Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
.pdf
§6. АБЕЛЕВА ВЕРСИЯ: U (1)-СПИН-СЕТКИ 109
при преобразовании когерентных состояний (2.15) переходит в «основную»
ϑ-функцию на комплексном пространстве Шоттки (C
∗
)g,дающуюанали-
тическое выражение для ненулевого сечения Θ-дивизора на якобиане.
Пространство абелевых связностей i
-инвариантно вкладывается в
↓↑
пространство SU(2)-связностей диагональным отображением
(Γ)d−→A(Γ): eiϕ=
A
A
iϕ
e
0 e
0
−iϕ
,
образ которого при проекции (6.31) двулистно накрывает куб, так что композиция
(Γ)
A
A
cj◦d
−−→
e∈E(Γ)
[0, 1]
e
есть факторизация по действию инволюции i↓↑.Обозначимчерез
A
A
(Γ)
A
−→ U (1)
g
(6.36)
π
каноническую проекцию пространства абелевых связностей на множество
абелевых калибровочных орбит (6.35). Нетрудно проверить
Предложение 1. Абелева проекция (6.36) раскладывается в компози-
цию:
(Γ)d−→A(Γ)π−→ U(1)g⊂ RC(π1(Γ), SU(2)). (6.37)
A
A
Вложим теперь якобиан кривой J
но в RC(π
), SU(2)) и рассмотрим его голдмановскую проекцию на тор
1(ΣΓ
=Hom(π1(ΣΓ),U(1)) диагональ-
Σ
Γ
действия (4.20):
π
Γ
−−→ TA= U(1)
J
Σ
Γ
E(Γ)
,
образом которой является g-мерный тор
Δ
Γ
(mod Z
3g−3
) T
g
⊂ TA. (6.38)
−
С другой стороны, деля на k весовую функцию (6.32) произвольной
U(1)-спин-сетки уровня k на графе Γ, мы получаем точку k-деления на
торе действия T
A
. Замечательно, что образ возникающего отображения
w
k
−−−−→T
S
A
w→
k
A
k
110 ГЛАВА 6
содержится в подторе (6.38), и, более того,
1
k
S
= Wk(Γ) = BSk(Γ) ⊂ ΔΓ= T
A
k
В результате группа ϑ-характеристик канонически отождествляется с множеством спин-сеток S
k
уровня k, так что в абелевом случае мы можем
A
g
. (6.39)
−
нумеровать ϑ-характеристики U (1)-спин-сетками. Именно таким образом
мы собираемся обобщать понятие ϑ-характеристики на неабелев случай.
Кроме этого, нам понадобится неабелева версия преобразования когерентных состояний (2.15) для δ-функций (2.18), которое в классическом
варианте из § 4 главы 2 представляло собой фрагмент стандартного гармонического анализа на торе T
g
= U (1)g. Теперь нам надо распространить
−
технику разложений Фурье на SU(2)-случай.
§ 7. Гармонический анализ SU(2)-спин-сеток
Напомним, что мы отождествляем неприводимые представления SU(2)
сполуцелымиспиновыми числами (половинками размерностей):
IR (SU(2))
Разложение Клебша –Гордона тензорного произведения j
неприводимых представлений тогда и только тогда содержит одномерное
тривиальное представление (сплетающий оператор), когда спинорные числа удовлетворяют неравенству треугольника:
|j
− j2| j3 j1+ j2. (6.40)
1
j
Функция E(Γ)
1
−→
Z, удовлетворяющая этому неравенству и условию
2
+ j2+ j3∈ Z
j
1
для каждой звезды S(v), задает на графе ΓSU(2)-спин-сетку Γ
ворим, что она имеет уровень k,еслиj(e) k для любого ребра e,ив
правой части неравенства треугольника (6.40) вместо j
ставить min(j
обозначаем через Γ
Ясно, что S
+ j2,k− j1− j2). Фиксированную спин-сетку уровня k мы
1
k
(Γ) ⊂ Sm(Γ) при k<m. Напомним также, что, деля спинор-
, а множество всех таких спин-сеток — через Sk(Γ).
j,k
ные числа на k, мы отождествляем спин-сетки с допустимыми весами:
k
(Γ) = Wk(Γ)
S
(см. конец § 1 главы 6).
