометрия
многообразия модулей векторных
расслоений
§1. U(1)-действие Голдмана
Симплектическая часть неабелевой теории ϑ-функций была разработана усилиями У. Голдмана, Дж. Вейцмана, Л. Джеффри и Дж. Хертьюбайса.
Отправной точкой тут является теорема Нарасимана – Шешадри (см.
предл. 1 из § 6 главы 3) о совпадении
ss
(Σ) = RC(π1, SU(2)).
M
a→F
Отображение кривизны F : A
нием момента для симплектического действия группы SU(2)-калибровок G
на пространстве SU(2)-связностей Ahотносительно канонической калибровочно-инвариантной симплектической формы
Его нулевой уровень F
ω(γ
−1
)=
1,γ2
(0) = AF⊂Ahсостоит из плоских связностей, и
симплектическая редукция
a
−−−−→ Ω2(Ad(E)) является отображе-
h
tr(γ1∧ γ2). (4.1)
Σ
h
RC(π
, SU(2)) = Ah// Gh= AF/G
1
h
(4.2)
есть симплектический орбифолд, являющийся гладким симплектическим
многообразием над полустабильными неразложимыми представлениями.
Любая простая замкнутая петля C на Σ определяет на этом пространстве функцию Голдмана: c
: RC(π1, SU(2)) → [0, 1],сопоставляю-
C
щую представлению число
1
c
C
()=
arccostr[C]/2.
π
§1. U (1)-ДЕЙСТВИЕ ГОЛДМАНА 71
В[35]Голдманпоказал,чтоcCявляется гамильтонианом симплектического действия на RC(π
, SU(2)) группы U(1), которое можно описать сле-
1
дующим образом. Для любого g ∈ SU(2), отличного от ±id, существуют
единственные ln g ∈ su(2) и t ∈ R такие, что
|ln g|
2
=2,e
t ln g
= g. (4.3)
Дополним класс [C] до какого-нибудь стандартного базиса фундаменталь-
ной группы римановой поверхности Σ:
π
=a1,a2, ..., ag,b1,b2, ..., bg|
1
так, чтобы [C]=a
.Поскольку[g, e
1
(b
) → (b1) · e
1
g
[ai,bi]=id
i=1
t ln g
]=0∀ t ∈ R,правило
t ln (a1)
(4.4)
определяет гамильтоново действие U (1) на класс любого представления ,
такого что (a
) = ± id.
1
Нетрудно видеть, что голдмановские гамильтонианы непересекающихся петель находятся в инволюции относительно канонической симплектической структуры Ω, индуцированной на пространстве RC(π
, SU(2)) фор-
1
мой (4.1) при редукции (4.2):
C
∩ C2= ∅ =⇒{c
1
Таким образом, если мы зафиксируем на Σ максимальный набор непересекающихся гомотопически неэквивалентных петель
,c
}Ω=0. (4.5)
C
C
1
2
1
{C1,C2, ..., C
} (4.6)
3g−3
(которые мы в дальнейшем будем называть окружностями, см. рис. 3), то
мы получим полный набор из 3g −3 интегралов в инволюции
()=
1
arccostr[C
π
]/2∈ [0, 1] (4.7)
i
, SU(2)), Ω.
1
c
i
для классической механической системыRC(π
1
Легко видеть, что он состоит из (3g − 3) охватывающих «ручки» окружностей, разрезающих Σ на (2g − 2) «штанов» (см. рис. 3–4); такой набор разрезов играет в геометрии
связностей ту же роль, что набор точек в теории функций: как функция ограничивается на
точку (т. е. вычисляется в ней), так и связность ограничивается на петлю; в этом смысле
штаны — это минимальный геометрический объект, допускающий нетривиальную неабелеву
калибровочную теорию.
72 ГЛАВА 4
Рис. 3. Полный набор простых петель
Рис. 4. Раскрой на штаны
Риманова поверхность с фиксированным разложением на штаны
Σ=
3g−3
j=1
Cj∪
2g−2
i=1
P
i
(4.8)
называется размеченной. Комбинаторная геометрия такой разметки определяется двойственным тривалентным графом Γ, множество вершин которого — это множество штанов, а ребра — окружности-разрезы:
V (Γ) = {v
E(Γ) = {e
(две вершины v
∩ ∂Pj).
