Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Квантовая механика для студентов технических вузов. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Рис. 6. Рельеф реальной части функции

θ,Y 



В качестве примера на рис. 6 показана реальная часть одной из

сферических функций.

V. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ

ПОВЕДЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ

Опыт Джермера и Девиссона

В двадцатых годах прошлого века два научных сотрудника фирмы

«Белл», К. Джермер и Л. Дэвиссон, проводили эксперименты с пучком

электронов для изучения их свойств. Электронный пучок направлялся на тонкий экран А из плотного материала, в котором прорезали две узкие параллельные щели 1 и 2 (рис. 7). На рисунке они показаны За экраном А находился экран B, покрытый фосфоресцентным веществом. Попадания на него электронов с энергией несколько десятков электронвольт вызывают вспышки видимого света, и по ним можно было видеть электроны, достигшие экрана B. При открытии одной щели экрана A на экране B было видно ее изображение в виде одной щейся полосы, а при открытии обеих вместо ожидаемых двух полос они увидели много светящихся полос (больше четырех). Такая картина наблюдается при прохождении света через две параллельные щели, а изображение на экране B объясняется интерференцией волн, распространяющихся от двух параллельных щелей (рис. 7), – эффектом, свойственным только волнам. Электрон – частица,

которая имеет заряд и массу, и пройти сразу в две щели он не может. По классическим понятиям выходит, что движущийся электрон интерферирует сам с собой, то есть проявляет себя как волна в этом явлении. В принципе можно узнать через какую щель проходит отслеживаемый электрон, но для этого его надо «подсветить

», что приведет к комптоновскому рассеянию света электроном, в результате которого электрон изменит первоначальное состояние и интерференционная картина исчезнет, разрушится.

сверху.

светя-

Рис. 7. Схема опыта К. Джермера и Л. Дэвиссона

Вывод. Движущийся электрон не локализован и проходит через обе щели как волна, давая после прохождения интерференционную картину.

Опыт Бибермана, Сушкина, Фабриканта

по дифракции электронов

В эксперименте российских физиков Г. Бибермана, Н. Сушкина, В. Фабриканта (1949 г.) интенсивность пучка электронов была такова, что через маленькое круглое отверстие в экране A проходили одновременно по одному электрону, что отслеживалось на светящемся экране B (рис. 8).

Рис. 8. Схема эксперимента Г. Бибермана, Н. Сушкина, В. Фабриканта

Визуальное наблюдение показало, что проходившие через отверстие электроны попадали на экран B хаотично, случайным образом.

Вывод: у электрона отсутствует траектория, и ставить вопрос о ее нахождении бессмысленно.

Заменив светящийся экран B фотопластинкой, исследователи оставили установку работать на длительное время − более чем на год. Когда они снова пришли дели следы попадания многих электронов на экран B, прошедших через отверстие экрана A. Картина хаотического попадания электронов на экран B сменилась упорядоченной картиной, подобной дифракционной картине от прохождения света с длинной волны λ = h/P отверстие. В место, где фотопластинка сильно засвечена, по-видимому, часто попадали электроны, а значит, велика возможность попадания в эту область отслеживаемого нами электрона; где пластинка слабее засвечена, туда реже попадали электроны, а значит, и мала возможность попадания в эту область отслеживаемого электрона.

Таким образом, нельзя сказать точно, электрон, но можно указать возможность, мерой которой является вероятность его попадания в ту или иную область экрана B на основе волновой дифракционной картины (волны вероятности – Макс Борн).

в лабораторию и проявили фотопластинку, они уви-

через круглое

куда полетит именно этот

Описание состояний микрочастиц





















в квантовой механике

У движущейся микрочастицы нет траектории ()t частиц, и она не локализована. Но можно говорить о вероятности ее ме-

стонахождения на основе волновой теории, руководствуясь гипотезой де Бройля. Чтобы состояние микрочастицы описывать функцией, она должна содержать информацию о возможном ее местонахождении и быть подобной решению волновых уравнений.

Постулат о волновой функции микрочастиц (постулат 2)

В квантовой механике состояние микрочастицы полностью определяется с помощью функции, называемой волновой функцией этой микрочастицы, и другой, дополнительной информации о частице взять неоткуда.

Волновая функция не может зависеть от времени через координаты микрочастицы, иначе приходим опять к траектории частицы чит, зависимость от времени волновой функции должна быть явной. Вместе с

тем микрочастицу нельзя характеризовать одновременно и координатами, и скоростями (импульсами), как мы об этом скоро узнаем. Из сказанного следует, что волновая функция одной микрочастицы должна иметь вид



tzyx ,,,

или

Микрочастица в равной степени может описываться как функцией (X), так и функцией (P), но эти описания нельзя смешивать.

