Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика для студентов технических вузов. Учебное пособие
.pdf
Решая это дифференциальное уравнение с разделяющимися пере-
f
Aix
A
A
A
A
f
A
f
A
менными, получаем
iax
xfxCe
a
,
где C > 0, а в остальном произвольная константа.
Замечание. Собственные функции
xf
в операторном уравнении
a
(2.11) определены только с точностью до произвольного множителя.
Самостоятельно. Показать, что функция 25e
ственной функцией оператора
d
.
–iax
также будет соб-
d
Определение 8*. Если уравнение (2.11) имеет решение не при всех
значениях a, а только некоторых a
(n = 1, 2, 3, …), то спектр собствен-
n
ных значений становится дискретным конечным, или нет:
,,,,,
aaa a
123
n
, (2.13)
а само уравнение приобретает вид
где обозначили
Так как оператор
n
faf
nnn
),(xfxf
na
а n – натуральные числа.
и его собственные функции f могут быть комплекс-
, (2.11)*
ными, то комплексными могут быть и собственные значения a операторов.
Теорема 1. Если оператор
самосопряженный, то его собствен-
ные значения a – вещественные.
Доказательство.
Умножим это уравнение слева на
Пусть
fx afx
aa
*
xf
a
. (2.14)
и проинтегрируем левую и
правую части полученного равенства по x в заданных пределах (без их
указаний):
**
xAfxxafxfxxafx x
aa aa a
ddd.
2
(2.14а)
Перепишем (2.14) в виде
*
***
fx af
aa
;
умножим это равенство слева на
*
xAf x x a f x x
aa a
Так как
– самосопряженный оператор, то левые части равенства
xf
и также проинтегрируем по x:
a
**
dd
2
.
(2.14б)
(2.14а) и (2.14б) равны, а правые отличаются только множителями, отсюда a = a
*
. Что и требовалось доказать.
21
Теорема 2. Для самосопряженного оператора
A
A
A
x
A
f
A
f
A
спектром собственных значений собственные функции, принадлежащие
разным собственным значениям, – ортогональны, то есть
*
() () 0,
fxfxdx
mn
(2.15)
с дискретным
если a
d () () () ()d () ()d;
второе уравнение перепишем в виде
и проделаем подобное действие:
d { () ()} () ()d () ()d.
оператора
≠ an.
m
Доказательство.
Проделаем с первым уравнением действие:
***
x Afx afx f xAfxx a f xfxx
f
mnnn mn nmn
x xAf x af x fxAf xx a fxf xx
f
nmmm nm mnm
Вычтем из первого полученного равества второе:
Левая часть последнего равенства есть 0 в силу самосопряженности
**
****
() ()d () ()d ( ) () ()d.
xAf x x f xAf x x a a f x f x x
mn n m nmmn
*** * * *
, а справа – из неравенства , следует:
Пусть:
fx afx
nnn
fxfxx
mn
и
***
fx afx
mmm
*
*
() ()d 0,
fx afx
mmm
*
. (*)
0
aaaa
mnmn
что и требовалось доказать.
При m = n интеграл (2.15) не будет равен нулю, а есть
*2
() ()d
xf x x C
nn n
так как интеграл положителен. Рассмотрим функции:
,
1
)(ψ xf
x
n
которые также будут собственными функциями оператора
же собственных значениях (см. замечание), тогда
Объединяя это условие с (2.15), получим
где δ
– символ Кронекера.
mn
n
22
C
2
n
xx
xxx δd*
)(
n
1d
, (2.16)
. (2.16а)
, (2.16б)
mnnm
при тех
Определение 9. Функции, удовлетворяющие условию (2.16б),
f
f
f
называются ортонормированными, а числа C
мировки.
В случае непрерывного спектра собственных значений оператора
ортогональность функций, принадлежащих разным собственным значениям a и a´, должна была бы записываться в виде:
*
fxfxx
aa
*
fxfxx
aa
Эти равенства должны выполняться при сколько угодно близких
a
значениях a и
функций:
и нормировать их нельзя. Формально эта трудность обходится с помощью использования δ-функции Дирака, которая определяется следующим образом:
С ее помощью ортогональность и нормировку функций непрерывного спектра можно записать в виде
, а это возможно для квадратично-неинтегрируемых
fx x
δ
*
xf xdx a a
aa
d0,
d0,
2
d
a
aa
,0
,
– коэффициентами нор-
n
aa
,
aa
aa
()
;
aa
.
. (2.17)
. (2.18)
Назвать δ-функцию функцией можно только с большой натяжкой,
так как эта функция относится к классу обобщенных. Остановимся на
свойствах δ-функций одной переменной, используемых далее:
zz
δδ
() d
zzzzfz
b
() d
fz z z z
a
где z
– корни уравнения:
k
zCfzz fzz
0
dd
00
zzab
00
0, ,
n
k
zz
1
0,zC
а C – число (константа), которое может быть и нулем.