= ∂P
i
, ..., v
1,v2
, ..., e
1,e2
и vjсоединяются ребром e, если и только если C=
i
} = {P1,P2, ..., P
2g−2
} = {C1,C2, ..., C
3g−3
2g−2
3g−3
},
}
(4.9)
§2. ВЕЩЕСТВЕННАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ 73
§ 2. Вещественная поляризация
Итак, разметка Γ римановой поверхности Σ задает вещественную по-
ляризацию данных предквантования
(RC(π
А именно, 3g −3 коммутирующих функций Голдмана (4.7) задают отображение
RC(π
1
в единичный куб, которое является гамильтоновым для действия (3g −
− 3)-мерного тора U(1)
3g−3
Функции Голдмана (c
тоновой системы (4.10) — всюду непрерывны и гладки над внутренними
точками единичного куба [0, 1]
ции (4.11) представляет собой выпуклый многогранник
Δ
= πΓ(RC(π1(ΣΓ), SU(2))) ⊂ [0, 1]
Γ
симплектический объем RC(π
гогранника:
RC
Ω
3g−3
=Vol(ΔΓ).
Множество бор-зоммерфельдовых орбит уровня k вещественной поляризации (4.11) совпадает с множеством
:
ке Δ
Γ
(см. рис. 5), и lim
BS
(RC(π1, SU(2)), Ω,L,ACS)=ΔΓ∩
k
#(BSk)
k
3g−3
k→∞
ли в § 2 главы 1.
Чтобы увидеть это, интерпретируем векторы w ∈ R
циальные 1-формы на R
новы векторные поля ξ
w
t
= e
w
сохраняют форму кривизны связности A
RC(π
для подходящих калибровочных преобразований2αw∈GL(они образуют
U(1)
1
2
), SU(2)) односвязно,
1(ΣΓ
3g−3
-торсор точно так же, как в § 4 главы 2 при описании классичес-
См. [32].
Описание калибровочных орбит с фиксированной формой кривизны см. в [4].
, SU(2)), Ω,L,ACS) . (4.10)
1
π
, SU(2))
Γ
−−→ [0, 1]
3g−3
⊂ R
3g−3
на RC(π1(ΣΓ), SU(2)).
, ..., c
1,c2
3g−3
, SU(2)) равен евклидову объему этого мно-
1
=
Ω
RC
3g−3
и рассмотрим соответствующие им гамильто-
) — координаты действия гамиль-
3g−3
.Изэтогоследует1, что образ проек-
3g−3
, (4.12)
1
-целых точек в многогранни-
2k
1
Z
3g−3
=Vol(ΔΓ), как мы и предсказыва-
2k
3g−3
как дифферен-
, касательные к слоям πΓ. Диффеоморфизмы
ξ
w
⊂ Diff+(RC(π1(ΣΓ), SU(2)))
,и,посколькупространство
CS
∗
(ACS)=A
t
w
α
w
CS
(4.11)
74 ГЛАВА 4
Рис. 5. Поляризация Голдмана
ких ϑ-функций для абелевых многообразий). Таким образом, все периоды
связности A
обнуляются в точности над
CS
Точное описание многогранника Δ
ства плоских SU(2)-связностей на одних штанах P
В этом случае нетрудно проверить
1
, что отображение (4.11)
1
-целыми точками.
2k
получается из описания простран-
Γ
с ∂P0= C1∪C2∪ C3.
0
π
: RC(π1(P0), SU(2))∼−→ Δ0⊂ R
0
3
(4.13)
взаимно однозначно и непрерывно, а его образ является тетраэдром, задаваемым в координатах (c
|c
− c2| c3 min(c1+ c2, 2 − c1− c2),
1
причем π
ние многогранника Δ
гладко над его внутренними точками. В общем случае описа-
0
Γ
1,c2,c3
0 c
в терминах двойственного тривалентного графа Γ
) на R3неравенствами:
1,
i
(4.14)
доставляет
Предложение 1. Многогранник Δ
венств (4.14), выполненных для каждой тройки (c
3g−3
в R
, приходящей из каких-либо штанов разложения (4.8).
1
См. [41].
задается набором из 2g −2 нера-
Γ
i,cj,ck
) координат
§3. БОР-ЗОММЕРФЕЛЬДОВЫ СЛОИ 75
§ 3. Бор-зоммерфельдовы слои
Квантование вещественной поляризации (4.11) сопоставляет классической механической системе (4.10) бор-зоммерфельдовы пространства волновых функций
k
H
Γ
— ковариантно постоянное сечение ограничения L|
где s
b
Функция w на наборе ребер тривалентного графа Γ со значениями в
множестве
1
-целых точек отрезка [0, 1]:
2k
=
b∈ΔΓ∩
C · sb, (4.15)
1
Z
2k
.
