Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
.pdf
§3. АЛГЕБРО-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ϑ-ФУНКЦИЙ 29
совпадает с подгруппой точек k-го порядка в абелевой группе A.НаK
имеется каноническая симплектическая форма, задаваемая топологическим
пересечением класса Θ с ориентированным 2-циклом, натянутым на пару
элементов из K. Индуцированное этой формой разложение K = K
+
× K
в прямую сумму двух изотропных подгрупп называется ϑ-структурой уровня k.
Замечательный классический результат
нейная система |kΘ| содержит единственный дивизор D
относительно сдвигов на элементы подгруппы K
ту a ∈ K
функцию ϑ
можно канонически сопоставить дивизор D++a и рациональную
−
с полюсом на дивизоре D+и нулем на дивизоре D++ a,что
a
1
состоит в том, что полная ли-
, инвариантный
,такчтолюбомуэлемен-
+
+
даст разложение пространства голоморфных сечений линейного расслоения kΘ в прямую сумму одномерных подпространств:
0
H
(A, O(kΘ)) = H0(A, O(D+)) =
C ·ϑa. (2.3)
a∈K
−
−
Функция ϑ
называется ϑ-функцией с характеристикой a ∈ K−, а разло-
a
жение (2.3) — разложением по ϑ-функциям с характеристиками.Отметим,
что порядки наших конечных абелевых групп равны
2g
|K| = k
, |K±| = kg.
Применим теперь к паре (A, O(kΘ)) расширенную теорию Кодаиры –
Спенсера из § 4 главы 1. Поскольку отображение (1.18)
0
H
(A, T A) → H1(A, OA)
на любом абелевом многообразии является изоморфизмом, когомологическая последовательность (1.21) дает
0
H
(A, O)=H0(A, D1(O(kΘ))).
Из длинной когомологической последовательности тройки (1.31)
0
H
(A, S2(T )) = H1(A, D1(kΘ)),
а (1.25) превращается в точную тройку
0
H
0 →
1
Воспроизведенный Д. Мамфордом в [49].
(A, O(kΘ))
C ·s
1
→ H
(ds) → H1(A, D1(O(kΘ))) → 0.
h
30 ГЛАВА 2
Тем самым, при деформации пары (A,O(kΘ)) каждое сечение s ∈H0(A,kΘ)
имеет единственную деформацию в голоморфное сечение. Эта деформация
является решением уравнения теплопроводности, и ниже, в (2.19), мы дадим для нее стандартную явную формулу.
§ 4. Комбинаторно-симплектическая теория ϑ-функций
Поскольку абелево многообразиеA является 2g-мерным вещественным
тором, его главная поляризация определяется классом
2
ω ∈ H
который можно интерпретировать как унимодулярную кососимметрическую форму на H
(A, Z) (в случае, когда A = J(Σ) является якобианом
1
кривой, эта форма индуцируется формой пересечения 1-циклов на подлежащей римановой поверхности Σ). Из общей теории таких форм вытекает,
что H
(A, Z) раскладывается в прямую сумму двух изотропных целочис-
1
ленных подрешеток, двойственных относительно ω. Это разложение ведет
к разложению 2g-мерного тора A в прямую сумму двух g-мерных лагранжевых подторов:
и проекция на второй из них
задает на A интегрируемую вещественную поляризацию
но из определений мы получаем, что множество бор-зоммерфельдовых слоев уровня k BS
k
k-го порядка на торе T
=(T
g
−
g
−
Итак, бор-зоммерфельдово квантование приводит к пространствам волновых функций:
(где s
есть ковариантно постоянные унитарные сечения ограничений рас-
a
слоения предквантования на бор-зоммерфельдовы слои), которые имеют те
же размерности, что и пространства волновых функций келерова квантования, так что наше квантование является численно полным (см. конец § 5
главы 1).
1
Т. е. вполне интегрируемую динамическую систему.
(A, Z)=∧2H1(A, Z), (2.4)
g
A = T
)k⊂ T
2g
= T
π
A
−→ T
g
в точности совпадает с подгруппой точек
−
g
× T
+
, (2.5)
−
g
−
1
, и непосредствен-
(см. рис. 2).
k
Q
(T2g,ω)=
π
a∈(T
C · s
g
−
a
)
k
(2.6)
(2.7)
§4. КОМБИНАТОРНО-СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ϑ-ФУНКЦИЙ 31
Рис. 2. Бор-зоммерфельдовы точки тора
Мы получаем здесь первое поистине удивительное совпадение, и хотелось бы сказать несколько слов о той геометрии, которая за ним стоит.
