Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
.pdf
§8. MS-ВЕРСИЯ RCFT И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОНО 119
Определение 3. Оператором подкрутки называется эндоморфизм
(j) ∈ EndH
S
k
k
,
,j
Γ
1,1
удовлетворяющий трем условиям:
1) S
(j)2=(−1)je
k
2) (S
(j)Ta)3= Sk(j)2;
k
3) S
k(j1,j2
S
) ◦ T
k(j1,j2
πij(j+1)/(k+2)
−1
◦ T
a
a
)=f−1◦
id;
◦ Sk(j1,j2)−1= B,где
Sk(j)◦f ∈ EndH
j
k
Γ
1,2,j1,j2
, (6.53)
B — оператор (6.50) с матрицей (6.51), а f — изоморфизм (6.49).
(Существование такой подкрутки для k =1, 2, 3 проверяется эле-
ментарным прямым вычислением; для общего k это вытекает из WZW
SU(2)-RCFT над тором c двумя дырками
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Мы видим, что для замкнутых графов (без параболических
ребер) сплетающие матрицы используются только в самом последнем уравнении (6.53), причем только в специальных комбинациях (6.51). Геометрически это
означает, что подкрутка (конструкция которой использует проекцию тривалентного
графа на плоскость) почти не зависит от того, какое ребро при пересечении двух
ребер проходит выше, а какое — ниже. Это дает повод надеяться, что вычисления
подкруток в RCFT и в теории спин-сеток будут совпадать и для замкнутых графов
старших родов g>1.
1
.)
Теперь мы, следуя Коно2и используя матрицы слияния F, диагональные операторы T
и подкрутки S (6.51), построим проективное представ-
e
ление (5.10) и расслоение (6.22). Для начала рассмотрим граф «мультитэта» Θ
рода g, представленный на рис. 14 на стр. 120 (см. также [72]
g−1
и [43, fig. 12b]).
Зафиксируем на римановой поверхности Σ
набор простых окруж-
Θ
g−1
ностей
, ..., ag,b1,b2, ..., bg,δ2, ..., δg,ε2, ..., ε
{a
1,a2
1
См., например, [68].
2
См. [43].
}. (6.54)
g−1
120 ГЛАВА 6
Рис. 14. Мультитэта и графы Θg, Γ
Раскрой этой поверхности на штаны, кодируемый графом Θ
g×O
, задается
g−1
поднабором окружностей
, ..., ag,δ2, ..., δg,ε2, ..., ε
{a
1,a2
}, (6.55)
g−1
которые мы отождествляем с соответствующими ребрами и строим по ним
набор диагональных операторов (6.52)
,T
{T
a
1
на пространстве H
, ..., T
a
2
k
. Эти операторы представляют скручивания Дена
Θ
g−1
,T
, ..., T
a
δ
g
2
,T
, ..., T
δ
ε
g
2
ε
g−1
}
вдоль всех окружностей (6.55), но они пока не порождают всю модулярную
группу M
: еще остаются скручивания Дена вдоль петель bi, для представ-
g
ления которых нам придется несколько упростить наш граф.
Рассмотрим граф Γ
собой цепочку из g окружностей C
ненных (g −1) ребрами B
Средние окружности C
E(Γ
)=C1,Cg,C
g×O
, изображенный на рис. 14 и представляющий
g×O
1,B2
, ..., C
2
, ..., C
2
, ..., B
g−1
, ..., Cg, последовательно соеди-
1,C2
так, что Biсвязывает Ciс C
g−1
содержат по два ребра Ci= C
g−1
,C
, ..., C
2
,B1, ..., B
g−1
i
g−1
∪ C
.
i+1
i
,и
.