π−1(b)
E(Γ)
w
−→ [0, 1] ∩
1
2k
Z =0,
2k
1
1
3
,
,
, ..., 1, (4.16)
k
2k
называется допустимым целым весом уровня k на графе Γ,еслиеёзначения на каждой тройке рёбер {e
условиям
1) w(e
2) w(e
3) |w(e
1
:
)+w(e2)+w(e3) ∈
1
)+w(e2)+w(e3) 1,
1
) − w(e2)| w(e3) min (w(e1)+w(e2), 2k − w(e1− e2)).
1
1,e2,e3
1
2k
Множество всех таких весов обозначается через W
} с общей вершиной удовлетворяют
Z,
k
(Γ).Простым,ноочень
важным свойством весов является
Предложение 1. Число |W
k
(Γ)| всех допустимых целочисленных весов
уровня k зависит только от рода g, а не от самого графа Γ, и совпадает
счисломВерлинде(3.45):
k+1
k
W
=
g
1
Третье условие (второе неравенство из (4.14)) представляет собой неравенство треугольника на сфере: если нарисовать вокруг каждой вершины графа треугольник со сторонами
длины w(e
соответственным сторонам, получится триангулированная риманова поверхность Σ
нолистно накрывающая сферу S
это будет накрытие степени 1) и задающая на ней целочисленную
), w(e2), w(e3), ортогональными выходящим из нее ребрам, и склеить их по
1
k +2
2
g−1
2
(например, для простейшего графа Θ [см. рис. 6 на стр. 90]
sin
j=1
2−2g
jπ
. (4.17)
k +2
1
-триангуляцию.
2k
,конеч-
w
76 ГЛАВА 4
Для описания геометрии бор-зоммерфельдова слоя, отвечающего до-
пустимому целому весу w, зафиксируем флаг подгрупп
Z/2Z ⊂ U (1) ⊂ SU(2) (4.18)
и для некоторой специально приспособленной
штаны связности a ∈ π
сопоставляющие петле C
−1
(w) рассмотрим два отображения
e
E(Γ)
V (Γ)
w
−−−−→{U(1), SU(2)}
v
w
−−−−→{Z,U(1), SU(2)},
элемент флага (4.18), сопряженный стабилизато-
j
ру монодромии связности [a] вдоль петли, а штанам P
женный стабилизатору связности a|
=⇒ v
= e
w(C2
выбора связности [a] ∈ π
) ⊂ ew(Cj),иесли∂Pn= C1∪ C2∪ C3,тоew(C1)=
w(Pn
) ∈ SU(2) =⇒ ew(C3) ∈SU(2) =⇒ vw(Pn) ∈SU(2) ит.д.).
Предложение 2. Функции e
−1
(w).
(ясно, что при этом Cj⊂ ∂Pn=⇒
P
i
и vwзависят только от2w,нонеот
w
1
к нашему разбиению на
— элемент, сопря-
i
Таким образом, с каждым весом w можно связать две подгруппы
=
G
e
C∈E (Γ)
причем G
действует на Geпо следующему правилу: элемент
v
g = g
заменяет в произведениях t
с C
⊂ ∂Pm∩ ∂Pnна элементы g(ti)=gmtig
i
ew(C) и Gv=
···g
1g2
1t2
2g−2
···t
∈ Gvс gj∈ vw(Pj)
3g−3
vw(P ), (4.19)
P ∈V (Γ)
∈ Geэлементы ti∈ ew(Ci)
−1
(подробнее это действие
n
будет обсуждаться в § 3 главы 6, посвященном калибровочной теории на
графах).
−1
Предложение 3 ([41, теорема 2.5]). π
(w)=Ge/Gv.
Следствие 1. Существуют неотрицательные t, p, s ∈ Z иконечная
абелева группа G
в частности, H
1
См. [41, определение 2.2], где Джеффри и Вейцман строят ковариантно постоянное сечение s
ограничения (Lk,ACS) на π−1(w).
w
2
Точнее говоря, они зависят от комбинаторики разложений множеств уровня функции w
на связные компоненты w
, зависящие только от w, такие, что
w
−1
π
(w)=Tt×
(π−1(w)) = Zt⊕ (Z/2Z)p.
1
−1
(α)=∪Γi(α), которую мы еще обсудим в главе 6.
