Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика для студентов технических вузов. Учебное пособие
.pdf
Уравнение Шредингера для стационарных состояний
E
Если в уравнении Шредингера (9.2)
U
не зависит от времени, то и
весь гамильтониан
примет вид
Такое уравнение Шредингера допускает частичное решение путем
подстановки
в уравнение (9.8):
Поделим обе части этого уравнения на произведение
Левая и правая части дифференциального уравнения в частных производных есть функции разных аргументов, а потому равенство (9.9) возможно, когда левая и правая части равны числу, которое мы обозначили
через E. Решая первое из получаемых из отношений (9.9) уравнений:
получим
H
не будет зависеть явно от времени и уравнение
Ψ ,
ih t U t
t
r
t
ih f t H
rr
ih
2
h
2
Ψ , Ψ ,
rrr
2
m
,tftrr
ft
t
()
ft
t
() ( )
ft
ih
H
tf
t
Ce
tf
.
()
r
r
tEf
,
iEt
h
, (9.9t)
. (9.9)
. (9.8)
ft r
:
откуда видно, что E должна иметь размерность энергии. Запишем второе уравнение:
HErr
Оно называется уравнением Шредингера для стационарных состояний, совпадая с операторным уравнением для
будут собственные функции независящего от времени оператора гамильтона для одной микрочастицы:
2
HU
h
2
2
m
71
. (9.9r)
H
. Его решением
r
. (9.10)
Форма спектра собственных значений в уравнении (9.9r) определя-
()
U
ется видом оператора
r
.
В случае дискретного спектра энергии микрочастицы:
HErr
nnn
, (9.11)
решение всего уравнения Шредингера (9.8) запишется в виде
Et
n
i
,
rrr
tft Ce
nnn
h
(9.12)
для n = 1, 2, 3, … Состояние микрочастицы (системы), которое описывается волновой функцией (9.12) называется стационарным. Это состояние особенное и обладает следующими свойствами:
Энергию микрочастицы (квантовой системы) можно точно из-
1.
мерить.
Вероятность местоположения частицы (частиц) не зависит от
2.
времени.
Средние значения физических величин микрочастицы (кванто-
3.
вой системы) не зависят от времени (если сами физические величины не
зависят от времени).
Доказательства.
(,) () () (,)
HtHft E t rrr
1.
2.
nnnn
2
iE t
n
2
,||1
rr r
te
nn n
h
2
. (9.13)
. (9.14)
Et Et
nn
3.
*3* 3
nn n n
*3
rr
() ()d .
nn
(,) (,)d ()() ()d
ttr ee r
rr rr r
r
ii
hh
(9.15)
Матричная форма уравнения Шредингера
Решение общего уравнения Шредингера с зависещей от времени
потенциальной энергией будем искать в θ-представлении, то есть
(,) () ()
tCt
rr
nn
n
где зависимость от времени войдет в коэффициенты этого разложения
по полному набору собственных функций оператора
θθ
rr
Будем считать функции
nnn
()
r
n
известными и ортонормированными.
.
Подставив в уравнение (9.2) волновые функции в виде ряда (9.16), получим
72
, (9.16)
θ
:
d
H
H
Ct
ih C t H
nn
Здесь использовали условие: оператор
циентами разложения
n
d
t
()
Ct
n
rr
nnn
коммутирует с коэффи-
. (9.17)
, полагая, что энергия U – потенциальная и
не зависит от операторов дифференцирования по времени. Равенство
*
r
(9.17) умножим на
d
Ct
ih r C t H r
n
d
nn
t
m
и проинтегрируем по d3r:
*3 * 3
rr r r
mn n m n
dd
.
Учитывая ортонормируемость
неизвестные коэффициенты функции C
d()
Ct
ih H t C t
m
t
d
n
, получим систему уравнений на
m
(t):
n
() ()
mn n
, (9.18)
где
Матрица
*3
Hr
mn m n
H
есть оператор Гамильтона в θ-представлении. Нор-
mn
rr
d
.
мальная система дифференциальных уравнений первого порядка (9.18)
есть система c бесконечным числом уравнений и стандартным методом
не решается.
Полагая, что гамильтониан в уравнении Шредингера (9.2) не зависит
от времени и при этом имеет дискретный спектр собственных значений:
2
2
[()]
hU E
2
m
rr r
nnn
,
запишем матричное уравнение Шредингера (9.18) в E-представлении, то
есть в представлении собственных функций оператора энергии частицы,
не зависящего от времени. Тогда, согласно теореме 7, матрица
H
mn
будет диагональной. Действительно,
HHrE rE
mn m n n m n n mn
*3*3
rr rr
благодаря ортонормируемости функций
d()()d
r
в выражении (9.19), и
n
, (9.19)
система дифференциальных уравнений (9.18) распадается на отдельные
обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка:
d()
Ct
ih E C t E C t
m
d
t
n
() ()
nn mn mm
, (9.20)
допускающие простые решения:
73
iE t
Ct ae
mm
m
h
, (9.21)
где a
– произвольные константы. Это решение, конечно же, совпадает
m
с частным решением уравнения Шредингера для стационарных состояний (9.12).
