Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая теория поля
.pdf
3. СИММЕТРИИ И ТОКИ 21
Легко видеть тогда, что первое и третье из уравнений Максвелла в точности совпадают с уравнениями Эйлера–Лагранжа
1
. Два оставшихся из
уравнений Максвелла при этом выполняются тождественно в силу
F
= ∂νAμ− ∂μAν.
μν
Из уравнения Эйлера –Лагранжа ∂
∂
ν
Таким образом, J
является сохраняющимся током для теории.
Введем новое поле χ,такоечтоχ
Jν=0∈V/EL.
ν
→ Aμ+ θ∂μχ
A
μ
Fμν= Jνследует
μ
= χ, и рассмотрим преобразование
с инфинитезимальным генератором
= ∂μχ.
δA
μ
Вспомним, что лагранжиан имеет форму
1
μν
Fμν+ JμAμ+ LJ.
F
4
Ясно, что член F
L = −
μν
Fμνявляется инвариантным относительно данного пре-
образования. Какие условия требуются для того, чтобы рассматриваемое
преобразование являлось симметрией полного лагранжиана?
Мы имеем
δL = δA
Подстановка δA
Fμν− Jμ)+∂μ(FμνδAν)+δJμ× (···)+∂μ(···).
μ(∂ν
= ∂μχ дает
μ
δL = χ∂
Jμ+ ∂μ(···).
μ
Следовательно, для того чтобы рассматриваемое преобразование являлось
симметрией полного лагранжиана, должно выполняться условие
Jμ= ∂μ(···) для любого χ.
χ∂
μ
1
Современный геометрический взгляд на уравнения Максвелла состоит в том, чтобы рассматривать A как связность на расслоении с группой U(1). F тогда становится формой
кривизны связности A и лагранжиан имеет вид L = F ∧∗F . Уравнения Максвелла при этом
имеют форму dF =0и d ∗ F = J.
22 3. СИММЕТРИИ И ТОКИ
Это очевидно означает
∂
Jμ=0.
μ
Заметим, что это уравнение имеет место в V,анетольковV/EL.Мы,
таким образом, не показали здесь, что J
для нашей системы. То, что мы показали, это то, что это уравнение должно
удовлетворяться, если мы хотим ввести взаимодействие тока J
магнитным полем, используя член A
μ
является сохраняющимся током
μ
с электро-
Jμ. Вывод этого факта базируется на
μ
том, что мы использовали любые функции χ, встретившись, таким образом,
с первым примером «локальной симметрии».
3.4. Переход от классической теории поля к гомологической алгебре
В этом разделе мы покажем, как свести многие проделанные нами
вычисления к вопросам гомологической алгебры.
Дадим новое описание модуля Ω
(обычно C[∂
])иV является R-алгеброй (обычно пространством лагран-
μ
1
(V ).ПустьR является кольцом
жианов). Пусть M — любой бимодуль над V . Дифференциал δ : V → M
есть R-линейное отображение, удовлетворяющее тождеству Лейбница
δ(ab)=(δa)b + a(δb).
1
Универсальный модуль дифференциалов Ω
1) V -бимодуль Ω
2) Дифференциал δ : V → Ω
1
(V ).
1
(V ).
(V ) включает в себя:
3) Следующее универсальное свойство:
для любого дифференциала d: V → M существует единственный
V -гомоморфизм f :Ω
1
(V ) → M , такой что d = f ◦ δ.
Определим также
i
0
Ω
(V )=V, Ωi(V )=
1
Ω
Ω(V ) является Z-градуированной, где Ω
(V ), Ω(V )=
i
(V ) приписывается градуировка i.
Ωi(V );
i
Обозначим градуировку однородного элемента a через |a|. Дифференциал δ
продолжается единственным образом до дифференциала δ :Ω(V ) → Ω(V ),
такого что
δ(ab)=(δa)b +(− 1)
|a|
a(δb),δ2=0.
4. ФЕЙНМАНОВСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО ПУТЯМ 23
Определим дифференциал ∂ на(Rn) ⊗ Ω(V ) как
∂(u ⊗v)=
(dxμ∧u) ⊗ ∂μv.
μ
Мы можем теперь образовать следующий двойной комплекс:
∧
∧n(
n−1
n
Ê
) ⊗ Ω0(V )
6
n
(
Ê
) ⊗ Ω0(V )
6
.
.
.