Возвращаясь к лагранжеву расслоению (2.6), заменим в нем каждый
g
слой T
на двойственный тор1(T
+
ное расслоение
представляющее собой aprioriдругой 2g-мерный тор, поляризованный но-
вой симплектической формой ω
g
)∗. Получим так называемое двойствен-
+
A
2g
=(T)
так же, как и выше.
π
g
−→ T
, (2.8)
−
Если задать на исходном комплексном торе A линейное расслоение
предквантования L с U(1)-связностью, кривизна которой пропорциональна ω, то его ограничение на лагранжев слой T
точкой a ∈ T
над T
+
g
будет тривиальным расслоением с плоской U (1)-связностью
+
g
, т. е. точкой двойственного тора sL(a) ∈ (T
g
= π−1(a) над произвольной
+
g
)∗. Иными словами,
+
расслоение L определяет сечение
s
g
L
T
−→ (T)2g= A,
+
g
(T
образ которого s
) ⊂ Aявляется лагранжевым подмногообразием сре-
L
+
динной размерности.
1
Проще всего представлять себе (T
лентных плоских U (1)-связностей на тривиальном линейном расслоении над T
g
)∗как пространство классов калибровочно-эквива-
+
g
.
+
32 ГЛАВА 2
Кроме этого сечения расслоение на двойственные торы (2.8) имеет нулевое сечение T
g
на T
× U (1) и задающее еще одно лагранжево подмногообразие срединной
+
размерности в A
. Множество бор-зоммерфельдовых слоев уровня k явля-
ется, очевидно, пересечением: BS
s
O
g
−−→ (T)2g, отвечающее тривиальной связности
+
= sO∩s
k
. Поскольку оба лагранжевых
k
L
цикла ориентированы, число бор-зоммерфельдовых слоев положительно и
совпадает с индексом пересечения классов гомологий
=[sO] · [s
#BS
k
который легко вычисляется через первый класс Черна c
Вывод из всего сказанного следующий. Для каждого абелева многообразия A = T
зие A
на A находит свое отражение в симплектической геометрии лагранжевых
циклов (или суперциклов) на A
2g
имеется симплектически двойственное абелево многообра-
=(T)2gтакое, что алгебраическая геометрия когерентных пучков
. Этот «двойник» обычно называется зер-
k ], (2.9)
L
(L).
1
кальным партнером исходного многообразия. Зеркальная симметрия является ныне настолько высоко развитой областью математики и физики, что
мы не можем охватить ее тут в двух словах и отсылаем читателя, например,
к обзору [16]. Приведенная нами конструкция совпадает с подходом Штромингера– Яу – Заслова, но мы не будем сейчас вдаваться в ее возможные
формальные обобщения
1
.
Читатель, вероятно, уже догадался, что совпадение размерностей — это
лишь промежуточный результат, и, развивая успех, можно построить в обоих пространствах волновых функций естественно согласованные ϑ-базисы,
т. е. канонически сопоставить каждому бор-зоммерфельдову слою лагранжева расслоения (2.6) голоморфное сечение Θ-расслоения уровня k.Это
делается посредством так называемого преобразования когерентных состо-
2
, обобщающего изоморфизм Сигала– Баргмана, который (в контексте
яний
квантовой теории) отождествляет гильбертовы пространства функций с интегрируемым квадратом на конфигурационном пространстве и голоморфных функций на пространстве фазовом.
В конечномерном случае конфигурационным пространством является
g
R
— вещественная часть фазового пространства Cg, и преобразование ко-
герентных состояний задает унитарный изоморфизм
2
L
(Rg,dgx)
1
См., например, [72].
2
Т. е. coherent state transform.
CST
t
−−→ L2(Cg,dμt) ∩H(Cg),
§4. КОМБИНАТОРНО-СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ϑ-ФУНКЦИЙ 33
где в правой части через H обозначено пространство голоморфных функций, а dμ
вещественный тор
обозначает гауссову меру. В нашем случае Rgзаменяется1на
t
g
2
T
= U (1)g,аCg— на комплексный тор (C∗)g.Обо-
−
значим через z = x + i y координаты на универсальной накрывающей
1
,e
2πiz
g
2
, ..., e
2πiz
g
.