Определение. Говорят, что

, (X)

tPPP

,,,

. (P)

zyx



tzyx ,,,

– волновая функция мик-

rr , как у макро-

()trr

. Зна-

tPPP

,,,

рочастицы в координатном представлении, а сном. В этом кратком курсе будем записывать волновые функции толь-

ко в координатном представлении.

О том, что состояние микрочастицы описывается волновой функцией Ψ, будем говорить еще короче: «Микрочастица находится в состоянии Ψ».

Состояния двух, трех и т. д. микрочастиц в квантовой механике также описываются волновыми функциями. Так, волновая разных микрочастиц будет выглядеть следующим образом:

(,,,,)

{, ,}

где добавить спиновые переменные, о чем поговорим после.

тер, постольку нам понадобятся законы, которым подчиняются случай-

ные величины.

iiii

Поскольку местоположение микрочастицы носит случайный харак-

yzr

. Если частицы со спином, то для таких частиц надо

, (5.1)

t rr r

– в импуль-

zyx

функция N

VI. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ





ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ

Определение 1. Случайной называют величину, которая в резуль- тате испытания (опыта, эксперимента) примет только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от многих случайных причин, которые заранее не могут быть все учтены.

Введем обозначения: X – случайная величина; x – значение случайной величины.

Дискретные случайные величины

Определение 2. Дискретной называют случайную величину, кото- рая принимает отдельные возможные значения с определенной вероятностью. Число возможных значений дискретной величины может быть конечно или бесконечно, но счетно.

Определение 3. Законом распределения дискретной случайной ве- личины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Для задания такого закона необходимо, наряду с переч нем значений случайной величины, задавать и вероятности перечня значений. Обычно это делается в виде таблицы, но возможно это делать и аналитически, и графически:

, x2, x3, …, xn;

X: x

, p2, p3, …, pn.

P: p

Поскольку события X = x

, X = x2, X = x3, …, X = xn образуют полную

группу, постольку

+ p2 + p3 +…+ pn = 1, (6.1)

то есть то, что случайная величина X примет одно из своих возможных значений, есть достоверное событие. В случае бесконечного множества значений дискретной случайной величины X сумма ряда должна равняться единице







. (6.1)*

Определение 4. Математическим ожиданием дискретной величины X называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятность, то есть:



В случае n → ∞ ряд

 

2211

pxpxpxXM

. (6.2)















pxXM

(6.2)*

должен сходиться абсолютно (по смыслу однозначности M(X)).

Основные свойства математического ожидания следуют из его определения:

    

CCM 

, где С – константа.

XCMXCM

YMXMYXM 

YMXMYXM 

. (6.3)

Два последних свойства справедливы для двух независимых случайных величин X и Y (вероятность одной не зависит и не влияет на вероятность другой).

Среднее значение случайной величины

и его связь с математическим ожиданием

Пусть дискретная случайная величина X в N испытаниях приняла значение:



 

..................,

разmx

................,

....................

Определение 5. Величину





xm x m xm x m

11 2 2 33

аз





(6.4)

mmm

123

xx x x

  

12 3

NNN N



называют среднеарифметическим или просто средним значением слу-

чайной дискретной величины X в N испытаниях. Вообще

– функция

N. При неограниченном возрастании N имеем































где гласно статистическому определению вероятностей. Таким образом

– вероятность появления значения xi случайной величины X со-



lim



При достаточно больших N выражение под пределом сколько угодно близко может приближаться к своему пределу, согласно теореме о пределах, то есть

что в дальнейшем мы будем использовать, отождествляя

Определение 6. Отклонением случайной дискретной величины X называют разность между случайной величиной X и ее математическим ожиданием:

а дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата этого отклонения:

DX M X M X

 

Пример. Вычислим:



DX M X M X M X 2XM X M X

  

 

MX MX MX M X MX M X









  





MX



XMX



XMX

, (6.5)





(6.6)



0.MX MX MX MMX 



222





 



(6.7)

Последний результат можно положить в определение дисперсии случайной величины X:



Свойства дисперсии:

Здесь C – постоянная, константа, а X и Y – независимые случайные величины. Свойства 3 и 4 доказать самостоятельно.





