Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
.pdf
§2. ГОЛОМОРФНЫЕ ПЛОСКИЕ СВЯЗНОСТИ 49
Как и в предыдущей главе, мы будем доказывать его при помощи выбора специального неголоморфного сечения аффинного расслоения (3.12)
(см. стр. 37–39). Из принципа максимума на компактной кривой Σ снова
вытекает, что подпространство унитарных представлений
(Σ), SU(2)) ⊂ RC(π1(Σ), SL(2, C))
RC(π
1
является гладким (но не голоморфным) сечением аффинного расслоения (3.12), однако теперь, в неабелевом случае, далеко не очевидно, что
это — глобальное сечение, т. е. что забывающая проекция f отображает RC(π
(Σ), SU(2)) на все Mss: всякое ли полустабильное расслоение
1
допускает плоскую эрмитову связность?
Чуть позже мы детально проанализируем этот вопрос и покажем, что
ограничение забывающего отображения на унитарные характеры дает изо-
морфизм Нарасимана – Шешадри:
NS: RC(π
(Σ), SU(2))∼−→Mss. (3.13)
1
Далее, зафиксируем стандартную систему образующих фундаментальной группы
(Σ) =a1,a2, ..., ag,b1,b2, ..., bg|
π
1
g
[ai,bi]=1
i=1
и рассмотрим индуцированные этим выбором
• неабелево комплексное пространство Шоттки, имеющее веществен-
ную размерность dim
S
= { ∈ RC(π1(Σ), SL(2, C)) | (ai)=1} =
g
(где «/Ad
» — факторизация по диагональному действию сопряже-
diag
Mss=6g −6:
R
=SL(2, C)
g
/Ad
(SL(2, C))
diag
ниями), и
• неабелево унитарное пространство Шоттки, имеющее веществен-
ную размерность dim
u
S
= { ∈ RC(π1(Σ), SU(2)) | (ai)=1} =
g
Mss/2=3g −3:
R
= S
∩RC(π1(Σ), SU(2)).
g
50 ГЛАВА 3
В абелевом случае ограничение отображения f на комплексное пространство Шоттки давало нам накрытие, превращающее сечения Θ-расслоения
на якобиане в голоморфные функции на пространстве Шоттки. В неабелевом случае ситуация гораздо сложнее: ограничение
f|
S
g
−−−→Mss(Σ) (3.14)
S
g
всего лишь мероморфно (его образ содержит нестабильные расслоения даже
для униформизации Шоттки кривой), а его свойства до сих пор полностью
не изучены. Недавно К. Флорентино доказал, что его дифференциал невырожден вдоль унитарного пространства Шоттки, а в § 6 главы 9 мы покажем,
что для общей кривой Σ его образ плотен в M
ss
(Σ) по Зарисскому.
Чтобы обойти это белое пятно, нам понадобится довольно продвинутая
симплектическая и лагранжева геометрия, усиленная весьма изощренным
анализом.
§ 3. Многообразия модулей стабильных пар и разрешение
особенностей
Многообразия Mssбыли построены в шестидесятых годах, прежде
всего в работах Д. Мамфорда и в трудах бомбейского Тата-института. Новые методы калибровочной геометрии позволяют включить эти многообразия в цепочку многообразий модулей стабильных пар, связанных последовательными бирациональными преобразованиями — флипами,чтобыло
использовано в работах Таддеуша, Бертрама и Бредлоу– Даскалопулоса для
вычислений их колец когомологий и в работе Шешадри ([62]) для разрешения особенностей M
Итак, новым объектом изучения является пара
ss
.
s
(E,O
−→ E), (3.15)
состоящая из векторного расслоения E на кривой Σ и его ненулевого голоморфного сечения s. С. Бредлоу определил для таких пар новое условие
стабильности и доказал теорему, связывающую стабильные пары с решениями уравнения вихря
1
на Σ. Уравнение вихря зависит от положительного
вещественного параметра t, и новое условие стабильности тоже включает в
1
Уравнение вихря требует фиксации на Σ не только конформной структуры, но келеровой
метрики; в алгебро-геометрической интерпретации, которую мы здесь рассматриваем, келерова
метрика нормализуется так, чтобы объем Vol(Σ) = 4π.