(2.10)
U = C
(z1,z2, ..., zn) →e
g
→ (C∗)
2πiz
Тогда x =(x
на U (1)
g
,аформаdx dy индуцирует на (C∗)gобычную меру Хаара. Воз-
вращаясь к разложению H
, ..., xg) ∈ [0, 1]gдадут периодические координаты
1,x2
(A, Z)=H1(T
1
g
, Z) ⊕H1(T
+
g
, Z) в сумму изо-
−
тропных подпространств формы ω, фиксируем в них некоторые базисы:
{a
, ..., ag}⊂H1(T
1,a2
так, чтобы полный набор (a
ским базисом H
(A, Z),обозначимчерез
1
Ω=Ω
3
его матрицу периодов
и рассмотрим соответствующий U(1)-инвариантный
лапласиан
Im Ω
Δ
атакжеU(1)
Обозначим через μ
g
-инвариантный комплексный лапласиан
g
Δ
Im Ω
C
=
i,j=1
фундаментальное решение уравнения теплопроводно-
t
g
, Z), {b1,b2, ..., bg}⊂H1(T
−
, ..., ag,b1,b2, ..., bg) был симплектиче-
1,a2
=ReΩ+i Im Ω (2.12)
ij
g
=
Im Ω
i,j=1
2π
ij
Im Ω
2π
∂xi∂x
ij
2
∂
2
∂
∂xi∂x
+
j
, (2.13)
j
∂
∂yi∂y
g
, Z), (2.11)
+
2
.
j
сти
∂u
4
∂t
1
Б. К. Холл в [36] обобщил преобразование когерентных состояний на случай комплексификаций произвольных вещественных групп Ли компактного типа, и ниже, в неабелевом
случае, мы будем использовать его конструкцию для пары SU(2), SL(2,
имеем гораздо более простую ситуацию абелевых групп U(1)
2
Т. е. «нулевое сечение» проекции (2.6) — отметим, что оно является специальным лагран-
жевым подтором в A, см. [73].
3
Напомним, что она является точкой верхнего зигелева полупространства H .
=Δ
Im Ω
C
u
); однако здесь мы
∗
g
⊂ (
)g.
34 ГЛАВА 2
на (C∗)gи рассмотрим усреднение νt(z )dx dy подкрученной меры Хаа-
dx dy по действию U (1)g:
ра μ
t
ν
(z )=
t
μt(z + x)dx =
g
U(1)
=
g/2
(2/t)
det(Im Ω)
· exp
π
(zi− zi)(ImΩ)
2t
i,j
−1
(zj− zj).
ij
Кроме того, рассмотрим несамосопряженный оператор Лапласа:
g
Δ
−i Ω
=
2π
Ω
i,j=1
i
·
ij
2
∂
∂xi∂x
. (2.14)
j
Преобразование когерентных состояний
(−iΩ)
CST
2
L
(U(1)g,dx )
переводит функцию f ∈ L
t
−−−−−→ L2((C∗)g,dνt) ∩H((C∗)g) (2.15)
2
(U(1)g,dx) с разложением Фурье
f(x )=
anexp (2πi x · n ) (2.16)
g
n∈Z
в решение комплексного уравнения теплопроводности
∂u
2
∂t
∗
)gс начальным условием f вдоль U (1)g⊂ (C∗)g,т.е.в
на (C
CST
(−iΩ)
t
f(z )=
anexp (πitn · Ω · n +2πix · n ) .
g
n∈Z
=Δ
(−iΩ)
u
В [26] К. Флорентино, Ж. Мурао и Ж. Нуньес доказали
Предложение 1. Преобразование (2.15) является унитарным.
Далее преобразование (2.15) продолжается с L
странство (C
∞
(U(1)g))обобщенных функций, задаваемых рядами (2.16),
2
(U(1)g,dx) на про-
ограниченными условием:
∃ N ∈ N : lim
n·n →∞
|an|
(1 + n · n )
=0.