§8. MS-ВЕРСИЯ RCFT И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОНО 121
Разрезая соответствующую риманову поверхность Σ
ностям B
, мы получим два тора с дыркой Σ
i
1
1,1
, Σ
по (g −1) окруж-
Γ
g×O
g
и (g − 2) торов Σ
1,1
i
1,2
(где 2 i g −1)сдвумядырками,приэтомb-кривые b1и bgиз исходного
набора (6.54) оказываются, соответственно, на первом и на втором торе с
одной дыркой:
1
⊂ Σ
b
1
,bg⊂ Σ
1,1
g
1,1
,
а остальные b-кривые попадают на дважды проколотые торы:
i
b
⊂ Σ
i
Отождествляя пространство H
сирован базис, индексированный спин-сетками уровня k на Γ
чаем следующие представления для скручиваний Дена вдоль b
при 2 i g −1.
1,2
k
c пространством H
Θ
g−1
k
, в котором фик-
Γ
g×O
,мыполу-
g×O
(действую-
i
щих на паре торов с одной и с двумя дырками, как на стр. 118):
T
A
g−1
◦ Sk(j(B1)) ◦T
T
A
1
T
◦ Sk(j(B1),j(B2)) ◦ T
A
2
···············
◦ Sk(j(B
T
◦ Sk(j(B
A
g
g−2
),j(B
g−1
g−1
)) ◦ T
,
A
1
)) ◦ T
A
g
,
A
2
(6.56)
,
A
g−1
.
Используя представление модулярной группы образующими и соотношениями (см. [79]), проверяем, что построенные нами операторы задают нужное нам проективное представление (см. [43]). В результате мы получаем
два «почти линейных» проективных представления (5.10), возникающих из
двух версий рациональной конформной теории поля: из модели Весса – Зумино – Виттена (связность (5.8) из § 2 главы 5) и из аксиоматики Мура–
Зайберга. Слои соответствующих плоских векторных расслоений являются
пространствами волновых функций для двух различных типов поляризаций:
комплексной и вещественной. В работе [43] Коно рассматривает собственную версию конформной теории поля, основанную на комбинаторном описании пространства конформных блоков. В конце этой книги мы обсудим,
как напрямую отождествить все эти теории.
ГЛАВА 7
Аналитические аспекты теории
неабелевых ϑ-функций
§ 1. Унитарное пространство Шоттки
Материал этой главы полностью параллелен § 4 главы 2 и основывается
на препринте [27].
Рассмотрим пространство H
множеством спин-сеток или соответствующих им
пространстве Шоттки S
u
. Поскольку многообразие
g
u
S
g
особо, нам придется интерпретировать все геометрические объекты на нем
как Ad
(SU(2))-инвариантные объекты на прямом произведении SU(2)g.
diag
Комплексификацией компактной вещественной группы SU(2) является
комплексная группа SL(2, C). У этих двух групп одинаковая теория конечномерных представлений:
k
из формулы (6.2). Его базис занумерован
Γ
=SU(2)g/Ad
diag
1
функций на унитарном
SU(2)
IR (SU(2)) = IR (SL(2, C)) =
1
Z
.
0
2
Как и выше, мы будем обозначать эти неприводимые представления символами j ∈
так что dim V
1
Z0, а пространства, в которых они происходят, — буквами Vj,
2
=(2j +1). Отметим, что действие SL(2, C) на Vj,конечно
j
же, не сохраняет эрмитову структуру, но условие существования сплетающих операторов в тензорных произведениях и сами эти операторы будут
теми же, что и для SU(2) ⊂ SL(2, C).
1
См. предл. 1 из § 7 главы 6 на стр. 113.
