Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика для студентов технических вузов. Учебное пособие
.pdf
A
2
E
222
2
TcmTcmcmE
A
2
P
()
A
m
2
A
2
,
2
cm
A
,
. (1.9)
Оценим величину
PP
и
Aγ
так как P
= Eγ/c. Очевидно, что последняя величина в выражении (1.9)
γ
22
Aγ
ET mmmc
T
()
eeAA
T
. Из закона сохранения импульса имеем
A
2
P
A
A
A
ee
2
P
γ
mm
A
мала. Пренебрегая ею, получим
UTE
, (1.10)
Iγ
ν UTh
e
следует, что при неко-
I
где
I
2
0)(
cmmmU
AAe
− потенциал ионизации атома веще-
ства. Из приближенного равенства
торых ν T
= 0, то есть электроны перестают вылетать из металлов. Ин-
e
e
тенсивность света (количество фотонов) никак не влияет на величину
кинетической энергии электронов, что согласуется с экспериментом.
Чтобы понять революционность идеи Эйнштейна в решении этой
проблемы, напомним неприложные положения классической физики о
частицах и волнах, которые он нарушил.
В природе существуют два
вида движения – это движение частиц
и волн. И эти движения не переходят друг в друга.
Частица – локализована, волна – протяженная, нелокализована.
Движение частиц связано с переносом вещества и/или электри-
ческого заряда; движение волны не связано с переносом вещества или
электрического заряда.
Свободные частицы движутся прямолинейно, а количества дви
жения нескольких частиц складываются по правилу сложения векторов:
P
. Волна распространяется не прямолинейно, огибая препятствия
n
n
(дифракция), а сложение нескольких волн приводит к сложному явлению интерференции, когда колебания с амплитудой A
2
складываются по закону
n
ω AA
nn
2
.
и частотой ωn
n
-
11
Комптоновское рассеяние
Комптоновское рассеяние – это явление упругого рассеяния электромагнитной волны рентгеновского диапазона на свободных или слабо
связанных электронах. Впервые его обнаружил американский физик
Артур Комптон в 1922 году.
В 1897 году английский физик Дж. Томсон предложил электрическую модель атома. Согласно этой модели атом представлялся в виде
однородного положительно заряженного шара, в который
электроны в количестве, необходимом для нейтральности атома (пудин-
говая модель атома). По классической теории электрон под действием
переменной силы, обусловленной электрической составляющей электромагнитной волны:
вкраплены
cos( ),Fe t
0
совершает вынужденные колебания с той же частотой ω, что и вынуждающая сила. В результате таких колебаний сам электрон излучает
электромагнитную волну той же самой частоты. Иначе частота падающего света ω
должна была бы быть равной частоте рассеянного света ωf
i
и не зависеть от угла рассеяния θ.
Комптон в проведенном им эксперименте (1923 г.) получил результат, изображенный на рис. 2.
Рис. 2. Зависимость частоты рассеянного света
от угла рассеяния в опыте Комптона
f
Объяснение своим результатам он дал сам, используя представление Эйнштейна о распространении света в виде квантов. Электромагнитное излучение рентгеновского диапазона Комптон рассматривал как
частицу фотон большей по сравнению с фотоэффектом энергии. Тогда
процесс комптоновского рассеяния может быть записан как столкновение двух частиц:
12
ee
f
f
γγ
. (1.11)
Закон сохранения энергии для этого процесса имеет вид
ET ET
ee
,
где
/
EE
,,
i
из чего следует:
ωω(),
()0, .
TT
ee f i
TT
iee
(1.12)
Чем больше угол рассеяния фотона, тем интенсивнее он взаимодействует с электроном и тем больше передача энергии электрону, а
значит меньше
E
и, соответственно, меньше ωf, то есть
γ
ω
fi
и про-
должает уменьшаться с увеличением угла рассеяния θ, как это наблюдается в эксперименте (рис. 2).
В этих двух рассмотренных явлениях электромагнитное излучение
проявило себя чисто в виде квантов-частиц. Однако во всех других случаях – это волна (Гюйгенс, Френель, Фарадей, Максвелл). Заметим, что в
одном и том же явлении
свет не проявляет себя одновременно и как частица, и как волна. Свойство света проявлять себя в одном случае (явлении)
как волна, а в другом − как частица было названо дуальностью света.
Гипотеза де Бройля и ее опытное подтверждение
В 1924 году французский князь Луи де Бройль, находясь под впечатлением обнаруженной дуальности света, высказал «дилетантское», с точки
зрения классической физики, утверждение, что и с движущимся массивным
телом можно связать волновое движение с характерной длиной волны:
h
, (1.13)
λ
P
где P – импульс массивного тела. Возможно, он размышлял следующим
образом. Для фотона такое соотношение имеет место:
24 22
тогда
chc
ch
λ
νν
E
h
h
P
γγ
и, возможно, это выражение справедливо для движущихся массивных
частиц.