Общее решение уравнения Шредингера с независящим от времени
гамильтонианом может быть записано в форме
iE t
n
(,) () () ()
tCt ae
rrr
r
где
– решение уравнения Шредингера для стационарных состояний.
n
Произвольные константы a
nn n n
nn
в нем определяются начальными условиями.
n
h
, (9.22)
Гейзенберговское представление
В постулировании временной зависимости (9.1) квантовой системы
предполагается, что изменяется во времени волновая функция системы, а
все операторы физических величин не зависят от времени. Такая картина
изменения квантовой системы во времени носит название шредингеровского представления. Но возможно альтернативное описание развития
квантовых систем во времени, когда волновые функции состояний остаются неизменными
ветствующих физических величин. Такое описание временной зависимости квантовой системы непротиворечиво и называется гейзенберговским
представлением. Если
ψ(x), а изменяются от времени сами операторы соот-
()Qt
– оператор некоторой физической величины
квантовой системы в момент времени t, описывающейся гамильтонианом
H
, то изменения этого оператора во времени определяются уравнением
d()
Qt
ih Q t H
d
t
Операторы физических величин, коммутирующие с
[(), ]
. (9.23)
,H
в представ-
лении Гейзенберга, не меняются во времени, в частности гамильтониан
системы в обоих представлениях одинаков. При вычислении средних
значений физических величин волновые функции системы берутся в
начальный момент времени и средние значения физических величин
вычисляются по формуле
() ( ) () ( )dQt xQt x x
*
. (9.24)
74
Полный набор физических величин квантовой системы
E
M
M
Для построения волновых функций системы микрочастиц важны
независимые физические величины, не дающие разброса при их одновременном измерении. Это будут физические величины, операторы ко-
H
торых коммутируют с гамильтонианом
[,]0H
Такие величины θ образуют полный набор физических величин, которыми характеризуется система и, в частности, одна микрочастица.
Например, для свободного электрона (
дующим:
H
mm
,
,
ee
,
z
Зная полный набор физических величин системы и виды их операторов, можно переходить к построению волновой функции.
:
. (9.25)
HT
M
z
) полный набор будет сле-
2
,
2
M
SS
,
z
z
. (9.26)
75
X. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ПОЛЕ СИЛ,
x
НЕ ЗАВИСЯЩИХ ОТ ВРЕМЕНИ
Движение свободной бесспиновой частицы
Свободной называется частица, потенциальная энергия которой в
любой точке рассматриваемого пространства одинакова и, обычно, ее
можно считатать равной нулю.
Уравнение Шредингера для такой частицы имеет вид
2
h
2
2
m
rr
совпадая с операторным уравнением кинетической энергии частицы, а
поэтому его общее решение:
i
h
21
где С
rPrP
i
r
E
, С2 – произвольные константы.
1
h
Выберем систему координат так, чтобы ось Х была параллельна Р,
тогда уравнение (10.1) сведется к обыкновенному дифференциальному
уравнению:
2
2
hd
2
mdx
() (),
2
Ex
или
2
22
,0)(Ψ)(''Ψ
kxkx
Корни соответствующего характеристического уравнения будут
мнимыми:
EE
mE
2
h
,0),(Ψ)(Ψ
(10.1)
(10.2)
,2,)(Ψ
mEPeCeC
.0
(10.3)
2
mE
λ
iik.
2
h
Общее решение уравнения (10.3) в комплексной форме будет иметь
вид
2
ikxikx
,)(Ψ
21
keCeCx
mE
(10.4)
.
2
h
В вещественной же форме решение уравнения (10.3) можно записать в виде
(10.5)
),sin()cos()(Ψ
kxCkxCx
21
или
() cos( ),xA kx
(10.6)
где A и φ – произвольные константы.
76
Идеализация и модель
Все микрочастицы находятся в многочисленных сложных взаимодействиях друг с другом и с внешними полями. Более или менее точно
решить уравнения Шредингера для них не представляется возможным.
Однако в ряде случаев для понимания исследуемого явления квантовых
систем достаточно построить решаемую модель явления и на основании
модельного решения судить о явлении в
целом.
Частица в потенциальной яме
с бесконечно высокими стенками
Частица массой m, с одной поступательной степенью свободы
движется вдоль оси OX в потенциальном поле
0, 0 ;
()
,0;.
