Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
.pdf
§2. ТРЕХМЕРНАЯ ТОПОЛОГИЯ 89
значение которого можно интерпретировать как половину размерности (спи-
новое число) неприводимого представления группы SU(2),чтопозволяет
связать с каждым целочисленным весом «раскраску»
1
всех ребер e графа Γ
неприводимыми представлениями j(e) ∈ IR (SU(2)).Условие(3)состр.75
означает при этом, что для любых трех ребер e
, e2, e3, сходящихся в одной
1
вершине v, в разложении Клебша–Гордана (5.5) тензорного произведения
представлений j(e
)⊗j(e2)⊗j(e3) на неприводимые содержится тривиаль-
1
ное представление! Иначе говоря, в каждой вершине v имеется сплетающий
оператор (т.е. SU(2)-эквивариантный гомоморфизм):
i
j(e
) ⊗ j(e2)
1
Итак, множество допустимых весов W
k
ство S
SU(2)-спин-сеток уровня k на графе Γ:
k
S
Γ
В § 3 главы 6 (см. стр. 99) мы дадим еще одну интерпретацию для мно-
жества допустимых весов: произведение целочисленного веса w ∈ W
v
−→ j(e3).
k
(Γ) есть не что иное, как множе-
= Wk(Γ).
k
(Γ)
на удвоенное значение уровня
2kw
E(Γ)
−−→ Z
0
(6.4)
является топологическим типом петли на графе Γ,т.е.определяетэлемент
его фундаментальной группы π
мых весов W
k
(Γ) однозначно определяется топологией графа Γ.
(Γ). Это означает, что множество допусти-
1
В этой главе мы собираемся, следуя Коно [43] и пользуясь только
комбинаторно-топологическими исходными данными, построить голоморфное векторное расслоение с голоморфной проективно-плоской связностью
и слоем (6.2) над многообразием модулей M
римановых поверхностей
g
рода g. Для этого нам понадобятся комбинаторная модель пространства
Тейхмюллера, некоторые комплексы, связанные с тривалентными графами,
и умение сравнивать пространства H
k
для разных графов Γ рода g.Все
Γ
идеи и конструкции, которые мы будем при этом использовать, пришли из
маломерной топологии и конформной теории поля.
§ 2. Трехмерная топология
Каждый тривалентный граф описывает разрезание на штаны римановой поверхности, которая ограничивает трехмерное тело с ручками, получа-
1
Пенроуз в [57] назвал такую раскраску SU(2)-спин-сеткой уровня k, см. также [70].
90 ГЛАВА 6
ющееся утолщением исходного графа. Говоря точнее, всякий максимальный
набор попарно негомотопных ориентированных окружностей (4.6)
{C
1,C2
, ..., C
3g−3
}
на римановой поверхности Σ рода g разрезает ее на (2g − 2) ориентированных штанов (4.8) (см. рис. 3 на стр. 72):
2g−2
Σ \C
C1··· C
1
а каждые ориентированные штаны P
i
3g−3
=
Pi,
i=1
ограничивают трехмерное тело, на
которое они надеты, и, склеивая эти тела вместе, мы получаем тело с
ручками H
∂H
=ΣΓи которое можно стянуть на тривалентный граф Γ (см. рис. 6).
Γ
, границей которого является исходная риманова поверхность
Γ
Любой элемент h ∈ Mgмодулярной
группы
=Diff+(Σ)/Diff0(Σ)
M
g
задает компактное трехмерное многообразие без края
Рис. 6. Утолщение графа
получающееся склейкой двух экземпляров H
h
феоморфизма Σ
←→ ΣΓ. Представление компактного трехмерного много-
Γ
= H
X
Γ
по границе Σ вдоль диф-
Γ
HΓ, (6.5)
∪
Γ
h
образия X парой (Γ,h) в виде (6.5) называется его разложением Хегора.
Две пары (Γ,h
) и (Γ,h2) эквивалентны, если они задают гомеоморфные
1
трехмерные многообразия.
Подгруппа M
мов Σ
∼
−→ ΣΓ, которые продолжаются до диффеоморфизмов H
Γ
действует на M
⊂ Mgсохраняющих ориентацию диффеоморфиз-
Γ
слева и справа, и диффеоморфизмам h из одного двойного
g
∼
−→ HΓ,
Γ
смежного класса в
Γ\Mg
/ M
Γ
M
отвечают эквивалентные разложения Хегора. Очевидно, что добавление к
разложению Хегора (6.5) еще одной ручки, на которую h продолжается
тождественно (эта процедура называется стабилизацией), приводит к эквивалентному разложению.
