Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика для студентов технических вузов. Учебное пособие
.pdf
Целое n называется главным квантовым числом. Из (10.83) следует,
что энергия квантового осциллятора всегда не ноль, а минимальное ее
значение есть
1
. (10.84)
ω
0
hE
2
Все вещества в природе состоят из микрочастиц, которые совершают колебательные движения относительно их положений равновесия.
Атомы колеблются в молекулах, ионы металла – в кристаллах и т. д.
Средняя энергия движения частиц определяет температуру вещества.
Из того, что энергия колебаний микрочастиц никогда не ноль в любом
веществе, следует, что температура веществ
не может достигать 0 градусов К, что составляет один из основных законов термодинамики: для
любого вещества температура 0 градусов Кельвина не достижима.
Рис. 25. Уровни энергий квантового осциллятора
На графике потенциальной энергии квантового осциллятора
(рис. 25) нанесем разрешенные уровни энергии квантового осциллятора.
Они будут располагаться на равных расстояниях друг от друга, как показано на рис. 25; уровни энергии эквидистантны. Полиномы Чебышева–Эрмита хорошо изучены и для них существует воспроизводящая
функция:
nn
(1) d( )
()
He
n
n
2!
n
2
2
e
. (10.85)
n
d
Численные множители здесь выбраны так, чтобы выполнялось
условие нормировки, что наряду с ортогональностью можно записать в
виде функций (10.80):
101
(ξ)(ξ)dξ
HH
mn mn
-
Переходя к переменным x=ξ/b, получим
22
bx
2
n
Hebx
n
Приведем явный вид некоторых функций
0, ω,() ,
nE h x e
1, ω,() 2,
nE h x e bx
1
00
2
3
11
2
b
π
b
2 π
2, ω,() (4 2),
nE h x e bx
5
22
2
b
8 π
. (10.86)
)()(
x
. (10.87)
:
)(x
n
22
xb
2
22
xb
2
22
xb
2
22
(10.88)
3, ω,()?,
nE h x
7
33
2
где
mbω
.
h
Точки, в которых
но, что
(x) не имеет узлов, 1(x) имеет один узел (x = 0), 2(x) имеет два
0
(x) = 0, называют узлами функций. Из (10.88) вид-
n
узла и т. д. (рис. 26). На этот счет имеет место общее утверждение.
Рис. 26. Эскизы собственных функций одномерного
гармонического осциллятора
Теорема.
Главное квантовое число n равно числу узлов функции
Смостоятельно. Нарисовать эскиз графика функции
102
(x).
3
(x).
n
XI. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
rUU
M
M
M
ДЛЯ ЧАСТИЦЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
Поле, в котором потенциальная энергия частицы зависит только
от расстояния до выделенной точки этого поля, называется централь-
ным.
Выбрав начало системы координат в центре поля, рассмотрим
движение микрочастицы массой m в таком поле. Потенциальная энергия
частицы в этом случае запишется как функция трех переменных в декартовых координатах:
222
)()(
zyxUUU r
,
если начало отсчета выбрать в центре поля, а в сферических координатах {r, , } – как функция одной переменной:
.
)(
Запишем уравнение Шредингера для частицы, находящейся в независящем от времени центральном поле в сферических координатах:
2
1
hM
22
mr r r mr
2
rUrE
22
В случае центрального поля операторы
2
()
. (11.1)
2
()HTUr
и
комму-
тируют. Значит, они могут иметь общую систему собственных функций.
2
Собственные функции оператора
нам известны. Их можно записать
в виде
m
(θ,)
CY
l
,
которые определены с точностью до константы, а точнее до произвольной функции отсутствующей сферической координаты r, C = R(r). Подставим функцию
(,θ,) () (θ,)
rRrY
m
l
(11.2)
в уравнение (11.1). Получим
22
hRr hll
22
mr r r mr
где учли действие оператора
1() (1)
2
rY RrY
22
() () (θ,) () (θ,),
UrRrY ERrY
2
() (θ,) ( 1)() (θ,)
MRrY hll RrY
mm
(θ,) () (θ,)
ll
mm
ll
2
на его собственную функцию
mm
ll
2
.
Y
m
l
(11.3)
(θ,)
:
103
m
r
(θ,)
Разделим обе части уравнения (11.3) на
Y
l
, получим уравне-
ние для неизвестной функции R(r):
22
1d d ( 1)
hRhll
2d d 2
mr r r mr
2
rRUrRER
22
()
. (11.4)
Это уравнение носит название радиального уравнения для частицы
в центральном поле. Функция R(r) будет зависеть от вида центрального
потенциала U(r) и от квантового числа орбитального момента частицы l.