§2. g-РАСШИРЕНИЕ КОНСТРУКЦИИ ХОЛЛА ДЛЯ SU(2) 123
§2. g-расширение конструкции Холла для SU(2)
Прежде всего, для удобства читателя и фиксации необходимых обозначений, напомним вкратце, что Б. Холл в [36], используя ядро
теплопроводности с лапласианом Δ, индуцированным нормированной двусторонне-инвариантной метрикой dx на SU(2), построил преобразование
когерентных состояний
CST
2
L
(SU(2),dx)
t
−−→H(SL(2, C)) ∩ L2(SL(2, C),dz) (7.1)
вещественных функций на SU(2) в голоморфные функции на комплексной группе SL(2, C). А именно, ядро теплопроводности
t
ственное аналитическое продолжение на SL(2, C) (которое мы также будем
обозначать
), и функция
t
f ∈ L
2
(SU(2),dx)
переводится отображением (7.1) в голоморфную функцию, значение которой на элементе z ∈ SL(2, C) равно SU(2)-усреднению когерентных состояний:
CST
f(z)=
t
f(x)t(x−1z) dx = C(tf)(z)=Ce
SU(2)
tΔ/2
(где обозначает свертку на SU(2),аC — аналитическое продолжение
c SU(2) на SL(2, C)). Преобразованная функция представляет собой решение уравнения теплопроводности
уравнения
t
допускает един-
f(z) (7.2)
∂u
1
=
Δu
2
∂t
с начальным условием u(0,x)=f(x),иеслиf ∈ L
2
(SU(2),dx) имела
разложение Петера– Вейля:
f(x)=
j∈IR(SU(2))
tr(j(x)B
j,f
),
где сумма берется по всем классам эквивалентных неприводимых представлений и
B
=
j,f
dim V
1
j
f(x) · j(x−1) dx ∈ End(Vj), (7.3)
SU(2)
124 ГЛАВА 7
то CSTtf(z)=
j∈IR(SL(2,C))
оператора −Δ на функциях tr(B
Оказывается, что, продолжая преобразование
−tλj/2
e
tr(j(z)B
(x)).
j
),гдеλjесть собственные значения
j,f
CST
на подходящий
t
класс обобщенных функций на SU(2) (как в § 4 главы 2), мы сможем
получать голоморфные функции на SL(2, C), являющиеся голоморфными
сечениями линейных расслоений. Более того, эта конструкция дословно
переносится на произведения
SU(2)
g
⊂ SL(2, C)
g
и даже может быть спущена на компактифицированные факторы
u
=SU(2)g/Ad
S
g
(SU(2)) ⊂ Sg=SL(2, C)g/Ad
diag
(SL(2, C)),
diag
но этот последний шаг потребует введения некоторых дополнительных параметров, с точного описания которых мы и начнем.
Зафиксируем комплексную симметрическую (g ×g)-матрицу с положительной мнимой частью
1
Ω=(Ωαβ)=ReΩ+i Im Ω и рассмотрим на S
инвариантный лапласиан
g
Δ
(Im Ω)
=
α,β=1
1
2πi
Im Ω
αβ
2
∂
∂xα∂x
β
u
g
(где ∂/∂xα, ∂/∂xβесть инвариантные векторные поля на SU(2)). Обозначим через μ
(Im Ω)
фундаментальное решение комплексного уравнения
t
теплопроводности
∂u
∂t
ачерезdν
действию S
αβ
∂xα∂x
2
∂
+
∂yα∂y
β
(Im Ω)
dw на Sgпо левому
t
g
u =
α,β=1
8π
1
Im Ω
(Im Ω)
1
=
Δ
C
4
(Im Ω)
— усреднение гауссовой меры2μ
t
u
. При всех вещественных t>0 мы имеем унитарное преобра-
g
2
∂
u,
β
зование Холла:
(Im Ω)
CST
2(Su
,dx)
L
g
f → CST
1
Т. е. точку зигелева полупространства Hg.
2
Здесь dw ≡ dx dy — индуцированная нормализованной мерой Хаара стандартная мера
на S
=SL(2,)g/Ad
g
(SL(2,)).
diag
t
−−−−−→H(Sg) ∩ L2(Sg,dν
t
(Im Ω)
(Im Ω)
t
f(w)=Ce
Δ
2
(Im Ω)
t
f(w),
),
§2. g-РАСШИРЕНИЕ КОНСТРУКЦИИ ХОЛЛА ДЛЯ SU(2) 125
и нетрудно видеть, что добавление к лапласиану мнимой части, т.е. замена
его несамосопряженным лапласианом на S
g
Δ
(−iΩ)
= −
α,β=1
2π
u
:
g
αβ
2
∂
∂xα∂x
,
β
i
Ω
не нарушает унитарности этого преобразования.