δ
-
∧n(
n
Ê
) ⊗ Ω1(V )
6
∂
δ
n−1
-
∧
n
(
Ê
) ⊗ Ω1(V )
∂
6
∂
∂
.
.
.
δ
-
δ
-
∧
∧n(
n−1
n
Ê
) ⊗ Ω2(V )
6
n
(
Ê
) ⊗ Ω2(V )
6
.
.
.
δ
-
···
∂
δ
-
···
∂
.
.
.
Легко видеть, что δ2= ∂2=0ичтоδ коммутирует с ∂. Можно показать, что все строки представляют собой точные последовательности, за
исключением, возможно, левого конца. Также все столбцы представляют
собой точные последовательности, за исключением, возможно, вершины
и левых концов. Это означает, что почти все гомологические группы являются здесь нулевыми. Тем не менее ненулевые гомологические группы
обычно представляют интерес, задавая лагранжианы, токи и т. п.
4. Фейнмановские интегралы по путям
В этом разделе мы попытаемся определить, что мы имеем в виду под
выражением
expiL[ϕ]d
n
xDϕ.
Заметим, что если нам удастся придать смысл этому бесконечномерному
интегралу, то он должен быть просто вещественным числом. Но конечно,
разумное описание реальности не может сводиться просто к вычислению
вещественного числа. Таким образом, мы на самом деле пытаемся определить интеграл
expiL[ϕ]+Jϕd
n
xDϕ.
24 4. ФЕЙНМАНОВСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО ПУТЯМ
Простейший лагранжиан, демонстрирующий множество идей и возникающих при этом проблем, имеет вид
L = ∂
ϕ∂μϕ −
μ
m
2
λ
2
ϕ
4
−
.
ϕ
4!
2
Что означает каждый из членов в данном лагранжиане?
∂
ϕ∂μϕ обуславливает зависимость значения поля ϕ(x) от значения ϕ(y)
μ
для x,близкихкy;
2
m
ϕ2— это «массовый член». Он не является обязательным, однако он
2
устранит некоторые ИК-расходимости;
λ
ϕ4— это неквадратичный член, приводящий к интересным взаимо-
4!
действиям.
Для вычисления фейнмановского интеграла мы будем разлагать подынтегральное выражение в виде формальных степенных рядов по константе λ.
Это сводит проблему к вычислению интегралов вида
i(квадратичное выражение по ϕ)
e
×
полином по ϕ и производнымDϕ.
Для выработки определения интегралов такого сорта мы начнем с обсуждения их конечномерных аналогов.
4.1. Конечномерные интегралы
Мы начнем со случая очень простого интеграла и будем затем обобщать
его, пока не получим интегралы, которые действительно хотим вычислить.
Рассмотрим интеграл
−(x,x)dn
e
Он хорошо известен и легко вычисляется. Результат дается числом
x.
√
πn.
Рассмотрим интеграл
i(x,Ax)dn
e
x,
4. ФЕЙНМАНОВСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО ПУТЯМ 25
где A — симметрическая матрица с положительно определенной мнимой
частью. Условие на мнимую часть означает в данном случае сходимость
интеграла. Путем замены переменных мы находим, что значение интеграла
равно
√
n
π
.
det(A/i)
Рассмотрим интеграл
i(x,Ax)+i(j,x)dn
e
x,
где A определена, как и выше. Выделяя полный квадрат, мы находим значение интеграла
−i(A−1j,j)/4
e
√
n
π
.
det(A/i)
4.2. Случай свободного поля
4
Забудем пока про член ϕ
в лагранжиане. Это означает, что мы имеем
дело со «свободным полем». Мы используем теперь результаты предыдущего раздела для того, чтобы «определить» фейнмановский интеграл по путям.
Прежде всего нам надо привести интеграл Фейнмана к форме, описываемой
интегралами предыдущего раздела:
I[J]=expi
1
∂
2
ϕ∂μϕ −
μ
1
2
m
2ϕ2dn
x + iJϕdnxDϕ =
1
∂μϕ −
=expi−
=expiϕ ×−
ϕ∂
μ
2
1
∂μ+ m
∂
μ
2
Теперь это выглядит как интеграл
i(x,Ax)+i(j,x)dn
e
если мы определим A как оператор
1
−
2
∂μ+ m
∂
μ
1
2ϕ2dn
m
2
2
ϕ + iJϕd
x,
2
x + iJϕdnxDϕ =
n
xDϕ.
26 4. ФЕЙНМАНОВСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО ПУТЯМ
и скалярное произведение (ϕ, φ) как
n
ϕφd
x.
