Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика для студентов технических вузов. Учебное пособие
.pdf
d
K
K
y
d
t
() ()
tyt
(12.43)
с известной функцией K(t), но общее решение которого неизвестно.
Начнем решать уравнение (12.43) с простейшего уравнения:
0
d()
yt
d
t
0()const
0
yt
.
Подставляя решение
)(0ty
в правую часть (12.43), получим другое
дифференциальное уравнение:
1
yt
для неизвестной функции
d()
d
t
)(1ty
. Запишем решение этого уравнения в ви-
0
() (),
ty t
де интеграла с переменным верхним пределом:
10
yt K y
t
() () ()d,
0
и так далее:
2
d()
yt
d
t
12 1
() () () ( ) ( )d
Kty t y t K y
t
0
,
…………………………………………….
…………………………………………….
……………………………………………..
n
d()
yt
d
t
nn n
1(1)
() () () ( ) ( )d.
Kty t y t K y
t
0
(12.44)
Тогда предел бесконечной последовательности функций:
012 1
(), (), (),..., (), (),...
ytytyt y t yt
nn
,
если он существует, будет точным решением дифференциального уравнения (12.43) (задачи Коши).
В наших уравнениях (12.42) роль K(t) выполняет известная функция
функций
()exp(ω )
Wt i t
km km
at
mn
()
выберем
. В качестве нулевой итерации для неизвестных
a δ0
(12.45)
.
mnmn
Тогда для первой итерации, согласно (12.44), получим:
tt
10
ih a t a i W W i
( ) ( ) exp( ω ) ( )d ( ) exp( ω )d
kn mn km km kn kn
Подставляя
m
00
)(1ta
в правую часть уравнений системы (12.42), по-
kn
. (12.46)
лучим дифференциальное уравнение для нахождения второй итерации
искомой функции
)(ta
:
kn
131
21
x
t
x
ihat at i tWt
Остановимся на функции
( ) ( ) exp( ω )()
kn kn kn kn
)(ta
в приближении первой итерации.
kn
. (12.46*)
Интегрируя дифференциальное уравнение (12.39) от момента t = 0 до
t = T – времени действия возмущения, получим для первой итерации
T
11
( ) (0) exp( ω )()d.
aT a i tWtt
kn kn kn kn
1
ih
0
Подставляем начальные условия (12.45) и в итоге имеем:
T
1
() exp(ω )()d
aT i tWtt
kn kn kn kn
1
ih
0
. (12.47)
Вторая итерация будет вычислятся по формуле
t
21
() ( )exp(ω )()d
at W i a
kn kn kn kn
t
1
()
ih
Wi iW
2
00
1
kn kn km km
2
ih
0
(12.47*)
()
()exp(ω )exp(ω )())dd
c t > τ, которая ближе к истинному решению системы (12.42), но гораздо
сложнее, нежели (12.46). Для малых возмущений W(x,t) хорошим приближением будет итерация первого порядка.
Понятие квантового перехода
Пусть опять до момента t = 0 возмущения не было, а при t ≥ T оно
становится равным нулю:
11
ihaT W T i T aT
() ()exp(ω )0; ()const,
kn km km kn
m
и состояние системы опять можно представить в виде ряда по стационарным состояниям:
(, ) ( ) (, )
TaTxT
pn p
p
0
, (12.49)
в котором коэффициенты разложения не зависят от t, но численно a
зависят от интенсивности и длительности действия времени возмущения T. Напомним, что индекс n был присоединен искуственно и можно
говорить о числовом коэффициенте a
0
тат. Во время
с определенной энергией E0n (см. начальные условия):
n
),(0tx
система находилась в стационарном состоянии
(,) exp( ) ()
ti x
nn
00
(T). Обсудим полученный резуль-
p
Et
0
n
.
h
(12.48)
pп
(T)
132
Под действием возмущения это состояние перешло в возмущенное
x
x
x
x
txW
(,)
состояние
t
, определяемое уравнением (12.32). Когда возмущение
W(x,t) исчезло, это состояние мы снова представили в виде суперпози-
ции стационарных состояний
p
(12.49) с численными коэффици-
),(0tx
ентами разложения a
(T), но несущими информацию о возмущении. Со-
p
гласно принципу суперпозиции, вероятность нахождения в смешанном
(,)
состоянии
разложения a
t
состояния
(T) функции
p
(,)xt
определяется коэффициентом
),(0tx
p
в это состояние. Этим же коэффици-
ентом будет определяеться и вероятность перехода квантовой системы
из состояния
0
n
(,)
t
(
время возмущения T, так как
ность перехода квантовой системы из состояния
за счет нестационарного возмущения W(x, t) через P
),(0tx
p
a
=
a
nn
= 1) в стационарное состояние
n
·
a
nn
)()( TaTa
. Обозначим эту вероят-
pp
(,)
0
n
в состояние
t
ближении первой итерации для коэффицентов – функций a
p
. В при-
pn
(T), или,
pп
за
),(0tx
как говорят, в первом порядке теории возмущений, имеем:
T
1
2
h
0
(12.50)
P
1
aT Wt i t
=
pn
pn pn pn
2
( ) ( ) exp( ω ).
