Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
.pdf
§1. ГЕОМЕТРИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ ЦИКЛОВ 129
а Cn— на комплексное пространство Шоттки
=SL(2, C)g/Ad
S
g
Но наиболее изящным, с аналитической точки зрения
преобразования Сигала – Бергмана является отображение Бортвика– Пола –
2
Урибе
вым многообразием, а R
жевым циклом
, в конструкции которого Cnзаменяется любым компактным келеро-
3
. Это отображение доставляет мощнейший инструмент для
n
— произвольным бор-зоммерфельдовым лагран-
(SL(2, C)).
diag
1
, обобщением
сравнения результатов бор-зоммерфельдова и келерова квантований и тесно
связано с классическим методом WKB, только действует в противоположном направлении: WKB-аппроксимация сопоставляет волновой функции
некоторый лагранжев цикл в фазовом пространстве с полуплотностью на
нем, в то время как
BPU-отображение переводит бор-зоммерфельдов цикл с
полуплотностью на нем в некоторую волновую функцию, определенную с
точностью до фазового множителя из U (1).
Сравнение комплексной и симплектической геометрий
4
мы начнем с
рассмотрения поляризованного келерова многообразия
,ω,L,∇)
(M
I
такого, что форма кривизны F
=2πi ω. Под лагранжевым циклом на M
∇
мы понимаем класс невырожденных5дифференцируемых отображений в M
ϕ
S
−→ MI: ϕ∗ω =0 (8.1)
фиксированного гладкого компактного ориентированного вещественного
многообразия S размерности
I
1
dim
R
S =
dim
RMI
2
по модулю естественного действия группы Diff+сохраняющих ориентацию
диффеоморфизмов S.
Крайне важно, что ни один такой цикл не может лежать ни в каком
собственном алгебраическом подмногообразии (в частности, на дивизоре),
1
Интегральные операторы Фурье, лежандровы распределения и т. п.
2
См. [12].
3
Точнее, лежандровым циклом, ограничивающим комплексную псевдовыпуклую область.
4
Детали всех конструкций см. в [29].
5
Т. е . т ак и х, что ker(dϕp)=0хотя бы в одной точке.
130 ГЛАВА 8
и поэтому голоморфные объекты однозначно определяются тем, как они
ограничиваются на такие циклы (например, мы можем ограничивать на S
голоморфное сечение линейного расслоения, кривизна которого пропорциональна ω).
ЗАМЕЧАНИЕ 1. С геометрической точки зрения, лагранжевы циклы имеют наименьшую возможную размерность среди всех потенциальных носителей граничных
условий для голоморфных объектов. Однако традиционно граничные условия У
принято задавать на подмногообразиях вещественной коразмерности 1. Такой традиционный подход совпадает с лагранжевым только на римановых поверхностях, и
именно в этом кроется причина того, что современная теория интегрируемых систем
сводит множество аналитических проблем к алгебраической геометрии кривых при
помощи ограничений голоморфных объектов на малые окружности
что естественное обобщение современной теории интегрируемых систем на старшие размерности должно идти по пути ограничения голоморфных объектов именно
на лагранжевы подмногообразия.
1
. Похоже на то,
Ч
р
Лагранжево вложение (8.1) многообразия S в симплектическое многообразие M не имеет никаких локальных инвариантов. Тем не менее, имеются два стандартных способа их различить: рассматривать инварианты семейств лагранжевых подмногообразий (скажем, предельные особые циклы)
и снабжать лагранжевы подмногообразия дополнительными геометрическими структурами (допустим, фиксировать над ними сечения какого-либо глобального расслоения или связность на тривиальном линейном расслоении).
Примером такого рода дополнительной структуры является ограничение на
лагранжев цикл S данных геометрического предквантования (L, ∇) на M.
Поскольку F
квантования L на лагранжев цикл (8.1) является топологически тривиальным линейным расслоением с плоской эрмитовой связностью ϕ
=2πi ϕ∗ω =0, ограничение ϕ∗L расслоения пред-
ϕ∗∇
∗
∇,
калибровочный класс которой однозначно определяется характером ее монодромии π
(S)χ−→ U (1). Расслоение ϕ∗L тогда и только тогда имеет гло-
1
бальное ковариантно постоянное унитарное сечение над S, когда этот характер тривиален. Таким образом, пространство ковариантно постоянных
сечений H
называется бор-зоммерфельдовым уровня k,еслиχ
нодромии на ϕ
тальной тривиализации) расслоения ϕ
0
(ϕ∗L, S) или нульмерно, или одномерно. Лагранжев цикл S
∇
∗Lk
тривиален (см. § 2 главы 1).