1
Z.
2
⊗ j2⊗ j3трех
1
.Мыго-
j
+ j2можно по-
1
§7. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ SU(2)-СПИН-СЕТОК 111
В этом параграфе мы проинтерпретируем каждую спин-сетку Γ
j,k
как
функцию на унитарном пространстве Шоттки
=SU(2)g/ Ad
S
g
diag
SU(2).
Поскольку последнее зависит лишь от рода g, но не от самого графа, это
позволит нам канонически отождествлять решетки спин-сеток для разных
тривалентных графов одинакового рода.
Зафиксируем на произведении групп
E(Γ)
SU(2)
=
1
e∈E(Γ)
SU(2)
e
(6.41)
произведение−→dx мер Хаара dx на SU(2), нормализованных так, что
Любая функция f ∈ L
SU(2)
2
(SU(2)
dx =1=
E(Γ)
−→
dx.
E(Γ)
SU(2)
,−→dx) на этой группе раскладывается по
формуле Петера – Вейля:
trB
E(Γ)
−→
◦−→ (x), (6.42)
,f
)
| ν∈ IR (SU(2))}
3g−3
где
IRSU(2)
E(Γ)
f(x)=
−→
∈IR
= {−→ =
SU(2)
(
⊗ 2⊗··· ⊗
1
есть пространство всех неприводимых представлений произведения (6.41),
а
=
1
dim V
−→
B
,f
— эндоморфизмы пространств V
Каждая спин-сетка Γ
1
Которое фиксацией какой-либо ориентации ребер графа Γ отождествляется с простран-
ством A SU(2)-связностей на Γ.
2
Эта конструкция аналогична стандартному разложению Фурье (2.16): представление−→
отмеряет «частоту», а эндоморфизм B
вычисляющегося по формуле (6.43), тоже вполне аналогичной своей классической абелевой
версии.
задает представление
j
−→
j = ⊗
e∈E(Γ)
−→
SU(2)
−→
j(e) ∈ IRSU(2)
−→
играет роль «амплитуды» или коэффициента Фурье,
,f
f(x) ·−→ (x−1)−→dx (6.43)
E(Γ)
этих неприводимых представлений2.
E(Γ)
112 ГЛАВА 6
в пространстве V
−→
. В силу автодуальности представлений SU(2) каждый
j
эндоморфизм этого пространства является вектором в тензорном произведении
e∈E(Γ)
где {j
⊗
j
e
(v),j2(v),j3(v)} = S(v) составляют звезду вершины v. Но, по опре-
1
e∈E(Γ)
делению спин-сетки, каждое произведение j
∗
j
=
e
e∈E(Γ)
=
j
⊗
e
e∈E(Γ)
=
j
e
(j1(v) ⊗ j2(v) ⊗ j3(v)) , (6.44)
v∈V (Γ)
(v) ⊗j2(v) ⊗j3(v) содержит
1
единственный с точностью до пропорциональности сплетающий оператор i
, так что беря их тензорное произведение, мы канонически связываем
v
со спин-сеткой оператор
=
B
Γ
j
iv∈ EndV
v∈V (Γ)
−→
.
j
Таким образом, мы можем связать с любой спин-сеткой функцию
f
(x)=trB
Γ
j
◦−→j (x)∈ L2(SU(2)
Γ
j
инвариантную относительно действия калибровочной группы
E(Γ)
,−→dx),
1
на пространстве SU(2)
V (Γ)
SU(2)
E(Γ)
Aиз (6.41), и стало быть, спускающуюся на
× (Z/2Z)
E(Γ)
фактор
u
= A/G,
S
g
что и требовалось.
k
Таким образом, множество спин-сеток S
торый набор специальных функций f
2
.
ки
1
Компоненты которой занумерованы вершинами графа Γ и выборами ориентации на его
ребрах.
2
Точно так же, как в конце (§ 5), множество ϑ-характеристик (
левы ϑ-функции.
