Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
.pdf
§3. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОДЪЕМ 139
∗
Напомним, что лежандровы циклы в S1(L
U(1)-расслоение
1
--
Λ
k
BS
над пространством бор-зоммерфельдовых
k
k
) образуют главное
циклов уровня k, так что множество всевозможных почти геодезических
подъемов доставляет многозначное сечение этого расслоения
--
Λ ⊃BS
k
BS
k
и является конечным циклическим накрытием над BSk.
Вернемся теперь к голдмановской вещественной поляризации
π
Γ
ss
M
−−→ Δ
из §2 главы 4. У нее имеется конечное множество бор-зоммерфельдовых
слоев, расположенных над точками,
S
=Δ∩
k
2k
1
Z.
Определение 3. Фиксация почти геодезического подъема
Λ
= μk◦ det ◦G(ϕw)(Sw)=μ2◦ λ(Sw) ⊂ S1(L2k)
w
каждого бор-зоммерфельдова слоя S
ции π
называется выбором (неабелевой) ϑ-структуры для этой поляри-
Γ
⊂Mssвещественной поляриза-
w
зации.
На каждом бор-зоммерфельдовом слое вещественной поляризации
можно каноническим образом выбрать полуформу. Для этого вспомним данное нами в предл. 3 из §3 главы 4 описание бор-зоммерфельдовых слоев
вещественной поляризации как однородных пространств G
есть группы (4.19). На группах U (1) и SU(2) имеются двусторонне-инвари-
антные полуформы
√
μ1и√μ2, которые можно нормализовать так, чтобы
e/Gv
,гдеGe, G
произведение (см. след. 1 из § 3 главы 4)
√
μw=
√
μ1(w)
t−s
√
·
μ2(w)
p+s
(8.13)
v
было однородно степени 1 по отношению к растяжениям
√
μi(w) → t ·√μi(w).
Назовем такую полуформу
1
Оно называется расслоением Бэри уровня k,см.[29].
2
Легко видеть (см. [42, 4.7]), что однородно нормализованная полуформа единичного объема на неособом бор-зоммерфельдовом слое уровня k индуцируется гамильтоновым векторным полем, гамильтониан которого поднят с
√
μwна π−1(w) однородно нормализованной2.
3g−3
.
140 ГЛАВА 8
Итак, над каждой
1
-целой точкой w ∈ Δ мы фиксируем почти геоде-
2k
зический лежандров подъем
Λ
= μ2◦ μλ(S) ⊂ S1(L2k)
w
ϕ
w
соответствующего бор-зоммерфельдова слоя S
⊂
-
ss
M
вещественной
поляризации Голдмана и снабжаем его полуформой
√
μw=(μk◦ det ◦G(ϕw))
√
∗
μ
w
(гауссовым подъемом канонической ковариантно постоянной нормализованной полуформы (8.13)). Теперь мы можем применить к этому полувзвешенному лежандрову циклу
BPU-отображение из § 2 главы 8. Поскольку M
почти однородно относительно торического действия Голдмана, описанного в § 1 главы 4, шварцево ядро
BPU-отображения над внутренними точками
многогранника Дельцана будет вести себя точно так же, как и в однородном
случае, разобранном в [12, формулы (10–13)], и мы получаем окончательный результат нашего долгого путешествия
1
:
Теорема 4. Подъем неабелевых ϑ-функциий
1
2k
Z
(8.14)
ϑ
w
def
= BPU
kΘ
,√μ
Λ
w
w
на неабелево пространство Шоттки S
с w ∈ Δ ∩
вдоль канонического мероморфно-
g
го отображения (3.14)
f|
S
g
S
−−−→Mss(Σ)
g
превращает их в набор голоморфных сечений (7.6):
(−iΩ)
C
1/k
Γ
j
ϑ
с Γ
j
∈ S
k
,
Γ
I
построенных нами в §2 главы 7.
Итак, на каждом уровне k мы имеем башню из накрытий:
→ M
M
kΘ
1
С точностью до фазовых множителей (6.8) эта теорема очевидна из наших геометрических построений; может быть, фиксацию этих фазовых множителей следует (в духе RCFT)
вносить прямо в определение неабелевой ϑ-структуры?