Фиксация ковариантно постоянного унитарного сечения (т.е. горизон-
∗
L отождествляет гладкие (C∞)се-
k
=1,т.е.характермо-
чения ограничения L на S с гладкими комплекснозначными функциями
П
1
См., например, обзор [21].
§2. ЛЕЖАНДРОВЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 131
на S :
Γ
∞(Lk
|S)=C
∞
C
(S).
Таким образом, ограничивая глобальные голоморфные сечения L на
бор-зоммерфельдов цикл S, получаем вложение:
0
H
(MI,Lk)
res
⊂
-
∞
C
(S),
C
которое при выборе другой унитарной горизонтальной тривиализации
умножится на константу из U (1).
Определение 1. Образ H
def
=res(H0(MI,Lk)) ⊂ C
S
∞
(S) называется
C
аналогом пространства Харди уровня k.
Определение 2. Пара (S,
полуформы
√
1
μ на нем, называется полувзвешенным лагранжевым циклом.
Фиксация полуформы
ством гладких функций C
√
μ), состоящая из лагранжева цикла (8.1) и
√
2
μ на S позволяет отождествить с простран-
∞
(S) также и пространство полуформ Γ∞(Δ
C
1/2
В результате получаем отождествление
∞(Lk
Γ
|S) ·√μ =Γ∞(Δ
1/2
).
Отметим, что на этом пространстве имеется естественная эрмитова форма,
задаваемая интегрированием по S произведения двух полуформ.
§ 2. Лежандровы распределения
).
Д. Бортвик, Т. Пол и А. Урибе в замечательной работе [12], используя
обычные краевые условия в коразмерности 1 и настоящее пространство
Харди строго псевдовыпуклой области, построили обобщенную функцию
∞
из (C
стояние
ного детерминантного расслоения Δ на S .
луформами; например, если фиксировать на келеровом многообразии M метаплектическую
структуру, то она индуцирует металинейную структуру на каждом лагранжевом подмногообразии S , что позволяет построить полуформу
[31]); другой пример: на графике любого метасимплектоморфизма имеется полуформа, квадрат
которой равен симплектической форме объема.
(S) ·√μ), ограничение которой на H
3
из H0(Lk,MI)∗. Ниже мы приводим набросок этой конструкции,
1
Т. е. глобального ненулевого сечения√μ ∈ Γ∞(Δ
2
Есть несколько способов согласованно снабдить все лагранжевы подмногообразия по-
√
3
См. § 3 главы 1.
k
определяет ковектор или со-
I
1/2
) квадратного корня из комплекс-
μgна S по келеровой метрике g на M (см.
132 ГЛАВА 8
отсылая читателя за подробностями к оригинальной работе [12] или к [29],
где (с привлечением результатов Дж.Ронсли) дается ее алгебро-геометрическая версия.
Поскольку расслоение L положительно, главное U(1)-расслоение
p
--
P
ассоциированное с L
является границей строго псевдовыпуклой области D
единичных дисков в L
∗
(т.е. расслоение единичных окружностей P ⊂ L∗),
∗
, комплексная структура на котором канонически ин-
M,
⊂ L∗— расслоения
I
дуцируется комплексной структурой I на келеровом многообразии M.Следовательно, существует ортогональный U(1)-эквивариантный проектор —
так называемый проектор Сеге
Π
2
L
на пространство Харди, которое состоит из всех L
являющихся ограничениями голоморфных функций с D
I
(P )
−−→H (8.2)
2
-функций на P = ∂D,
.Приэтомлегко
I
углядеть, что весовое разложение пространства Харди по действию U(1)
имеет вид
в частности, Π
=
I
Эрмитова связность на L
на L, представляется чисто мнимой U (1)-инвариантной 1-формой
H
k=0
∞
k0
k
H
, где H
I
=
I
k
H0(MI,Lk), (8.3)
I
Πk.
∗
, индуцируемая связностью предквантования
1
α на P ,
которая определяет на P контекстную структуру с формой объема
1
α ∧ (dα)
2π
Каждый бор-зоммерфельдов цикл (S,
2
ствия U (1) поднимается
до полувзвешенного лежандрова цикла
∧n
= α ∧ p∗ω∧n.