,Eh mcPc cP
13
Главное в гипотезе де Бройля то, что движущиеся тела могут проявлять волновые свойства с характерной длиной волны (1.13). То есть
движущееся тело, частица, может проявлять себя в некоторых случаях,
явлениях как волна. Оставался вопрос − в каких? Ответа на этот вопрос
долго ждать не пришлось.
В 1925 году в опытах американских экспериментаторов
К. Девиссона и Л. Джермера с пучками электронов, не превышающих энергии
100 эВ, облучали разные вещества – мишени. Регистрировалась интенсивность рассеянных электронов в зависимости от угла рассеяния θ. Типичная картина зависимости интенсивности I
рассеянных электронов
e
от угла рассеяния показана на рис. 3.
0 θ
Рис. 3. Зависимость интенсивности рассеянных электронов
в аморфных мишенях от угла рассеяния θ
Когда же в качестве мишени им случайно попался монокристалл
ddI
никеля, они вдруг обнаружили не монотонное уменьшение
с ростом
θ, а чередования уменьшений с увеличением интенсивности рассеяных
электронов. Разумное объяснение этим пикам (рис. 4) можно было дать
только с точки зрения волновой теории. Сначала «волна движущихся
электронов» дифрагировала на центрах кристаллической решетки −
ионах никеля (пространственная дифракционная решетка), а затем эти
волны длиной λ = h/P
, от разных центров доходя до наблюдателя, ин-
e
терферировали, давая чередующиеся максимумы и минимумы.
Электрон – самая легкая частица и, может быть, дело в этом? Но
вскоре эффекты дифракции наблюдались в рассеянии более тяжелых
частиц нейтронов (
которых соответствующие λ
mm 2000
), а также ионов и даже молекул, для
en
, согласно (1.13), были очень маленькие.
Дуальность света в природе уравновешивается дуальностью движущихся частиц, которые в определенных случаях проявляют себя как волны.
14
I
d
dθ
Рис. 4. Зависимость интенсивности рассеянных электронов
в монокристалле никеля от угла рассеяния θ
Резюме
Таким образом, для описания движения микрочастиц нельзя использовать классическую механику, так как с ее помощью невозможно
объяснить дифракцию и интерференцию, но нельзя было использовать и
волновую теорию, которая не объясняла корпускулярные свойства частиц (перенос вещества, заряда). Необходима была новая теория: волновая механика частиц или квантовая механика волн
.
15
II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
A
A
x
f
xx
A
x
A
A
A
A
A
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Исааку Ньютону при создании своей механики потребовался математический аппарат – дифференциальное исчисление. Законы квантовой механики могут быть сформулированы и лучше усвоены с помощью своей математики – математики операторов.
Понятие оператора. Свойства операторов
Определение 1. Оператором
с помощью которого каждой функции f, из некоторого класса функций,
ставится в соответствие другая функция φ, что обозначается так:
Операторы будем обозначать большими буквами со «шляпкой».
Равенство (2.1) читается: оператор
Примеры. Рассмотрим оператор дифференцирования:
d
A
d1
arctg arctg .
d1
Другой оператор – умножения:
Не на всякую функцию можно действовать всяким оператором.
В первом примере f(x) должна быть дифференцируемой. Поэтому, когда
задают оператор, указывают класс функций, на которые он действует.
Опеределение 2. Оператор считается заданным, если наряду с прави-
лом, законом указано множество функций, на которые действует этот оператор. Такое множество называется
и
d
xx
x
;
называется правило, закон, рецепт,
Af
. (2.1)
переводит функцию f в φ.
arctg ;
xx
fx xfx
областью определения оператора.
2
.
Определение 3. Произведением двух операторов
ся оператор
тельному действию сначала оператора
зультат действия
Пример:
B
действие которого на функцию сводится к последова-
B
, а потом оператора
B
или:
() ()
Bf ABf
d
Bx
,;
x
d
16
. (2.2)
и
B
называет-
на ре-
A
x
B
x
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
Bfx xfx xfx fx xfx x fx
или можно получить произведение операторов (эквивалентный оператор):
dd
dd
xx
1
,
AB x
Изменим порядок действия этих операторов:
dd
A fx x fx xf x x fx
или
Поэтому в общем случае операторы в произведениях операторов
нельзя переставлять местами:
Для произведения одинаковых операторов используют для краткости обозначения:
Определение 4. Суммой двух операторов
dd
xx
1
BA x
BBA
AA
AA...A A
d
d
d
d
2
,
.
() ( )
.
. (2.3)
n
.
(2.4)
и
,
B
называется опе-
ратор
Операторы равны,
тор умножения на ноль).