S(k)
→ M
Γ
g
→M
ss
,
g
§3. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОДЪЕМ 141
ss
где M
лей римановых поверхностей Σ
образие модулей римановых поверхностей Σ
кой, а M
— многообразие модулей кривых рода g, M
g
— многообразие модулей кривых с фиксированной ϑ-структурой,
kΘ
, раскроенных на штаны, M
Γ
Γ
j
— многообразие моду-
Γ
g
S(k)
с фиксированной спин-сет-
—много-
отвечающей полувзвешенному бор-зоммерфельдову слою проекции (4.11).
Обозначим их композицию через
ϕ
: MkΘ→M
kΘ
ss
. (8.15)
g
Из совпадения связностей Хитчина, WZW и Коно вытекает
Теорема 5. Подъем связности Хитчина на векторном расслоении
пространств неабелевых волновых функций (3.47) относительно накры-
тия (8.15) задает эрмитову плоскую связность
нии
где через ϑ
подъемов
2
∗
Pϕ
H
kΘ
обозначены BPUk-образы (8.14) канонических геодезических
w
бор-зоммерфельдовых циклов π
k
= P
w∈Sk(Γ)
1
на проективном расслое-
O·ϑ
−1
(w), отвечающих фиксирован-
Γ
, (8.16)
w
ной ϑ-структуре.
1
Ясно, однако, что соответствующая эрмитова структура на расслоении (8.16) не инвариантна относительно группы накрытия (8.15).
2
См. § 3 главы 8.
ГЛАВА 9
Точки максимального вырождения
§ 1. Предельные м-кривые
Свести воедино все представленные выше конструкции позволяет редукция многообразия модулей M
подмножеству, состоящему из специальных кривых, на которых все наши
конструкции — как алгебро-геометрические, так и аналитические — прослеживаются и взаимодействуют максимально простым образом. Наличие
согласованных проективно-плоских связностей на всех наших расслоениях конформных блоков позволяет затем распространить результаты такого
анализа и на произвольные кривые. И поскольку аналитическая версия двумерной конформной теории поля (см. [25]) предполагает продолжаемость
всех геометрических объектов (в частности, расслоений конформных блоков) на компактификацию Делиня – Мамфорда
кривых, в качестве специальных кривых мы можем выбрать «максимально
вырожденные» негладкие приводимые кривые. В этой главе мы описываем
соответствующие им точки на
1
ций
, являющуюся математическим выражением обнаруженных физиками
многочисленных соотношений между струнными теориями и конформными
теориями поля в размерности 1+1.
Напомним, что произвольный тривалентный граф Γ рода g определяет
(гомотопически эквивалентное ему) трехмерное тело с ручками H
цей которого служит риманова поверхность
кривых рода g к некоторому точечному
g
Mgмногообразия модулей
Mgи исследуем геометрию их деформа-
, грани-
Γ
= ∂HΓ, (9.1)
Σ
Γ
1
Эти точки похожи на максимально унипотентные особые точки многообразия модулей
трехмерных многообразий Калаби – Яу, которые при зеркальной симметрии соответствуют
предельным точкам, возникающим при бесконечном увеличении размеров многообразия; и
хотя недостаток места не позволяет нам провести здесь полную параллель с зеркальной симметрией в контексте алгебраических кривых, мы, дабы подчеркнуть наличие такой параллели,
будем называть наши вырожденные кривые предельными м-кривыми.
§2. КАНОНИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 143
которую можно представлять себе как результат «накачивания» ребер графа Γ до «трубок»
1
, а вершин — до «штанов» (т. е. сфер с тремя дырками),
какнарис.6,стр.90.Приэтомнабориз(3g − 3) попарно неизотопных
окружностей, охватывающих горловины трубок, задает раскрой поверхности Σ
на (2g − 2) штанов. Разумеется, такая поверхность еще не является
Γ
алгебраической кривой, поскольку пока не наделена никакой комплексной
структурой.
Однозначно извлечь из графа комплексную структуру, однако, тоже
можно — это будет комплексная структура «максимально приводимой» алгебраической кривой P
римановых сфер P
торые склеены друг с другом по тройкам точек {p
вечающих ребрам звезд S(v)={e
точки все (3g −3) окружности, по которым Σ
, распадающейся в объединение (2g −2) прямых:
Γ
= CP1, отвечающих вершинам графа v ∈ V (Γ),ко-
v
1,e2,e3
}. Иначе говоря, мы стягиваем в
разрезается на штаны. Полу-
Γ
,p
,p
e
e
2
3
}⊂Pv,от-
e
1
чающаяся в результате связная приводимая кривая называется предельной
м-кривой. Она имеет арифметический род g и лежит в самой глубокой ком-
поненте
"
Diграничного дивизора
i=0
D = Mg\Mg= D0∪
2
g−1
D
i
i=1
g−1
компактифицированного по Делиню– Мамфорду многообразия модулей
кривых рода g. Множество всех предельных м-кривых представляет собой
конечную конфигурацию точек на границе
Mg:
P = {P
⊂ Mg\Mg, (9.2)
Γ}Γ∈T
занумерованных тривалентными графами.