Γ
j
(Γ) Wk(Γ) нумерует неко-
на унитарном пространстве Шотт-
g
g
/k
) нумеровало абе-
§8. MS-ВЕРСИЯ RCFT И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОНО 113
Предложение 1. Спин-сетка Γjоднозначно восстанавливается по
графу Γ и функции f
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
Зная граф, мы восстанавливаем проекцию A
цию f
на A =SU(2)
Γ
j
.
Γ
j
π
E(Γ)
. Из гармонического разложения (6.42) этой
g
функции мы получаем представление
SU(2)
j
⊗···⊗j
1⊗j2
E(Γ)
−−−−−−−−−−− → EndV
3g−3
⊗ V
j
1
⊗··· ⊗V
j
2
j
3g−3
и эндоморфизм B
∈ EndV
j
⊗ V
j
1
⊗··· ⊗V
j
2
, разложение которо-
j
3g−3
го на блоки, соответствующие вершинам графа, восстанавливает весовую
функцию j.
Теперь нам остается лишь построить преобразование когерентных со-
стояний для пары S
u
⊂ Sg(как в § 4 главы 2), что и будет проделано нами
g
вгл.7.
§ 8. MS-версия RCFT и представление Коно
Аксиоматическое описание рациональной конформной теории поля по
Муру и Зайбергу
в § 1 главы 5) и дискретного (конечного на каждом «уровне» k)множестваR
ее представлений
деленным элементом
и каждой упорядоченной тройке
векторное пространство V
Напомним, что с любым графом рода g и валентности 3–1 мы можем
связать конечномерное пространство волновых функций с отмеченным базисом, нумеруемым спин-сетками. А именно, всякая спин-сетка Γ
фе Γ задает для каждой вершины v ∈ V (Γ) одномерное подпространство
сплетающих операторов
1
(MS RCFT) включает задание алгебры слияния A (как
,образующихмодулярную тензорную категорию свы-
i
11 ∈ R такую, что ∈ R =⇒
, j, kсопоставляется конечномерное
i
,такчто
k
1, если
=
0 в остальных случаях.
i
=
∗
,
j
dim V
11
i,
j,
j
i
∗
∈ R, 11∗= 11,
на гра-
j
1
См. [48].
j
1
V
∈ j1⊗ j2⊗ j3. (6.45)
j2,j
3
114 ГЛАВА 6
Тензорно перемножая их по всем вершинам, а затем суммируя по всем
спин-сеткам, получаем пространство
H
k
Γ
=
j∈Sk(Γ)
v∈V (Γ)
j
1
V
, (6.46)
j2,j
3
в точности совпадающее с пространством (4.15) волновых функций
бор-зоммерфельдова квантования.
Мы хотим фиксировать в каждом одномерном пространстве
H
k
=
Γ
j
v∈V (Γ)
V
j
1
j2,j
3
некоторый базис. Такая фиксация aprioriне инвариантна относительно
элементарных перекроек разрезания на штаны, но препятствия к инвариантности описываются 2-клетками комплекса графов T
, и для проверки
g
инвариантности мы должны убедиться, что произведение матриц замен базисов, возникающих при последовательных движениях по ребрам, ограничивающим каждую такую клетку, равно единице.
В рамках MS RCFT с любым графом рода g и валентности 3–1 тоже можно связать аналогичное пространство и зафиксировать в нем базис
1
Возникающие при этом матрицы выражаются через пять элементарных матриц, которые в [48] по традиции обозначаются через F, S , T, Ω и Θ:три
фазовые матрицы Ω
изоморфизмы
S представляет соотношение в роде 1: V
рицы слияния:
и сплетающая матрица B
условиям Редемайстера: B
рить, что соотношения между ними, аксиоматизированные в [48], выполняются и для наших спин-сеток
1
В SU(2)-случае это можно сделать используя стандартные 3j-символы Вигнера, см. [46].
2
Вообще говоря, топологической (геометрической) моделью для MS RCFT является про-
±
, Θ, T диагональны (в подходящем базисе) и задают
V
i
j,
i
V
j,
k
⊗ V
t,
k
m
±
= F Ω±F−1, удовлетворяющая стандартным
12B23B12
2
.
i
k
F
−→
→ V
j,
j,
V
k
i
t,
,
S
−→
∗
j
j
⊗ V
j,
i
V
.Ещеестьмат-
∗
,
,
m
= B23B12B23. Мы собираемся прове-
.