t
−i(Ω)
Предложение 1. Преобразование
2(Su
L
,dx) →H(Sg) ∩ L2(Sg,dν
g
унитарно для любых матрицы Ω ∈ H
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
(−iΩ)
CST
и вещественного t>0.
g
= C◦e
t
Это преобразование раскладывается в композицию:
= C◦e
t
(Im Ω)
Δ
2
◦ e
t
Δ
2
(−i Re Ω)
, в которой унитарность оператора C◦e
Δ
2
(Im Ω)
), (7.4)
t
:
CST
(−iΩ)
t
t
Δ
2
(Im Ω)
хорошо известна, а
t
(−i Re Ω)
Δ
2
e
унитарен при t ∈ R,посколькуΔ
Если поднять функцию f ∈ L
ной функции на SU(2)
g
и разложить ее в ряд Петера – Вейля:
f(x)=
−→
j ∈IR(SU(2)
(Re Ω)
2(Su
tr
t
(Re Ω)
−i
Δ
2
= e
самосопряжен.
,d−→x ) до Ad
g
−→
j (−→x )B
g
)
−→
j,f
(SU(2))-инвариант-
diag
=
(где, как и в (6.42)–(6.43), суммирование происходит по всем классам эквивалентных неприводимых представлений
рье B
−→
j,f
∈ EndV
−→
вычисляются по привычной формуле), то ее образ при
j
1
SU(2)g, а коэффициенты Фу-
преобразовании (7.4) будет задаваться формулой
e
−tλ
g
)
(−iΩ)
−→
j
(−iΩ)
CST
1
Которые исчерпываются тензорными произведениями−→j = j1⊗ j2⊗ ··· ⊗ j
с jν∈ÁÊ(SU(2)).
t
f (−→z )=
−→
j ∈IR(SU(2)
/2
tr
−→
j (z)B
−→
j,f
),
g
126 ГЛАВА 7
(−iΩ)
где λ
−→
j
вида tr(B
же Ad
diag
есть собственное значение оператора −Δ
−→
(−→z )),аB
j
−→
∈ End(V
j
−→
) представляют собой в точности те
j
(SL(2, C))-эквивариантные эндоморфизмы ровно тех же про-
(−iΩ)
на функциях
странств, что и для SU(2)-случая. Таким образом, голоморфная функ-
CST
(−iΩ)
f (z) тоже Ad
t
(SL(2, C))-инвариантна, т.е. спускается на Sg,
diag
g
имеющегося на SU(2)
ция
доставляя аналитическое продолжение на SL(2, C)
решения комплексного уравнения теплопроводности
1
∂u
∂t
(−iΩ)
=
Δ
2
u
g
с начальным условием f на S
герентных состояний продолжается на пространство обобщенных функ-
1(C∞(Su
ций
)).
g
Предложение 2. Для любых Ω ∈ H
u
. И это расширенное преобразование ко-
g
и вещественного t>0 преобразо-
g
вание обобщенных функций, задаваемое в терминах разложения Петера –
Вейля формулой
−→
j ∈IR(SU(2)
tr(−→j (−→x )B
g
)
−→
) →
j,f
−→
j ∈IR(SU(2)
e
−tλ
g
)
(−iΩ)
−→
j
/2
tr(−→j (z)B
−→
), (7.5)
j,f
является корректно определенным линейным отображением
(−iΩ)
CST
∞(Su
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
(C
g
Действие оператора Лапласа и его степеней на обобщенные функ-
ции двойственно их действию на C
=
−→
j ∈IR(SU(2)
некоторой константы C
1
Напомним, что унитарное пространство Шоттки S
tr
−→
j (−→x )B
g
)
−→
j,f
> 0 (где норма
1
(j
1,j2
t
))
−−−−−→H((SL(2, C))g).
∞(Su
). По определению, f =
∈ (C
∞(Su
, ..., jg)2=
g
),еслиB
g
g
(2jν+1)
ν=1
компактно.
g
−→
<C1e
j,f
2
−→j
для
§2. g-РАСШИРЕНИЕ КОНСТРУКЦИИ ХОЛЛА ДЛЯ SU(2) 127
для−→j ∈ IR (SU(2)g)). Ну, а голоморфность CST
вание константы C
(−iΩ)
−tλ
|e
/2
−→
j
> 0 такой, что
2
−→
|·B
j,f
<e
C2−→j
2
∀−→j ∈ IR (SU(2)g) с ||−→j || 0.
