Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая теория поля
.pdf
5. 0-МЕРНАЯ КТП 31
Рассмотрим теперь действие группы, переставляющей вершины и ребра
и имеющей порядок (4!)
m
m!(2k)!. Заметим, что это в точности есть ком-
бинаторный множитель, который должен быть приписан каждому графу.
Следовательно, мы можем заменить сумму по всем графам суммой по классам изоморфности графов с весом 1/ Aut(g). Это приводит к следующему
графическому вычислению интеграла: каждому классу изоморфности графов мы сопоставляем множитель:
• (−λ) для каждой вершины валентности 4;
• j для каждой вершины валентности 1;
• 1/ Aut(g).
Интеграл при этом является суммой всех таких членов. Для иллюстрации
рассмотрим несколько первых членов, получаемых из графического разложения:
Пустой граф −→ 1,
λ
128
λ
,
8
2
,
−→ −
−→
−→
−→
Собирая эти члены вместе, получаем
1
5 · 7
2
λ
1 −
8
λ +
27· 3
+ ··· ,
что в точности совпадает с полученным ранее.
λ
16
λ
48
2
,
2
.
32 5. 0-МЕРНАЯ КТП
Теперь пора вспомнить, что проделанное нами разложение есть на
самом деле разложение в сингулярной точке и не является хорошим степенным разложением. Мы покажем теперь, что это разложение является
асимптотическим разложением для нашего интеграла. Для простоты мы
сделаем это для функции Z[λ, 0] — т. е. проигнорируем все члены с j.
Вспомним, что
#
#
#
exp(x) −
#
#
n=0
#
k
#
n
x
n!
#
#
#
k+1
x
(k +1)!
.
Это означает, что ошибка в вычислении интеграла для Z[λ, 0] при взятии
первых k членов ряда ограничена величиной Cλ
от k, но не зависит от λ. Это показывает, что полученный ряд является
асимптотическим разложением для интеграла
k+1
. Константа C зависит
1
.
Какой максимальной точности мы можем достичь при вычислении Z[λ, 0], используя асимптотическое разложение? Для того чтобы это
определить, нам надо найти наименьший член асимптотического разложения, поскольку это и будет определять ошибку. Отношение последователь-
ных членов нашего разложения примерно равно
2λn
. Там, где это соотно-
3
шение порядка 1, и есть место, где члены разложения минимальны. Таким
образом, мы находим, что нам надо взять
3
k ≈
Если мы сделаем это, ошибка приближения окажется порядка e
2λ
.
−3/(2λ)
.
5.1. Суммирование по Борелю
Ряд, построенный нами для Z[λ, 0], имеет форму
anxnпри an≈ Cn!.
n
Существуют известные способы суммирования таких рядов, один из которых известен как суммирование по Борелю.
1
Асимптотическое разложение есть нечто, что становится все более и более точным при
λ → 0 и фиксированном k. В отличие от этого степенной ряд становится точным при k →∞
и фиксированном λ.
5. 0-МЕРНАЯ КТП 33
Прием состоит в том, чтобы заметить, что
∞
−t/xtn
e
0
Следовательно:
−t/x
e
a
n
n!
n
∞
0
dt = x
n
t
dt
x
n+1
=
n!.
anxn.
n
Если функция
g(t):=
n
a
n
n
t
n!
продолжается на все t>0 и имеет достаточно медленный рост, мы можем
вычислить интеграл и, таким образом, определить «сумму» ряда.
В квантовой теории поля, однако, при применении этого метода возни-
кают некоторые проблемы. Именно:
• он не учитывает непертурбативных эффектов;
• функция g(t) может иметь сингулярности при t>0.
5.2. Другие суммы по графам
Мы опишем теперь два приема, позволяющие слегка упростить графи-
ческое суммирование.
Как мы уже видели, функция Z[λ, j ] дается суммой по всем классам
изоморфных графов. Рассмотрим теперь функцию
1
W[λ, j]:=logZ[λ, j].
