Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
.pdf
§4. МОДЕЛЬ ДЕЛЬЦАНА 79
и их размерности легко вычисляются по формуле Дьюстермата – Хекма-
1
. И поскольку бор-зоммерфельдовы слои у (4.11) находятся над теми
на
же точками многогранника Δ
, что и у модели Дельцана, размерность
Γ
пространства (4.24) оказывается равной числу бор-зоммерфельдовых слоев проекции (4.11). Таким образом, келерово квантование динамической
системы (M
D
,ω) является численно-полным.
Γ
1
См. [77].
ГЛАВА 5
WZW CQFT
Римановы поверхности являются главными действующими лицами в
конформной квантовой теории поля в размерности 2=1+1, происходя-
щей из теории струн и служащей для объяснения различных критических
феноменов, и пространства волновых функций H
ляющиеся в нашем подходе результатом успешного келерова квантования
некоторой классической механической системы, первоначально возникли
как пространства конформных блоков конформной квантовой теории поля.
С другой стороны, бор-зоммерфельдовы пространства
k
H
= ⊕
π
b∈BS
C · s
k
появляются в комбинаторной версии конформной квантовой теории поля
как слои проективно-плоских векторных расслоений над многообразием
модулей M
кривых рода g. Более того, двумерная CFT может быть сфор-
g
мулирована в рамках алгебраической геометрии многообразия модулей римановых поверхностей. Важнейшим частным случаем
колотая сфера Римана Σ=CP
\{p}. С этой «классической» простейшей
1
версии конформной теории поля мы и начнем.
0(Mss
(Σ), O(kΘ)),яв-
b
2
тут является про-
1
§ 1. WZW-версия
Одна из важнейших характеризаций классического пространства абелевых ϑ-функций состоит в том, что оно представляет собой единственное
неприводимое представление алгебры Гейзенберга. Аналогично, пространство неабелевых ϑ-функций
0(Mss
H
1
См. [25] и [48].
2
Изученным Белавиным – Книжником – Замолодчиковым в [45] и прекрасно демонстриру-
ющим как общую идеологию этой теории, так и ее характерные технические детали.
(Σ), O(kΘ))
§1. WZW-ВЕРСИЯ 81
является неприводимым представлением калибровочной алгебры WZW
1
.
RCFT
Очертим основные моменты этой теории. Пусть t — локальный параметр в точке p ∈ Σ; горизонтальной алгеброй WZW называется алгебра
петель sl
= sl(2,C) ⊗C[t, t−1]. Ее центральное расширение
2
t
sl
= sl(2,C) ⊗C[t, t−1] ⊕ C ·e (5.1)
2
со скобкой
[X ⊗f, Y ⊗ g]=[X, Y ] ⊗ fg + k · tr(XY ) ·res
(gdf)
0
называется алгеброй k-калибровок.
Из общей теории алгебр Каца – Муди известно, что алгебра (5.1) имеет единственное неприводимое представление H
вектор, который аннулируется подалгеброй sl(2, C) ⊗ C[t], и центральный
элемент расширения
t
sl
действует на Hkскалярным умножением на k (но-
2
k
, содержащее ненулевой
мер уровня).
Имеется естественное вложение
t
ι
−→ sl
sl(2, C) ⊗ C(Σ)
, (5.2)
2
где C(Σ) — поле мероморфных функций на кривой Σ. Это поле содержит
подкольцо C(Σ)
чение вложения (5.2) на это подкольцо реализует sl(2, C) ⊗C(Σ)
⊂ C(Σ) функций, регулярных вне точки p ∈ Σ, и ограни-
p
⊂ sl
p
t
как
2
подалгебру со cкобкой
[X ⊗f, Y ⊗g]=[X, Y ] ⊗fg.
Рассмотрим естественное действие этой подалгебры на контрагради-
t
sl
ентном
брой sl(2, C)⊗C(Σ)
-модуле (Hk)∗.
2
Определение 1. Подпространство V
t
⊂ sl
, называется пространством конформных блоков
p
2
⊂ (Hk)∗, аннулируемое подалге-
k
уровня k.
Каким образом это пространство связано с векторными расслоениями
на Σ? Любое векторное расслоение E можно тривиализовать над малым
1
Т. е. рациональной конформной квантовой теории поля Весса – Зумино– Виттена.
