Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
.pdf
ГЛАВА 1
Процесс квантования
§ 1. Конструкция
Первый вопрос: что мы хотим квантовать? В геометрическом кванто-
1
вании
классической механической системы с конечным числом степеней свободы) или биалгебра C
(поточечного) умножения f
— это симплектическое многообразие (M, ω) (фазовое пространство
∞
(M) гладких функций на M с операциями обычного
· f2и скобкой Пуассона:
1
} = ω(H
{f
1,f2
где H
цией f ∈ C
ства Якоби для скобки Пуассона. Если M компактно, то абелева умножения
на C
на C
= ω−1(df ) — это гамильтоново векторное поле, порожденное функ-
f
∞
(M).Отметим,чтоусловиеdω =0влечет выполнение тожде-
∞
(M) достаточно для восстановления M, а из структуры алгебры Ли
∞
(M) восстанавливается ω. Таким образом в компактном случае па-
ра (M, ω) и биалгебра (наблюдаемых) C
,H
),
f
f
1
2
∞
(M) есть эквивалентные объекты.
BRST-предквантование — это попытка построить соответствие Q,со-
поставляющее классическим объектам квантовые так, чтобы
• Q(M)=H было гильбертовым пространством (волновых функций);
• Q(f) для f ∈ C
∞
(M) были бы самосопряженными операторами на H;
• выполнялся бы принцип соответствия Дирака:
[Q(f
),Q(f2)] = i Q({f1,f2}); (1.1)
1
• возникающее таким образом представление пуассоновой алгебры C
∞
(M) самосопряженными операторами на H было бы непри-
водимо.
1
См., например, [32].
10 ГЛАВА 1
Но, согласно теореме ван Хова, такая идеальная конструкция невоз-
можна в принципе.
Два основных метода геометрического квантования опускают некото-
рые требования из приведенного выше списка: квантование Сурье – Костанта не дает неприводимого представления, а в квантовании Березина нарушается принцип соответствия, который будет выполнен лишь асимптотически.
Обе эти конструкции вводят в исходную классическую механиче-
скую систему одинаковые дополнительные данные предквантования —пару (L, ∇), состоящую из комплексного эрмитова линейного расслоения L
(с фиксированной эрмитовой формой h) и унитарной связности ∇ на L с
формой кривизны
=2πi ω . (1.2)
F
∇
Последнее требование накладывает сильное ограничение на исходную симплектическую структуру — оно означает, что класс когомологий симплектической формы является целочисленным:
[ω] ∈ H
2
(M,Z). (1.3)
Четверку (M,ω, L, ∇) можно квантовать, беря в качестве пространства
волновых функций пространство глобальных сечений
∞
H =Γ
(L),
снабженное эрмитовым скалярным произведением
1
=
s, s
где n =dimM/2 (обычно пространство H пополняется по L
дой функции f ∈ C
∞
(M) (классической наблюдаемой) можно сопоставить
h(s, s) · ω∧n,
n!
M
2
-норме). Каж-
оператор
Q(f)=i∇
+ f, (1.4)
H
f
действующий на сечения по правилу
Q(f)(s)=i∇
Несложно проверить, что принцип соответствия Дирака при этом выполняется, но получающееся представление алгебры Ли C
является неприводимым (даже в самом простейшем случае M = R
∗
R).
= T
(s)+fs.
H
f
∞
(M) никогда не
2
=
§1. КОНСТРУКЦИЯ 11
Пространство H можно сузить при помощи поляризации.Поопреде-
лению, поляризация на M — это подрасслоение Π ⊂ T
C
M ранга rk Π =
= n =dimM/2 в комплексифицированном касательном расслоении. Если
поляризация фиксирована, то на пространство волновых функций накладывается естественное условие:
Q(M)=H
Поляризации различаются своим расположением по отношению к име-
ющейся на T
C
M канонической вещественной структуре. Обычно используют два «чистых» крайних случая: вещественную поляризацию,когда
и комплексную поляризацию,когда
выбору почти комплексной структуры I с T
Π
= {s ∈ Γ∞(L) |∇vs =0∀v ∈ Π}.