§3. ГЕОМЕТРИЯ ГРАФОВ 91
Предложение 1 (Зингер, [65]). Отношение эквивалентности между
разложениями Хегора порождается стабилизацией, левым и правым действием M
и изотопиями.
Γ
Мы собираемся построить инвариант трехмерных многообразий, сопо-
ставляя разложению Хегора (6.5) некоторый вектор
k
) ∈H
I(X
Γ
Γ
в пространстве волновых функций (6.2). В этом пространстве имеется выделенный базисный вектор w
0
k
∈H
(так называемый вакуумный вектор)—
Γ
это нулевая весовая функция
(e)=0 ∀ e ∈E(Γ).
w
0
Если бы нам удалось ввести на H
k
эрмитову структуру и построить линей-
Γ
ное представление модулярной группы
M
g
−→ GL(H
k
), (6.6)
Γ
сохраняющее вакуумный вектор, то в качестве искомого инварианта сгодился бы вектор
w
,(h)w0
)=
0
w0
, (6.7)
2
I
g(XΓ
поскольку такая нормализация делает его инвариантным относительно стабилизации. Но на самом деле все будет чуть сложнее: представление (6.6),
построенное Коно, не линейно, но проективно, т. е. «почти линейно» —
определено с точностью до фазового множителя
πik
4k+8
e
, (6.8)
поэтому и инвариант (6.7) будет определен с точностью до множителя (6.8).
Комбинаторика, необходимая для построения такого проективного представления, излагается в следующем параграфе.
§ 3. Геометрия графов
Граф — это одномерный клеточный комплекс, состоящий из ребер —
клеток одномерного скелета — и вершин — клеток нульмерного скелета. Как
геометрический объект, каждый граф Γ составлен из следующих частей:
92 ГЛАВА 6
• E(Γ) — множество ребер;
• V (Γ) — множество вершин;
• S(v) — звезда вершины v (множество исходящих из v ребер);
• L(Γ) — множество 1-петель (ребер с одной вершиной);
•−→E (Γ) — множество ориентированных ребер (т.е. пар «ребро» + «одна
из двух ориентаций этого ребра»);
• F (Γ) = {v ∈ e} — множество флагов (т.е. пар «ребро» + «его верши-
на»).
Любое ориентированное ребро−→e ∈−→E (Γ) называется путем длины 1
на графе Γ. Каждый такой путь имеет начало v
(−→e ) и конец vt(−→e ),сов-
s
падающие для 1-петель. Путем длины d называется упорядоченная последовательность (−→e
(−→ei)=vs(−→e
v
t
i+1
d-петлей.Еслиe
,−→e2, ...,−→ed) ориентированных ребер, в которой
1
) ∀ i.Еслиприэтомvt(−→ed)=vs(−→e1), то путь называется
i
= e
ни для какого i, путь называется неприводимым.
i+1
Граф называется d-валентным, если все его вершины имеют одну и
ту же валентность d (каждая вершина служит концом ровно для d ребер).
Например, замкнутый одновалентный граф является конечным несвязным
набором полуинтервалов, а двувалентный — набором окружностей. Граф валентности
1
3–1 имеет тривалентные (т. е. «внутренние») и одновалентные
(т. е. «висящие», или «концевые») вершины, которые называются параболи-
ческими.
Для тривалентного графа естественные проекции
E(Γ)
p
e
F (Γ)
p
v
--
V (Γ)
есть накрытия степени 2 и 3 с ветвлением в одном и том же подмножестве R
= L(Γ), состоящем из пар v ∈ e, происходящих из 1-петель, так
e
что мощности этих множеств связаны соотношением 2 |E(Γ)|−|L(Γ)| =
= |F(Γ)| =3|V (Γ)|−|L(Γ)|,изначит,|V (Γ)| =2g−2,а|E(Γ)| =3g−3,где
g>1 — некоторое натуральное число, называемое родом графа Γ.Отметим,
что
при g>11 не известно ни точного значения, ни хороших оценок для числа
тривалентных графов рода g.
T
g
1
Т. е. комбинаторный инвариант проколотой римановой поверхности, разрезанной на штаны, или фейнмановская диаграмма в квантовой φ
болических вершин в квантовой теории поля называется поляризованным вакуумом.