§8. MS-ВЕРСИЯ RCFT И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОНО 115
На самом деле все это матричное исчисление возникает из рассмотрения голономии уравнения Книжника– Замолодчикова (см. [45]). Рассмотрим параболический (т.е. валентности 3–1) граф Γ, описывающий раскрой
проколотой сферы Римана
Σ=CP
1
\{p1,p2, ..., pn}
на штаны, и зафиксируем произвольный ортонормированный базис {I
1,I2,I3
} алгебры sl(2, C) относительно стандартной формы Карта-
на –Киллинга. Положим
Ω=
=
Ω
ij
Iμ⊗ Iμ∈ End(11) = End(sl(2, C)),
μ
πi(Iμ)πj(Iμ) ∈ End(j1⊗ j2⊗··· ⊗jn),
μ
(6.47)
где π
ного произведения j
расслоение со слоем j
) есть действие μ-го базисного оператора на i-й компоненте тензор-
i(Iμ
C
⊗···⊗jn. Далее, рассмотрим тривиальное векторное
1
⊗··· ⊗jnна конфигурационном пространстве
1
n
\ Δ={(z1,z2, ..., zn) | zi= zjпри i = j}.
Уравнение Книжника –Замолодчикова
Ω
∂Φ
∂z
1
=
k +2
i
i=j
ij
zi− z
Φ(1 i n) (6.48)
j
определяет на этом расслоении плоскую проективную связность
ω =
1
k +2
Ωijd log (zi− zj) ,
i<j
относительно которой все решения (6.48) являются ковариантно постоянными (горизонтальными) сечениями. Операторный формализм двумерной
извольное трехмерное многообразие с вложенным тривалентным графом, и переформулировка
этой общей постановки на язык спин-сеток аналогична пенроузовской интерпретации квантовой гравитации; геометрия спин-сеток проще тем, что голономия одного ребра вокруг другого
всегда тривиальна, и поэтому не возникает никаких «соотношений зацепления», тогда как в
общем случае, проектируя узел на плоскость, мы должны следить за тем, какое из двух перекрывающихся ребер проходит выше; в остальном элементарные преобразования спин-сеток
близки к правилам разматывания для полиномов Джонса.
116 ГЛАВА 6
конформной теории поля, введенный Цучия и Кание в [69], детально формализует все свойства монодромии этого уравнения. Мы, однако, предпочитаем ввести матрицы Мура – Зайберга более инвариантным способом.
Для начала рассмотрим графы Γ и Γ
зания на штаны сферы Σ
с 4 дырками (см. рис. 7 на стр. 94). Они имеют
0,4
, задающие два возможных разре-
e
одно и то же множество параболических ребер
P (Γ) = P(Γ
)={e1,e2,e3,e4},
e
но оно по-разному вкладывается в (упорядоченные) множества ребер этих
графов, так что мы имеем два изоморфных пространства конформных блоков:
H
H
k
Γ,j
1,j2,j3,j4
k
,j1,j2,j3,j
Γ
e
=Hom
=Hom
4
(j1⊗ j2,j3⊗ j4) ,
SU(2)
(j2⊗ j3,j4⊗ j1) ,
SU(2)
в которых по-разному выбран базис. Будем символически представлять эти
базисы матрицами:
j =
j
2j3
j1j
и j
4
=
j
3j4
j2j
.
1
Определение 1. Матрица
Hom
(j1⊗ j2,j3⊗ j4)F−→ Hom
SU(2)
(j2⊗ j3,j4⊗ j1),
SU(2)
переводящая первый базис во второй, называется матрицей слияния.
Матрица слияния задает преобразование решений уравнения Книжника– Замолодчикова. Если обозначить через
F
ij
j
2j3
j1j
4
ее компоненты в базисе j, то они будут удовлетворять соотношениям:
j
F
ij
F
ij
j
2j3
j1j
j
2j3
j1j
4
4
= F
F
jk
ij
j
j3j
j
3j4
j2j
4j1
1
,
2
,
= δ
ik
§8. MS-ВЕРСИЯ RCFT И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОНО 117
и уравнению пятиугольника1, возникающему на сфере с пятью дырка-
0,5
.