Мы утверждаем, что эта функция представляется графической суммой, в которой суммирование теперь ведется по классам изоморфных связных графов. Чтобы показать это, мы вычислим экспоненту графической суммы
для W и покажем, что она совпадает с графической суммой для Z.Обо-
значим через a[G] множители, содержащие λ и j, сопоставляемые классу
1
Заметим, что в некоторых книгах обозначения W и Z используются в обратном порядке.
34 5. 0-МЕРНАЯ КТП
изоморфных графов G.Тогда
exp
Aut(G)
conn
a[G]
=
conn
=
conn
=
conn
exp
∞
n=0
∞
n=0
Aut(G)
a[G]
n!Aut(G)
a[nG]
Aut(nG)
a[G]
=
n
=
n
=
= Z[λ, j].
Второе упрощение может быть произведено, если вспомнить, что на
самом деле нам нужно было отношение
Z[λ, j]
, а не сама функция. Лег-
Z[λ, 0]
ко видеть, что это отношение получается экспоненцированием суммы по
всем связным графам, содержащим хотя бы одну вершину. Такая процедура
называется иногда устранением «вакуумных пузырей».
5.3. Классическое поле
Используя идею, что доминирующими членами в квантовой физике
являются конфигурации, близкие к классическим решениям, мы можем попытаться определить поле ϕ
квантовых полей. Мы могли бы при этом надеяться, что ϕ
для заданного j, являющееся «средним» от
cl
удовлетворяет
cl
уравнениям Эйлера – Лагранжа.
Определим
$
ϕ exp%−
ϕ
=
cl
$
exp%−
1
2
1
ϕ2−
2
ϕ2−
λ
ϕ4+ jϕ&dϕ
4!
λ
ϕ4+ jϕ&dϕ
4!
.
В терминах функций Z и W оно также дается выражением
d
Z[λ, j]
dj
Z[λ, j]
=
d
W[λ, j].
dj
Таким образом, имеется очевидный графический способ вычисления этой
функции. Мы производим суммирование по связным графам с изменен-
5. 0-МЕРНАЯ КТП 35
ными очевидным образом численными множителями, учитывая дифференцирование по j. Таким образом, каждому классу изоморфных графов мы
сопоставляем множитель
• (−λ)
• m × j
n
, если имеется n вершин валентности 4;
m−1
, если имеется m вершин валентности 1;
• 1/ Aut(g).
Например:
−→ j,
3
−→ −
−→ −
Нетрудно проверить после этого, что классическое поле ϕ
λj
λj
,
3!
.
2
не удовлетворя-
cl
ет уравнениям Эйлера – Лагранжа. Однако, если мы слегка модифицируем
определение, мы можем получит нечто, что является решением уравнений
Эйлера– Лагранжа.
Определим ϕ
как сумму для ϕcl, за исключением того, что теперь
t
мы рассматриваем только древесные графы (т. е. не имеющие петель). Теперь можно показать, что эта функция удовлетворяет уравнениям Эйлера –
Лагранжа. Для этого введем в интеграл новую переменную :
Z[λ, j, ]:=
√
1
exp−
1
2
ϕ −
λ
ϕ
4!
4
+ jϕ
'
dϕ.
√
Если сделать замену переменных ϕ →
возникающая при каждом графе с v
нами валентности 4,есть
v4−v1/2
ϕ, то легко видеть, что степень ,
вершинами валентности 1 и v4верши-
1
. Как и ранее, мы полагаем W[λ, j, ]=
=logZ[λ, j, ]. Легко видеть, что эта функция дается суммой по связным
36 5. 0-МЕРНАЯ КТП
графам с теми же самыми множителями. Мы можем определить новое классическое поле (теперь зависящее от ) выражением
ϕ
(λ, j, ):=
cl
d
W[λ, j, ].
dj
Мы видим, что эта величина задается той же самой графической суммой,
что и предыдущее классическое поле, за исключением того, что мы имеем
дополнительный множитель
1+v4−v1/2
при каждом из графов. Заметим,
что показатель степени в точности равен величине 1 − χ(G),чтоесть
количество петель в графе G. Таким образом, функция ϕ
представляет
t
собой постоянный по член в графической сумме. Иначе говоря, мы можем
восстановить функцию ϕ
из ϕcl,беряпредел → 0.
