Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
.pdf
§4. СПЕЦИАЛЬНАЯ ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ м-КРИВЫХ149
касательного расслоения к Mgнад каждой компонентой C
кривой (9.13). Линейные слагаемые L
этого разложения, образованные
e
e,Γ
= ψ
e,Γ(P1
одномерными составляющими разложения (9.7), являются, очевидно, тавтологическими линейными расслоениями O
!
!
M
T
и, в частности, ограничение на C
модулей имеет вид
= O
g
C
e,Γ
K
M
(2) ⊕O
C
e,Γ
канонического класса пространства
e,Γ
!
!
= O
!
g
C
e,Γ
C
e,Γ
(−1),такчто
C
e,Γ
(−1)
C
e,Γ
(3g −6).
⊕(3g−4)
, (9.15)
§ 4. Специальная двупараметрическая деформация
предельных м-кривых
Рассмотрим теперь на графе Γ флаг (v ⊂ e ⊂ Γ) длины 3, в котором e ∈ S(v),ипустьS(v) \{e} = {e
эти ребра e
ной v
ребер, пришедших из S(v
, e2, получаем новый граф Γ
1
, звезда которой будет естественно разбита на ребро e идвепары
new
)\{e1} и S(v2)\{e2}. Теперь дважды раздуем v
1
обратно, вклеивая новые ребра e
распределяя между ними ребра звезды S(v
новым ее разбиением вида 5=1+2+2. Мы получим новый флаг
(v
}{e2},где∂ei= v vi.Стягивая
1
с новой пятивалентной верши-
new
2
с ∂e
= v
1
) в соответствии с каким-либо
new
, e
1
⊂ e⊂ Γ) (9.16)
new
v
new
1
, ∂e
2
= v
new
v
new
2
new
)
и
длины 3 c v
= v
и e= S(v
new
) \ (S(v
new
new
1
) ∪ S(v
new
)). Всего имеется
2
15 таких перестроек, отвечающих 15 разбиениям
)={e}(S(v
S(v
new
new
1
которые организуются в 5 троек с общим e. Возникающее в результате этих
15 перестроек множество из 15 флагов (v
) \{e
}) (S(v
1
⊂ e⊂ Γ) длины 3 мы будем
new
2
) \{e
2
}) ,
называть гнездом флагов длины 3.
Специализацией этой конструкции является стягивание лишь одной
вершины, например, e
на v
а {e}{e
скажем, ребром e
= v
с S(v
new
vи S(v)={e,e,e3}, S(v)={e,e2,e4}, мы получаем новый
new
} = S(v) \{e1}. Заменяя e любым ребром из пары {e3,e4},
2
. При этом возникнет четырехвалентная верши-
1
)={e, e2,e3,e4},где{e3}{e4} = S(v1) \{e1},
, и раздувая вершину v
3
до нового ребра eс ∂e=
new
150 ГЛАВА 9
флаг (v⊂ e⊂ Γ) длины 3 из того же гнезда (9.16) флагов длины 3, что и
исходный флаг (v ⊂ e ⊂ Γ).Приэтомпростыефлаги(e
⊂ Γ) и (e⊂ Γ)
1
лежат в одном гнезде (9.8) простых флагов
(e
⊂ Γ), (e⊂ Γ), (e⊂ Γ), (9.17)
1
третий элемент которого получается заменой в предыдущей конструкции
ребра e на ребро e
.
4
На геометрическом языке флагу (v ⊂ e ⊂ Γ) длины 3 соответствует
м-кривая P
с выделенными неприводимыми компонентами: Pvи P
Γ
приклеенными к P
по точкам p
v
,p
e
∈ Pv. Заменяя эти две двойные
e
1
2
, P
v
v
1
точки трубками, мы получаем сферу с пятью выколотыми точками, одна
из которых — p
—пришласPv, а две пары оставшихся — с P
e
и P
v
v
1
Многообразие модулей комплексных структур на такой сфере представляет
собой рациональную аффинную поверхность
,
2
.