82 ГЛАВА 5
диском Dp p инадΣ \{p}. Функция перехода между двумя такими
тривиализациями представляется рядом Лорана
∈ SL(2, C) ⊗C[t, t−1],
γ
E
и классы таких рядов по модулю автоморфизмов тривиальных расслоений
над D
и Σ \{p} составляют алгебраический стэк
p
SL(2, C) ⊗ C(Σ)
\ SL(2, C) ⊗ C[t, t−1] / SL(2, C) ⊗ C[t],
p
параметризующий все (в том числе и нестабильные) векторные расслоения
с точностью до изоморфизма. Этот стэк является фактором универсального
однородного пространства
Q =SL(2, C) ⊗ C[t, t
−1
]/SL(2, C) ⊗ C[t]. (5.3)
Линейное расслоение O(Θ) поднимается до универсального линейного расслоения L
на этом однородном пространстве, и, по теореме Кумара и Ме-
χ
тью, имеется изоморфизм
0
k
(Q, L
)=Hk,
χ
отождествляющий H
вариантов в (H
k)∗
. Стандартная техника матричных дивизоров1показывает,
H
0(Mss
,O(kΘ)) с подпространством sl(2,C)⊗C(Σ)p-ин-
что это пространство конечномерно. Но точное вычисление его размерности
требует более изощренных манипуляций.
Зафиксируем на римановой поверхности Σ еще не сколько попарно различных точек {p
размеченных числами {n
, ..., pm}⊂Σ, отличных от исходной точки p ∈ Σ и
1,p2
, ..., nm}⊂Z0, которые мы будем интер-
1,n2
претировать как размерности конечномерных неприводимых представлений sl(2, C):
,V
V
n
1
Алгебра sl(2, C) ⊗C(Σ)
, ..., V
n
2
действует на V
p
X ⊗f : v → f (p
, dim(V
n
m
n
по правилу
n
i
) · X (v),
i
)=ni.
i
где p
∈ Σ — точка, соответствующая представлению ni,аv ∈ V
i
вается, что векторные пространства
V
{(p
k,Σ
1
Например, как в обзоре [71].
)}=Hom
i,ni
sl(2,C)⊗C(Σ)
H
p
. Оказы-
n
i
m
k
,
V
n
i
i=1
§1. WZW-ВЕРСИЯ 83
не зависят ни от мoдулей кривой, ни от выбора точек и обладают многими другими хорошими свойствами, из которых наиболее важным для нас
является их поведение при вырождении Σ в кривую с одной двойной точкой: результат такого вырождения геометрически представляется гладкой
кривой Σ
рода g −1 с отмеченной парой точек (q+,q−),и
0
{(p
V
k,Σ
i,ni
)}=
n∈Z
0
{(p
V
k,Σ
0
), (q+,n), (q−,n)},
i,ni
что позволяет вести индукцию по роду точно так же, как в § 7 главы 3.
После этого можно оставить геометрию и рассмотреть моноид M
состоящий из формальных сумм N = n
ющих возможные разметки точек. Сопоставим каждой такой сумме сим-
g
(N)
def
=dimV
вол rk
k,Σ
{(p
)}.Легковидеть,что
i,ni
+ n2+ ··· + nm,представля-
1
(0) = 1, rkg(N)=
rk
0
g = g
+ g=⇒ rkg(N+ N)=
n∈Z
n∈Z
rk
0
rk
0
(N + n + n),
g−1
(N+ n) ·rk
g
(N+ n),
g
,
k
откуда убывающей индукцией по g получаются так называемые правила
слияния
задающие на моноиде M
1
:
(0) = 1,
rk
0
rk
(N+ N)=
0
N · N
rk0(N+ n) ·rk0(N+ n),
n∈Z
0
структуру коммутативного кольца:
k
def
=
rk0(N + N+ n) ·n,
+
n∈Z
(5.4)
которое называется кольцом слияния и очень напоминает кольцо представлений RC(sl(2, C)). Различие между ними заключается в зависимости умножения на M
1
На самом деле все загадочные формальные манипуляции, приведшие нас к формулам (5.4), имеют простую алгебро-геометрическую интерпретацию в контексте векторных
расслоений.
от уровня k: по формуле Клебша– Гордана, произведение двух
k
84 ГЛАВА 5
неприводимых представлений в RC(sl(2, C)) описывается при n1 n2формулой
n
⊗ n2=(n1+ n2) ⊕ (n1+ n2− 2) ⊕···⊕ (n1− n2), (5.5)
1
тогда как в M
априn
1
Таким образом, кольцо слияния M
произведение n1·n2равно n1⊗n2только при n1+ n2 k,
k
+ n2 k имеет вид
(2k − n
− n2) ⊕ (2k −n1− n2+2)⊕···⊕ (n1− n2).