N
§5. ПЛОСКИЕ ГОЛОМОРФНЫЕ АБЕЛЕВЫ СВЯЗНОСТИ 35
Степени оператора Лапласа действуют на таких распределениях1как непрерывные линейные операторы, так что при t>0
n∈Z
g
ane
2πi x ·n
t/2Δ(−iΩ)
e
-
n∈Z
πitn Ωn +2πi z ·n
ane
g
. (2.17)
В той же работе [26] доказано
∞
Предложение 2. Для f ∈ (C
голоморфной функцией на (C
Теперь мы можем сопоставить каждому бор-зоммерфельдову слою
проекции (2.6) некоторую аналитическую функцию на (C
мы заменим непрерывный параметр t>0 в уравнении теплопроводности
дискретным значением 1/k и для любого элемента ∈ Z
(U(1)g))правая часть (2.17) является
∗
)g.
g
/kZgприменим
∗
)g.Дляэтого
преобразование (2.17) к δ-функции k-го порядка, сосредоточенной в -й
бор-зоммерфельдовой точке уровня k проекции (2.6):
(x)=
n∈Z
2πi x ·(+kn)
e
g
. (2.18)
R
ϑ
Получим аналитическую функцию
(−iΩ)
CST
1/k
Остается лишь проинтерпретировать эту голоморфную функцию на (C
R
(ϑ
)=
g
exp
πi
( + kn) · Ω · ( + kn)+2πi ( + kn ) · z=
k
= ϑ
(z , Ω). (2.19)
∗
)
=
n∈Z
как голоморфное сечение линейного расслоения Θ на A, что мы и сделаем в
следующем параграфе. А в заключение подчеркнем еще раз, что, хотя классическая теория ϑ-функций насчитывает уже более 150 лет, описанное нами
выше «сравнительное квантование» было проделано лишь совсем недавно
вработе[26].
§ 5. Плоские голоморфные абелевы связности
Линейное расслоение L принято задавать набором функций перехода, ассоциированных с конечным покрытием {U
рехода f
1
Двойственно их действию на C∞(U(1)g).
−1
= f
ij
есть регулярные и обратимые комплексные функции на
ji
} его базы. Функции пе-
i
g
36 ГЛАВА 2
двойных пересечениях Ui∩ Uj, удовлетворяющие на тройных пересечени-
∩ Uj∩ Ukуравнению коцикла fij· fjk· fki=1. Два набора fij, f
ях U
i
задают одинаковые расслоения, если существует набор регулярных и обратимых функций {β
всех попарных пересечениях U
для данного L самый простой набор функций перехода: например, если это
возможно, сделать все f
}, определенных на Ui,такой,чтоf
i
ij
∩ Uj. Естественно попытаться подыскать
i
константами.
= βifijβ
ij
−1
j
на
Расслоение с постоянными функциями перехода называется локальной
системой коэффициентов. Над любой односвязной открытой областью оно
тривиализуется некоторым базисным сечением, и продолжение этого сече-
ния вдоль петель на базе определяет характер π
χ
−→ C∗ее фундаментальной
1
группы. Наоборот, каждый характер χ определяет голоморфное векторное
расслоение — фактор по диагональному действию π
χ
Cχ=
U×C
π
1
U×
π
1
:
1
, (2.20)
где U — это универсальная накрывающая базы с каноническим действием π
,аCχ= C — одномерное представление π1с характером χ.
1
Если сопоставить набору функций перехода f
ных форм
то мы получим коцикл из H
падает с первым классом Черна c
то на U
= f
существуют дифференциальные формы hiтакие, что hi− hj=
i
−1
dfij. Этот набор дифференциальных форм hiназывается голоморф-
ij
−1
{f
dfij}, (2.21)
ij
1,1
= H1(Ω), класс когомологий которого сов-
(L) ∈ H
1
1,1
набор дифференциаль-
ij
. Если этот класс нулевой,
ной плоской связностью на векторном расслоении L, ассоциированной с
покрытием U
Если такая связность задана, мы можем определить на каждом U
ции β
i
и заменить функции перехода fijна f
ибо df
ij
.
i
из уравнения
=0.
β
−1
i
dβi= h
ij
i
= βifijβ
−1
, которые постоянны,
j
функ-
i
Мы получаем классический результат:
ij
Предложение 1 (А. Пуанкаре). Топологически тривиальное линейное
расслоение на кривой Σ обладает голоморфной плоской связностью, и такие связности взаимно однозначно соответствуют характерам фундамен-
тальной группы π
(Σ)χ−→ C∗.
1
§5. ПЛОСКИЕ ГОЛОМОРФНЫЕ АБЕЛЕВЫ СВЯЗНОСТИ 37
Таким образом, пространство A голоморфных плоских связностей на
тривиальном расслоении совпадает с пространством характеров π
с 2g-мерным алгебраическим тором
(Σ),т.е.
1
A =(C
∗
)2g.