2
◦
S
v,e,Γ
1
P
=
× S2(S2P1)
PGL(2, C)
, (9.18)
и, поскольку каждая сфера с пятью выколотыми точками однозначно
продолжается до приводимой кривой рода g подходящими подклейками
(3g −5) прямых по трем точкам, мы имеем вложение
◦
S
v,e,Γ
ψ
v,e,Γ
⊂
-
Mg,
образ которого компактифицируется до замкнутой поверхности
S
v,e,Γ
def
= ψ
v,e,Γ
◦
S
v,e,Γ
⊂
M
g
(9.19)
пятнадцатикомпонентным дивизором
15
S
v,e,Γ
\ ψ
v,e,Γ
◦
S
v,e,Γ
Cν, (9.20)
=
ν=1
составленным из компонент кривой C из (9.13), которые отвечают гнездам простых флагов (9.17) и нумеруются элементами гнезда (9.16) флагов
длины 3.
Врезультатена
Mgвозникает приводимая рациональная поверхность
S =
(v⊂e⊂Γ)
S
⊂ Mg, (9.21)
v,e,Γ
§5. МОДУЛЯРНАЯ КОНФИГУРАЦИЯ 151
компоненты (9.19) которой нумеруются всевозможными флагами (v ⊂e ⊂Γ)
длины 3. Каждая компонента S
пересекается с локусом м-кривых P
v,e,Γ
по 15-компонентной кривой (9.20), и, поскольку ограничение касательного расслоения T
Mgна каждую из этих компонент имеет вид (9.15), мы
немедленно получаем
Предложение 1. Две различные компоненты S, S
поверхности (9.21)
либо не пересекаются, либо пересекаются трансверсально вдоль некоторого набора компонент кривой (9.20).
Стабильная кривая P
, отвечающая общей точке s ∈Sповерхно-
s
сти (9.21), отличается от предельной м-кривой тем, что склеивается из
(3g − 5) трехдырочных сфер и оной пятидырочной сферы. В частности,
ее канонический класс
1
имеет тип c(K
)=(3, 1, ..., 1) в группе Неро-
P
s
на–Севери, а каноническая модель
φ
K
g−1
−−→ P
P
s
представляет собой конфигурацию из прямых и кубики. Пространство мо-
Mgимеет в каждой точке Psструктуру гладкого орбифолда, и дважды
дулей
каноническое вложение
φ
2K
⊂
P
s
-
P
3g−4
= PTsM
g
= |2K
∗
|
P
s
переводит простые двойные точки кривой Psв базис касательного пространства T
причем линейные расслоения L
, что, как и выше, приводит к разложению
sMg
!
!
T
M
g
S
v,e,Γ
= TS
v,e,Γ
ограничиваются в соответствующие ком-
e
⊕
e∈E(Γ)\{e1,e2}
Le, (9.22)
поненты разложений (9.15) и (9.7).
§ 5. Модулярная конфигурация
Пространства модулей (9.11) и (9.18), возникавшие в предыдущих двух
параграфах, являются частными случаями следующей общей конструкции.
1
А канонический пучок такой кривой локально-свободен и описывается дословно так же,
как и в двух предыдущих случаях.
152 ГЛАВА 9
Любой граф Γ с вершинами произвольной валентности 3 определяет
приводимую кривую
P
Γ
=
Pv,
v∈V (Γ)
каждая компонента которой P
ты P
с v ∪ v= ∂e,гдеe ∈ S(v),по|S(v)| точкам pe∈ Pv.Еслив
v
= P1трансверсально пересекает компонен-
v
графе есть хоть одна более чем тривалентная вершина, у такой кривой возникают модули M
, задающие положение |S(v)| точек на компоненте P
Γ
и зависящие от комбинаторики множества тривалентных расширений E(Γ)
исходного графа (см. § 3 главы 6).
Например, если Γ получается из тривалентного графа Γ
ем одного ребра, то M
Γ
2
= M
является тройным накрытием многообразия
1
стягивани-
max
модулей гладких эллиптических кривых, а для графов с одной пятивалентной вершиной M
Каждое такое многообразие модулей M
представляет собой рациональную поверхность (9.18).
Γ
вкладывается в Mgи, следо-
Γ
вательно, может быть компактифицировано в нем по Делиню– Мамфорду,
так что
где графы Γ
MΓ= MΓ∪
являются раздутиями Γ. Очевидно, что максимально возмож-
Γ>Γ
M
⊂ Mg,
Γ
ная размерность такого многообразия модулей равна (2g −3),
M
Γ
и ограничение касательного расслоения T
∩ M
=
Γ
Γ>Γ,Γ
MΓ,
Mgна каждую компоненту M
допускает разложение, подобное (9.22) и (9.15).