1
уровня k получается факторизацией
k
кольца представлений RC(sl(2, C)) по идеалу, порожденному (k +1).
Обозначим через Spec(M
моморфизмов M
k
где c =
n · n ∈ Mk,такчтоχ(c)=
n=0
χ
−→ C). Элементарное вычисление показывает, что
k
rk
) множество характеров кольца Mk(т. е. го-
k
(∅)=
g
χ∈Spec(Mk)
k
n=0
g−1
χ(c)
, (5.6)
|χ(n)|2∀ χ ∈ Spec(Mk).
С другой стороны, множество характеров кольца представлений
Spec(RC(sl(2, C))) исчерпывается, как известно, характерами
sin(n +1)z
χ
(n)=
z
sin z
зависящими от z ∈ C. Такой характер содержится в SpecM
,
(т. е. зануляется
k
на (k +1)), если и только если
πn
z =
, где 1 n (k +1).
k +2
Следовательно, по формуле (5.6), размерность пространства конформных
блоков (см. опр. 1 из § 1 главы 5) равна
rk V
k
=rkg(∅)=
k +2
2
g−1
sin
j=1
2−2g
jπ
k +2
,
k+1
что вновь совпадает с числом Верлинде!
Хотелось бы подчеркнуть, что при работе с конформными блоками
мы нигде не фиксировали никаких эрмитовых структур, имея дело только с sl-объектами, что существенно отличает эту конструкцию от ранее
рассматривавшихся нами процедур квантования, где эрмитовы структуры
всегда явно присутствовали.
§2. WZW-СВЯЗНОСТЬ 85
§2. WZW-связность
Итак, над многообразием модулей M
кривых рода g с отмеченной
g,1
(выколотой) точкой возникает векторное расслоение на пространства конформных блоков
p
k
V
−→M, (5.7)
k
аналогичное ранее рассматривавшимся расслоениям (1.11). В конформной
теории поля на этом расслоении тоже строится проективно-плоская связность, конструкция которой почти параллельна построению связности Хитчина (см. § 8 главы 3), но дается, разумеется, в несколько иных терминах
Основное отличие состоит в том, что вместо многообразия модулей полей
2
задачу теперь приходится поднимать на бесконечномерное универсальное однородное пространство (5.3). Необходимая для этого машинерия
работы с бесконечномерными образованиями достаточно строго представлена в [11], и мы (во избежание излишне далеких отступлений от нашей
основной темы) ограничимся тут лишь очень сжатым обзором этой конструкции.
Напомним, что ind-однородное
3
пространство (5.3) описывает векторные SL(2)-расслоения, тривиализованные над проколотой римановой поверхностью Σ \{p} из M
. Конечно, мы собираемся рассмотреть только
g,1
плотное открытое подмножество
Q
⊂ Q,
0
4
соответствующее полустабильным расслоениям. В [20] доказано
,чтоесте-
ственное отображение
f
Q
−→Mss(Σ)
0
является локально-тривиальным торсором в этальной топологии. Ив Ласло
построил для таких торсоров семейство T (˙I) дифференциальных операто-
ров второго порядка над пространством деформаций комплексной структуры. Эта конструкция коммутирует с символьными гомоморфизмами φ
из (1.32) на стр. 22, и из длинной когомологической последовательности
точной тройки (1.31) на стр. 22 мы получаем отображения
1
H
(Σ,TΣ) → H0(S2(T Mss(Σ))) → H
1
См. [69] или замечательный обзор [63].
2
Т. е. пространства классов представлений фундаментальной группы кривой, но только на
этот раз в SL,аневSU.
3
Термин взят из [11].
4
Еще одно доказательство этого факта имеется в широко известном неопубликованном
препринте Бейлинсона и Каждана.
1
(ds),
h
1
.
s
86 ГЛАВА 5
дающие (по модулю ind-схемотехнических деталей) подъем тензора Суговары T (˙I). Теперь для любой функции f на M
ния e расслоения на пространства H
∗
над M
k
g,1
и локального сече-
g,1
действие искомой нами
WZW-связности описывается формулой
∇(f ⊗ s)=˙I(f) ·s +
1
T (˙I)(s ⊗ f)(mods ⊗ f ), (5.8)
2k − 4
из которой очевидно ее совпадение со связностью Хитчина из § 8 главы 3 —
как и там, единственное нетривиальное слагаемое в (5.8) приходит из тензора Суговары, соответствующего хитчинскому (3.51).