; (Д1)
; (Д2)
,,
zab
z
0
k
zz
k
; (Д3)
, (Д4)
23
Если в уравнении (2.11) у разных собственных функций оператора
A
A
A
A
A
A
A
A
A
будут одинаковые собственные значения, то такие функции не обязаны быть ортогональными (см. теорему 2), что не позволяет использовать свойства ортонормируемости всех собственных функций оператора, так необходимого в различных доказательствах.
Определение 10. Если в уравнении
fx afx
nnn
,
начиная с n = p + 1 (p – натуральное число),
aaa
21
то соответствующие им k разных функций f
p+1
,
kppp
, f
p+2
, …, f
называются
p+k
вырожденными, а целое число k – кратностью вырождения.
Теорема 3. Если в уравнении
fx afx
nnn
с линейным самосопряженным оператором
вырождение (при a
), то линейная комбинация из k-вырожденных
p+1
имеет место k-кратное
(и различных) функций будет собственной функцией этого оператора с
тем же собственным значением.
Доказательство. Рассмотрим случай k = 2, то есть a
p+1
= a
p+2
= a,
тогда
fxafx
Покажем, что линейная комбинация f = C
11pp
fxafx
,
22pp
+ C2f
1fp+1
.
, где C1 и C2 –
p+2
произвольные константы, удовлетворяет условию:
faf
ACf Cf CAf CAf aCf Cf
11 2 2 1 1 2 2 11 2 2pp p p pp
;
,
что и требовалось доказать.
Следствие. Из разных вырожденных функций f
мощью надлежащего выбора констант Ci (
(
p+i
ki ,1
) можно построить
ki ,1
) с по-
k-линейно независимых функций, которые будут ортогональны между
собой. В итоге все собственные функции оператора
, включая и вырожденные, можно, в принципе, сделать ортогональными. В дальнейшем будем пользоваться этим следствием, не останавливаясь на процедуре ортогонализации вырожденных собственных функций.
Теорема 4. Для того чтобы два линейных оператора
и
B
имели
общую систему собственных функций, необходимо и достаточно, чтобы они коммутировали.
24
Необходимость. Пусть {Ψn} – общая система собственных функ-
A
A
A
A
A
B
A
B
ций операторов
Подействуем на эти равенства операторами
AB b AB Ab ba
BA a BA Ba ab
Вычтем из верхнего уравнения, нижнее:
()0
то есть
а {
AB B A
Достаточность. Пусть
} – собственные функции одного из операторов, например
n
B
и
, то есть
Aa
Bb
nnn n nnnnn
nnn n nnnnn
AB BA b a a b
nnnnnnn
n
, что и требовалось доказать.
nnn
nnn
,0AB
a
nnn
;
.
B
и
в таком порядке:
;
.
0
,
,
:
.
Подействуем на это равенство оператором
BA a BA aB
nnn nnn
Используя условие теоремы
AB a B
то есть
одному собственному значению a
ду собой только на константу, которую назовем b
доказывает наше утверждение.
n
и
– собственные функции оператора
n
BBA
nnn
. Значит, они могут различаться меж-
n
b
nnn
, получим
B
,
:
.
, принадлежащие
, и равенство
n
25
Полнота системы собственных функций операторов
A
A
x
f
A
A
Теорема 5. Система собственных функций {f
() ()
fx afx
nnn
(2.11)*
} операторного уравнения
n
полна. Это значит, что любую функцию Ψ(x), определяемую в той же
области переменных x, можно представить в виде
xfCx
, (2.19)
nn
где C
n
– числа, коэффициенты разложения.
n
Если собственные значения в уравнении (2.11) непрерывны:
() ()
fx afx
aa
, (2.11)
то
, (2.20)
Cf x a
aa
d
где интегрирование ведется по всем возможным непрерывным собственным значениям a уравнения (2.11), а C
≡ C(a) – непрерывные
a
функции непрерывной переменной a, записанные в форме коэффициентов разложения.
Доказательство. Правильность разложений (2.19), (2.20) будет до-
казана, если мы найдем коэффициенты этих разложений через известные функции Ψ(x) и f(x).
Умножим равенство (2.19) на f
*
(x) и проинтегрируем по всем не-
k
прерывным x:
**
xxx x xx
knknnknk
ddδ
Cf f C C
nn
. (2.21)
В получении этого результата воспользовались свойством ортонормируемости собственных функций f
Умножим равенство (2.20) на
**
xxx x x xa
fffC
aaaa
ddδ d
axxx aaa
Cff C C
aaa a a
dd d
*
*
(x) оператора
k
*
xf
и проинтегрируем по x:
a
.
. (2.22)
Здесь, в предпоследнем равенстве, изменен порядок интегрирования. Выражения (2.21) и (2.22) показывают возможность вычисления коэффициентов разложений (2.19), (2.20) по заданной функции Ψ(x) и по
известным функциям f
(x) (и fa(x)), что доказывает наше утверждение.
n
Определение 11. Полный набор ортонормируемых собственных
функций оператора
:
будем называть базисом, а числа
26
,,,,,
321
xfxfxfxf
n
,
,,,,,
B
A
x
x
321 n
СССС
– координатами функций Ψ(x) в этом базисе. Представление функций
Ψ(x) в виде разложений (2.19) и (2.20) будем называть A-представлением
этих функций.