√
μ) однозначно с точностью до дей-
√
(Λ,
μ) ⊂ P. (8.4)
А если фиксировать на M подходящую метаплектическую структуру, то
на каждом бор-зоммерфельдовом цикле S ⊂ M канонически индуцируется
1
Ее ядра являются горизонтальными гиперплоскостями нашей связности.
2
Такой подъем означает фиксацию ковариантно постоянного унитарного сечения L∗|S,
комплексно-сопряженного какому-нибудь ковариантно-постоянному унитарному сечению L|
.
S
§2. ЛЕЖАНДРОВЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 133
полуформа√μ, которую можно поднять до полуформы на лежандровом
цикле Λ ⊂ P , лежащем над S .
1
Проекция Сеге продолжается
на пространство обобщенных функций,
содержащее конормальные распределения порядка m + n к лежандровым
циклам (напомним, что dim
=2n). Таким образом, с каждым Λ ⊂ P
RMI
ассоциируется некоторое пространство лежандровых распределений порядка m, символы которых выглядят как дельта-функции или их производные и
могут быть отождествлены
шенным лежандровым циклом (Λ,
дрово распределение порядка 1/2 ссимволом
ции δ
. Таким образом, с каждым лежандровым подъемом (Λ,√μ) ⊂ P
Λ
полувзвешенного бор-зоммерфельдова цикла (S,
2
сполуформаминаΛ. В частности, с полувзве-
√
μ) можно связать выделенное лежан-
√
μ и проекцию Сеге δ-функ-
√
μ) ⊂ M мы связываем
набор векторов
k
BPU
(Λ,√μ)=Π
k
k
√
где Π
— (продолженная) проекция Сеге на k-ю компоненту (расширен-
μ
ного) пространства Харди (8.3) обобщенных функций с символом
√
(δΛ) ∈H0(MI,Lk), (8.5)
μ
√
μ.Но
поскольку лежандров подъем определен лишь с точностью до умножения на элементы из U(1), каждый полувзвешенный бор-зоммерфельдов
цикл (S,
√
μ) однозначно задает лишь точку на проективизации, т. е. со-
стояние
k
BPU
(S,√μ)=PΠ
k
Квадрат полуформы μ =
√
ле (S,
μ) форму объема. Мы обозначаем через
BS
v
=(S,√μ) ∈BS
k
√
(δΛ)∈ PH0(MI,Lk).
μ
√
2
μ
задает на полувзвешенном цик-
!
!
!
k
S
μ = v
пространство полувзвешенных бор-зоммерфельдовых циклов объема v.На
самом деле это пространство является бесконечномерным компл ексным ке-
леровым многообразием,и
ражение»
3
1
См. [12, 2.1].
2
См. [12, 2.2].
3
См. [74], [29].
BPU-конструкция задает его «рациональное отоб-
Pϕ
k
v
BS
−−→ PH0(MI,Lk)
k
∗
, (8.6)
134 ГЛАВА 8
дифференциал которого двойственен мономорфизму ограничения голоморфных сечений на лагранжев цикл.
Имеется также аналог «теорем A и B» Ж.-П. Серра
BPU
Теорема 3. При k 0 образ
шенного бор-зоммерфельдова цикла (S,
(Λ,√μ) =0для любого полувзве-
k
√
μ).
1
:
Наконец, всякий бор-зоммерфельдов цикл S однозначно восстанавливается как квазиклассический предел
волновые фронты
BPU-распределений концентрируются
лее того, асимптотическое поведение скалярного произведения
двух полувзвешенных бор-зоммерфельдовых циклов (S
BPU
k(S1
(относительно канонической эрмитовой структуры (1.9) на пространстве
сечений H
0
(MI,Lk):
2
(т. е. при k →∞)своихBPUk-образов:
3
на S ⊂ MI.Бо-
,√μ1) и (S2,√μ2)
1
,√μ1), BPUk(S2,√μ2)
BPU-образов
s
=
1,s2
индуцированной послойным скалярным произведением (s
вой структуре на L) вычисляется в терминах пересечения S
(s1,s2)L· ω∧n,
M
1,s2)L
1∩S2
вэрмито-
благодаря
наличию асимптотики:
n
BPU
k(S1
В частности, если S
,√μ), BPUk(S2,√μ)∼
= ∅,тоихBPUk-образы асимптотически ортого-
1∩S2
k
π
μ + O(k
S
n−1
). (8.7)
нальны:
n−1
BPU
,√μ1), BPUk(S2,√μ2)∼
k(S1
k
π
+ O(k
n−2
). (8.8)
Вместе с предыдущим описанием дифференциала
BPU-отображе-
ния (8.6) это дает
1
См. [12, chap. 3].