Ux
Эскиз графика U(x) показан на рис. 11. Так как потенциал не зави-
сит от времени, то задача стационарная.
xa
(10.7)
xxa
Рис. 11. К задаче о движении частицы в потенциальной яме
с бесконечно высокими стенками
Уравнение Шредингера с потенциалом вида (10.7) удобно разбить
на два, чтобы для каждой области потенциал можно было записать элементарной функцией:
22
hd x
2
mdx
2
2
hd x
2
mdx
()
2
()
(),0 ;
2
Ex xa
() (), 0, .
xExx xa
77
(10.8)
(10.9)
Для конечных значений E решение уравнения (10.9) будет только
x
A
тривиальным, (x) = 0. Перепишем уравнение (10.8) в виде
Ψ''( ) Ψ() 0, 0.
xk x k=
2
2mE
2
2
h
(10.10)
Корни характеристического уравнения, соответствующие дифференциальному уравнению (10.10), будут комплексными; общее решение
дифференциального уравнения (10.8) запишем в виде
Ψ() cos( ) sin( ).
Akx+Bkx
(10.11)
Граничные условия для решения (10.11) и условия непрерывности
искомой волновой функции можно записать:
Ψ(0) Ψ() 0.a
(10.12)
Отсюда:
1)
Ψ(0) 0 ,
2)
Ψ() sin( ) 0.aB ka
(10.13)
Второе граничное условие возможно как при B = 0 – тривиальное
решение, так и при
sin( ) 0 π , 0,1, 2,...ka ka = n n
ππ
kE
nhn
nn
ama
222
2
2
. (10.14)
Спектр энергии микрочастицы, находящейся в потенциальном поле
(10.7), получается дискретным. Расстояние между двумя соседними
уровнями энергии будет зависить от n:
22
h
EE E n
nn n
1
2
ma
(2 1).
2
(10.15)
Решение уравнения (10.10) с граничными условиями (10.12) запи-
шется:
nx
xB
() sin ,
n
(10.16)
a
где B − произвольная константа (хотя использованы граничные условия).
Так как функции (10.16) есть решение операторного уравнения (10.8), то
собственные функции этого оператора с разными собственными значениями значениям E
ке). Константа B определяется из требования нормировки функций
должны быть ортогональны (проверить на практи-
n
(x):
n
*
Ψ ()Ψ ()d
xxx
mn mn
, (10.17)
и в нашем случае:
a
2
Bx
sin d 1,
0
nx
2
a
78
откуда получаем, что
2
B
. (10.18)
a
Для n = 0 E
эскизы квадратов модулей функций
= 0, 0(x) = 0, то есть частицы нет. На рис. 12 показаны
0
(x) и
1
(x).
2
Рис. 12. Эскиз графиков квадратов модулей волновых функций частицы
в яме с бесконечными стенками с n = 1 и n = 2
Самостоятельно:
1.
Проверить ортогональность n(x) и найти коэффициент норми-
ровки B.
Вычислить средние значения координаты и импульса частицы в
2.
состоянии
3.
Нарисовать эскизы квадратов модулей функций 2(x) и
(x) для n = 2 и n = 3.
n
(x).
3
Туннельный эффект для микрочастиц
Рассмотрим макроскопическое тело массой M с одной поступательной степенью свободы, движущееся вдоль оси X в независящем от
времени потенциальном поле U(x), как это изображено на рис. 13.
В классической механике полная энергия этого тела есть сумма кинетической T и потенциальной U энергий:
2
где P − импульс тела. В области значений x, при которых E < U(x), тело
не может находиться (x
, x2), ибо в этом случае надо положить Т < 0(!).
1
По этой причине, находясь слева от точки x
может попасть в область (x
, ) (рис. 13).
2
)()2/()(
xUMPxE
,
, тело с энергией E < U0 не
1
79
В квантовой механике полная энергия микрочастицы E в момент
времени t не равна сумме кинетической Т и потенциальной U(x) энер-
гий, а определяется собственным значением ее гамильтониана
H=T+U
, не зависящего от времени. Что будет происходить с микро-
частицей в потенциальном поле при E < U(x)?
Рис. 13. Эскиз графика функции потенциальной энергии,
с которой частица с одной степенью свободы совершает
поступательное движение
Пусть микрочастица совершает поступательное движение вдоль
оси OX в независящем от времени потенциальном поле U(x) вида
Uxa
0, 0 ;
0
xxa
0, 0; .
(10.19)
Ux
()
График этой функции показан на рис. 14. О таком потенциале говорят, что это потенциальный «барьер» прямоугольной формы. Так как
гамильтониан частицы не зависит от времени, запишем уравнение Шредингера для стационарных состояний:
Ψ() Ψ(),Hx Ex
(10.20)
и распишем его в трех областях переменной x, в которых потенциальная
энергия представляется элементарной функцией:
2
2
xEx
0, ( );
2d
2
2
hx
hx
xa U x E x
0 , () ();
d()
mx
2d
d()
1
mx
2
2
2
(10.21)
1
02 2
(10.22)
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]