 





0CD



XDCCXD

XDXCD 



YDXDYXD 

. (6.8)



2222

XXXMXMXD 

. (6.7)*

Непрерывные случайные величины













Определение 7. Непрерывной называют случайную величину X, которая может принимать все значения из некоторого (конечного или нет) промежутка:

,bxa

Число возможных значений непрерывной случайной величины всегда бесконечно и несчетно.

Определение 8. Закон распределения непрерывной случайной ве- личины X по форме отличается от закона распределения дискретной случайной величины, так как задается с помощью функции плотности распределения ω(x). Эта функция должна быть непрерывной и не отрицательной:



0ω x

а также удовлетворять условию



ω d1,xx







где для общности положили:

 

Вероятность того, что X примет значение в интервале [x, x + dx], записывается в виде

(6.9)

d ω dPxx

А вероятность P того, что X примет значение на выделенном конечном интервале [a, b], выражается через функцию ω(x) (6.9) следую- щим образом:

axb xx 



Математическое ожидание непрерывной случайной величины X имеет вид

XX xxx



 

Дисперсия непрерывной случайной величины X дается выражением



  

При интерпретации положений квантовой механики мы будем обращаться к понятиям, закономерностям и формулам для случайных величин.





  

XXX xMX xx











. (6.10)

ω d





ω d





. (6.11)

. (6.12)

ω d

. (6.13)

VII. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ





















(ПОСТУЛАТЫ И ЗАКОНЫ)

Статистический смысл волновой функции

Рассмотрим волновую функцию одной микрочастицы с одной поступательной степенью свободы. Пусть эта функция удовлетворяет условию нормировки:

,,d1



в каждый момент времени t. Тогда интеграл

txtx 



будет равен среднему значению ее координаты, как если бы координата микрочастицы x была случайной величиной X с функцией распределе-



ния димым условиям, накладываемым на функции плотности распределения

вероятностей непрерывной случайной величины:

,tx

. Действительно, эта функция удовлетворяет всем необхо-

,0,





,d1,

xt x





xt x



, (7.1)

а потому есть функция плотности вероятностей непрерывной случайной величины X, совпадающей с координатой x микрочастицы. Запишем среднее значение непрерывной случайной величины, согласно определению (6.12), с помощью функции распределения:

,d,Xx x xt x 



и тогда величина

tx



есть вероятность нахождения микрочастицы в интервале с координатами [x, x + dx].

Рассмотрим теперь частицу с тремя степенями свободы:

 zyx

Условие нормировки такой функции может быть записано в виде

,,d1ttr





если эта функция квадратично интегрируема. Здесь и далее через d обозначен дифференциал объема интегрирования, причем в зависимости от выбора системы координат расписывать d ющим образом, например в декартовых и сферических координатах:

(7.2)

(7.3)



tt ,,,, r

, (7.1)*

r будем соответству-













dddrxyzd

Самостоятельно. Записать d

Среднее значение координаты x частицы в рассматриваемом многомерном случае вычисляется следующим образом:

с функцией



ω ,,, dd

  

называемой условной плотностью распределения непрерывной случайной величины. Среднее значение координаты y этой частицы запишется:



ω ,,, ddyxyztxz

  

Подобным образом вычисляется и среднее значение координаты Z этой частицы (самостоятельно).

Величина

dsinθdd dθrr r

r в цилиндрической системе координат.



ω d

xxx





xyzt yz



ω dyyyy



, (7.2x)*

, (7.2y)*





,,, tzyx

(7.4)

есть плотность распределения трех независимых непрерывных случайных величин X, Y, Z − декартовых координат микрочастицы, а выражение

, , , ddd

yzt xyz



– вероятность того, что значения этих случайных независимых величин лежат в интервалах:

[x, x + dx]; [y, y + dy]; [z, z + dz] (7.4б)

соответственно.

На основании вышесказанного сформулируем закон квантовой механики, отражающий смысл волновой функции частицы.

Закон 1. Если Ψ(x, y, z, t) – нормированная волновая функция ча- стицы, то выражение стицы, а выражение (7.4a) есть вероятность того, что при измерении ее трех координат они будут найдены в интервалах (7.4б) соответственно.

Итак, физическая величина координата частицы есть величина случайная, а волновая функция имеет статистический смысл. Поэтому эта функция должна обладать определенными свойствами, на некоторых из

мы остановимся. Если не рассматривать процессы рождения и по-

них глощения частиц (релятивистская квантовая механика), то

(7.4) есть плотность распределения координат ча-

(7.4a)



,,, tzyx

− плотность распределения координат частицы, находящейся в состоянии Ψ(x, y, z, t), а

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]