Заметим, что вероятность перехода квантовой системы между уровнями с энергией E
pn
0
). Если система не испытывает никакого возмущения, она будет
W
(
и E0p не равна нулю только при наличии возмущения
0n
находиться в стационарном состоянии с энергией E
Эволюция коэффициентов разложения a
pп
сколь угодно долго.
0n
(t) при наличии возмуще-
ния показана на рис. 32. За время действия возмущения коэффициент
(t) будет только убывать, а все прочие − увеличиваться от нуля. В от-
a
nп
сутствие возмущения P
В качестве возмущения
= 1.
pn
может выступать переменное
),(
внешнее поле: гравитационное, кулоновское, ядерное поле взаимодействия быстро пролетающей частицы вблизи рассматриваемой квантовой
системы.
Примеры.
1. Частица с зарядом q и координатами
налетает на атом и
)(tqqrr
возмущает его электронную оболочку:
()
Wt
за время 0 < t < T, полагая
r
(,) ,
e
(0), ( )
qq
eq
rr
()
eq
Trr
достаточно большими, чтобы
t
принять W(0) = W(T) = 0.
133
Рис. 32. Изменение коэффициентов разложения волновой функции
под действием возмущения
2. При -распаде ядер меняется их заряд с Z на Z + 1 и электроны
образовавшегося атома испытывают возмущение в связи с изменившимся кулоновским полем ядра, которое можно определить из равенства
),()()1( tWzUzU r
.
Периодическое возмущение и лазеры
Рассмотрим возмущение квантовой системы, изменяющееся во
времени по гармоническому закону:
txWtxW ωcos)(),(
, (12.51)
тогда можно выделить явную зависимость матричных элементов
(12.38) от координат и времени:
~
)(
pnpn
Ptitt
pn pn
W
ωcos
pn
2
h
tWtW
WxWxxx
,
pn p n
2
T
cos(ω ) exp( ω )d
0
00
() () ()d,
2
. (12.52)
Заменяя в этом выражении
ωω
cos(ω )
t
it it
ee
2
и интегрируя по времени, получим
W
kn
134
2
W
pn
P
pn
2
h
4 ωω ωω
iT iT
exp( (ωω)) 1 exp((ωω)) 1
pn pn
pn pn
2
,
(12.53)
откуда видно, что вероятность перехода может стать большой, если частота периодического возмущения ω сравняется с частотой излучения
при переходе системы из состояния n в p:
. (12.54)
ωω
pn
Для
ωω: ωω
hEE E Eh
pn p n p n
00 0 0
ное поглощение энергии; для
ωω: ωω
hEE E Eh
pn p n p n
– имеем резонанс-
00 0 0
резонансное испускание энергии квантовой системой. То есть испускание энергии при переходе квантовой системы из одного дискретного состояния в другое может быть случайным, спонтанным, но также и вынужденным, резонансным под действием периодического возмущуния,
на что указывал А. Эйнштейн в 1916 г. Как использовать этот эффект на
практике?
Рубиновый лазер (Al2O3 + Cr)
Рассмотрим лазер на основе кристалла рубина. Заготовку возбужденных состояний электронов в ионе Cr
кристалл Al
, в массовом порядке можно проводить при накачке
2O3
энергии в кристалл рубина ксеноновой лампой. Ион атома хрома Cr
имеет три дискретных возбужденных состояния электронов, два из которых имеют большие энергии вобуждения, но малое время жизни
–7
( ≈ 10
с) за счет уширения этих высоковозбужденных уровней в ре-
зультате взаимодействия иона хрома с кристаллической решеткой
Al
бильный ( = 4·10
, Третий уровень – низколежащий, но долгоживущий, метаста-
2O3
–3
с). Рассмотрим работу этого лазера в режиме лазер-
ного усилителя.
Высоколежащие уровни иона хрома заселяются спонтанно с помощью ксеноновой лампы видимого света. В результате спонтанных переходов электронов из высоколежащих состояний в состояния с меньшей
энергией они могут попасть, и попадают с большой вероятностью, на
метастабильный уровень (см. рис. 33)
ством электронов, благодаря большому времени жизни (τ = 4·10
Под воздействием соответствующего по частоте периодического воз-
мущения электроны из метастабильного состояния переходят за 10
основное (вынужденное резонансное излучение), приводя к большому
выделению энергии в виде моноэнергетических фотонов. Эти фотоны с
3+
, внедренного в прозрачный
3+
и он заселяется большим количе-
–3
с).
–8
с в
135
помощью оптического устройства собирают в пучок, который выводят
из лазера.
Рис. 33. Схема работы рубинового лазера
Накачка энергии в кристалл рубина производится ксеноновой лампой с частотой света, чуть большей частоты, при которой возбуждаются
высокоэнергетические короткоживущие состояния (3 эВ). Свойства рубинового лазера: малая угловая расходимость (пятно 3 км на Луне),
13
огромная мощность (10
Вт). Активная (или лазерная) среда лазеров
может быть твердой, как в нашем случае, газообразной (He-Ne-лазер) и
жидкой (микроволновый лазер). Накачки лазеров производят светом,
электронным пучком и химическими реакциями.