§6. Pic0(PΓ) и модули расслоений на м-кривых
v
Γ
Многообразие модулей векторных расслоений кривой с простыми
двойными точками не компактно, но может быть компактифицировано пучками без кручения, не локально-свободными только в особых точках. Эта
компактификация очень близка к той, которую в работе [6] построил для
алгебраических поверхностей И. В. Артамкин.
А именно, любой пучок без кручения F на P
включается в точную
Γ
последовательность
∗∗
0 → F → F
→ C(F ) → 0,
§6. Pic0(PΓ) И МОДУЛИ РАССЛОЕНИЙ НА м-КРИВЫХ 153
в которой Supp C (F ) ⊂
кривой до векторного расслоения, так что |Supp F | = c
клонение пучка F от локально-свободного: c
pe,аF∗∗поднимается на нормализацию
e∈E(Γ)
(F ) измеряет от-
(F )=0тогда и только тогда,
2
2
когда F локально-свободен, т.е. поднимается до векторного расслоения на
нормализации кривой. Мы называем такое расслоение E топологически
тривиальным, если тривиальны все его ограничения E|
P
v
= ⊕O
что E|
Ниже мы описываем многообразия модулей Pic
тривиальных линейных расслоений и M
,посколькуPv= P1∀v ∈ V (Γ).
P
v
ss
(PΓ) полустабильных векторных
vb
, что означает,
P
v
) топологически
0(PΓ
расслоений ранга 2, а также их компактификации
J(P
)=Pic0(PΓ) и Mss(PΓ)=M
Γ
пучками без кручения F , для которых расслоение F
ss
(PΓ)
vb
∗∗
является элементом
соответствующего открытого пространства модулей.
Для описания линейного расслоения L на P
каких-либо его тривиализаций O
слои тривиализаций O
p(e) ∈ P
отождествляются при помощи умножения на некоторую ненулевую константу a(−→e ) ∈ C
∗
ей:
, O
P
P
v
∩ P
v
, которая оборачивается обращающей стрелки инволюци-
∗
i
a = a(←−e )=a−1(−→e )
↓↑
над всеми компонентами Pv.Приэтом
P
v
над точкой
v
,e∈ E(Γ),∂e= v ∪ v
v
(ср. с (6.34)). Таким образом, набор тривиализаций L
жение
−→
a
−→ C∗, (9.23)
E (Γ)
рассмотрим набор L
Γ
индуцирует отобра-
0
а изменение тривиализаций задается функцией
λ
V (Γ)
−→ C∗,
действующей на a по формуле
λa(−→e )=λ(v
) · a(−→e ) ·λ−1(vt),
s
0
где v
и vtесть начало и конец ориентированного ребра−→e (как на стр. 108).
s
Таким образом (см. § 6 главы 6), пространство всех тривиализаций топологически тривиального линейного расслоения над P
есть не что иное, как
Γ
154 ГЛАВА 9
пространство ACплоских C∗-связностей на графе Γ, а группа GCзамен
тривиализаций — это комплексификация унитарной абелевой калибровочной группы из (6.35), так что
Pic
)=AC/GC=Hom(π1(Γ), C∗)=S
0(PΓ
a
g
совпадает с абелевым пространством Шоттки (2.23).
Аналогично, векторное расслоение E ранга 2 на P
ром E
своих тривиализаций E|
0
P
v
O
P
v
⊕O
, который индуцирует
P
v
задается набо-
Γ
набор изоморфизмов a(−→e ) ∈ SL(2, C), отождествляющих их слои над точ-
ками склейки сфер и удовлетворяющих стандартным соотношениям (6.24),
т. е. плоскую SL(2, C)-связность
−→
a
−→ SL(2, C),
E (Γ)
а смены тривиализаций
g
−→ SL(2, C) (9.24)
V (Γ)
составляют калибровочную группу этой связности и действуют на a по
правилу
ga(−→e )=g(v
) ◦ a(−→e ) ◦ g−1(vt)
s
(ср. с (6.25)). Поэтому в терминах § 5 главы 6
ss
(PΓ)=AC/GC= RC(π1(Γ), SL(2, C)) = Sg, (9.25)
M
vb
где A
калибровочная группа, а S
— пространство плоских SL(2, C)-связностей, GC— комплексная
C
— неабелево комплексное пространство Шоттки
g
из § 2 главы 3.