§ 2. Канонические линейные системы
Сечениями канонического линейного расслоения KΓпредельной
м-кривой P
ренциалы ω с простыми полюсами в точках склейки p
1
Или канал ов, если пользоваться терминологией квантовой конформной теории поля.
2
Напомним, что общая точка дивизора D0является неприводимой кривой с ровно одним
простым самопересечением, а общая точка на D
над каждой компонентой Pvявляются мероморфные диффе-
Γ
K
= K
(p
+ p
+ p
Γ|P
P
e
v
v
e
1
2
i
)=O
e
3
— букетом гладких кривых рода i и g − i.
, p
, p
e
e
1
(1), (9.3)
P
1
e
2
3
,т.е.
144 ГЛАВА 9
так что c(KΓ)=(1, 1, ..., 1) в решетке Нерона –Севери
NS(P
)=
Γ
Глобальное голоморфное сечение s ∈ H
мероморфных дифференциалов ω
v
Pic(Pv).
v∈V (Γ)
0
(PΓ,KΓ) представляется набором
на компонентах Pvс простыми полюса-
ми в точках склейки, вычеты которых удовлетворяют соотношениям:
ω
=0 ∀ e =[v,v] ∈ E(Γ),
p
v
e
ωv=0 ∀ S(v)={e1,e2,e3}.
p
e
3
(9.4)
res
ωv+res
p
e
1
res
ωv+res
p
e
p
ωv+res
e
2
Назовем толщиной графа Γ минимальное число t(Γ) его ребер, после
удаления которых граф становится несвязным. И. Артамкин в [7] доказал
Предложение 1. Каноническая линейная система |K
| не имеет ба-
P
Γ
зисных точек тогда и только тогда, когда t(Γ) 2,иоченьобильнатогда
и только тогда, когда t(Γ) 3.
Ниже мы для простоты ограничиваемся только случаем графов толщины 3, для которых каноническая линейная система |K
φ
K
Γ
-
g−1
P
= PH0(PΓ,K
⊂
P
Γ
| задает вложение
P
Γ
∗
)
.
P
Γ
Повторяя классическое рассуждение Кастельнуово, мы получаем
Предложение 2. Размерность полной линейной системы квадрик
g−1
в P
, проходящих через каноническую кривую φ
dim |2h − φ
Следствие 1.
∈ Mg, отвечающей предельной м-кривой, и слой кокасательного рас-
ке P
Γ
Mgявляется гладким орбифолдом в каждой точ-
(PΓ)| =dim|2h|−3g +3. (9.5)
K
Γ
(PΓ), равна
K
Γ
слоения в такой точке
∗
T
Mg= H0(PΓ, O
P
Γ
(2K
P
Γ
)) . (9.6)
P
Γ
Рассмотрим теперь дважды каноническое отображение кривой P
даваемое полной линейной системой |2K
φ
2K
Γ
P
Γ
−−−→ P
3g−4
= |2KΓ|∗= PT
|:
Γ
.
M
P
g
Γ
,за-
Γ
§3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПРЕДЕЛЬНЫХ м-КРИВЫХ145
Образы простых двойных точек φ
конфигурацию из (3g − 3) = dim H
(pe) составляют при этом вложении
2K
Γ
0
(PΓ, O(2K
)) линейно независимых
P
Γ
точек, а компоненты кривой переходят в неприводимые коники, каждая из
которых однозначно определяется любой тройкой лежащих на ней точек.
В частности, конфигурация двойных точек задает разложение касательного
пространства
T
Mg=
P
Γ
Ce. (9.7)
e∈E(Γ)
В следующем параграфе мы покажем, что каждое из этих базисных касательных направлений C
откуда будет вытекать, что кривая P
ственно своим дважды каноническим образом, а не его орбитой по модулю
действия проективных автоморфизмов P
интегрируется до рациональной кривой на Mg,
e
однозначно определяется непосред-
Γ
3g−4
, как это происходит для общей
алгебраической кривой.