3
-теории поля; тривалентный граф без пара-
§3. ГЕОМЕТРИЯ ГРАФОВ 93
Произвольный граф Γ допускает два стандартных преобразования, называемые стягиванием ребра и раздутием вершины. Первое устраняет
некоторое ребро e ∈ E(Γ), склеивая его концы в одну новую вершину v
а второе — превращает некоторую вершину v ∈ V (Γ) в новое ребро e
добавляя две новые вершины v
new
v
new
= ∂e
и распределяя между ними
new
new
new
старые ребра, входившие в v, согласно некоторому разбиению
S(v)=S(v
new
) S(v
new
).
Стягивание уменьшает |E(Γ)| и |V (Γ)| на единицу и за конечное число
шагов превращает любой граф Γ в тривиальный граф Γ
, состоящий из
min
единственной вершины без ребер. С другой стороны, раздутия позволяют
превратить произвольный граф Γ, все вершины которого не менее чем тривалентны, в чисто тривалентный граф Γ
валентных расширений Γ
данного графа Γ называется гнездом графа Γ
max
. Множество всевозможных три-
max
и обозначается E(Γ). Множество различных способов превращения данной
вершины v ∈ V (Γ) с |S(v)| > 3 в тривалентную вершину цепочкой последовательных раздутий находится во взаимно однозначном соответствии с
параболическими тривалентными деревьями с фиксированным множеством
параболических («висячих») вершин ∂T = S(v). Совокупность таких деревьев обозначается E(v).Ясно,что
|E(v)| =
T : ∂T=S(v)
1
|Aut(T )|
.
Например, для графа Γ с одной четырехвалентной вершиной v |E(Γ)| =
= |E(v)| =3,адляd-валентных вершин v ∈ V (Γ)
1
|S(v)| =
d − 1
C
2d−4
d−2
— числа Каталана.
У каждого тривалентного графа Γ есть ближайшие родственники,связанные с ним композицией стягивания и раздутия, не изменяющей |V (Γ)|
и |E(Γ)|: сначала стянем некоторое ребро e с
∂e = v
v,S(v)=e e
e
,S(v)=e e
1
2
e
,
1
2
а потом раздуем образовавшуюся при этом новую четырехвалентную
вершину v
,e
= {e
1
,e
= {e
1
1
концами в двух новых вершинах v
e
= e
new
согласно произвольному разбиению ее звезды S(v
new
,e
,e
2
}{e
1
} на две пары ребер. Например, разбиение S(v
1
2
,e
} (см. рис. 7) приводит к появлению нового ребра e
2
e
, S(v2)=e
1
2
new
и v2,такчто∂e
1
e
e
2
2
.
new
)=
new
)=
new
new
= v1 v2, S(v1)=
,
,
с
94 ГЛАВА 6
Рис. 7. Элементарные преобразования
Определение 1. Описанная только что композиция стягивания и разду-
тия Γ → Γ
называется элементарным преобразованием1графа Γ вребреe.
e
Отметим, что при этом имеется каноническая биекция
E(Γ)
∇
−→ E(Γ
): ∇(e)=e
e
. (6.9)
new
Нетрудно показать (например, индукцией по g), что любой тривалентный граф Γ может быть преобразован в любой другой тривалентный
граф Γ
того же рода конечной цепочкой элементарных преобразований.
Таким образом, элементарные преобразования транзитивно действуют на
множестве T
Так как стягивания и раздутия сохраняют ленточную структуру,вся
описанная только что комбинаторика
тривалентных графов рода g.
g
2
в равной мере применима и к так называемым ленточным графам. Напомним, что структура ленточного графа
на Γ задается фиксацией циклического порядка на каждой его звезде, что
эквивалентно вложению графа в ориентированную риманову поверхность
или двумерному утолщению его ребер до «ленточек».
Задание ленточной структуры на d-валентном графе означает задание
на нем связности
3
: для каждого ориентированного ребра возникает отож-
дествление звезд
−→
∇
S(v
(−→e ))
s
1
Ниже, на стр. 100 мы увидим, что эти преобразования соответствуют элементарным
перекройкам разрезания римановой поверхности на штаны.
2
В физической литературе называемая диаграммной техникой Фейнмана для описания
стандартных схем спаривания.