Π и Π трансверсальны (что равносильно
I
0,1
=Π).
Π=Π,
Вообще говоря, одного только выбора поляризации еще не достаточно
для включения процедуры квантования в какую-либо хорошо известную
математическую теорию. Тем не менее, такое включение все же происходит
в двух специальных случаях:
• когда вещественная поляризация Π вполне интегрируема, т.е. является
распределением касательных плоскостей некоторого лагранжева слоения
общий слой которого T
n
= π−1(b
π
M
−→ B, (1.5)
) является лагранжевым тором
gen
размерности n;
• когда почти комплексная структура I , задающая комплексную поляри-
зацию, интегрируема и согласована с ω, так что пара (ω, I) задает на M
келерову метрику ходжева типа
1
.
В вещественном случае условие интегрируемости заключается в том,
что любые два векторных поля ∂
[∂
1,∂2
т. е. векторные поля со значениями в Π составляют подалгебру в алгебре
Ли всех векторных полей
1
Т. е. удовлетворяющую условию (1.3).
2
В общем случае «коммутант» всех таких полей определяет квадратичную форму на Π с
коэффициентами в нормальном расслоении TM/Π абсолютно так же, как в классической диф-
ференциальной геометрии определяется вторая квадратичная форма поверхности, вложенной
3
в
.
2
.
∈ Π коммутируют по модулю Π:
1,∂2
] ∈ Π ⊂ TM, (1.6)
12 ГЛАВА 1
В комплексном случае условие интегрируемости почти комплексной
структуры I задается аналогичным уравнением:
[I∂
,I∂2]=[∂1,∂2]+I[I∂1,∂2]+I[∂1,I∂2], (1.7)
1
где мы рассматриваем I как сечение End(TM), удовлетворяющее условиям:
2
= −1, ω(∂1,I∂2)=−ω(I∂1,∂2) и ω(∂1,I∂2) > 0.
I
Методы исследования этих двух случаев принадлежат различным областям геометрии: вещественные поляризации относятся к геометрии симплектической, тогда как комплексные поляризации уводят нас в рамки геометрии алгебраической. Квантование называется полным, если исходная механическая система одновременно допускает интегрируемые поляризации
обоих типов. Таким образом, полное квантование относится к пересечению
алгебраической и симплектической геометрий.
§ 2. Вещественная поляризация
(симплектическая геометрия)
Напомним, что цикл T ⊂ M называется лагранжевым,еслиdim T =
= n =dimM/2 и ω|
ограничиваются на T в тривиальное линейное расслоение L|
связностью ∇|
T
вочной эквивалентности плоских эрмитовых связностей соответствуют, как
известно, унитарным характерам фундаментальной группы
=0. Таким образом, данные предквантования (L, ∇)
T
сплоской
T
, поскольку кривизна F∇|T=2πiω|T=0. Классы калибро-
1
π1(T )χ−→ U(1) . (1.8)
Определение 1. Если χ =1, т. е. ограничение L|
обладает ковари-
T
антно постоянным унитарным сечением, то лагранжев цикл T называется
бор-зоммерфельдовым.
Чтобы «убить» характер фундаментальной группы, необходимо нало-
жить rk H
(T,Z) условий, и мы можем ожидать, что коразмерность под-
1
семейства бор-зоммерфельдовых циклов в общем семействе лагранжевых
циклов будет именно такой. Кроме того, нетрудно видеть, что если гладкий
бор-зоммерфельдов цикл T
целиком содержится в некоторой окрестности
Дарбу– Вейнстейна другого гладкого бор-зоммерфельдова цикла T ,тоэти
два цикла обязательно имеют нетривиальное пересечение.
1
Ср.спредл.1из§5главы2.
§2. ВЕЩЕСТВЕННАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ (СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ)13
Лагранжевы слои вещественной поляризации (1.5) представляют собой
семейство лагранжевых циклов, параметризованное n-мерной базой B.Поскольку общий слой T
n
= π−1(b
) является n-мерным тором, rk H1(Tn)=
gen
= n =dimB. Таким образом, множество бор-зоммерфельдовых слоев в
этом семействе дискретно, и если B компактно, то в нем возникает конечное
множество бор-зоммерфельдовых точек BS = {b
, ..., bl}⊂B,отвеча-
1,b2
ющих таким слоям (см. рис. 1). В этом случае мы определим пространство
волновых функций первого уровня как прямую сумму комплексных прямых:
1
(M)=H
Q
F
где s
— ковариантно постоянное унитарное сечение L|
b
def
1
=
π
b∈BS
C ·sb,
π−1(b)
(оно опреде-
ляется однозначно с точностью до фазового множителя из U (1)).
Рис. 1. Бор-зоммерфельдовы слои
Рассмотрим теперь k-ю тензорную степень Lk|Tрасслоения предквантования L иобозначимчерез∇
эрмитову связность, канонически инду-
k
цированную на нем связностью предквантования ∇ на L. Условия Бора –
Зоммерфельда допускают следующее расширение.
k
Определение 2. Если L
сительно ∇
унитарным сечением (т. е. χk=1), то лагранжев цикл T
k
называется бор-зоммерфельдовым уровня k или, короче, BS
|Tобладает ковариантно постоянным отно-
-циклом.
k
14 ГЛАВА 1
Рассуждая, как выше, мы увидим, что подмножество BSk⊂ B конечно,
и определим соответствующее пространство волновых функций уровня k как
прямую сумму комплексных прямых:
k
Q
(M)=H
F
являются ковариантно постоянными унитарными сечениями ограни-
где s
b
k
чений (L
, ∇k)|
.Болеетого,BPU-конструкция из §2 главы 8 канони-
π−1(b)
def
k
=
π
b∈BS
C ·sb,
k
чески снабжает эти пространства эрмитовой структурой, определенной по
модулю действия U (1) на сечения s
(см. стр. 134).
b
Имея дело с конкретной классической динамической системой (M,ω),
хотелось бы ожидать, что результат квантования не зависит от выбора каких
бы то ни было дополнительных структур вроде L, ∇, π или I . Предыдущая
конструкция пространств волновых функций H
рактеров не зависит от связности
1
, а только от ее формы кривизны, которая
с точностью до сдвига ха-
π
есть 2πiω,ноaprioriзависит от выбора вещественной поляризации π.Тем
более замечательным является тот факт, что проективизация пространства
волновых функций от выбора вещественной поляризации не зависит!
2
Как показал Б. Костант
ния M
π
−→ Bимеется каноническое (с точностью до скалярного множите-
ля) эрмитово спаривание между H
, для любого другого лагранжевого расслое-
и H
π
, позволяющее отождествить их
π
проективизации:
P(H
)=P(H
π
).
π
Это дает нам право понимать пространства волновых функций H
именно
π
как результат квантования пары (M, ω).
§ 3. Келерово квантование (алгебраическая геометрия)
В этом случае данные предквантования образуют четверку (M, ω,∇,I),
в которой пара (ω, I) определяет на M структуру комплексного многообразия и келерову метрику с келеровой формой, пропорциональной ω.
В частности, ω, а значит, и кривизна связности ∇ на L имеют ходжев
тип (1, 1), поэтому связность предквантования определяет на L структуру
1
Характер χ определяется классом калибровочной эквивалентности связности ∇ инаодносвязном M однозначно определяется формой кривизны; в неодносвязном случае необходимо
еще зафиксировать элемент из H
2
См., например, [42].
1
(M,) (см. ниже).
§3. КЕЛЕРОВО КВАНТОВАНИЕ (АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ)15
голоморфного расслоения1. По теореме Кодаиры (1958), целочисленность
класса когомологий келеровой формы [ω] ∈ H
келеровой метрики. Таким образом, M
ским многообразием, а L = O
M
I
(1) задает класс его гиперплоских сечений,
2
(M,Z) означает ходжевость
является проективным алгебраиче-
т. е. комплексная поляризация приводит нас к алгебраической геометрии!
Пространство волновых функций в этом случае превращается в про-
странство голоморфных сечений расслоения L:
(M)=HI= H0(MI,L).