(S
3)p
× (S2)
G
w
s
;
§4. МОДЕЛЬ ДЕЛЬЦАНА 77
Комбинаторная геометрия бор-зоммерфельдовых слоев такова. Целочисленная подрешетка Z
ствия c
задает тор действия
i
с проекцией RC(π
ство точек границы ∂Δ
лишь первым двум условиям (1), (2) со стр. 75, задает на торе действия
точку w ∈ T
A
порядка 2k. При этом подмножество
2k
3g−3
), SU(2))
1ΣΓ
. Любая функция w вида (4.16), удовлетворяющая
Γ
3g−3
T
⊂ R
A
W
= R
в пространстве с координатами дей-
3g−3/Z3g−3
π
A
−−→ TA, которая отождествляет большин-
k
(Γ) ⊂ T
2k
A
(4.20)
(4.21)
допустимых весов (т. е. удовлетворяющих и условию (3)) будет получаться
aprioriразным для разных разметок Γ рода g.
Разложение (4.15) пространства волновых функций в прямую сумму
одномерных подпространств определено с точностью до покоординатного действия тора размерности |W
унитарные сечения s
собираемся отождествить
определены лишь с точностью до действия U(1).Мы
b
1
k
(Γ)|, поскольку ковариантно постоянные
это пространство с пространством, порожден-
ным допустимыми целочисленными весами:
k
H
=
Γ
Это пространство имеет фиксированный базис и выделенную целочисленную подрешетку Z
|W
k
Γ
|
⊂H
k
. Более того, оно вложено в независящее от Γ
Γ
большее пространство
k
H
=
с целочисленной подрешеткой Z
|T
C · w. (4.22)
k
w∈W
Γ
C · w (4.23)
A
w∈T
2k
A
|
2k
⊂Hk.
§ 4. Модель Дельцана
Отображения момента типа (4.11) являются объектом изучения торической симплектической геометрии. А именно, если имеется гладкое ком-
пактное симплектическое многообразие (M,ω) размерности 2n cгладким
1
Это отождествление будет построено в § 8 главы 6 при помощи калибровочной теории
тривалентных графов, пришедшей из рациональной конформной теории поля, которую мы
обсудим в следующих двух главах.
78 ГЛАВА 4
гамильтоновым действием n-мерного тора Tn, то соответствующие координаты действие – угол задают лагранжеву проекцию
π
M
−→ Δ ⊂ R
n
на выпуклый многогранник Δ, удовлетворяющий так называемым условиям Дельцана
ческой геометрии (M, ω). В частности, многообразие M , симплектическая
форма ω и исходное симплектическое действие тора T
1
и заключающий в себе полную информацию о симплекти-
n
однозначно восстанавливаются по Δ, а если фазовое пространство (M, ω) имело комплексную поляризацию (т.е. структуру Ходжа с келеровой формой ω), то и эта
структура тоже однозначно считывается
го многогранника Δ ⊂ R
построить гладкое симплектическое многообразие с гамильтоновым действием T
n
так, что образом соответствующего отображения момента будет
n
, удовлетворяющего условиям Дельцана, можно
вточностиΔ.
На пространстве RC(π
(Σ), SU(2)) гамильтоново действие тора T
1
2
с Δ. С другой стороны, для любо-
3g−3
как мы видели, имеется, но это пространство особо при g>2, а действие —
не гладко над границей многогранника Δ
удовлетворяет условиям Дельцана, а значит, определяет гладкое компактное ходжево многообразие M
3g−3
ра T
. Это многообразие называется3моделью Дельцана многообразия
D
с гладким симплектическим действием то-
Γ
. Тем не менее, многогранник Δ
Γ
модулей
RC(π
(Σ), SU(2)) = Mss(ΣI).
1
Поскольку последнее (для комплексной римановой поверхности Σ
)являет-
I
ся алгебраическим многообразием, существует бирациональный морфизм
ss
(ΣI)f−→M
M
D
В частности, модель Дельцана M
нейное расслоение H : f
∗
(H)=Θ. А поскольку модель Дельцана как ком-
имеет каноническую поляризацию — ли-
Γ
плексное многообразие является жесткой, келерово квантование (M
D
.
Γ
D
,H)
Γ
автоматически является успешным.
Пространствами волновых функций этого квантования служат про-
странства голоморфных сечений
0
D
(M
,Hk), (4.24)
Γ
1
См. [18].
2
См. [34].
3
См. [77].
H
,
Γ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]