2
Напомним, что h =1/k играет роль постоянной Планка в асимптотическом анали-
зе квантовых состояний при физической интерпретации квазиклассического геометрического
квантования.
3
См. [12] и имеющиеся там дальнейшие ссылки.
§2. ЛЕЖАНДРОВЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 135
Предложение 1. На любом наборе трансверсальных бор-зоммерфель-
довых слоев произвольной вещественной поляризации
π
−→ B
M
I
BPU
всегда можно задать полуформы так, чтобы
ющих полувзвешенных циклов были линейно независимы в H
-образы соответству-
k
0
(MI,Lk)
при k 0.
А более внимательный анализ асимптотик квантовых состояний позволяет доказать, что число попарно непересекающихся бор-зоммерфельдовых
циклов уровня k при k 0 не превышает dim H
0(Lk
), легко вычисляемой
по формуле Римана – Роха.
Важно, что
являющихся иммерсиями гладкого орбифолда
BPU-конструкция работает и для циклов
ϕ
−→ MI,
S
1
. Таким образом, BPU-кон-
струкция применима и к интересующей нас четверке (см. (3.31), (4.10)):
ss
, Ω, O(kΘ),ACS) ,
(M
причем (см. предл. 3 из § 6 главы 3 и предшествующее ему на стр. 60
обсуждение) в этом случае существует канонический геодезический подъем бор-зоммерфельдовых циклов
2
до лежандровых, который мы подробно
опишем в § 3 главы 9.
Поскольку векторное расслоение (3.47) пространств неабелевых вол-
новых функций H
верхностей вложено в тривиальное расслоение L
k
→M
ss
над многообразием модулей римановых по-
g
2
(P ) ×M
ss
, определен
g
послойный проектор Сеге
Hk,
k0
а т. к. на расслоении H
пространство PH
k
локально не зависит от комплексной структуры I .Таким
I
2
(P ) ×M
L
k
→M
Π
ss
−→H=
g
ss
имеется плоская проективная связность,
g
образом, возникает представление
M
−→ Op(L2(P ))
g
1
Правда, для орбифолдов показатели асимптотик в (8.7), (8.8) несколько ухудшаются, но
и этого вполне хватает для весьма впечатляющих геометрических выводов.
2
Такой подъем (однозначный с точностью до конечного числа возможностей, выбор
между которыми аналогичен фиксации ϑ-структуры) существует всегда, когда канонический
класс K
пропорционален c1(Lk)=k [ω].
M
I
136 ГЛАВА 8
центрального расширения
1 → U (1) →M
модулярной группыM
в операторной алгебре Op(L2(P )) пространства
g
функций, при котором центр U(1) = Aut(P ) ⊂M
→ Mg→ 1
g
действует на P как
g
структурная группа этого главного расслоения. Действие элементов g ∈M
на проектор Сеге ΠIиз (8.2) задает U (1)-эквивариантное линейное преобразование
def
p
I,g(I )
=Π
◦(g) ◦ ΠI∈ End(HI),
g(I)
изотипические компоненты которого относительно весового разложения
End(H
)=
I
EndH0(Lk)
k0
индуцируют проективные представления
k
: M
P
I
→ AutPH0(Lk).
g
§ 3. Геодезический подъем
Фиксация ϑ-структуры позволяет исключить неоднозначность подъема
(изначально определенного лишь с точностью до действия U(1)) бор-зоммерфельдовых циклов из M
превратить линейно независимые проективные состояния
данные с точностью до выбора фазы) в полноценный векторный базис пространства H
0
(MI,Lk).
Для построения такого подъема рассмотрим ориентированную лагранжеву грассманизацию Gr
каждой точке x ∈ M
I
фиксированными стандартными симплектической формой ω
метрикой g
и комплексной структурой Ix,ислой
x
представляет собой грассманиан ориентированных лагранжевых подпространств в T
, ну, а глобализация этой локальной картины дает относи-
xMI
тельное грассманово расслоение:
↑
Gr
(TMI)π−→ MIс π−1(x)=Gr
L
до лежандровых циклов на P и, тем самым,
↑
=Gr
L
I
↑
(TMI) касательного расслоения TMI:в
L
BPU
(S,√μ) (за-
k
касательное пространство TxMIизоморфно Cnс
,евклидовой
x
↑
Gr
= U(n)/SO(n)
L
x
↑
. (8.9)
L
x
g
§3. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОДЪЕМ 137
Локальные детерминанты U (n)/SO(n)
u→det u
−−−−−→ U (1) = S
1
глобализуются
x
в отображение
det
−−→ S1(−K),
где через S
↑
Gr
(TMI)
L
1
(−K) обозначено главное U(1)-расслоение, ассоциированное с
линейным расслоением
n
Λ
TMI=detTMI= O(−K
)
M
I
(см. [71] и [72]).