Из классической механики известно, что для центральных полей вида:
() , 0 2, 0 1
Ur k
k
r
,
движение тел будет инфинитным для частиц с полной энергией E > 0;
частицы не будут задерживаться возле силового центра из-за отталкивания от него. В этом случае мы говорили о рассеянии частиц силовым
центром. В случае α < 0, U(r) < 0, возможно, E < 0, и частица не может
удаляться на бесконечно большое расстояние от
центра, совершая фи-
нитное движение (задача Кеплера).
Квантово-механические расчеты показали, что спектр положительных энергий уравнения (11.4) непрерывен, движение инфинитно, микрочастицы рассеиваются на центре.
Рассмотрим уравнение (11.4) с центральным потенциалом притяжения, выделив знак минус:
α
()Ur
,
0α
, (11.5)
r
и отрицательной полной энергией частицы E < 0:
22
1d d ( 1) α
hRhll
mr r r mr r
2d d 2
2
rRRER
22
. (11.6)
При отрицательной энергии (E < 0) движение частицы ограничено,
а вероятность найти микрочастицу на большом расстоянии от центра
должна быть равна нулю:
. (11.7)
rRr
0)(lim
Решение этого дифференциального уравнения начнем с замены искомой функции на функцию u(r):
)(
rurR)(
. (11.8)
Заметим, что для выполнения условия (11.7) u(r) должна быть
ограниченной функцией при любых r. Подставив (11.8) в дифференциальное уравнение (11.6), получим дифференциальное уравнение на неизвестную функцию u(r):
104
2
d(1)2α 2
ull m mE
22 2 2
d
rr rh h
uu u
0.
Проведем замену переменной в этом уравнении. Размерную переменную r заменим на безразмерную переменную ρ:
ra
,
1
где постояння a должна иметь размерность [l
], тогда
dd1
ddρra
ρ
и уравнение для u(
) запишется в виде
22
umall mEa
d α (1) 2
22 2 2
dρρ
20
uu u
hh
. (11.9)
В этом уравнении все коэффициенты должны быть безразмерными. Величину размерной и пока неопределенной константы a выберем из условия
α
am
1
2
h
a
2
h
α
1
][
l
m
. (11.10)
Введем обозначение:
2
mE a Eh
22
22
hm
22,0
α
(11.11)
и преобразуем уравнение (11.9) к виду
2
d1 (1)
ull
22
d ρρ ρ
20
uu
. (11.12)
Это дифференциальное уравнение является линейным однородным, но не с постоянными коэффициентами, и стандартных способов
его решения не существует. Постараемся решить его нестандартным
способом. Рассмотрим уравнение (11.12) при больших и отбросим величины, пропорциональные
1/
и
1/
, как малые. Оставшееся диффе-
2
ренциальное уравнение запишется в виде
"2 0UU
ε
. (11.12*)
Это уравнение решается стандартным способом, как линейное
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Корни
соответствующего характеристического уравнения будут вещественные, если E < 0, а потому частные решения дифференциального уравнения (11.12*) вещественные:
2 ρ 2 ρ
(ρ),(ρ).UeUe
12
Как следует из (11.11), выражение
2
2
æ
2
αEhm
2
(11.13)
105
будет вещественным числом, а при →
~
f
внимание конечное решение
(ρ)Ue
2
æ
U
1
ρ
асимптотического уравнения
. Поэтому берем во
)ρ(
(11.12*). Будем искать решение уравнения (11.12) для любых > 0 в виде
æ
. (11.14)
(ρ)(ρ)ue
ρ
Подставив замену искомой функции (11.14) в дифференциальное
уравнение (11.12), получим
2(1)
ll
"(ρ)2 '(ρ )(ρ )0
ff f
æ
ρρ
2
. (11.15)
Это уравнение также не имеет решения в элементарных функциях,
а поэтому неизвестную функцию f(ρ) будем искать в виде степенного
ряда:
γ
)(
0
n
n
ρρρ
Cf
,
n
с γ > 0, чтобы выполнялось условие
f(ρ = 0) = 0
и
u(ρ = 0) = 0.
При малых ρ лидирующим по величине будет член ряда C
ργ. Тре-
0
буя, чтобы он был решением уравнения (11.15),
C
γ(γ – 1)ρ
0
γ–2
После деления на C
– 2æγC0ρ
γ–2
ρ
0
γ–1
+ 2C0ρ
получим
γ–1
– l(l + 1)C0ρ
γ–2
= 0.