Q
F
Эрмитова форма на L индуцирует эрмитову форму на H
0
(MI,L),т.е.отож-
дествление
H
= H0(MI,L) H0(MI,L)∗. (1.9)
I
Проективизация PH
линейной системы на M
0
(MI,L)является классическим примером полной
, и стандартная алгебро-геометрическая конструк-
I
ция задает голоморфное отображение
φ
−→ PH0(MI,L)
M
I
∗
,
которое в комбинации с (1.9) и сменой комплексной структуры на сопряженную переводит M
Образы точек M
яниями.
Аналогично, беря голоморфные сечения тензорных степеней L
в проективизацию пространства волновых функций:
I
φ
M
−→ PH0(MI,L). (1.10)
I
при этом отображении называются когерентными состо-
I
k
рас-
слоения L, мы получаем пространства волновых функций уровня k:
k
= H0(MI,Lk)
H
I
для каждого целого k 0. Таким образом, любое симплектическое многообразие (M, ω), подлежащее поляризованному алгебраическому многообразию (M
0
ций H
(MI, O(k)), зависящий aprioriот выбора комплексной структуры.
Напомним, что при достаточно больших
ются вложениями и dim H
1
См., например, [28].
2
Т. е . в квазиклассическом пределе,когда1/k → 0; отметим также, что в квантовании
Березина, где вместо операторов (1.4) функциям f ∈ C
операторы T
при любом конечном k, выполняется асимптотически при k →∞.
, OI(1)), порождает набор пространств волновых функ-
I
2
0
(MI,Lk) определяется по формуле Римана–
на H0(MI,Lk) (см., например, [59]), соответствие Дирака (1.1), нарушенное
f
k отображения (1.10) явля-
∞
(M) сопоставляются теплицевы
16 ГЛАВА 1
Роха через чисто топологические инварианты M и L. Стремление к геометрической гармонии требует от нас ответа на ключевой вопрос: зависит
ли проективизация этих пространств от выбора комплексной структуры?
Иными словами, является ли наше квантование классической механической
системы (M, ω) успешным, в том смысле, что
∂PH
«
0
(MI,L)
∂I
=0»?
Развернутая математически корректная формулировка этого вопроса
такова. Обозначим через M многообразие модулей (в алгебро-геометрическом смысле) поляризованных алгебраических многообразий (M
, OI(1)).
I
По теореме Кодаиры, над M имеется векторное расслоение
p
−→M, (1.11)
V
k
−1
слоем которого: p
(MI, OI(1)) = H0(MI, OI(1)), являются голоморфные
сечения расслоения поляризации. Предыдущий вопрос сводится к существованию при k 0 проективно-плоской голоморфной связности на V
k
Такая постановка задачи является совершенно новой в рамках алгебраической геометрии, и прежде, чем рассматривать ее во всех деталях в интересующем нас частном случае dim M =2, приведем несколько замечаний
общего характера.
1) Если расслоение V допускает голоморфную проективную плоскую
связность, то его полином Черна имеет вид
(t)=(1−c ·t)
c
V
rk V
, где c ∈ H2(M, Z), (1.12)
.
и в частности, c
(V )=rkV · c, что накладывает очень жесткие огра-
1
ничения на топологический тип этого расслоения.
2) Все известные классические конструкции голоморфных проективных
плоских связностей приводят к эрмитовым связностям, но в неабелевом
случае (наиболее интересном для нас) этот факт в общем виде до сих
пор не установлен.
3) Если искомая связность на расслоениях (1.11) существует, то она индуцирует на V
4) Хотя расслоение V
жить, что искомая проективно-плоская связность на V
некоторое поле Хиггса.
k
и голоморфно, мы вполне могли бы предполо-
k
может быть
k
§4. РАСШИРЕННАЯ ТЕОРИЯ КОДАИРЫ –СПЕНСЕРА 17
и неголоморфной. Однако в контексте конформной теории поля она
необходимо является голоморфной, хотя за недостатком времени мы
вынуждены оставить обсуждение этого вопроса за рамками нашего
краткого конспекта.