Если в этой конструкции забыть про ориентацию, то мы получим
(неориентированный) относительный лагранжев грассманиан Gr
(TMI) и
L
детерминантное отображение
Gr
(TMI)
L
Для любого лагранжева цикла S
det
−−→ S1(−K/2). (8.10)
ϕ
−→ X имеется канонический гауссов подъ-
ем:
G(ϕ)
S
−−−→ GrL(TMI)|S,
сопоставляющий x ∈ S подпространство T
S ⊂ TxMI, композиция кото-
x
рого с детерминантным отображением (8.10) задает лежандров цикл
det ◦G(ϕ)
−−−−−−→ S1(−K/2)|
S
S
(8.11)
вглавномU (1)-расслоении, ассоциированном с O
теперь на линейном расслоении O
(−K/2) эрмитову связность ALC, ин-
M
I
дуцированную связностью Леви-Чивита келеровой метрики на M
(−K/2). Рассмотрим
M
I
.
I
Определение 1. Лагранжев цикл S называется почти геодезическим,
если его гауссов лежандров подъем (8.11) горизонтален относительно связности A
на M метаплектической структуры и более аккуратного анализа с использованием
индекса Маслова и т.п. Однако в нашем случае (см. ниже) эти проблемы решаются
автоматически вследствие равенства K
жевых циклов до лежандровых — в частности, в контексте зеркальной симметрии —
имеются в [70], [71] и [72].
.
LC
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Вообще говоря, предыдущие рассмотрения требуют фиксации
ss
= −4Θ!
M
АМЕЧАНИЕ 2. Другие примеры использования геодезического подъема лагран-
З
138 ГЛАВА 8
Вернемся теперь к нашим данным предквантования (4.10):
ss
, Ω, O(kΘ),ACS) .
(M
Согласно предл. 3 из § 6 главы 3 полуантиканоническое линейное расслоение в этом случае есть O
ss
(−K/2) = O
M
индуцированной связностью предквантования A
тования L = O
ss
(Θ). Мы получаем
M
Предложение 1. Лагранжев цикл S ⊂M
ss
(2Θ) со связностью ALC,
M
на расслоении предкван-
CS
ss
бор-зоммерфельдов тогда
и только тогда, когда он почти геодезический.
1
(−KS)).
ss
уровня k
∗
Далее, главные U(1)-расслоения, ассоциированные с L
ss
с O
антиизогенией
(в частности, всякий «обычный» лежандров подъем (8.4) бор-зоммерфельдова цикла S ⊂M
(−K/2) = L2, связаны в нашем случае послойной квадратичной
M
1
:
S
ss
в P = S1(L∗) из §2 главы 9 задает некоторый — не
μ
1(L∗
2
)
−→ S1(L2)=S1(−K/2)
обязательно почти геодезический — гауссов лежандров цикл в S
ϕ
⊂
-
Рассмотрим теперь для бор-зоммерфельдова цикла S
M
коммутативную диаграмму:
и
∗
1(Lk
S
)
6
λ
∪
⊂
S
μ
где S
а S
ла S
1(L2
λ
⊂
-
S
ϕ
⊂
-
ным сечением
k
1(L2k
--
)
∗
1(Lk
ss
M
уровня k, задаваемый каким-либо горизонтальным унитар-
2Lk
S
) — обычный лежандров подъем бор-зоммерфельдова цик-
|S.
Определение 2. Бор-зоммерфельдовцикл S
μ
2
det ◦G(ϕ)
--
-
1(L2k
S
S
6
6
1(L2
)
μ
k
(8.12)
)
) — стандартная изогения степени k,
ϕ
-
ss
M
уровня k назы-
⊂
вается почти геодезическим, если диаграмма подъемов (8.12) коммутативна:
◦det ◦G(ϕ)(S)=μ2◦ λ(S).
μ
k
1
Т. е. двулистным накрытием с обращением ориентации.
2
См. (8.4) и обсуждение на стр. 132.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]