ми Σ
Теперь, как и было обещано на стр. 77 в § 3 главы 4, мы можем канонически отождествить пространство (4.15) бор-зоммерфельдовыхволновых
функций с пространством (4.22), порожденным допустимыми целыми весами (разметками графа): в силу односвязности комплекса графов C(T)
последовательное применение матриц слияния отождествляет между собой
все пространства (6.46).
Еще одно преобразование монодромии уравнения Книжника –Замолодчикова возникает при n =4(или n =3∞, как в [43]).
Определение 2. Композиция преобразований
j
2j3
j1j
→
4
j
1j3
j2j
F
−→
4
j
3j4
j1j
→
2
j
3j2
j1j
4
называется сплетающей матрицей.
Как и выше, мы обозначаем коэффициенты этой матрицы через
B
ij
j
2j3
j1j
.
4
Легко видеть, что сопряжение матрицей слияния диагонализует сплетающую матрицу:
F
j
2j3
j1j
B
4
j
2j3
j1j
−1
F
4
j
2j3
j1j
= D,
4
где D — диагональная матрица из элементов
d
ν
=(−1)
j2+j3−ν
expπi
ν(ν +1)
k +2
−
Более того,
B
μν
×exp−πi
1
См. рис. 12 на стр. 103 и пояснения на стр. 101–104.
μ(μ+1)
k+2
ν(ν+1)
+
j
2j3
j1j
k+2
4
−
=(−1)
j
+1)
1(j1
k+2
j1+j4−μ−ν
j
2(j2
−
+1)
k +2
j
4(j4
k+2
−
×
+1)
j
3(j3
+1)
k +2
F
μν
j
1j3
j2j
.
.
4
118 ГЛАВА 6
Рассмотрим теперь «эллиптическое» элементарное преобразование тора с одной дыркой Γ
на рис. 7 (стр. 94), которое переставляет между
1,1
собой a-цикл и b-цикл (стандартные образующие фундаментальной группы
тора). Соответствующий граф имеет одну тривалентную вершину v,одно
нормальное ребро — 1-петлю a и одно параболическое ребро p,отвечающее
проколотой точке. Аналогично, тору с двумя дырками Σ
граф Γ
с двумя вершинами v1, v2, двумя нормальными ребрами a, a
1,2
соответствует
1,2
и двумя параболическими ребрами p1, p2.Этимдвумторамотвечаютдва
пространства (6.46):
H
k
,j∈ Z, и H
,j
Γ
1,1
k
Γ
1,2,j1,j2
.
Матрицы слияния a-ребер задают отождествление
f : H
k
Γ
1,2,j1,j2
∼
−→
j(k−j1−j2)
H
k
,j
Γ
1,1
(6.49)
(где суммирование происходит по всем j, удовлетворяющим условиям Клебша – Гордана). В левом пространстве имеется выделенный базис {w
}, индексированный допустимыми весами w с w(a)=, w(a)=
m
= m. Введем линейный оператор
H
k
Γ
1,2,j1,j2
B
−→H
k
Γ
1,2,j1,j2
, (6.50)
действие которого на этот базис выражается через сплетающие матрицы по
формуле:
B(w
m
)=
μ
B
μ
j
1j2
mm
, (6.51)
w
μm
и определим оператор подкрутки, задающий действие модулярной группы M
липтическое преобразование
стве H
преобразование «весового» пространства H
даваемое в базисе {w} = W
2-торе, соответственно, вдоль a-петли и вдоль b-петли.
(точнее, класса диффеоморфизма, реализующего элементарное эл-
1,1
k
. Для этого сопоставим каждому ребру e ∈ E(Γ) диагональное
,j
Γ
1,1
T
(w)=exp2πi
e
1
Этот оператор перестановочен с действием диффеоморфизмов, двигающих дырку p2на
1
, изображенное на рис. 7, стр. 94) на простран-
k
волновых функций (4.22), за-
k
формулой
Γ
w(e)(w(e)+1)
k +2
Γ
−
8(k +2)
k
· w. (6.52)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]