5) Некоторые физические задачи с самого начала приводят к проективизациям пространств волновых функций, и тогда вместо векторного
расслоения (1.11) возникает проективное расслоение, которое (даже
в бесконечномерном случае, где гильбертовы векторные расслоения
всегда топологически тривиальны) не является, вообще говоря, проективизацией никакого векторного. Препятствия лежат в группе Брауе-
3
ра H
(M, Z), которая доставляет нетривиальный аналог K-функтора
Атьи.
§ 4. Расширенная теория Кодаиры– Спенсера
Теория деформаций комплексных структур была развита Кодаирой и
Спенсером много лет назад. Теоретически, для анализа успешности келерового квантования нам надо расширить эту теорию до теории деформаций
троек (I,L
морфное линейное расслоение, а s ∈ H
Такая расширенная теория наиболее полно представлена в [78].
Для начала рассмотрим инфинитезимальную деформацию˙I комплекс-
ной структуры I. Дифференцируя I
,s),гдеI — интегрируемая комплексная структура, LI—голо-
I
0
(LI) — его голоморфное сечение.
2
= −1, видим, что˙II + I˙I =0,т.е.
˙
I ∈ Ω
0,1
(MI,T
1,0
), (1.13)
и, как и обычный дифференциал Бельтрами, представляет собой проекцию собственного (−i)-подпространства оператора I на его собственное
(+i)-подпространство. Линеаризация условия интегрируемости (1.7) пока-
зывает, что
(
0,2
∂˙I)
=0. (1.14)
Предположим теперь, что выполнены следующие условия:
1) класс поляризации делит антиканонический класс −K многообразия
M
,т.е.−[K]=n [c1(L)];
I
2) связность Леви-Чивита келеровой метрики ωI на M
индуцирует
I
на K связность, пропорциональную унитарной связности предквантования ∇ на L;
18 ГЛАВА 1
3) k 0,такчтоHi(MI, O(K/2+k ·c1(L))) = 0 при i>0,и
(k + n/2) ω (1.15)
является симплектической келеровой формой
(например, это так, если M
является многообразием Фано индекса n и L =
I
= O(k)). В этих предположениях деформация комплексной структуры˙I
представляется в виде свертки
(k + n/2) ω ∗ W
келеровой формы (1.15) с некоторым гладким сечением
W0∈ Γ∞(S2T
второй симметрической степени голоморфного касательного расслоения.
Всамомделе,˙I(T
0,1
) ⊂ T
1,0
MI) ⊂ (S2TMI)
1,0
, а симплектическая форма (1.15) имеет
=˙I
0
1
2,0
(1.16)
тип (1, 1) и, как линейный оператор
(k+n/2)ω
0,1
−−−−−−→ Ω
1,0
в Ω
, так что композиция
1
˙
I ◦ω
−1
1,0
:Ω
1,0
⊕ Ω
→ T
0,1
,
1,0
(1.17)
посылает T
1,0
в Ω
0,1
W
1,0
T
,аT
def
0
⊕ T
0,1
=
k + n/2
и является симметрическим тензором требуемого типа.
Теперь допустим, что -умножение на класс келеровой формы (1.15)
∗ [(k + n/2) ω]: H
является изоморфизмом (например, это так, когда H
1
(MI, O)=0или когда MIявляется поляризованным абелевым мно-
= H
0
(MI,T
1,0
) → H1(MI, O) (1.18)
0
(MI,T
1,0
)=
гообразием). В этом предположении голоморфная структура на линейном
расслоении L
не добавляет собственных параметров деформации при де-
I
формации комплексной I на M , и нам остается только исследовать дефор-
1 − iI
2
.
I
∇, ∇
0,1
=
1+iI
2
задается связностью
I
∇.
1,0
мации голоморфных сечений L
Напомним, что голоморфная структура на L
предквантования ∇, которую можно разложить по типам как ∇ = ∇
0,1
+ ∇
с
1,0
=
∇
1
Этот важный тензор был введен Уелтерсом в [78], что мы и подчеркиваем обозначением.
+
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]