Рассмотрим теперь трехмерное утолщение графа Γ — тело с ручками (9.1). В точной последовательности фундаментальных групп
1 → π
ядро и коядро являются свободными группами F
, ..., ag∈ π1(HΓ),b1,b2, ..., bg∈ π1(Γ),
a
1,a2
) → π1(ΣΓ) → π1(Γ) → 1
1(HΓ
с g образующими
g
из которых можно составить стандартное представление:
g
)=a1,a2, ..., ag,b1,b2, ..., bg|
π
1(ΣΓ
[ai,bi]=1,
i=1
§6. Pic0(PΓ) И МОДУЛИ РАССЛОЕНИЙ НА м-КРИВЫХ 155
позволяющее отождествить пространство комплексных структур на ΣΓс
пространством Тейхмюллера τ
Фиксация на Σ
комплексной структуры I позволяет, как мы знаем,
Γ
.
g
рассматривать пространство
RC(π
(Γ), SL(2, C)) = S
1
g
как семейство плоских векторных расслоений на ΣΓ, что дает мероморфное
отображение (3.12):
f
I
ss
S
g
−→M
vb
(ΣI),
и мы можем рассмотреть универсальное семейство таких отображений
F
× τ
S
где справа стоит универсальное семейство M
лей векторных расслоений
1
.
−→M, (9.26)
g
g
u
-
τ
многообразий моду-
g
Нетрудно видеть, что специализация универсального отображения (9.26) в содержащийся в компактификации пространства M, индуцированной компактификацией Делиня – Мамфорда пространства τ
слой M
ss
(PΓ)=M
ss
(PΓ) над предельной м-кривой PΓсовпадает со стан-
vb
g
дартным вложением
F
P
S
= Mss(PΓ)
g
только что описанным выше. Из этого немедленно получается
Γ
−−→ Mss(PΓ),
2
упоминав-
шееся на стр. 50 частичное решение проблемы Нарасимана:
,
Предложение 1. Образ мероморфного отображения (3.14)
S
→Mss(Σ)
g
плотен по Зарисскому для общей гладкой алгебраической кривой Σ
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Утверждение верно для м-кривых P
шевелениям в M
1u−1
(I)=Mss(ΣI).
2
Я благодарю Герда Детлоффа за предложенное им упрощение моего первоначального
рассуждения.
.
g
∈Mgиустойчивокмалым
Γ
рода g.
I
156 ГЛАВА 9
Такой ход мысли представляется весьма продуктивным даже и в классическом абелевом случае (см. § 4 главы 2): вложение
∗
)g= S
(C
является пределом накрытий (C
F
a
−→ Pic0(PΓ)
g
f
∗
g
)
I
--
J(Σ
) (см. (2.23) – (2.25)), и сто-
I
ит посмотреть, как ведут себя при этом предельном переходе классические
(абелевы) ϑ-функции (2.26) (скажем, δ-функции (2.18) были обнаружены
именно таким образом!). Более того, вся классическая теория ϑ-функций
может быть построена применением к Pic
) преобразования когерент-
0(PΓ
ных состояний из § 3 главы 2, а затем продолжена на любую гладкую кривую
при помощи голоморфной плоской связности, описанной Велтерсом в [78].
Именно такой подход мы и использовали в неабелевом случае: преобразования когерентных состояний из главы 7 позволяют интерпретировать
всесказанноевглаве6кактеориюнеабелевыхϑ-функций на M
ss
(PΓ),ко-
торая затем разносится на произвольные гладкие кривые посредством проективно-плоской связности Хитчина, — бор-зоммерфельдово квантование и
геометрия лагранжевых и лежандровых циклов позволяют обойти проблемы, связанные с мероморфностью забывающего отображения (3.14). При
этом мы существенно используем существование алгебро-геометрической
компактификации пространства векторных расслоений над предельными
м-кривыми. Опишем ее теперь более подробно.
§ 7. Алгебраическая геометрия ϑ-функций предельных
м-кривых
Оба пространства Pic0(PΓ) и Mss(PΓ) являются аффинными многообразиями, допускающими канонические компактификации пучками без кручения.