Сопоставляя голоморфной плоской связности подлежащее ей голоморфное
расслоение, мы получаем забывающее отображение:
f
A
−→ J(Σ), (2.22)
слой которого состоит из всех голоморфных плоских связностей на данном топологически тривиальном голоморфном расслоении. А так как раз-
ность любых двух таких связностей {h
∩ Ujс UiисUj, эта разность склеивается в глобальное голоморф-
на U
i
ное сечение кокасательного расслоения кривой: {h
Пространство таких сечений, по двойственности Серра, изоморфно
0
H
(OΣ(K)) = H1(OΣ)∗, т.е. слою кокасательного расслоения Ω
∗
J(Σ) кякобиану1. Иными словами, забывающее отображение (2.22)
= T
}, {h
} одинаково ограничивается
i
i
}−{h
i
}∈H0(OΣ(K)).
i
J(Σ)
задает на пространстве характеров A структуру афинного расслоения над
кокасательным расслоением Ω
Это означает, что над достаточно малым открытым U
зафиксировать некоторое «нулевое» сечение A над U
с ΩJ|
. Однако над пересечениями Ui∩Ujмежду этими сечениями может
U
i
кякобианукривой.
J(Σ)
⊂ J мы можем
i
иотождествитьA|
i
U
возникать нестыковка, и набор соответствующих разностей представляет
собой 1-коцикл
ε
∈ H1(J(Σ), Ω) = H2(J(Σ), C)
A
по лемме Дольбо. Классы нетривиальных аффинных расслоений над одним
и тем же векторным расслоением взаимно однозначно соответствуют таким коциклам (в частности, если коцикл тривиален, аффинное расслоение
совпадает с подлежащим векторным расслоением). В нашем случае имеет
место
=
i
Предложение 2 (А. Пуанкаре). ε
=[Θ]=[ω].
A
Для доказательства этого равенства и построения интерпретации, обещанной в § 4 главы 2, заметим, что из принципа максимума для компактного
1
Отметим, что кокасательное расслоение Ω
ным расслоением.
является тривиальным g-мерным вектор-
J(Σ)
38 ГЛАВА 2
комплексного многообразия вытекает, что подпространство унитарных ха-
рактеров
глобальным
(но не голоморфно) отождествить якобиан J(Σ) с тором U (1)
в H
1
U(1)2g⊂ (C∗)2g= A является гладким (но не голоморфным!)
2
сечением аффинного расслоения (2.22), позволяющим гладко
(Σ, Z)=H1(JΣ, Z) симплектического базиса (2.11) выделяет в A два
1
2g
. Фиксация
важных подпространства:
• абелево пространство Шоттки
a
=(C∗)g= {χ ∈ (C∗)2g| χ(ai)=1}; (2.23)
S
g
• абелево унитарное пространство Шоттки
a
uS
=(U (1))g= {χ ∈ U (1)2g| χ(ai)=1}. (2.24)
g
Ограничивая забывающее отображение (2.22) на первое из них, мы получаем бесконечнолистное накрытие
f|
a
S
=(C∗)
g
с группой Z
так что голоморфные сечения O
ломорфные функции на (C
g
, на которое Θ-расслоение поднимается тривиально:
(f|
S
∗
)g, преобразующиеся под действием π1(J) с
)∗OJ(Θ) = O
(Θ) (т. е. ϑ-функции) превращаются в го-
J
S
g
−−→ J (Σ)
a
,
S
g
надлежащими множителями автоморфности.
Если вернуться к обозначениям формул (2.10)– (2.12) из § 4 главы 2 (где z были комплексными координатами на универсальном накрытии U→(C
значить через u
ствием a
вектор
1
Т. е. принимающих значения в U (1) ⊂
2
То, что ограничение забывающего отображения (2.22) на U(1)2g⊂ (
отображает унитарные характеры на якобиан, доказывается применением проекции
иначе говоря, на любом голоморфном линейном расслоении есть эрмитова плоская связность.
∗
)g, матрица периодов A обозначалась через Ω ит.д.)иобо-
∈U= Cgвекторы, на которые сдвигается U под дей-
i
∈ π1(J), то действие bi∈ π1(J) на U будет состоять в сдвиге на
i
g
u
2g
∗
(
)
=
j=1
∗
Ωijuj,
.
g+i
arg
−−→ U (1)2g: z →
|z|
∗
)2gсюръективно
z
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]