Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая теория поля
.pdf
8. ПЕРЕНОРМИРОВКА ЛАГРАНЖИАНОВ 81
Равенство в третьей линии следует из того, что поля в каждой вершине вместе дают ϕ
4
, что имеет степень 4. Следовательно, действие перенормировки
генерирует только члены степени не более 4. Таким образом, это является
конечномерной орбитой.
Если мы проделаем точно такое же вычисление, но предполагая, что
размерность пространства-времени равна n и лагранжиан начинается с чле-
нов степени не более m,томыполучим,чтоF может генерировать члены
степени не более (m − n)v + n.Длятогочтобыунасосталоськонечное
число членов, мы, очевидно, должны потребовать m n. Таким образом,
мы должны потребовать, чтобы все члены в лагранжиане имели степень
не более размерности пространства-времени. В терминах констант взаимодействия это приводит к тому, что все константы взаимодействия должны
иметь степень не меньше 0. Это условие называется условием Дайсона.
Легко проверить, что условие Дайсона выполняется для лагранжиана
КЭД, но не выполняется для лагранжианов, включающих гравитацию. Таким образом, с квантовой гравитацией трудно иметь дело в ее теперешней
формулировке (это так называемая «неперенормируемая» теория).
Пусть размерность пространства-времени равна d.Всенашилагранжи-
аны содержат при этом член ∂
i
ϕ∂iϕ. Этот член появляется без константы
взаимодействия, и поэтому его общая размерность должна равняться d.
Следовательно:
deg(ϕ)=
Если мы хотим иметь член вида λ
d
− 1.
2
ϕk, то мы имеем
k
deg(λ
)+k
k
d
− 1= d,
2
следовательно:
k
d
− 1 d.
2
Легко перечислить решения для такого соотношения
d =2 k произвольно
d =3 k 6 теория ϕ
d =4 k 4 теория ϕ
d =5 k 3 член ϕ
6
4
3
несет в себе непертурбативные проблемы
d =6 k 3 как и выше
d 7 k 2 теория свободного поля
82 9. ФЕРМИОНЫ
9. Фермионы
В этой главе мы изучим математические конструкции, связанные
с уравнением Дирака для электрона.
Мы хотим найти релятивистское уравнение для электрона; при этом у
нас уже имеется уравнение Клейна– Гордона ∂
бы представить его в форме
%
i
∂i− m2)=
(∂
Если мы раскроем скобки, то получим 2A
выборе метрики g
ij
=0для i = j, это не имеет решений для размерностей,
Ai∂i+ m
больших 1. Тем не менее если мы положим, что ϕ не является скалярной
функцией, а принимает значения в некотором векторном пространстве V ,
то мы можем выбирать A
i
среди эндоморфизмов V . Таким образом, мы
получаем уравнение
iAj
+ AjAi=2gij.
A
Дираком были найдены (4 ×4)-матрицы, удовлетворяющие этому уравнению.
Математически это является специальным случаем следующей проблемы. Пусть E является векторным пространством над некоторым полем k
(характеристики, не равной 2), и q есть некоторая квадратичная форма на E.
Тогда q возникает из симметричной билинейной формы (, ) такой, что
i
∂iϕ = m2ϕ. Нам хотелось
&%
Ai∂i− m&.
iAj
= gij, и, поскольку при нашем
q(x)=(x, x) и (x, y)=
Мы хотим найти матрицы A(x) для каждого x ∈ E такие, что A(x)
= q(x)I.
1
1
(q(x + y) − q(x) − q(y)).
2
2
9.1. Алгебра Клиффорда
Определим алгебру КлиффордаC(q) от квадратичной формы как алгебру, порожденную элементами E с соотношениями x
2
= q(x).Тогда
модулями надC(q) являются матрицы, удовлетворяющие соотношениям,
которые мы хотели определить.
1
Таким образом, мы пытаемся найти ассоциативную алгебру, которая кодирует значения
квадратичной формы. Это аналогично определению универсальной обертывающей алгебры
как ассоциативной алгебры, кодирующей данные о скобке Ли.