§ 3. Специальные однопараметрические деформации
предельных м-кривых
Назовем простым флагом тривалентного графа Γ пару
(e ⊂ Γ),
где e ∈ E(Γ) — любое ребро, не являющееся петлей, т. е. с ∂e = v
= v. Будем называть звездой такого ребра
v
v,
def
=(S(v) ∪ S(v)) \{e},
S(e)
т. е. если S(v
)={e, e
,e
}, S(v)={e, e
1
2
S(e)={e
,e
},то
1
2
,e
1
,e
,e
2
}.
1
2
Напомним (см. § 3 главы 6), что имеются 3 элементарные преобразования,
стягивающие ребро e в новую 4-валентную вершину v
new
с S(v
)=S(e),
new
а затем раздувающие ее в новое ребро
e
=[v
new
в соответствии с тремя возможными разбиениями S(v
new
,v
new
],
),надвепары
new
ребер:
146 ГЛАВА 9
1) S(v
2) S(v
3) S(v
new
new
new
)={e
)={e
)={e
Первое преобразование возвращает нас к исходному графу Γ,адвадругих
приводят к новым графам Γ
new
new
new
,e
,e
,e
,e
1
2
,e
1
2
,e
1
1
}, S(v
}, S(v
}, S(v
, Γс выделенным ребром e
new
new
new
)={e
)={e
)={e
new
new
new
,e
,e
,e
,e
};
1
2
,e
};
1
2
,e
}.
2
2
. Будем называть
new
тройку простых флагов
(e ⊂ Γ), (e
⊂ Γ), (e
new
⊂ Γ) (9.8)
new
гнездом флагов. Отметим, что гнездо однозначно определяется любым флагом, входящим в тройку, и имеется каноническое отождествление графов
Γ \ S(e)=Γ
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Элементарное преобразование 1-петли e всегда приводит к тому
же самому графу с той же петлей e
Рассмотрим теперь две компоненты P
вершинам исходного ребра e =[v
\ S(e
new
)=Γ\ S(e
new
new
).
= e.
, P
,v
v
]. Вклеивая вместо pe= P
кривой PΓ,отвечающие
v
∩ P
v
v
трубку, мы получаем сферу S2= P1с двумя парами отмеченных то-
,p
чек (p
рассмотрим двойное накрытие
) и (p
e
e
1
2
,p
). Зафиксируем на ней комплексную структуру и
e
e
1
2
φ
−→ P
1
E
(9.9)
с ветвлением в этих точках. Мы получаем эллиптическую кривую E сотмеченной точкой второго порядка
+ p
σ = p
e
1
− p
e
e
2
Таким образом, пространство модулей комплексных структур на S
четырех точек совпадает с многообразием модулей M
ческих кривых с отмеченной точкой второго порядка. Варьируя эту комплексную структуру τ ∈M
всех остальных компонентах кривой P
2
при неизменных комплексных структурах на
1
, мы получим однопараметрическое
Γ
семейство стабильных алгебраических кривых P
ψ
e,Γ
2
⊂
M
1
-
− p
. (9.10)
e
1
2
2
без
τ
и вложение
e⊂Γ
2
гладких эллипти-
1
Mg. (9.11)
§3.СПЕЦИАЛЬНЫЕ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ м-КРИВЫХ 147
Как известно, M
2
= P1\{σ, σ,σ} представляет собой проективную пря-
1
мую без трех точек, которые как раз и соответствуют трем возможным
разбиениям четырех вершин p
эллиптической кривой точки второго порядка, и отображение (9.11) продол-
, p
, p
e
e
1
2
, p
e
на две пары, т. е. выбору на
e
1
2
жается до отображения
ψ
e,Γ
1
−−− → Mg: σ → PΓ,σ→ P
P
,σ→ P
Γ
, (9.12)
Γ
отправляющего выколотые точки в предельные м-кривые, отвечающие трем
описанным выше перестройкам графа Γ, образующим гнездо флагов (9.8).
Мы доказали
Предложение 1. Каждое касательное направление C
ния (9.7), определяемое двойной точкой м-кривой P
проективной прямой (9.12) в пространстве модулей
, интегрируется до
Γ
Mg.