Матричное представление операторов
Рассмотрим оператор
,B
который переводит функцию φ(x) в Ψ(x):
xx
. (2.23)
Запишем функции φ и Ψ в A-представлении [
Cf x
mm
m
Uf x
nn
n
где C
и Un – координаты-числа. Подставим в (2.23) вместо функций их
n
разложения в ряды:
BUfx Cfx
.
nm
Это равенство умножим на
()
nn mm
*
xf
слева и проинтегрируем по x по-
k
лученное выражение:
**
UfxBfxdx Cfxfxdx
nk n mk m
nm
b
kn
Введем обозначение:
bfxBfxdxfBfkBn
kn k n k n
*
fn = anfn]:
;
,
.
(2.24)
и, используя ортонормируемость функций f
получим
Ub C C
nkn m mk k
nm
δ .
Окончательно это уравнение запишется в виде
n
а совокупность коэффициентов b
CUb
nkn
kn
k
(2.24) – это оператор
A-представлении.
Определение 12. Набор всех коэффициентов b
ленный в виде матрицы B:
27
в правой части равенства,
n
, (2.25)
B
в
(2.24), представ-
kn
B
bbbb
bbbb
321
bbbb
n
1131211
n
2232221
, (2.26)
mnmmm
квадратной и, как правило, бесконечной:
1, ; 1,mn
,
называется матричным A-представлением оператора
(2.25) есть произведение матрицы
bB
kn
на матрицу-столбец [U
столбец [C
].
n
Например, для
], в результате которого получим матрицу-
n
3,1, nk
:
B
. Выражение
U
bbb
131211
bbb
232221
bbb
333231
1
U
2
U
3
Определение 13. Транспонирование матрицы B = [b
C
1
C
2
.
C
3
] и последу-
kn
ющая замена ее элементов комплексно-сопряженными называется операцией эрмитового сопряжения матрицы B. Матрица, эрмитово сопря-
женная матрице B, обозначается
bB
.
kn
Согласно определению имеем
*
bb
. (2.27)
nkkn
Используя правило умножения матриц и операцию эрмитового сопряжения, можно показать, что эрмитовое сопряжение от произведения
матриц будет выглядеть следующим образом:
ABAB
, (2.28)
где A и B – квадратные матрицы одного порядка.
Определение 14. Матрица B называется самосопряженной, или
эрмитовой, если
B = B+, ([b
]= [bkn]+). (2.29)
kn
Теорема 6. Если оператор
B
самосопряженный, то в любом пред-
ставлении его матрица эрмитова (самосопряженная).
28
Доказательство. Пусть
j
A
A
A
A
в A-представлении запишется так (см. (2.25)):
b fBf fxBfxdx fxBfxdx
kn k n k n n k
то есть
Утверждение доказано.
Напомним, что матрица называется диагональной, если она имеет вид
B
– самосопряженный оператор, который
***
**
fxBfxdx b
nk nk
B = B+.
*
*
bbb
,
knnkkn
()
,
b
11
B
Теорема 7. В своем собственном представлении оператор
диагональный вид и на диагонали стоят его собственные значения.
Доказательство. Дано:
тогда
fAf a f xAfxxa f xf xxa
k n kn k n n k n n kn
где последнее равенство получается благодаря свойству ортонормируемости собственных функций оператора
Имеет место и обратное утверждение.
b
00
00
00
22
b
33
fx afx
nnn
**
[ δ ]
, или
ddδ
.
b
ikj
,
. (2.30)
имеет
, (2.31)
Теорема 8. Если в каком-либо представлении оператор
диагональный вид, то это есть собственное представление оператора.
Доказательство провести самостоятельно.
29
имеет
III. Операторы квантовой механики
x
x
j
P
x
f
f
Сначала определимся, что в квантовой механике мы будем называть частицами. Будем называть частицами и/или микрочастицами все
элементарные частицы и их античастицы, атомные ядра, атомы и ионы
вплоть до простых молекул.
Принцип соответствия (постулат 1)
В квантовой механике всякой физической величине сопоставляется
линейный самосопряженный оператор. При этом говорят, что
оператор физической величины
.
Вид операторов в квантовой механике постулируется на основе согласования с опытными данными.
С этого момента буквой h в формулах будем обозначать величину
h/2π.
есть
Координате x частиц поставим в соответствие оператор умножения
xx
,
радиус-вектору частицы
r будет соответствовать оператор радиус-вектор
yz rri
k
. (3.1)
x :
r
Проекции импульса частиц на ось X будет соответствовать оператор проекции импульса частиц:
Pih
вектору импульса
импульса
P
:
PP i j k
x
x
P частиц будет соответствовать векторный оператор
ih ih
xy z
,
. (3.2)
Функции координат будет соответствовать оператор функции координат:
() () ()
xfxfx
.
Функции импульса будет соответствовать оператор функции импульса:
ffihPP
.
Между операторами в квантовой механике сохраняются те же соотношения, что и между соответствующими им физическими величинами. Кинетическая энергия
2222222
P
TTih
22 222
mm mmmxyz
1
2
hhh
2
222
. (3.3)
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]