=
9. ФЕРМИОНЫ 83
Заметим, что наCсуществует естественная Z/2Z градуировка, задаваемая числом элементов E в произведении (это является хорошо определенным, поскольку единственным соотношением является x
Обозначим это разложение какC=
Если x
Таким образом, dim(C) 2
, ...,xnобразуют ортогональный базис для E,то2nпроиз-
1
i
1
···x
для i1< ··· <ikпорождают всю алгебру Клиффорда.
i
k
n
. Легко видеть, что это является равенством
0
1
⊕
C
.
C
2
= q(x)).
при n =1.
Заметим, что если E
ными формами q
и q2,то
1
и E2— два векторных пространства с квадратич-
1
∼
⊕ E2)
(E
C
1
(E1)(⊗C(E2),
=
C
где(⊗ есть градуированное векторное произведение
(a(⊗c)(b(⊗d)=(−1)
deg(c)deg(b)
С помощью диагонализации мы можем разложить E в прямую сумму 1-мер-
ных пространств, и, следовательно, мы видим, что dim(C)=2
(ab(⊗cd).
n
,априве-
денные выше произведения дают базис дляC.
Существует 3 естественных автоморфизмаC.
1) Транспозиция, являющаяся антиавтоморфизмом x → x
ванным перестановкой x
···xk→ xk···x1.
1
t
, индуциро-
2) Инволюция, являющаяся автоморфизмом x →−x. Иногда его обозна-
чают как α(x).
3) Сопряжение, являющееся антиавтоморфизмом
x = −xt.
Для изучения представлений алгебрыCявляется естественным иссле-
довать сначала структуру ее центра Z(C).Этолегкосделать.
• Если n —четно,тоZ(C) является одномерной оболочкой 1.
• Если n —нечетно,тоZ(C) является двумерным подпространством,
порожденным 1 и x
• Если n —четно,тоZ(
рожденным 1 и x
• Если n —нечетно,тоZ(
1
···xn.
1
···xn.
0
) является двумерным подпространством, по-
C
0
) является одномерной оболочкой 1.
C
84 9. ФЕРМИОНЫ
Пусть теперь поле k = C. Тогда мы можем построить ортонормирован-
ный базис x
элементов ±x
, ...,xnдля E.ПустьG является подгруппой C,состоящейиз
1
···x
i
1
. G имеет порядок 2
i
k
n+1
.Положимε = −1,чтоесть
элемент G. Тогда легко видеть, что
(E)=C[G]/(ε +1).
C
Таким образом, представления G,гдеε действует как скаляр −1,совпа-
дают с представлениями C. Число неприводимых представлений конечной
группы G совпадает с числом классов сопряженных элементов. Легко видеть при этом, что последние задаются элементами центра Z (G) и парами
элементов {x, −x} для x ∈ Z(G). Следовательно:
• если n — четно, то имеется 2
• если n — нечетно, то имеется 2
Для любой алгебры Клиффорда существует 2
представлений. Таким образом, если n — четно, существует еще одно неприводимое представление, которое должно иметь размерность 2
n
+1неприводимых представлений;
n
+2неприводимых представлений.
n
очевидных одномерных
n/2
(из того,
что сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы). Если же n — нечетно, то надо найти еще два неприводимых
представления. Эти представления порождаются инволюцией α,и,следо-
вательно, каждое имеет размерность 2
Если мы ограничим эти неприводимые представления на подалге-
0
бру
, то произойдет следующее.
C
(n−1)/2
.
• Если n — четно, то единственное неприводимое представление раз-
мерности 2
n/2−1
2
• Если n — нечетно, то два неприводимых представления размерности
(n−1)/2
2
n/2
распадется в сумму двух представлений размерности
.
станут изоморфными после ограничения на
0
.
C
Группа Клиффорда определяется следующим образом:
−1
Γ=0x ∈ C : α(x)yx
∈ E для всех y ∈ E1.
Это группа, которая, действуя скрученными сопряжениями, сохраняет E.
Легко видеть, что это включает в себя все неизотропные элементы E искру-
ченное сопряжение действует с помощью отражения.