§3. МНОГООБРАЗИЯ МОДУЛЕЙ СТАБИЛЬНЫХ ПАР И РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ 51
себя этот параметр. А поскольку E ∈Mssне имеют ненулевых голоморфных сечений, нам придется подкрутить все наши расслоения на некоторое
положительное линейное расслоение так, чтобы иметь
det E = D с deg D = d>0. (3.16)
Для двумерных расслоений E, удовлетворяющих (3.16), новое усло-
вие стабильности формулируется следующим образом: пара (E, s) из (3.15)
называется полустабильной, если для любого линейного подрасслоения L ⊂ E выполняется неравенство
deg L
deg L
d
− t, если s(O) ⊂ L,
2
d
+ t, если s(O) ⊂ L.
2
Основы теории стабильных пар могут быть найдены в [14], [13], [67]. Легко видеть, что многообразия модулей полустабильных пар M (D, t) имеют
следующие свойства:
1) M (D, t) = ∅ ⇐⇒ t d/2;
2) если t иррационально, то M (D, t) компактно;
3) (E, s) ∈ M (D, t)=⇒ (E(ξ),s(ξ)) ∈ M(D(ξ),t) для любого эффектив-
ного дивизора ξ;
а сами полустабильные пары обладают свойствами:
1) всякий гомоморфизм E
)=s2, является изоморфизмом;
φ(s
1
φ
−→ E2пар (Ei,si) ∈ M (D, t) такой, что
1
2) если (E,s) ∈ M(D, t), то никакой эндоморфизм E,кроменулевого,
не аннулирует s и никакой эндоморфизм E,крометождественного,не
сохраняет s.
При иррациональном t (а мы сконцентрируем свое внимание именно на
таких многообразиях модулей) теория деформаций пары (E, s) ∈ M(D, t)
тоже очень проста. Сечение s определяет естественную точную последовательность
0 → H
0
(Ad(E)) → H0(E) → T
M(D, t) → H1(Ad(E)) → H1(E),
(E,s)
52 ГЛАВА 3
из которой rkT
M(D, t)= d − g − 2 ∀(E, s) ∈ M(D, t),такчто
(E,s)
пространство M (D, t) для иррационального t гладко. Более точно, многообразия модулей M (D,t
+ d/2)<t
< max0, (−i + d/2), и при проходе через границу интервала
i
многообразие модулей испытывает флип
) гладки и компактны для всех max0, (−i − 1+
i
1
(чем мы еще воспользуемся).
Для расслоений большего ранга условие стабильности видоизменяется
так: пара (E, s) называется полустабильной, если для любого собственного
подрасслоения E
⊂ E выполняется неравенство
1
μ(E
) μ(E) −t, если s(O) ⊂ E1,
1
μ(E
) μ(E)+t, если s(O) ⊂ E1,
1
где μ(E) = deg(det E)/ rk(E) есть так называемый наклон расслоения.При
этом все перечисленные выше утверждения сохраняют силу (см. [14]).
Многомерные стабильные пары нужны нам для того, чтобы разре-
шить особенности многообразия модулей M
пар (End(E),s),гдеE ∈M
ss
, s ∈ H0(End(E)). Для стабильного E рас-
ss
. Рассмотрим множество
слоение End(E) имеет ровно одно ненулевое сечение (его образом является
линейное расслоение гомотетий), но для полустабильного E возможны два
случая:
Таким образом, гладкое компактное многообразиеM
лустабильных пар (End(E),s) при t,близкомк0, вместе с естественной би-
рациональной проекцией на M
ss
на M
. Ниже в тексте мы всегда будем ссылаться на эту конструкцию как
на каноническую десингуляризацию
dim H
0
(End(E)) = 2, 4.
ss
= Mtмодулей по-
ss
разрешает особые полустабильные точки
2Mss
.
§ 4. Голоморфная симплектическая геометрия полей
Хиггса
Возвращаясь к полям Хиггса (3.11), мы видим, что все пары (E, φ),
ss
где E ∈M
кокасательное расслоение T
ный квадратичный дифференциал:
1
См. [61].
2
Впервые она была построена Шешадри в [62], где он получает то же самое разрешение
Mss→Mss, фиксируя на векторном расслоении подходящую параболическую структуру над
некоторой точкой кривой.