Таким образом, мы пытаемся определить величину
√
dim(C∞(Rn))
I[J]:=exp−i(J, A
−1
J)/4×
π
det(A/i)
Такое определение несет в себе множество проблем.
• Оператора, обратного к A,несуществует.
.
• Пространство функций является бесконечномерным, так что мы получаем выражение
√
π∞.
• Детерминант A не определен очевидным образом.
Мы можем избежать двух последних проблем, рассматривая отношение
I[J]
I[0]
К сожалению, оператора A
−1
к этой проблеме, определяя A
−1
A
J :=Δ(x − y)J(y)dny,
=exp−i(J, A
все-таки не существует. Мы можем подойти
−1
J в терминах обобщенных функций:
−1
J)/4.
1
где Δ — фундаментальное решение для оператора A,т.е.Δ удовлетворяет
уравнению
AΔ(x)=δ(x).
Заметим, что Δ не обязательно единственно — мы вернемся к этой проблеме
позже.
В итоге мы можем ввести следующее определение:
I[J]
:= exp−i
I[0]
1
Об этом можно думать так же, как о том, что существует величина
определение dx и dy по отдельности требует большей аккуратности.
J(x)Δ(x − y)J(y)d
nxdn
y/4.
dy
, в то время как
dx
4. ФЕЙНМАНОВСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО ПУТЯМ 27
4.3. Функции Грина свободного поля
Хотя нам и удалось в итоге избавиться от проблем в случае свободного
поля, мы проиллюстрируем здесь идеи, которые понадобятся нам для случая
поля со взаимодействием.
Представим себе разложение экспоненты в определении I[J]/I [0] вви-
де степенного ряда
I[J]
I[0]
=
Функции G
N
2N(x1
N
G2N(x1, ...,x2N)
(−i)
4
N
N!
) ···J (x2N)dnx1···dnx2N.
J(x
1
, ...,x2N) называются функциями Грина системы. Зна-
ние всех этих функций эквивалентно обладанию полной пертурбативной
информацией о системе. Тем не менее возможно, что эти функции упускают некоторую непертурбативную информацию. В случае когда мы имеем
дело с несколькими первыми функциями Грина, нетрудно получить соотношения
G
=1,
0
G
=Δ(x1− x2),
2
G
=Δ(x1− x2)Δ(x3− x4)+Δ(x1− x3)Δ(x2− x4)+
4
+Δ(x
− x4)Δ(x2− x3).
1
Эти соотношения могут быть представлены в диаграммной форме. Мы вводим вершину для каждого из аргументов функции G
ны i и j ребром, если член Δ(x
− xj) встречается в выражении для G2N.
i
и соединяем верши-
2N
Например:
G
= ,
2
= + + .
G
4
Такие диаграммы называются диаграммами Фейнмана. Впоследствии мы
будем интерпретировать их как описывающие распространение частицы из
позиции, представляемой вершиной, в позицию, представляемую соседней
вершиной.
28 5. 0-МЕРНАЯ КТП
4.4. Случай поля со взаимодействием
Мы теперь попытаемся вычислить фейнмановский интеграл
λ
4dn
expiL + Jϕ +
4!
xDϕ,
ϕ
где L — лагранжиан свободного поля. Мы можем, как и раньше, разложить
экспоненциальные члены, включающие J и λ, и получить выражение
iÊLdnx
e
i
k!
k
Jϕ +
λ
4!
×
k
k
4dn
x
ϕ
Dϕ.
Это означает, что мы должны иметь дело с выражениями вида
iÊLdnx
e
×
ϕ(x1)
n
1
J(x1)dnx
1
n
2
ϕ(x
)
J(x2)dnx
2
2
···Dϕ.
Мы можем переписать этот интеграл в виде
J(x
) ···J (xN) ×
1
iÊLdnx
e
ϕ(x1)
n
1
···ϕ(xN)
n
N
Dϕdnx1···dnxN.
Интеграл по путям внутри скобок выглядит очень похожим на интеграл,
возникающий в случае свободного поля. Таким образом, мы могли бы ожидать, что его значение пропорционально
G
•(x1,x1
, ...,x2,...,...).
К сожалению, функция Грина является сильно сингулярной, когда два из ее
аргументов совпадают. Мы увидим позже, как с этим работать.
5. 0-мерная КТП
Для того чтобы продемонстрировать некоторыеидеи, рассмотрим кван-
товую теорию поля, в которой пространство-время является нульмерным.