Гомоморфизм из Γ в k
×
, задаваемый формулой N (x)=xx, называется
спинорной нормой.Легковидеть,чтоN (xy)=N (x)N (y) для x, y ∈Γ.
9. ФЕРМИОНЫ 85
Значение спинорной нормы на элементах E сохраняется при действии скрученного сопряжения:
N(α(x)yx
−1
)=N(y) для всех x ∈ Γ и y ∈ E.
Таким образом, действие Γ на векторном пространстве E является в точности ортогональной группой. Мы можем определить действие спинорной
нормы на элементах ортогональной группы, выбирая любое их поднятие
вгруппуΓ. Это является хорошо определенным в группе k
×
/(k×)2.Напри-
мер:
• Если k = C,тоk
×
/(k×)2=1и, таким образом, все отражения имеют
спинорную норму 1.
• Если k = R и q — положительно определена, то все отражения имеют
спинорную норму −1. Таким образом, спинорная норма есть детерминант.
• Если q — отрицательно определена, то спинорная норма всегда равна 1.
• Если форма не является определенной (R
m,n
), то отражения в направлении векторов с положительной нормой имеют спинорную норму −1
и отражения в направлении векторов с отрицательной нормой имеют
спинорную норму 1. Таким образом, спинорная норма и детерминант
дают два различных гомоморфизма из O(E) в Z/2Z. Следовательно,
ортогональная группа имеет как минимум 4 связных компоненты.
• Если существует только одно направление с отрицательной нормой (R
n−1,1
), то 4 связных компоненты легко увидеть. Они задаются
детерминантом и тем, переставляются ли два конуса или нет.
• Над конечными полями характеристики, не равной 2, k
∼
Z/2Z.
=
• Над Q, k
×
/(k×)
2
∼
Z/2Z ×Z/2Z × ···
=
×
/(k×)
2
∼
=
Группа Pin определяется как
Pin = {x ∈ Γ: N(x)=1}.
Она двулистно накрывает ортогональную группу. Элементы этой группы,
действующие с детерминантом +1,образуютспинорную группу. Заметим,
что спиновая группа не обязательно накрывает специальную ортогональную группу, поскольку спинорная норма всегда есть 1.Мыможемтакже
описать спиновые группы как Pin ∩
0
. Таким образом, представления чет-
C
ной алгебры Клиффорда приводят (путем ограничения) к представлениям
спиновой группы.
86 9. ФЕРМИОНЫ
9.2. Структура алгебр Клиффорда
Все вещественные алгебры Клиффорда являются суммами матричных
групп над R, C и H. Для полного описания структуры нам понадобятся
следующие факты:
• R ⊗нечто = нечто;
• C ⊗C = C ⊕ C;
• H ⊗C =M
• H ⊗H =M
• M
(A) ⊗ B =Mn(A ⊗ B);
n
• M
m(Mn
(C) с помощью матриц Паули;
2
(R) с помощью действия (x ⊗ y)z = xzy;
4
(A)) = Mmn(A).
Нам надо также знать таблицу тензорных произведений алгебр R, C и H:
⊗ RC H
R RC H
C CC⊕ C M2C
H H M2C M4R
При этом маленькие алгебры Клиффорда легко получить напрямую:
0,0
•C(R
•C(R
•C(R
•C(R
•C(R
•C(R
)=R;
1,0
)=R[x]/(x2− 1) = R + R;
0,1
)=R[x]/(x2+1)=C;
2,0
)=M2(R);
1,1
)=M2(R);
0,2
)=H.
Существуют рекурсионные соотношения, которые связывают алгебры
Клиффорда высших размерностей с алгебрами низших размерностей (будьте весьма осторожны с индексами):
•C(R
•C(R
•C(R
m+2,n
)=M2(R) ⊗C(R
m+1,n+1
m,n+2
)=M2(R) ⊗C(R
)=H ⊗C(R
n,m
).
n,m
);
m,n
);
9. ФЕРМИОНЫ 87
Причина для изменения порядка индексов состоит в различии, производимом тензорным произведением. Для получения явного разложения мы
можем положить e
ев) и затем выбрать базовые элементы e
и e2базовыми элементами для R
1
для алгебры Клиффорда R
1e2fi
2,0
(или других случа-
m,n
(заметим, что это делает тензорное произведение неградуированным и изменяет норму).