136
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
p
Задачи и упражнения к главе 1
Физические постоянные
h
2
1, 054589 10 Дж с
6,582173 10 эВ с
34
16
19
Дж 10602189,1эВ 1
8
м/с 10997925,2
c
31
m
e
кг 10109534,9
27
m
p
кг 10672649,1
27
m
n
кг 10674954,1
l
Et
1. Определить размерности величин
,
h
, где p – импульс; l –
h
длина; E – энергия; t – время.
2. Найти длины волн, соответствующие красной границе фотоэф-
фекта и скорости фотоэлектронов, выбиваемых из Zn, Ag, Ni (работа
выхода равна 3,74, 4,28 и 4,84 эВ) светом с длиной волны 0,27 мкм.
3. Найти длину волны де Бройля для электронов и протонов с кине-
тической энергией 1 кэВ, для пули (m = 10
г, v0 = 100 м/с), для человека,
бегущего стометровку (m = 70 кг), теплового нейтрона (T = 0,025 эВ).
Можно ли экспериментально наблюдать дифракцию этих объектов?
4. Определить, при каких энергиях фотонов, электронов и нейтро-
нов их дифракционные картины будут совпадать?
137
Задачи и упражнения к главе 2
A
A
Af f
A
Af
f
x
fAfx
A
A
x
A
B
A
A
A
Немного теории
Определение
гласно которому каждой функции f из некоторого класса функций ставится в соответствие другая функция ,
(Оператор
Примеры:
1)
2)
3)
4)
Оператор определен на некотором классе функций, своем для каж-
A
. Оператором
переводит f в ).
A
x
d
2
,
3
,
,
d
d
x
называется правило или закон, со-
φAf
2
;
3
x
;
d
;
d
ffxx
,
()d.
d
A
дого оператора. Так, например, оператор
определен на классе
d
дифференцируемых функций.
Оператор считается заданным, если указано не только правило, с
помощью которого он преобразует одну функцию в другую, но и то
множество функций, на котором действует оператор. Это множество
функций называется областью определения оператора.
Определение. Произведением двух операторов
оператор
щей формулой:
Пример:
B
, действие которого на функцию f определяется следую-
Bf ABf
dd
,; (()).
Bx ABf xfx
dd
xx
2
().
и
называется
138
A
A
A
A
x
y
xy
x
x
x
x
A
B
A
A
B
H
x
x
A
B
A
x
x
x
Определение. Суммой (разностью) двух операторов называется
оператор
B
, который действует на f следующим образом:
() .
Bf Af Bf
Определение. Оператор
где c
и c2 – числа.
1
()
cf cf cAf cAf
11 2 2 1 1 2 2
называется линейным, если
1. Вычислить коммутаторы операторов:
xi
а)
д)
d
,;
б)
d
d
(), ;
fxi
d
,;xi
в)
(), ;
е)
fx
2
d
2
d
2. Даны три оператора:
а) выразить коммутатор [
,
B
,
и
C
,
,;ii
г)
ж)
2
,.i
C
.
] через коммутаторы
dd
xx
dd
[, ]
C
x
,;
[, ]
и
C
;
б) доказать тождество Якоби: [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0.
2
d
2
x
d
Hi
Ux
()
. Вычислить коммутаторы:
d
,;
в)
d
2
d
,.
H
d
2
3. Пусть
[,];Hx
а)
б)
4. Доказать, что произведение двух линейных операторов
является линейным оператором.
5.
Определение. Оператор
bb
() ()d () ()d.
aa
Axx xA xx
называется самосопряженным, если
Какие из операторов являются самосопряженными, если непрерывные функции
()
и
() () 0, () () 0.ab ab
()
заданы на отрезке [a, b], причем
и
139
d
x
x
x
x
f
A
A
B
A
A
B
A
f
а)
A
;
б)
d
Следствие. Операторы (
6. Решить уравнение
где a
= 1 + i.
3
Ai
d
d
i
3
d
3
x
d
;
в)
) и
xafx
() ()
A
3
d1
2
– самосопряженные.
;
г)
x
d
A
,
2
d
.
2
d
7. Показать, что если оператор
в уравнении
Aa
nnn
эрмитов, то его собственные значения вещественны.
8. Доказать, что если операторы
то оператор
B
– эрмитов.
и
эрмитовы и коммутируют,
9. Доказать, что если
[,]
B
ратор
– неэрмитов, а
и
[, ]iAB
эрмитовы и не коммутируют, то опе-
– эрмитов.
10. Решить задачу:
а) найти собственные функции оператора в уравнении
2
d
() ()
xafx
2
d
x
отвечающие вещественным собственным значениям
2
,
2
a
;
б) найти эти собственные функции, удовлетворяющие граничным
условиям на отрезке
333
0, : ( ), 0, , (0) 0;
222
fx x f f
aaa
в) проверить ортогональность собственных функций и нормировать их;
г) найти спектр. Как характеризовать спектр собственных значений
оператора?
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]