§ 3. Монодромные представления
Многообразие модулей кривых Mg= τg/Mgявляется фактором
пространства Тейхмюллера τ
+
=Diff
Σ/Diff0Σ, и проективно-плоские расслоения вида (5.7) индуциру-
ются линейными или проективными монодромными представлениями этой
группы:
M
−→ PGL(Nk, C),Nk=rkVk.
g
Так, в классической теории абелевых ϑ-функций проективно-плоская
связность Уелтерса (которая строится средствами расширенной теории Кодаиры – Спенсера
1
) определяет представление
С другой стороны, симплектическая теория ϑ-функций (см. [43]) доставляет
другую комбинаторную связность и aprioriдругое представление
по действию модулярной группы Mg=
g
k
μ
w
M
−−→ PGL(kg, C).
g
k
μ
BS
M
−−→ PGL(kg, C).
g
К счастью, из-за наличия здесь полного квантования, эти две связности
естественно отождествляются и дают единое абелево представление μ
k
k
= μ
= μ
w
1
См.§4главы1и[78].
с конечной группой монодромии
BS
k
(Mg) = Sp(2g, Z/2kZ).
μ
Ab
k
Ab
=
§3. МОНОДРОМНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 87
В неабелевом случае мы имеем представление
k
μ
H
−−→ PGL(rkg(∅), C), (5.9)
M
g
1
заданное связностью Хитчина. Дж. Андерсен доказал
,чтоприk →∞эти
представления асимптотически точны:
∞
k=1
ker(μ
k
H
1, при g>2,
)=
Z/2Z, при g =2
(это верно для векторных расслоений любого ранга).
С другой стороны, есть и чисто комбинаторное монодромное представление
которое возникает из связности, построенной Коно
ными описанным в предыдущей главе, в которых разложение слоев V
k
μ
c
−−→ PGL(rkg(∅), C), (5.10)
M
g
2
методами, аналогич-
k
прямую сумму одномерных подпространств вида (4.15) определяется разложением представления со старшим весом аффинной алгебры Ли sl(2, C)
по собственным подпространствам оператора L
суговаровского представ-
0
ления алгебры Вирасоро. Представление (5.10) по построению эрмитово,
и, как показали Максбаум и Фьюнар, его группа монодромии бесконечна
при k =2, 3, 4, 6 и k =10для g =2.
Участие конструкции Суговары в построении связности (5.10) наводит
на мысль, что оба представления должны быть эквивалентны. В [72] это
удалось доказать при помощи отображения Бортвика– Пола –Урибе (метод
весьма далекий от конформной квантовой теории поля), но обобщенная
конструкция Суговары из [64] позволяет смотреть на это совпадение как на
прямое следствие теории Книжника – Замолодчикова.
в
1
См. [5], где показано, что теплицевы операторы на слоях Vk, ассоциированные гладким
функциям на M
2
С использованием отождествлений из [68] и [69]; см. [44].
ss
, являются асимптотически плоскими.
ГЛАВА 6
Тривалентные графы
§ 1. Спин-сетки
Фриден и Шенкер ([25]), а также Мур и Зайберг ([48]) предложили
аксиоматическое описание рациональной конформной теории поля в терминах тривалентных графов, уже встречавшихся нам в главе 4.
Мы уже видели (см. рис. 3 и 4 на стр. 72), что каждый такой граф Γ
рода g задает разрезание римановой поверхности Σ рода g на штаны. Аналогичные разметки можно рассматривать и на ориентированной римановой
поверхности с n дырками: комбинаторная геометрия такой разметки кодируется так называемой историей
валентности 3–1 с n «висячими» параболическими ребрами a
отвечающими выколотым точкам.
ВэтомслучаемножествоW
ленных весов состоит из функций w вида (4.16):
1
— двойственным графом Γ рода g и
, ..., an,
1,a2
k
(α1,α2, ..., αn) допустимых целочис-
Γ
E(Γ)
w
−→ [0, 1] ∩
1
2k
Z =0,
2k
1
1
3
,
,
, ..., 1, (6.1)
k
2k
которые удовлетворяют трем условиям со стр. 75, а на всех параболических ребрах a
ния w(a
)=αi. И, как и в § 3 главы 4, с такой разметкой связано простран-
i
, ..., anпринимают фиксированные постоянные значе-
1,a2
ство волновых функций (4.22):
w∈W
Γ
k
(α1,α2, ..., αn)
C · w. (6.2)
H
k
Γ,α
1,α2
, ..., α
=
n
Если умножить вес (6.1) на номер уровня k, то получится отображение
def
= k · w: E(Γ) →
j
1
Или диаграммой Фейнмана.
1
Z
= IR (SU(2)) , (6.3)
0
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]