Заметим, что отсюда следует
m+8,n
(R
C
)=C(R
m,n+8
)=M16(C(R
m,n
)).
Другими словами, качественное поведение алгебры Клиффорда зависит
только от сигнатуры по модулю 8. Используя рекурсионные соотношения,
мы видим, что алгебры Клиффорда являются матричными алгебрами над
следующими кольцами:
сигнатура 01234567
кольцо RR+ RRCHH+ HHC
Для получения структуры четной алгебры Клиффорда нам надо только
заметить, что полная алгебра Клиффорда может быть порождена элементами e
1,e1e2,e1e3
, ...,e1enиэлементы,кромеe1, порождают
0
.Темне
C
менее они также образуют алгебру Клиффорда и, таким образом:
m+1,n
0
(R
•
C
0
•
(R
C
m,n+1
)=C(R
)=C(R
n,m
m,n
);
).
Таким образом, четные алгебры Клиффорда являются матричными алгебрами над следующими полями (за исключением тривиальной четной алгебры
Клиффорда):
сигнатура 0 ±1 ±2 ±34
кольцо R + RR C HH+ H
Мы можем объяснить теперь некоторую физическую терминологию,
относящуюся к спинорам.
• Дираковские спиноры являются элементами комплексного представ-
ления алгебры Клиффорда. По этой причине они существуют для всех
сигнатур (m, n).
• Вейлевские спиноры являются элементами комплексных представле-
ний с половинным спином (т. е. представление должно расщепляться
0
над
). Они возникают только для четных сигнатур.
C
88 9. ФЕРМИОНЫ
• Майорановские спиноры являются элементами вещественных спино-
вых представлений. Таблица, приведенная выше, показывает, что они
существуют только для сигнатур 0, 1, 2 помодулю8.
• Майорана-вейлевские спиноры являются элементами вещественных
представлений с половинным спином. Из приведенной выше таблицы
(и условия, что сигнатура должна быть четной) видно, что они возникают только для сигнатуры 0 помодулю8.
9.3. Гамма-матрицы
Гамма-матрицы представляют собой явные матрицы, дающие пред-
ставление алгебры КлиффордаC(R
m,n
). Они обычно определяются через
матрицы Паули
1
σ
=
01
10
,σ2=
0 −i
i 0
,σ3=
10
0 −1
.
4-мерные гамма-матрицы задаются при этом формулами
0
=
γ
2
=
γ
Матрица γ
что матрицы, представленные выше, дают точное представление алгебры
КлиффордаC(R
5
определяется как произведение всех гамма-матриц. Заметим,
1,3
).
Имея такую явную реализацию алгебры Клиффорда, мы можем произ-
вести разложениеC(R
I 0
0 I
−σ20
1,3
,γ
0 σ
,γ
2
) по отношению к действию O(R
=
0 σ
−σ10
1
=
0 σ
−σ30
3
1
,
3
.
1,3
):
пространство размерность представление
1 1 скалярное
γ 4 векторное
γγ 6 тензорное
γγγ 4 аксиально-векторное= векторное ⊗ det
γγγγ 1 псевдоскалярное = скалярное ⊗ det
Иногда эти представления обозначаются как S, V , T , PV и PT.
После того как мы выбрали гамма-матрицы, мы можем объяснить пе-
речеркнутые обозначения Фейнмана. В физической литературе можно
9. ФЕРМИОНЫ 89
часто видеть операторы (типа ∂), перечеркнутые линией (типа /∂). Это явля-
ется сокращением для свертки с гамма-матрицами. Таким образом, /∂ψ есть
сокращенная форма записи для γ
μ
∂μϕ.
9.4. Уравнение Дирака
Опишем теперь поля и лагранжиан для уравнения Дирака.
У нас имеется 8-мерное векторное пространство с базисом, задаваемым
∗
∗
∗
ψ
1,ψ2,ψ3,ψ4
,ψ
,ψ
1
2
,ψ
∗
,ψ
.