,аφ: E → E ⊗ KΣ— бесследное хиггсово поле, составляют
∗Mss
. Сопоставляя такой паре (E,φ) голоморф-
2
∧
φ: O→∧2(E ⊗KΣ)=K
2
,
Σ
§4. ГОЛОМОРФНАЯ СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОЛЕЙ ХИГГСА 53
мы получаем голоморфное отображение
π
∗Mss
T
−→ H0(Σ,K
2
). (3.17)
Σ
На всяком кокасательном расслоении имеется каноническая форма дей-
ствия. В данном случае это будет голоморфная 1-форма α, и ее голоморф-
ный дифференциал Ω=dα задает на T
∗Mss
голоморфную симплектическую структуру. Продолжая аналогию с вещественной симплектической
геометрией, мы можем рассмотреть голоморфный аналог вполне интегрируемой системы: голоморфную проекцию голоморфного симплектического
многообразия с лагранжевыми слоями над общей точкой базы, являющимися комплексными торами (абелевыми многообразиями) срединной размерности. Замечательное наблюдение Н. Хитчина состоит в том, что отображение (3.17) представляет собой именно такую голоморфно интегрируемую
систему, причем T
∗Mss
можно слегка расширить до голоморфного сим-
плектического многообразия так, чтобы слои π стали компактными.
Определение 1. Пара Хиггса (E, φ) называется стабильной парой
Хиггса,еслиE не содержит φ-инвариантных линейных расслоений L ∈ E
положительной степени, т. е. φ(L) ⊂ L ⊗ K
для любого 0 = L E
Σ
с deg L>0.
Можно «в лоб» показать (см. [39]), что многообразие M
стабильных пар Хиггса содержит кокасательное расслоение T
H
∗Mss
модулей
вкачестве плотного, по Зарисскому, подмножества и отличается от него лишь в
коразмерности 2, так что мы можем применять принцип Хартогса. Более
того, каноническая голоморфная симплектическая форма на T
екция (3.17) продолжаются на M
H
до симплектической формы (которую
∗Mss
и про-
мы также обозначим Ω) и голоморфного отображения момента
π
H
−→ H0(Σ, O(2KΣ)) (3.18)
M
с компактными слоями. Мы же ограничимся здесь лишь описанием общего
слоя отображения π.
ОбщеебесследноеполеХиггсаφ ∈ H
0
(Ad(E) ⊗ KΣ) индуцирует би-
рациональный эндоморфизм
φ
−→ P(E ⊗K)=P(E)
P(E)
проективизации двумерного векторного расслоения E,ивкаждойточ-
φ
ке p ∈ Σ его ограничение P(E
бо является автоморфизмом P
ми γ
∈ P(Ep), либо стягивает P1воднуточкуγ ∈ P(Ep). Мы получаем
1,γ2
p
)
−→ P(Ep) на слой над этой точкой ли-
p
с двумя различными неподвижными точка-
1
54 ГЛАВА 3
двойное накрытие
φ
Σ
−→ Σ (3.19)
φ
с дивизором ветвления ξ
=∧2φ
φ
∈|2KΣ|. Накрывающая криваяΣφ,ле-
0
жащая на линейчатой поверхности P(E), называется спектральной кривой.
Подкручивая точную последовательность присоединения
0 →O
(−Σφ) →O
P(E)
на линейное расслоение Гротендика H = O
P(E)
→O
P(E)
→ 0
Σ
φ
(1), мы получаем точную
тройку
0 →O
прямой образ которой относительно проекции P(E)
изоморфизм
1
(−Σφ) ⊗ H → H →O
P(E)
0 → E∼−→ R0pr∗O
(H) → 0.
Σ
φ
(H) → 0, (3.20)
Σ
φ
pr
--
Σ доставляет
Таким образом, исходное векторное расслоение E индуцирует на спектральной кривойΣ
линейное расслоение O
φ
(H) ∈ Pic(Σφ).
Σ
φ
Напомним, что прообраз нуля относительно норменного отображения
N
J(Σ
φ
)
−−→ J (Σ)
φ
двойного накрытия (3.19) связен и является, таким образом, абелевым многообразием. Оно называется многообразием Прима и обозначается
def
Prym
φ
= N
−1
φ
(0).
O
И поскольку, согласно (3.20), N
чение O
w ∈ H
(H) ∈ Prymφ.
Σ
φ
С другой стороны, по общему квадратичному дифференциалу
0
(Σ, O(2KΣ)) можно построить неприводимое двойное накрытие
φ
(H)= ∧2E = O, мы имеем вклю-
Σ
φ
φ
w
Σ
−−→ Σ,
w
1
Напомним, что R0pr∗(H)=E , R1pr∗(H)=0, а при ограничении на слой
O
(E)
(−Σφ)(H)|
(Ep)
= O
(−2) ⊗O
1
(1) = O
1
(−1).