γ(γ – 1) – 2æγρ + 2ρ – l(l + 1) = 0.
Отсюда
γ(γ – 1) = l(l + 1)
и нужное решение (γ > 0) есть
γ = l + 1.
Нахождение решения уравнения (11.15) сведется теперь к нахождению коэффициентов степенного ряда:
k
Cf
0
1
kl
ρ)ρ(
k
. (11.16)
Подставляя ряд (11.16) в дифференциальное уравнение (11.15), получим
(1)()ρ 2(1)ρ
С kl kl С kl
00
kk
kk
2 ρ (1) ρ 0.
С ll С
kk
00
kk
1
kl kl
kl kl
106
æ
(11.17)
1
Чтобы сумма независимых степенных функций была равна нулю,
необходимо, чтобы все коэффициенты при одинаковых степенях были
k+1
равны нулю. Например, при
[( 2)( 1) ( 1) ] [2 2 ( 1)] 0
Ckl kl llC kl
kk
æ
1
:
,
откуда получим рекуррентное соотношение для нахождения коэффициентов степенного ряда (11.16):
2( 1) 2
kl
CC
1
kk
(2)(1)(1)
kl kl ll
æ
.
(11.18)
Абсолютная величина первого коэффициента С
0 не имеет зна-
0
чения. Ее произвол ликвидируется последующей нормировкой волновой функции R(r). Однако коэффициенты, определенные по соотношению (11.18), все еще очень медленно убывают с ростом номера k и по-
тому ряд (11.16) расходится при 1. Более того, и даже ряд
(см. (11.14))
()
ue C
æ
k
0
k
1
kl
, (11.19)
тоже расходится при больших :
æ
lim( )
eC
k
0
k
kl
1
,
что недопустимо по смыслу волновой функции. Чтобы найти конечное
решение уравнения (11.12), ряд (11.16) обрывают на некотором члене с
номером k
, превращая ряд в полином. Пусть
0
СС
00
0 а ,0
)(
ikk
для i ≥ 1. Это произойдет, если числитель в рекуррентном соотношении
(11.18) обратится в ноль при k = k
2( 1) 2 0kl
0
:
0
æ
. (11.20)
Отсюда
æ
kl m kl
00
11
2
121
Eh
2
2
.
В результате
2
E
2
2
lkh
0
, (11.21)
2
)1(
то есть спектр отрицательных энергий частицы в центральном поле
притяжения оказывается дискретным, так как зависит от целого положительного числа:
0
107
, (11.22)
1
lkn
называемого главным квантовым числом (n = 1, 2, 3, ...); l = 0, 1, 2, …, (n – 1)
R
называется орбитальным (азимутальным) квантовым числом;
m = 0, 1, 2, …, l – магнитным квантовым числом.
В спектроскопии принято состояния с l = 0 обозначать буквой s
(sharp), l = 1 p (principal), l = 2 d (diffuse), l = 3 f (fundamental) и так
далее.
Будем нумеровать дискретные отрицательные значения энергии
частиц индексом n, определяемым равенством (11.22).
Коэффициенты обрезанного ряда (11.16), входящие в функции
(11.19), хорошо изучены и могут быть вычислены с помощью воспроизводящих функций:
122ξ
S
(ξ)
L
k
S
d(ξ)
L
k
S
dξ
llnl
nlnl
(ξ)(ξ ), 0
Lee k
,
k
LeNR
k
d
ξξ
k
dξ
,
)ξ(ξ)ξ(
k
, (11.23)
безразмерной переменной
ξ . Константы N
выбраны так, чтобы
nl
na
выполнялось равенство
r2
0
2
r
22
nl
na
d1
rr
. (11.24)
Собственные функции гамильтониана частицы, находящейся в
центральном поле (11.5), будут иметь вид
2
r
(,θ,) (θ,)
rRY
nlm nl l
na
m
. (11.25)
Эти функции ортонормированные по индексам n, l, а также по m.
Атом водорода
Атом водорода – это квантовая система, состоящая из двух частиц
протона и электрона, взаимодействующих через электрическое поле.