3
См. [10], где графы рассматриваются как многообразия; в квантовой теории поля ленточ-
ные графы возникают, например, в матричных моделях — см. [52] и [53].
e
−−→∼S(vt(−→e )): ∇
−→
(e)=e ∀−→e ∈−→E
e
§3. ГЕОМЕТРИЯ ГРАФОВ 95
(набор ∇ = {∇
на Γ). Путь (−→e
= e
(где, разумеется, i ∈{1+Z/dZ},еслиречьидетоd-петле, т. е. о
i+2
замкнутой геодезической). Подграф Γ
ским, если любая геодезическая, начинающаяся в Γ
−→
}
e
,−→e2, ...,−→ed) называется геодезической,если∇
1
таких отождествлений и называется связностью
−→
e ∈−→E
⊂ Γ называется вполне геодезиче-
, не выходит из этого
−→
e
i+1
(ei)=
подграфа.
Всякая замкнутая геодезическая =(−→e
в каждой вершине v, через которую она проходит, оператор монодромии S(v)
m
v
−−→ S(v), переставляющий ребра этой звезды. Таким образом,
,−→e2, ...,−→ed) определяет
1
каждой замкнутой геодезической на d-валентном графе со связностью отвечает смежный класс m() ∈ Conj(S
) группы Sdперестановок d элементов.
d
Замкнутая геодезическая называется плоской,еслиm()=id.
Поскольку для любой пары ребер из одной звезды существует единственная проходящая через эти ребра геодезическая, связность ∇ однозначно восстанавливается по множеству G
неприводимых замкнутых геодези-
Γ
ческих на Γ, и отображение
c
∇
−−→ Conj(Sd) (6.10)
G
Γ
является главным комбинаторным инвариантом связности ∇. При этом множество плоских геодезических
F
= m−1(id)
G
Γ
является прообразом единичного класса, а само отображение (6.10) инвариантно относительно действия комбинаторной калибровочной группы
v∈V (Γ)
S
v
G =
(Sv=Aut(S(v)) Sdесть группы перестановок ребер звезд), действующей на множестве A
где g
— компоненты разложения элемента g ∈G. Таким образом, функ-
v
всех связностей на Γ по правилу:
Γ
g(∇)
−→
= g
e
vs(−→e )
◦∇
−1
−→
◦ g
e
(−→e )
v
t
, (6.11)
ция (6.10) поднимается с множества орбит B = A/G.
Заклеивая каждую неприводимую плоскую замкнутую геодезическую
ленточного графа Γ со связностью ∇ ориентированной двумерной клеткой,
мы получаем двумерный ориентированный клеточный комплекс C
Ленточный граф называется плоским,еслиC(Γ) = S
2
является 2-сферой.
∇
(Γ).
96 ГЛАВА 6
Вернемся, однако, к обычным графам без ленточной структуры. Обозначим через P
(Γ) множество всех неприводимых путей длины d в Γ и
d
рассмотрим два отображения
v
P
s
(Γ)
−→ V (Γ),Pd(Γ)
d
сопоставляющие пути p =(−→e
иконецv
тель L
(p)=vt(−→ed). Множество неприводимых ориентированных d-пе-
t
(Γ) = (vs× vt)−1(Δ) можно описать как прообраз диагонали при
d
,−→e2, ...,−→ed) его начало vs(p)=vs(−→e1)
1
v
t
−→ V (Γ),
отображении
vs×v
t
−−−− → V (Γ) × V (Γ).
В частности, L
(Γ)
P
d
(Γ) = (vs×vt)−1(v) состоит из неприводимых ориентиро-
d,v
ванных d-петель, начинающихся и кончающихся в отмеченной вершине v,
и объединение
v
π
(Γ)
1
def
=
∞
d=1
L
(Γ) (6.12)
d,v
допускает очевидную групповую структуру. Для связных графов имеется
естественное отождествление
v
π
(Γ)r−→ π1(Γ)
1
этой группы со стандартной фундаментальной группой графа Γ как одномерного клеточного комплекса. Например, фундаментальная группа тривалентного графа рода g есть свободная группа с g образующими: π
(Γ) = Fg.