1
§5. КАЛИБРОВОЧНАЯ ТЕОРИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 55
разветвленное в дивизоре его нулей (w)0= {p1,p2, ..., p
дым L ∈ Prym
на Σ.Легковидеть,чтоrk E
можно связать векторное расслоение
φ
w
= R0φ
E
L
=2, ∧2EL= O и (EL,φw) является стабиль-
L
(L)
w
∗
},аскаж-
4g−4
ной парой Хиггса. Таким образом,
−1
π
(w)=Prym
.
φ
w
§ 5. Калибровочная теория на римановой поверхности
Новый прием, пришедший в геометрию из теории поля, состоит в сопоставлении объектов разной размерности. Например, трехмерная теория
на ограничиваемом римановой поверхностью теле с ручками доставляет
важнейшую информацию для двумерной теории на самой поверхности, а
другие полезные факты можно получать из теории на ассоциированных с
римановой поверхностью графах (одномерных комплексах).
Классическая полевая теория над многообразием M включает в себя
три составляющие:
• набор полей A на M — это геометрические объекты, такие как сечения
векторных расслоений или связности на них, или отображения из M в
некоторые вспомогательные многообразия и т.п.;
• функционал действия S : A→C — обычно это интеграл от некоторой
функции L (лагранжиана) от полей;
• набор наблюдаемых — функционалов w: A→C на пространстве по-
лей.
Например, в теории Черна – Саймонса на трехмерном многообразииM
полевыми переменными являются 1-формы с коэффициентами в алгебре
Ли A =Ω
1
(M) ⊗su(2), а функционал действия1имеет вид
2
CS(a)=
π
8
trada+
M
2
a ∧ a ∧ a. (3.21)
3
В качестве наблюдаемых величин можно рассмотреть петли Уилсона:
(a) = tr(HolK(a)) —следы2голономии связности a вдоль узлов K ⊂M .
W
K
1
Так называемый функционал Черна – Саймонса.
2
Тождество Мандельстама: tr(A)tr(B)=tr(AB)+tr(A−1B), показывает, что такие
наблюдаемые образуют алгебру.
56 ГЛАВА 3
Обратимся теперь к пространству RC(π1(Σ),SU(2)) классов унитар-
ных представлений фундаментальной группы римановой поверхности Σ
рода g. Чтобы превратить его в фазовое пространство полевой теории, мы
будем считать, что g>2, и обозначим через E
тово векторное расслоение ранга 2 на Σ. Рассмотрим аффинное простран-
1
ство
Ahэрмитовых связностей на Ehс действием калибровочной груп-
гладких эрмитовых автоморфизмов слоев. На Ehимеется выделенная
пы G
h
нулевая связность ϑ = d, позволяющая отождествить A
сопоставляя связности a 1-форму a −ϑ, и мы часто будем отождествлять
формы и связности таким образом. Обозначим через A
странство приводимых связностей, и пусть A
Пространство A
рии Янга– Миллса, действие в которой задается функционалом Янга – Милл-
са: S(a)=
|Fa|2,гдеFa— кривизна связности a. Сопоставляя связности ее
Σ
тензор кривизны, мы получаем G
вкоалгебруЛиL(G
=Ω1(End(Eh)) является пространством полей тео-
h
-эквивариантное отображение момента
)∗калибровочной группы:
h
F : A(E
)
h
h
a→F
a
−−−− → Ω2(End(Eh)) = L(Gh)∗, (3.22)
=Σ×C2тривиальное эрми-
h
с Ω1(End(Eh)),
h
red
⊂Ahподпро-
irr
= Ah\A
h
h
red
.
h
нулевым уровнем которого является пространство плоских связностей
A
= F−1(0),
F
= {γ ∈ Ω1(End(Eh)) |∇aγ =0}.
T
aAF
(3.23)
Мы видим, в частности, что пространство A
F
решений уравнения Эйлера – Лагранжа: δS(a)=0.
На пространстве A
имеется каноническая Gh-инвариантная симплек-
h
тическая структура
Ω(γ
Ее ограничение на A
ку T G
и для любых ξ ∈ Ω
ξ,γ)=Ω(ξ, ∇aγ).
Ω(∇
a
1
Над векторным пространством Ω1(EndEh).