Определение 5. Оператор вида
называется коммутатором операторов
ворят, что операторы коммутируют и
В противном случае операторы не коммутируют. Если один из
операторов в коммутаторе есть оператор умножения на константу
такой коммутатор равен нулю. Всякий оператор
ратором умножения на константу
Самостоятельно. Показать, что
B
±
, который действует на функцию f следующим образом:
(
=
B
±
·
) f =
B
, если (
B
B
−
BBA
[, ]
·
=
C
d
dxx
B
f ±
−
[,]
.
= 0.
,1.
f. (2.5)
B
) f = 0 или
B
(2.6)
B
и
. Если
−
[,]
коммутирует с опе-
B
= 0 (опера-
B
= 0, то го-
C
, то
17
Операторы «набла» и дельта
xix
A
A
x
f
x
A
f
Операторы в квантовой механике могут быть векторными, как,
например, оператор
– набла, который определен на дифференцируе-
мых функциях трех переменных:
, (2.7)
zyx
где
,,ijk
kji
– единичные, взаимно ортогональные векторы.
Под произведением двух векторных операторов будем подразумевать их скалярное произведение, если не оговорено противное:
2
2
2
2
2
2
. (2.8)
2
zyx
Полученный оператор носит название оператора Лапласа и обознача-
ется греческой буквой Δ. Он определен на функциях трех переменных,
имеющих вторые частные производные. Заметим, что функции в квантовой
механике могут быть и комплексными, так же как и операторы. Например:
2
1d
d
,
d
2
dix
.
Свойства квантово-механических операторов
В дальнейшем будем иметь дело со специальными операторами, а
именно: линейными и самосопряженными (эрмитовыми).
Определение 6. Оператор
ACf C f CAf CAf
где С
и С2 – числа, а f1 и f2 – функции, на которых определен оператор
1
Пример.
Покажем, что оператор
() () [ () ()] .
Cf x C f x Cf x Cf x C C
11 2 2 11 2 2 1 2
ddd
Для доказательства использованы правила дифференцирования.
Определение 7. Самосопряженным, или эрмитовым, называется
такой оператор
, определенный на функциях f1(x), f2(x), для которого
выполняется равенство:
**
() ()d () ()d
xAf x x f xAf x x
12 2 1
называется линейным, если
11 2 2 1 1 2 2
A
d
– линейный оператор:
d
*
, (2.9)
ddd
12
xx
, (2.10)
.
f
18
где звездочка обозначает комплексное сопряжение функции и операто-
x
f
x
f
x
I
ра; x – совокупность непрерывных переменных, которых может быть
,,, xxxxx
больше, чем одна, например
. Интеграл (2.10) − или
4321
определенный, или многократный, поэтому пределы интегрирования
здесь и в дальнейшем не конкретизируются. Не все операторы самосо-
d
A
пряженные, например оператор
– несамосопряженный. Дока-
d
жем это. Пусть f
ные на отрезке [a, b], удовлетворяющие условию:
(x) и f2(x) − дифференцируемые функции, определен-
1
afbfafb
112 2
;
Запишем определенный интеграл:
b
Ifx fxx
11 2
*
a
и еще один:
b
Ifx fxx
22 1
a
d
Если оператор
самосопряженный, то по определению (2.10) I1 = I2.
d
b
Ifx fxxfxfx
22 1 21
a
bb
*
aa
xf x x f x f x x I
12 1 2 1
dd.
Докажем, что оператор
будем использовать те же функции:
b
I fx i fxxifxfx
22 1 21
bb
ifxfxx fx i fxxI.
aa
a
**
112
*
d
x
d
11 2
21
**
Β i
b
*
fx i fxx
() ()d
a
*
d
x
d
dd
.
d
x
d
*
d
d
x
*
d,
d.
b
d
a
*
x
d
*
d
d
– эрмитов. Для доказательства
d
d
x
d
**
d
;
0
b
a
d
x
d
19
d
x
A
x
f
x
A
A
A
Aix
– и линейный (2.9), и самосопряженный.
Итак, оператор
Β i
d
Самостоятельно. Проверить на этих же функциях, будет ли эрми-
2d
тов оператор
?
dix
Свойства собственных функций и собственных
значений операторов. Вырожденные функции
После действия оператора на функцию получается, вообще говоря,
другая функция. Но иногда, после действия на функцию оператора, она
изменяется не существенно, а отличается от исходной лишь постоянным множителем. В общем виде такое «действие» оператора на функцию можно записать:
faf
где a – число.
Пример:
2
d
A
2
d
cos(3 ) cos3 9cos 3
2
d
x
Определение 8. Функция f в уравнении (2.11) носит название соб-
,
2
d
, (2.11)
cos 3
xx
xx
,
.
ственной функции оператора
чением a.
Совокупность собственных значений оператора
спектром собственных значений этого оператора, который может быть
непрерывным, в конечном интервале или нет:
Если оператор
уравнение для нахождения собственных функций.
Пример:
задан, то условие (2.11) можно рассматривать как
с соответствующим собственным зна-
называется
aab
00
a
,
(2.12)
.
d
,
d
тогда
xfaxfi
.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]