Из теории взаимодействия двух тел известно, что оба тела при этом будут
двигаться относительно их центра тяжести. Если пренебречь движением
тяжелого ядра относительно общего центра тяжести, то его можно считать
источником центрального поля, поля Кулона
частица электрон. Это хорошее приближение. Поэтому полученные нами
результаты о движении микрочастицы в центральном поле вида
α
()Ur
можно применить для квантовой системы, какой является атом
r
водорода. Подставляя в формулу (11.10) m = m
, в котором движется легкая
и α = e2, получим
e
108
2
f
h
a
2
em
0,5 10 м
e
10
, (11.26)
что приблизительно равно первому боровскому радиусу орбиты электрона в полуквантовой теории Бора. Энергия атома водорода будет отрицательной и дискретной:
4
E
em
n
2
1
e
22
hn
. (11.27)
Наименьшее значение ее достигается при n = 1:
4
em
E
1
e
2
h
2
13,6 эВ
, (11.28)
которое называется энергией связи электрона в атоме водорода. Значения E
с n 2 будут больше E1 и характеризуют возбужденные стацио-
n
нарные состояния атома водорода, которых, как видно из выражения
(11.27), будет бесконечно много. Одному значению энергии E
будут
n
отвечать n разных состояний атома водорода, характеризующихся разными l и k
:
0
l = 0, 1, 2, …, (n – 1), k
= n – 1, n – 2, n – 3, …, 0,
0
которые, в свою очередь, также (2l + 1) раз вырождены по различным
проекциям m орбитального момента электрона l на выделенное направление (ось Z), (m = 0, 1, 2, …, l). Всего вырожденных состояний,
отвечающих собственному значению энергии E
n
1
l
0
n
1
2)12( nnll
l
0
(11.27), будет:
n
2
. (11.29)
Если учесть спин электрона, имеющего два значения проекции на
выделенное направление, то кратность вырождения одного уровня энергии в атоме водорода будет достигать 2n
(в пренебрежении спин-
2
орбитальным взаимодействием электрона).
Переход от одного состояния атома водорода с энергией E
гому состоянию с энергией E
происходит благодаря поглощению или
m
к дру-
n
излучению электромагнитных волн, причем в силу дискретности спектра энергии атома водорода электромагнитное излучение атома будет
иметь строго определенный набор частот:
EEh
ω
iif
, (11.30)
определяемый выражением
4
me
111
ω
if
называемым формулой Ридберга–Ритца. Через n
ные квантовые числа начального n
e
222
hh n n
2
if
и конечного nf состояний атома во-
i
109
, (11.31)
и nf обозначены глав-
i
дорода. Спектр излучения (поглощения) атома водорода близких по
длине волн объединяют в серии:
}→ n1 = 1 (nf > 1) – серия Лаймана (ультрафиолет);
{n
f
}→ n2 = 2 (nf > 2) – серия Бальмера (видимый свет);
{n
f
}→ n3 = 3 (nf > 3) – серия Пашена (инфракрасное излучение);
{n
f
}→ n3 = 4 (nf > 4) – серия Бреккета (радиоволны).
{n
f
Cпектр излучения водорода устойчив к изменениям температуры и
давления в большом диапозоне. Однако в сильных электрических и
магнитных полях спектр излучения атома водорода изменяется и об
этом скажем позже.
Местонахождение электрона в атоме водорода
Волновая функция электрона в атоме водорода записывается в виде
(11.25):
() () (θ,)
rRrY
nlm nl l
а дифференциальный объем в сферических координатах имеет вид
dd sinθddθd.Vrr r
32
m
, (11.32)
Тогда дифференциальную вероятность нахождения электрона в атоме можно представить в сферических координатах следующим образом:
|(,θ,)|d ()| (θ,)| sinθddθd
rrRrYrr
nlm nl l
23 2 22
22 2
() d | (θ,)|d.
RrrrY
nl l
m
m
(11.33)
Введем обозначения:
22
rwrrR
nnl
m
|(θ,)| (θ,) (θ)()
Ywww
)()(
,
llm
2
θ
. (11.34)
Эти функции будут плотностями распределения электрона по ко-
θ,
ординатам r,
, так как они удовлетворяют требованиям, предъявля-
емым к функциям распределения, а именно они не отрицательные и
()d 1; (θ,)d 1.
wr r w
nlm
0
(11.35)
Если проинтегрировать дифференциальную вероятность (11.33) по
телесному углу, то получим величину
4π ()d,
wr r
n
которая есть вероятность обнаружения электрона в шаровом слое радиусом r и толщиной dr.
Для основного состояния атома водорода (n = 1, l = m = 0) получим:
(,θ,) () , (θ,)| (θ,)| const,
rRr w Y
100 10 00 0
4π
110
11
02
4π
(11.36)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]