В абелевом случае мы будем называть такую компактификацию якоби-
аном
J(P
)=Pic0(PΓ)
Γ
предельной м-кривой. Пучок без кручения F ранга 1 задается, как и в (9.23),
функцией a, но только теперь со значениями не в группе C
1
нии P
(или фиксированным стандартным действием C
= C∗∪{0, ∞} — римановой сфере с двумя отмеченными точками
∗
C
1
P
∗
J(P
Γ
)=
C
G
C
3g−3
∗
∗
). Поэтому
,
∗
,авеепополне-
§7. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ϑ-ФУНКЦИЙ ПРЕДЕЛЬНЫХ м-КРИВЫХ 157
и его граница DΓ= J (PΓ) \Pic0(Γ) =
e∈E(Γ)
(D+(e) ∪ D−(e)) является
объединением 6g −6 дивизоров
(e)={a | a(−→e )=0},D−(e)={a | a(−→e )=∞}
D
+
(так что D
Всякая абелева спин-сетка Γ
ей w (6.32), удовлетворяющей условиям (6.33), определяет на J (P
(e) ∪ D−(e)={F | pe∈ Sing F }).
+
на графе Γ, заданная весовой функци-
w
) глав-
Γ
ный дивизор
D
=w(e) · D
w
sgn (w(e))
,
который является пределом обычных ϑ-функций гладких кривых и, значит, должен быть дивизором рациональной функции ϑ
на Pic
).Есливесw имеет уровень k, мы можем зафиксировать один
0(PΓ
, регулярной всюду
w
ее полюс так, чтобы сделать все w(e) неотрицательными и, тем самым,
получить канонический базис из ϑ-функций с характеристиками.
Аналогично абелевому случаю, каждый пучок без кручения
ss
F ∈M
гдеP
минантной квадрикой Сегре
с той же самой калибровочной группой (9.24), что и в (9.25). Таким образом,
граница D = M
(PΓ) ранга 2 задается функцией
−→
a
−→ SL(2, C)=P3,
E (Γ)
3
есть двойное накрытие P3= PEnd(C2), разветвлённое над детер-
M
ss
(PΓ)\M
1
Q ⊂ P3,такчто
E(Γ)
ss
(PΓ)=M
ss
vb
ss
(PΓ)=P
vb
(PΓ) является объединением (3g−3) дивизоров
3
/G
C
D =
D(e).
e∈E(Γ)
Изображенное на рис. 8 на стр. 97 элементарное преобразование тривалентного графа Γ рода g, стирающее какое-нибудь его ребро e вместе с
двумя его вершинами, превращает Γ вновыйграфΓ
рода g −1 и действует
e
на дивизоры D(e) по правилу
D(e)=Q
1
Эту стандартную компактификацию SL(2,) можно также описать как сечение квадрики
Плюккера Gr(2, 4) ⊂
p
= p34.
12
плоскостью, задаваемой в плюккеровых координатах уравнением
5
×Mss(P
e
).
Γ
e
158 ГЛАВА 9
Дивизор Θw=
спин-сетке Γ
уровня 1, является пределом эффективных неабелевых ϑ-ди-
w
w(e) · D(e), построенный по произвольной
e∈E(Γ)
визоров гладких кривых, и набор
Θ
w
1
w∈S
Γ
всех таких дивизоров доставляет базис Мамфорда (2.3) для предельной
м-кривой P
Фиксируя какую-либо спин-сетку w
ленно получаем на каждом уровне k дивизор kΘ
дивизоров
из полной линейной системы |kΘ
.
Γ
∈ W1(Γ) уровня 1, мы немед-
0
, и набор эффективных
w
0
w∈S
Н.О.К. (kΘ
k
Γ
| дает бор-зоммерфельдов базис (4.15)
w
0
w
, Θw)
0
в пространстве волновых функций голдмановской вещественной поляризации уровня k предельной м-кривой P
ние на uS
, будучи продолжено на гладкие кривые с помощью плоской связ-
g
. Можно проверить, что его ограниче-
Γ
ности Хитчина, даст в точности бор-зоммерфельдовы базисы пространств
неабелевых ϑ-функций, построенные нами в главе 8 при помощи
BPU-ме-
тода.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]