из разложе-
e
Следствие 1. Образ дважды канонического вложения однозначно вос-
станавливает кривую.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если ребро e является 1-петлей с вершиной v и S(v)={e, e},
то P
будет рациональной кривой с одной отмеченной двойной точкой peиглад-
v
кой точкой p
отмеченной точкой p
вклеенную трубку и такой, что класс a (mod 2) является точкой второго порядка
2
. Пространство M
на T
изоморфно
ная кривая ψ
соответствующей P
. Заменяя двойную точку peна трубку, получаем гладкий тор T2с
e
∗
e,Γ
и выделенной окружностью a ∈ H1(T2,),охватывающей
e
2
комплексных структур на T2с таким набором жесткостей
\{1}, т.е. снова представляет собой
(M
1
2
) допускает в этом случае компактификацию двойной точкой,
1
.
Γ
1
без трех точек, и рациональ-
Итак, компактификация Делиня – Мамфорда Mgсодержит приводи-
мую кривую
компоненты которой C
e,Γ
(e ⊂ Γ). Мы видели, что для любого простого флага отображение ψ
является вложением, и соответствующая компонента C
C =
= ψ
C
⊂ Mg, (9.13)
e,Γ
(e⊂Γ)
) нумеруются всевозможными флагами
e,Γ(P1
⊂C—гладкая
e,Γ
e,Γ
рациональная кривая, пересекающая P ровно по трем точкам
∩P= PΓ+ P
C
e,Γ
соответствующим гнезду (Γ, Γ
них касательное пространство к
следует
+ P
Γ
, Γ) флага (e ⊂ Γ), причем в каждой из
,
Γ
Mgимеет разложение (9.7). Отсюда сразу
148 ГЛАВА 9
Предложение 2. Две различные компоненты C , Cкривой (9.13) либо
не пересекаются, либо пересекаются трансверсально, и
C ∩C
∈P,
причем множество S(Γ) компонент, проходящих через данную точку P
∈P, нумеруется вершинами e ∈ E(Γ).
Γ
Геометрия всех кривых семейства C
дельных м-кривых. Рассмотрим на такой кривой точку P
приводимой кривой, одна компонента которой P
очень близка к геометрии пре-
e,Γ
является сферой с че-
v,v
,отвечающую
E,σ
тырьмя выколотыми точками
p
p
e
1
p
e
2
p
e
e
1
2
(9.14)
(и соответствует эллиптической кривой (9.9) с точкой второго порядка (9.10)), а остальные (2g −4) компоненты P
же трехдырочными сферами, что и в P
(так что всего имеется (3g −1) про-
Γ
с v = v,vостаются теми
v
стых двойных точек).
Сечения канонического обратимого пучка K
компонентой P
с простыми полюсами в p
, как и выше, являются мероморфными дифференциалами ω
v
, p
, p
e
1
, а над новой компонентой — мероморф-
e
e
2
3
над каждой старой
P
E,σ
ными дифференциалами с простыми полюсами в точках (9.14), так что канонический класс имеет в группе Нерона – Севери
(первая координата соответствует эллиптической компоненте).
Глобальные голоморфные сечения s ∈ H
бором из (3g − 4) мероморфных дифференциалов ω
ференциалом ω
, которые имеют в выколотых точках вычеты, связанные
v,v
0
P
E,σ,KP
NS
тип (2, 1, ..., 1)
P
E,σ
задаются на-
E,σ
и еще одним диф-
v
теми же ограничениями (9.4), что и для м-кривых.
φ
K
g−1
Каноническое отображение P
ты P
v
впрямые,аP
v,v
ных дифференциалов на P
орбифолдом в точке P
P
E,σ
E,σ
φ
2K
−−−→ P
— в конику. Размерность пространства квадратич-
равна (3g −3),такчтоMgявляется гладким
E,σ
, а дважды каноническое отображение
3g−4
= PT
E,σ
−−→ P
P
E,σ
M
является вложением, причем над образами двойных точек кривой P
переводит все компонен-
!
!
=
2 K
g
!
∗
!
P
E,σ
E,σ
мы,
как и выше, будем иметь каноническое разложение (9.7) касательного пространства к
Следовательно, образы простых двойных точек кривых P
разложение
Mg.
задают
E,σ
!
!
T
M
= TC
g
C
e,Γ
e,Γ
⊕
e∈E(Γ)\{e}
L
e
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]