t
Можно видеть, что при взятии предела → 0 экспонента в определении для ϕ
Предполагая, что такое значение единственно, мы видим, что ϕ
концентрируется около величины ϕ, которая ее максимизирует.
cl
есть значе-
t
ние ϕ, максимизирующее экспоненту. Однако уравнения Эйлера–Лагранжа являются в точности теми уравнениями, которым удовлетворяет такая
максимизирующая величина. Следовательно, ϕ
Эйлера – Лагранжа. Если бы максимум был не единственным, то ϕ
удовлетворяет уравнениям
t
t
было бы некоторой линейной комбинацией возможных ϕ, максимизирующих
экспоненту.
5.4. Эффективное действие
То обстоятельство, что мы имеем поле, называемое классическим по-
лем, и не имеем классических уравнений движения, которым оно удовле-
творяет, является все-таки неудовлетворительным. Если бы мы могли найти
новый лагранжиан, такой что старое ϕ
равнялось бы новому ϕt,тоϕ
cl
cl
удовлетворяло бы новым уравнениям Эйлера– Лагранжа. Для того чтобы
это сделать, вспомним, что любой связный граф может быть представлен
в следующей «древесной форме»:
5. 0-МЕРНАЯ КТП 37
Здесь заштрихованные блоки есть подграфы, которые не могут быть рассоединены разрезанием одного ребра. Такие подграфы называются одноча-
стично неприводимыми графами или 1ЧНП для краткости. Заметим, что
такое разложение является единственным.
n
Вспомним, что члену
ϕ
в лагранжиане мы сопоставляем вершину ва-
n!
лентности n. Для того чтобы определить новый лагранжиан, мы пытаемся
рассматривать 1ЧНП-блоки как вершины. Таким образом, является осмысленным приписывать факторы типа ϕ
n
1ЧНП-диаграммам валентности n.
Это оказывается правильной идеей. Каждой 1ЧНП-диаграмме мы приписываем следующие множители:
• (−λ) для каждой вершины;
• ϕ для каждого неиспользованного ребра;
• 1/ Aut(G).
Эффективное действие, таким образом, определяется как
Γ[ϕ]:=−
1
2
2
+
ϕ
приписанные множители.
1ЧНП
Для иллюстрации мы вычислим поправки до уровня второго порядка (неиспользованные ребра обозначены пунктирными линиями):
4
−→ − λ
−→ − λ
−→ − λ
−→ λ
ϕ
,
4!
2
ϕ
,
4
1
,
8
1
2
,
48
38 5. 0-МЕРНАЯ КТП
1
2
−→ λ
−→ λ
−→ λ
−→ λ
Члены, соответствующие множителю ϕ
2
, иногда называются «массовы-
,
16
2
ϕ
2
,
8
2
ϕ
2
,
12
4
ϕ
2
.
8
ми поправками», поскольку они изменяют массу в исходном лагранжиане.
Члены, соответствующие старшим степеням ϕ, есть «силовые поправки»,
поскольку они изменяют поведение взаимодействия в физической теории.
Члены, не зависящие от ϕ, обычно могут быть проигнорированы, поскольку
они лишь сдвигают лагранжиан на константу, что не влияет на уравнения
движения. Есть, правда, один случай, когда это неверно: если мы варьируем метрику пространства-времени, то эти изменения являются важными.
Они приводят к возникновению «космологической постоянной», введенной
Эйнштейном в общую теорию относительности для того, чтобы избежать
предсказания о расширении Вселенной. Позже Эйнштейн должен был признать это худшей из ошибок, сделанных им в жизни
Если мы сложим все члены, вычисленные выше, мы получим, что
эффективное действие (с точностью до λ
Γ[ϕ]=−
1
2
λ
2
−
ϕ
4!
2
)есть
λ
4
ϕ
2
−
−
ϕ
8
λ
+ O(λ
8
1
.
2
).