)=
1,γ2
⊂ TaAhсовпадает с образом
h
tr(γ1∧ γ2),γ1,γ2∈ TaAh=Ω1(End(Eh)). (3.24)
Σ
вырождается в точности вдоль орбит Gh,посколь-
F
∇
(L(Gh)) = ∇
a
0
(End(Eh)) и γ ∈ TaAF(см. (3.23)) имеем равенство:
Ω
a
0
(End(Eh))⊂ Ω1(End(Eh)),
состоит из классических
§5. КАЛИБРОВОЧНАЯ ТЕОРИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 57
Таким образом, симплектическая редукция пространства Ahпо дей-
ствию калибровочной группы при помощи отображения момента (3.22) наделяет пространство орбит
(Σ), SU(2)) = AF/Gh= Ah// G
RC(π
1
симплектической структурой
h
1
Ω над подпространством классов стабильных
(3.25)
неприводимых представлений
RC(π
(Σ), SU(2))
1
irr
⊂ RC(π1(Σ), SU(2))
и структурой симплектического орбифолда над полустабильными разложимыми представлениями
RC(π
(Σ), SU(2))
1
red
⊂ RC(π1(Σ), SU(2)).
Форма (3.24) является дифференциалом 1-формы действия:
D(γ)=
которая задает унитарную связность A
слоении L
при помощи Θ-торсора
над Ah.Пара(L0,A0) спускается на пространство орбит (3.25)
0
A
h×Gh
2
— функции
Θ
−→ U(1) : Θ(a, g1g2)=Θ(a, g1)Θ(a
которая определяется следующим образом: ∀ (a, g) ∈A
tr(a ∧ γ), (3.26)
Σ
на тривиальном главном U (1)-рас-
0
g
1
,g2), (3.27)
×Ghсуществу-
h
ет гладкое трехмерное многообразие Y с ∂Y =Σ, SU(2)-связность A на
тривиальном векторном расслоении E над Y и ее калибровочное преобразование G такие, что A|
= a, G|Σ= g;тогда
Σ
Θ(a, g)=e
CS(A) — функционал Черна – Саймонса (3.21) на пространстве A(E
где
i(CS(AG)−CS(A))
, (3.28)
унитарных связностей на тривиальном двумерном векторном расслоении
1
Подчеркнем, что эта симплектическая структура определяется в чисто топологических
терминах; подробности см. в [34].
2
См. [60].
3
Можно проверить (см. [60, §2]), что функция (3.28) не зависит от выбора трой-
ки (Y, A,G).
)
h
3
.
58 ГЛАВА 3
Дифференциал функции Θ вточке(a, g) сопоставляет паре касательных
векторов γ ∈ T
πi
Θ
4
Σ
=Ω1(End(Eh)), ξ ∈ L(Gh)=Ω0(End(Eh)) число
aAh
−1
dg ∧g−1γg) − tr(a ∧∇
tr(g
g
ξ)+2 tr(F
a
g
a
∧ ξ),
и его ограничение на подпространство плоских связностей имеет вид:
dΘ(γ,ξ)=
πi
trg−1dg ∧ g−1γg,
Θ
4
Σ
т. е. не зависит от второй координаты.
Торсор (3.27) задает на пространстве орбит A
слоение
(фактор по действию g:(a, z) → (a
рез L эрмитово линейное расслоение над A
чением S
1
(L)|
этого главного расслоения на подпространство плоских
A
F
1
S
(L)=Ah×
U(1) (3.29)
G
h
g
, Θ(a, g)z), g ∈Gh). Обозначим че-
, ассоциированное с ограни-
F
главное U (1)-рас-
h/Gh
связностей. Следуя [60], можно проверить, что форма действия (3.26) задает
на L эрмитову U(1)-связность A
с формой кривизны
CS
F
= i · Ω, (3.30)
A
CS
где Ω — симплектическая структура на A
= Ah// Gh, описанная на
F/Gh
стр. 57. Итак, четверка
(RC(π
(Σ), SU(2)), Ω,L,ACS) (3.31)
1
представляет собой данные геометрического предквантования из § 1 гла-
вы 1.
§ 6. Комплексная поляризация пространства
RC(π
Стандартный способ задания комплексной поляризации пространства
классов представлений — это фиксация комплексной структуры I на Σ.
Напомним, что каждая связность a ∈Aопределяет дифференциаль-
ный оператор первого порядка — ковариантную производную ∇
→ Γ(E ⊗T
∗
X), главной частью которого является обычный внешний диф-
(Σ), SU(2))
1
:Γ(E) →
a
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]