1
Индуктивное изучение тривалентных графов основывается на том, что
любой такой граф получается из несвязного объединения 1-петель применением конечной цепочки элементарных преобразований Γ → Γ
из графа какое-нибудь ребро e с различными концами v
ющих оставшуюся в каждом из концов пару ребер {e
но новое «длинное» ребро e
преобразований Γ → Γ
new
i
, которые добавляют пару новых вершин v1, v
e1e
2
= e
e
,атакжеобратных элементарных
i
i
v
i
i
,e
1v2
i
,удаляющих
e
= ∂e исшива-
} = S(vi)\{e}вод-
внутрь двух (возможно, совпадающих) ребер e1, e2и пририсовывают к ним
новое ребро e
new
с ∂e
= {v1,v2}. Имеется два типа задач, где возникает
new
такого рода индукция: задача Эйлера и проблема раскраски.
Неприводимый путь p =(−→e
,−→e2, ...,−→ed) ∈ Pd(Γ) называется эйле-
1
ровым, если он проходит каждое ребро графа, причем ровно по одному разу.
Аналогично, система путей P
называется эйлеровой, если каждое ребро
E
2
§3. ГЕОМЕТРИЯ ГРАФОВ 97
Рис. 8. Два пути
графа ровно один раз содержится ровно в одном из путей p ∈ PE. Мини-
def
мально возможная мощность e(Γ)
=min|PE| системы эйлеровых путей
является важным инвариантом графа.
Легко видеть, что элементарное преобразование Γ → Γ
ного графа переводит эйлерову систему путей P
путей P
любой тривалентный граф цепочкой элементарных преобразований превращается в граф Γ
E
на единицу большей мощности на Γ
e
1,e2
с e(Γ)=1, у любого тривалентного графа Γ рода g
на Γ в эйлерову систему
E
(см. рис. 8). Поскольку
e1,e
2
e1,e
2
тривалент-
e(Γ) ≡ g −1(mod2)и 1 e(Γ) g +1.
Любой плоский ленточный граф Γ можно без самопересечений уложить на плоскость R
2
. Связные компоненты дополнения к нему при этом
будут образовывать «страны географической карты», и возникает знаменитая проблема четырех красок для вложенных графов.
Другая задача о раскрасках приходит из фейнмановских диаграмм. Рас-
краска графа набором цветов C =(c
, ..., cN) представляет собой отоб-
1,c2
ражение
c
E(Γ)
−→ C,
c|
v
такое, что ∀ v ∈ V (Γ) индуцированное отображение S(v)
−−→ C инъектив-
но, т.е. все ребра, выходящие из одной вершины, красятся в разные цвета
(при этом, разумеется, рассматриваются только графы без 1-петель). Ми-
нимально необходимое для этого число цветов χ(Γ)
def
= N
называется
min
98 ГЛАВА 6
хроматическим числом. Очевидно, что у любого тривалентного графа
3 χ(Γ) 4.
Чуть сложнее доказать, что χ(Γ) = 3, если и только если на Γ существует
набор (
, ..., n) неприводимых петель четных длин без общих ребер,
1,2
проходящий через все вершины графа. А утверждение о том, что для любого плоского тривалентного графа Γ без 1-петель χ(Γ) = 3,эквивалентно
положительному решению проблемы четырех красок.
Все предыдущее можно отнести к классической теории графов. Теперь
же, следуя идеям Сигала, мы рассмотрим пространство петель d-валентного графа, воспринимая последний (в стиле [10]) как многообразие.
Отрезок [0, 1] с возрастающим набором точек
[0 = p
0,p1,p2
, ..., p
d−1,pd
=1]
представляет собой простейшую двувалентную историю с двумя параболическими ребрами [0,p
получаем двувалентный d-цикл. Всякий путь p ∈ P
] и [p
1
, 1], соединяя которую в точках 0 и 1,
d−1
на Γ является образом
d
клеточного отображения
[0 = p
0,p1,p2
, ..., p
d−1,pd
=1]p−→ Γ,
иеслиp неприводим, то прообраз каждого ребра e ∈ E(Γ) является несвязным объединением конечного набора компактных связных компонент (без
учета ориентации)
−1
(e)=g1 ... g
p
число которых мы будем обозначать col
p
(e).
colp(e)
,
В частности, каждая неприводимая (неотмеченная) петля определяет
функцию
col
−−→ Z0, (6.13)
E(Γ)
которую мы будем называть типом петли.
Рассмотрим какую-нибудь вершину v с S(v)={e
через n
количе ство входов в v по ребру eiс выходом по ребру ejпри
ij
1,e2,e3
} иобозначим
обходе петли .Поскольку
col
(ei
)=
nij, (6.14)
j=i
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]