Уравнения Эйлера – Лагранжа для такого лагранжиана с источником j имеют вид
λ
−ϕ −
3!
Нетрудно проверить, что вычисленное значение для ϕ
λ
3
−
ϕ
ϕ + j =0.
4
является решением
cl
этого уравнения. Это означает, что выполняется соотношение
#
#
d
#
j = −
1
Недавние эксперименты тем не менее дают ненулевую величину для космологической
постоянной. К несчастью, теоретическое предсказание для нее порядка в 10
Это, возможно, наихудшее из когда-либо сделанных теоретических предсказаний!
dϕ
Γ[ϕ]
.
#
ϕ
cl
120
раз больше.
5. 0-МЕРНАЯ КТП 39
Вспомним, что ϕclбыло определено уравнением
d
=
ϕ
cl
dj
W[j].
Оба эти уравнения, скомбинированные вместе, означают, что
]=W[j] − jϕcl+const.
Γ[ϕ
cl
Включая константу в определение Γ[ϕ], мы видим, что W и Γ являются
преобразованиям Лежандра друг от друга. Дадим теперь графическое доказательство этого уравнения.
Мы знаем, что W[j] дается суммированием по классам изоморфных
связных графов величин
v
v
4
(−λ)
Aut(g)
1
j
.
Следовательно, jϕ
, которое есть j
cl
d
W[j], дается суммированием по клас-
dj
сам изоморфных связных графов величин
v
v
4
(−λ)
v
×
1
Aut(g)
1
j
.
Можно думать об этой сумме как о сумме по классам изоморфных связных
графов с отмеченной вершиной валентности 1 величин
v
v
4
(−λ)
Aut(gv)
Мы хотим дать выражение для −
мы просто возведем в квадрат сумму для ϕ
1
j
.
1
2
ϕ
в терминах связных графов. Если
cl
2
, мы получим сумму по парам
cl
классов изоморфных графов с отмеченной вершиной валентности 1 величин
v4+v
(−λ)
Aut(gv)Aut(g
v1+v
4
−2
1
j
.
)
v
Очевидный способ получить связный граф из пары связных графов с отмеченными вершинами — это просто отождествить две отмеченные вершины.
Это дает нам связный граф с v
+ v
вершинами валентности 4 и v1+ v
4
4
1
−2
40 5. 0-МЕРНАЯ КТП
вершинами валентности 1 и отмеченным ребром. Легко видеть теперь, что
1
величина
2
ϕ
дается суммой по классам изоморфных графов с отмеченным
cl
2
ребром величин
v
v
4
1
j
(−λ)
Aut(ge)
1
Множитель
они различны, и что группа автоморфизмов Aut(g
раза, если g = g
учитывает тот факт, что мы можем переставить g и g,если
2
. Эта сумма также равна сумме по классам изоморфных
.
) увеличивается в два
e
графов величин
v
v
4
e ×
(−λ)
Aut(g)
1
j
,
где e есть минимальное число ребер, которые необходимо разрезать для
того, чтобы разделить граф на две части.
Наконец, нам нужно выражение для суммы по 1ЧНП-графам в терми-
нах связных графов. Сумма, возникающая в выражении для Γ[ϕ
],является
cl
суммой по классам изоморфных 1ЧНП-графов величин
v
v
u
4
ϕ
(−λ)
Aut(g)
cl
,
где v
есть число неиспользованных ребер. Величина ϕclдается суммой
u
графов с отмеченными вершинами валентности 1. Мы используем эти отмеченные вершины для того, чтобы присоединить графы из ϕ
к неисполь-
cl
зованным ребрам 1ЧНП-диаграмм. Это дает связный граф с отмеченным
1ЧНП-подграфом. Таким образом, мы получаем сумму по классам изоморфных связных графов с отмеченным 1ЧНП-подграфом величин
v
v
4
(−λ)
Aut(g1)
1
j
.
Легко видеть, что это равно сумме по классам изоморфных связных графов
величин
v ×
(−λ)
Aut(g)
v
v
4
1
j
,
где v — число 1ЧНП-подграфов в графе g.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]