3
4
Эти поля переставляются очевидным образом при комплексном сопряжении.
Во многих формулах в физической литературе эти поля группируются,
образуя вместе вектор с 4 компонентами. Таким образом,
ψ =
⎛
⎜
⎝
⎞
ψ
1
ψ
⎟
2
,ψ
⎠
ψ
3
ψ
4
⎛
⎞
∗
ψ
1
∗
ψ
⎜
⎝
⎟
2
.
⎠
∗
ψ
3
∗
ψ
4
∗
=
Оператор "крест" определяется при этом на этих векторах как транспонирование и комплексное сопряжение:
3
†
ψ
∗
∗
ψ
ψ
=
1
ψ
2
4
∗
∗
ψ
3
,ψ
4
3
†
∗
ψ
=
1ψ2ψ3ψ4
4
.
Оператор "черта" определяется формулой
ψ := ψ†γ0.
Лагранжиан Дирака для системы задается формулой
ψ(i/∂ −m)ψ.
Легко найти пропагатор для этого лагранжиана (поскольку он имеет отно-
шение к пропагатору Клейна – Гордона). Он оказывается равным
(−i/∂ + m)Δ.
9.5. Четность, зарядовая симметрия и симметрия по отношению к
обращению времени
Существуют три дискретные симметрии, которые всегда возникают
в физике. Они называются P (изменение четности — пространство отражается некоторым зеркалом), C (зарядовое сопряжение — частицы заменяются
90 9. ФЕРМИОНЫ
их античастицами) и T (обращение времени — направление времени меняет
знак). Первоначально существовала вера в то, что все эти симметрии сохраняются в природе, однако эксперименты показали, что это не так
1
.Формулы
для P-, C-иT -симметрий в физической литературе пишутся в терминах
гамма-матриц. На первый взгляд они выглядят странно, поскольку кажется,
что они используют неверные гамма-матрицы (почему обращение времени
должно включать γ
1
и γ3иневключатьγ0?). Мы попытаемся объяснить
это в данном разделе. Прежде всего, формулы имеют следующий вид:
Tψ = −γ
Cψ = −iγ
Pψ = γ
1γ3
ψ, Tψ = ψγ1γ3,
2ψ∗
,Cψ =(−iγ0γ2ψ)T,
0
ψ, Pψ = ψγ0.
Это определяет операторы на базисе для пространства полей. P и C при
этом продолжаются линейно и T продолжается антилинейно на все пространство полей.
Путем простого вычисления можно показать, что P , C и T коммутиру-
ют с сопряжением ∗ и величина
ψψ является инвариантом. Это наводит на
мысль, что мы могли бы попытаться работать в пространстве полей Φ таких,
что все симметрии действуют проективно на этом пространстве. Поскольку
мы имеем дело со спинорами, нам надо найти центральное расширение ортогональной группы, действующей на пространстве-времени. Это, однако,
может вызывать некоторые проблемы, поскольку для несвязных групп центральное расширение не всегда является единственным. Например, O(3, 1)
и O(1, 3) являются естественно изоморфными, но Pin(3, 1) и Pin(1,3) при
этом неизоморфны (смотря на порядок элементов).
Мы знаем, чтоC(R
3,1
∼
)
M4R. Поскольку сигнатура простран-
=
ства-времени равна 2, мы знаем, что в нем существуют майорановские
спиноры, так что имеется некоторое 2-мерное вещественное векторное пространство S, на котором действует алгебра Клиффорда. Используя тот факт,
что матричные алгебры над R не имеют внешних автоморфизмов, мы видим, что существует единственная (с точностью до скалярных множителей)
билинейная форма на S такая, что (Ca,b)=(a,
Cb).
Сохраняет ли алгебра Клиффорда эту билинейную форму? Ответ —
почти. Простое вычисление показывает:
(Ca,Cb)=(a,
CCb)=CC(a,b).
Таким образом, форма умножается на спинорную норму C.
1
В настоящий момент существует вера, что имеет место суммарная CPT-симметрия —
это может быть доказано, если верить в законы КТП.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]