(−iΩ)
f означает существо-
t
Но такое C
Искомые нами неабелевы ϑ-функции на S
ем преобразования (7.5) из предыдущего предложения к подходящим линейным комбинациям δ-функций на S
ние (7.5) при
с носителем в единице, для которой B
функцию
Ну, а для произвольной спин-сетки Γ
CST
нить
что даст аналитическую функцию C
существует, поскольку Im Ω > 0.
2
получаются применени-
g
u
. А именно, применяя преобразова-
g
−tkλ
e
g
j
f
Γ
j
g
(−iΩ)
1/k
tr
g
−→
j,f
)
∈ S
tr
)
(ϑ
(−iΩ)
−→
−→
j (−→x )
)
=id, получим голоморфную
−→
/2
j
tr
j (z).
k
уровня k нам следует приме-
Γ
−→
j (−→x ),
Γ
j
) на Sg.
1
t =1/k к δ-функции
ϑ
(−iΩ)
CST
(−iΩ)
к обобщенной функции
1/k
1/k
(ϑ
Γ
j
ϑ
u
S
g
(x)=
k
−→
j ∈IR(SU(2)
u
S
g
)=
k
−→
j ∈IR(SU(2)
(x)=
−→
j ∈IR(SU(2)
Получаемый таким способом набор голоморфных функций
(−iΩ)
C
1/k
Γ
j
ϑ
(7.6)
на комплексном пространстве Шоттки и является искомым неабелевым
обобщением ϑ-функциий с характеристиками. Подчеркнем, что он строится
по матрице периодов произвольного абелева многообразия и индексируется
спин-сетками Γ
1
Как и в § 4 главы 2, мы придаем временному параметру уравнения теплопроводности
дискретное положительное значение t =1/k.
j
∈ S
k
на графе Γ.
Γ
ГЛАВА 8
Отображение Бортвика –Пола–Урибе
§ 1. Геометрия лагранжевых циклов
В случае, когда ранги пространств волновых функций, получаемых в
результате келерова и бор-зоммерфельдова квантований, совпадают (т.е. когда квантование численно полно в смысле § 6 главы 1), возникает вопрос о
наличии естественного изоморфизма между этими пространствами. Иначе
говоря, можем ли мы канонически сопоставить ковариантно постоянным
сечениям ограничений линейного расслоения предквантования на бор-зоммерфельдовы циклы глобальные голоморфные сечения этого линейного расслоения над всем многообразием?
Примером такого естественного отождествления пространств волновых функций является хорошо известное преобразование когерентных состояний Сигала – Бергмана, впервые возникшее в квантовой механике как
преобразование вещественных интегрируемых с квадратом функций на конфигурационном пространстве в голоморфные функции на фазовом пространстве. В простейшем случае конфигурационным пространством является вещественное пространство R
часть комплексного фазового пространства C
жет быть значительно обобщена.
Так, в классической теории абелевых ϑ-функций (см. §4 главы 2) мы
заменили R
n
на вещественный тор Tn(нулевое сечение T
ной поляризации (2.6), являющееся специальным лагранжевым подтором
исходного комплексного тора A), а C
Далее, в § 2 главы 7, мы заменили R
n
— на ее комплексификацию1SL(2, C), а затем заменили Rnна унитар-
а C
ное пространство Шоттки
g
, рассматриваемое как вещественная
n
g
. Однако эта конструкция мо-
g
веществен-
−
— на комплексный тор (C∗)n.
n
на компактную группу Ли SU(2),
u
=SU(2)g/Ad
S
g
1
Что, как мы уже отмечали, является частным случаем общей конструкции Б. Холла, при-
менимой к произвольным вещественным группам Ли «компактного типа»: см. [36].
diag
(SU(2)),
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]