В этом случае интеграл по пространству-времени является тривиальным
и интеграл по путям (функциям) является просто интегралом по прямой.
Возьмем лагранжиан в форме
L = −
1
2
λ
2
ϕ
4
−
.
ϕ
4!
5. 0-МЕРНАЯ КТП 29
Заметим,чтоунасздесьнетбольшечленаспроизводными,посколькуони
не имеют смысла в нульмерном пространстве.
Игнорируя множитель i, фейнмановский интеграл по путям с допол-
нительным током j задается формулой
Z[λ, j]:=exp−
1
2
Если произвести замену переменных ϕ → ϕλ
λ
2
ϕ
4
−
+ jϕdϕ.
ϕ
4!
−1/4
, то легко видеть, что, как
функция λ, этот интеграл сходится к аналитической функции при λ =0.
Легко видеть также, что при λ =0имеется существенная сингулярность
и точка ветвления 4-го порядка.
Предположим теперь, что мы не знаем, что эта функция плохо ведет
себя в начале координат, и пытаемся разложить ее по степеням λ.Напишем члены такого разложения, не исчезающие после интегрирования по ϕ,
иполучим
exp−
λ
4
ϕ
4!
(−λ)mϕ
∼
m
(4!)mm!
4m
, exp (jϕ) ∼
2k
j2kϕ
(2k)!
2k
.
Подставляя эти выражения в интеграл для Z[λ, j], мы получаем
1
2
dϕ.
ϕ
2
Z[λ, j]=
mj2k
(−λ)
(4!)mm!(2k)!
4m+2k
ϕ
exp−
Как и прежде, мы легко можем вычислить любой интеграл вида
2n
ϕ
exp−
1
2
dϕ.
ϕ
2
Простая индукция дает
(2n)!
n!2
n
×exp−
1
2
dϕ.
ϕ
2
Вместо того чтобы использовать это выражение в качестве ответа, мы хотели бы дать графическую интерпретацию множителю (2n)!/n!2
n
, возникающему в интеграле. Легко доказать по индукции, что это число есть в точности число способов разбиения 2n точек на пары. Это наблюдение является
основой для введения фейнмановских диаграмм в нульмерной КТП.
30 5. 0-МЕРНАЯ КТП
Мы можем вычислить теперь несколько первых членов в разложе-
нии Z[λ, j]:
Z[λ, j]
√
2π
=1−
1
8
λ +
5 · 7
27· 3
λ
2
−
5 · 7 ·11
210· 3
3
λ
+ ···+
1
2
+ ···
j
2
Дадим теперь графическую интерпретацию числам, возникающим
в этом выражении. Вспомним, что
1
2
dϕ.
ϕ
2
Z[λ, j]=
mj2k
(−λ)
(4!)mm!(2k)!
4m+2k
ϕ
exp−
Мы можем также записать это в форме
4
×··· ×
m
m!
(−λ)ϕ
4!
4
! "
jϕ × ···×jϕ
·
(2k)!
2k
·exp−
1
2
dϕ.
ϕ
2
Z[λ, j]=
! "
(−λ)ϕ
4!
Мы могли бы наивно нарисовать граф с 4m+2k вершинами и пытаться по-
парно соединять их. Это дало бы правильный ответ, но существует гораздо
лучший способ это сделать.
Заметим, что некоторые из множителей ϕ появляются из члена ϕ
некоторые — из члена jϕ. Для того чтобы отразить это графически, введем
два типа вершин.
• m вершин валентности 4, соответствующих m членам ϕ
4
в интеграле.
• 2k вершин валентности 1, соответствующих 2k членам jϕ в интеграле.
Соединим теперь все вершины всеми возможными способами
1
. Важно помнить, что мы рассматриваем вершины и ребра как отмеченные (т. е. различимые). Например, если мы имеем только одну вершину валентности 4,
то соединение ребра 1 сребром2,аребра3 сребром4 отличается от
соединения ребра 1 сребром3,аребра2 сребром4.
Таким образом, мы можем заменить наш интеграл суммой по гра-
фам при условии, что мы знаем, как учитывать все λ, j и факториалы.
1
Заметим, что это идентично рассмотрению графа с 4m +2k вершинами, соединению
всех вершин попарно и затем отождествлению вершин, возникающих из одного члена: ϕ
или jϕ. Тем не менее в рассматриваемой форме мы знаем, сколько множителей j содержится
в интеграле, чего бы мы не знали при одинаковых вершинах.
4
;
4
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]